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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.4.2二次函数应用之拱桥问题
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离为时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
解：∵其函数表达式为．水面到桥顶的距离为，
∴把代入，得
∴，
解得
依题意，，
即水面的宽度为，
故选：B．
2．（本题3分）如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ）
A．7米 B．6米 C．5米 D．4米
解：，矩形脚手架在大棚正中，
设，，则，
点坐标为，
将代入，
得，
解得或（舍），
，
故选：B．
3．（本题3分）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：
∴设抛物线解析式为：，
∵观察图形可知抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：，
∴当水位上涨时，即当时，有，
∴，，
∴水面的宽度为：．
故选：A．
4．（本题3分）如图①，赵州桥的桥拱可近似看成是一条不完整的抛物线，建立如图②所示的平面直角坐标系，其函数表达式为．当水面离桥拱拱顶的高度为时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
解：∵水面离桥拱拱顶的高度为时，
∴点得纵坐标为，
∵函数表达式为，
∴将点得纵坐标为代入中得：，
∴，
∴，
故选：D．
5．（本题3分）如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽为．
①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为；
②若水面由位置l下降，水面宽度为；
③若水面由位置l下降，水面宽度增加．
以上结论正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
解：由题意可设二次函数关系式为，把点代入得：，
∴该二次函数的解析式为；故①正确；
②根据水面由位置l下降，可知：把代入二次函数解析式得：，
解得：，
此时水面宽为；故②错误；
③根据水面由位置l下降，可知：把代入二次函数解析式得：，
解得：，
∴水面宽度为，
∴水面宽度增加；故③正确；
综上所述：正确的个数有①③两个；
故选B．
6．（本题3分）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（ ）
A． B． C． D．
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，
则：O为原点，，，
设函数解析式为，把A点坐标代入得，
∴抛物线解析式为，
当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，
把代入抛物线解析式得出：，
解得：，
∴此时的水面宽度为，
故选：C．
7．（本题3分）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，当水面上升时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为：，
∵函数图象过点，
∴，
得a，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
解得，，，
∴水面的宽度是：．
故选：C．
8．（本题3分）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（ ）
A．16m B．18m C．20m D．24m
解：由题意得，点A的横坐标为，
在中，
当时，，
∴，
∴点C的纵坐标为，
在中，
当时，
解得或，
∴，
∴（m），
故选：C．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m．
解：由题意可知，当时，，
∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，
∴货车的限高应是，
故答案为：4．
10．（本题3分）如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面的宽度为16米，则此时拱顶O到水面的距离为__米．
解：根据题意可得，点的横坐标为，
当时，，
，
此时拱顶O到水面的距离为（米）．
故答案为：4．
11．（本题3分）位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨沁水河上．它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升2米后水面宽度为_____米．
解：当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，
设抛物线表达式为，
将点代入得：，
解得，
抛物线表达式为，
当时，，
解得，
当水面上升2米后水面宽度为（米），
故答案为：．
12．（本题3分）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______．
解：水面宽为，
的横坐标为，
把代入，
得：，
，
此时拱顶到水面的距离为，
故答案为：4．
13．（本题3分）某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为_______米．
解：∵，
∴设的解析式为：，
且当时，，
则，
解得：，
故的解析式为：，
∵形状相同，
∴抛物线的二次项系数为：，
∵，
∴，，
则的解析式为：，
故当时，，即的最大高度为4.05．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）．
（1）解：由题可得，顶点，
设抛物线的函数解析式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数解析式为；
（2）当时，，
解得，，
∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，
，
答：保温墙到点O的水平距离为8米．
15．（本题8分）如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？
（1）解：∵米，米，
∴点的坐标为：，点坐标为：，点坐标为：，
设抛物线的解析式为，将点坐标代入得到，
解得：，
故所求的抛物线的解析式为，即；
（2）解：∵水面下降1米