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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.4.1二次函数应用之图形问题
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是( )
A． B． C． D．
解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，
则y与x的函数关系式是，
故选：D．
2．（本题3分）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意得，米，
∴，
故选：．
3．（本题3分）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形，
∴折起后，长方体底面的长为，宽为，
∴底面积，
∵，且，，
∴，
∴，故选：C．
4．（本题3分）如图，在中，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果分别从同时出发，当的面积最大时，运动时间为（ ）
A． B． C． D．
解：设运动时间为，
根据题意得，，
∴，
∴当时，的面积最大为．故选：B．
5．（本题3分）如图1，在中，∠B=90 ，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为，
如图，
此时，
∴的面积为的面积的2倍，即，
∴的面积为．
故选：B
6．（本题3分）如图，在边长为的菱形中，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点都随即停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列能大致反映与之间关系的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
解：四边形为菱形，，
，，
，都是等边三角形，
．
如图1，当时，，，作于点，
，
，
故选项D不正确；
如图2，当时，，，
作于点，
（cm），，
故选项B不正确；
如图3，当时，，，
，
作于点，
（cm），，
故选项C不正确．
故选A．
7．（本题3分）如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连接，过点作于点，
在△ABC中，，，，
，
△ABC是直角三角形，，
，
，
，
，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形是矩形，
，
．
8．（本题3分）如图，中，，，．点从点沿线段向运动，点先从点沿线段运动，到达点后，再沿线段向运动，点和到达点后就停止运动．当点运动的路程为时，点运动的路程为，则在运动过程中面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：，，，
．
情况1：点在上，当，即时，
如图，过点作于，
，
．
，
．
，对称轴，
∵
当时，取得最大值，
，
情况2：当，即时，点在上，
如图，过点作于，
，
，．
，
∴，
，对称轴，
在内，随增大而减小，
当时，取得最大值，
，面积的最大值为．
∵，
∴面积的最大值为．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）一个边长为的正方形，若边长增加，面积增加，则与之间的函数关系式为______．
解：原正方形边长为，面积为．
边长增加后，新边长为，新面积为．
因此，面积增加，即．
∴与之间的函数关系式为．
故答案为：．
10．（本题3分）用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，x取______时，S最大，为______．
解：设矩形一边长为，则另一边长为．
∴面积，
∵，
∴当时，S有最大值25，
∴ 矩形花圃面积的最大值为．
故答案为：5；25．
11．（本题3分）如图，在等腰中，，，点E以每秒1个单位从点A移到点B，点F以每秒1个单位从点D移到点A，则四边形面积的最小值为______．
解：∵，，
∴，
过点F作于点H，过点D作于点G，如图所示：
设点E的运动时间为t秒，由题意得：，
∴，，
∴，
∴，
∵，且，
∴当时，四边形的面积为最小，最小值为；
故答案为：．
12．（本题3分）如图，等边的边长为是上一点，过点作的垂线，交于，用表示线段的长度，显然，的面积是线段的二次函数，则这个函数顶点式是__________．
解：∵正三角形的边长为4，，，
∴，，
∴
∴，
∴
∴，
∵是上一点，
∴，即：，∴．
故答案为：．
13．（本题3分）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个矩形的最大面积是______．
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴当时，矩形的面积最大，最大面积是．
故答案为：2400．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）综合与实践
为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究．
(1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______．
(2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？
（1）解：∵篱笆的长度为，
∴，
；
故答案为：，；
（2）解：，
设矩形实践基地的面积为，
由题意，得，
当时，有最大值，
即当时，矩形实践基地的面积最大，最大为.
15．（本题8分）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝．这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（单位：）随其中一条对角线的长度x（单位：cm）的变化而变化．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
（2）当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？
解：(1)________．
(2)________________________，且________0，
当________时，S有最大值，最大值为________．
故当x为________cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是________．
（1）解：∵其中一条对角线的长，则另一对角线长．
∴，
整理得．
故答案为：．
（2）解：∵，且，
当时，有最大值，最大值为450．
故当为时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450．
故答案为：；；450；；30；450；30；450．
16．（本题8分）有一条长为12m的绳子，用它围成一个矩形，设矩形的长为，面积为
(1)能否围成一个面积为的矩形？
(2)写出与之间的函数关系式，并直接写出面积的最大值．
（1）解：能，理由如下：
设矩形的长为，则宽为．
根据题意可得：
解得．
当时，宽为；当时，宽为，均符合矩形长和宽的实际意义，
能围成面积为的矩形；
（2）解：矩形面积公式，．
矩形的长，宽，
，
即函数关系式为．
当时，面积的最大值为9．
答：与的函数关系式为，面积最大值为9．
17．（本题8分）如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．
(1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？
(2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由．
(3)在移动过程中，的最大面积是多少？
（1）解：设经过t秒时，的面积等于8平方厘米，
∵厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，
∴，
∴，
解得：；
答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米；
（2）不存在，理由如下：
设经过t秒时，的面积能等于矩形的面积的四分之一，则由题意得：
，
整理得：，
∵，
∴原方程无解，
∴不存在的面积等于矩形的面积的四分之一．
（3）设经过t秒时，的面积为S平方厘米，
，
，∴当时，取最大值为9，
∴的最大面积是9．
18．（本题9分）如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
解：如图，设与交于点R．
是等腰直角三角形，四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
．
19．（本题10分）如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点B以每秒的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以每秒的速度移动，如果两点分别从两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？
(1)用含的式子表示：___________，___________，___________．
(2)写出S关于的函数解析式及的取值范围；
(3)当取何值时，的面积有最大值，最大值为多少？
（1）解：根据题意有：，，
∵，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴关于的函数解析式为
（3）解：∵，，
∴当时，的面积有最大值36．
20．（本题12分）数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为．
(1)的长为___________；（用含的代数式表示）
(2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
(3)求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少．
（1）解：的长为；
（2）解：根据题意，得．
整理，得．解得．
∵墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，
∴．
∴．
∴的值为12．
（3）解：由题意得：．
∵．
∴当时，花园面积最大，最大值为．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.4.1二次函数应用之图形问题
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是( )
A． B． C． D．
2．（本题3分）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）如图，在中，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果分别从同时出发，当的面积最大时，运动时间为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图1，在中，∠B=90 ，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，在边长为的菱形中，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点都随即停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列能大致反映与之间关系的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
7．（本题3分）如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，中，，，．点从点沿线段向运动，点先从点沿线段运动，到达点后，再沿线段向运动，点和到达点后就停止运动．当点运动的路程为时，点运动的路程为，则在运动过程中面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）一个边长为的正方形，若边长增加，面积增加，则与之间的函数关系式为______．
10．（本题3分）用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，x取______时，S最大，为______．
11．（本题3分）如图，在等腰中，，，点E以每秒1个单位从点A移到点B，点F以每秒1个单位从点D移到点A，则四边形面积的最小值为______．
12．（本题3分）如图，等边的边长为是上一点，过点作的垂线，交于，用表示线段的长度，显然，的面积是线段的二次函数，则这个函数顶点式是__________．
13．（本题3分）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个矩形的最大面积是______．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）综合与实践
为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究．
(1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______．
(2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？
15．（本题8分）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝．这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（单位：）随其中一条对角线的长度x（单位：cm）的变化而变化．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
（2）当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？
解：(1)________．
(2)________________________，且________0，
当________时，S有最大值，最大值为________．
故当x为________cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是________．
16．（本题8分）有一条长为12m的绳子，用它围成一个矩形，设矩形的长为，面积为
(1)能否围成一个面积为的矩形？
(2)写出与之间的函数关系式，并直接写出面积的最大值．
17．（本题8分）如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．
(1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？
(2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由．
(3)在移动过程中，的最大面积是多少？
18．（本题9分）如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
19．（本题10分）如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点B以每秒的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以每秒的速度移动，如果两点分别从两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？
(1)用含的式子表示：___________，___________，___________．
(2)写出S关于的函数解析式及的取值范围；
(3)当取何值时，的面积有最大值，最大值为多少？
20．（本题12分）数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为．
(1)的长为___________；（用含的代数式表示）
(2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
(3)求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少．
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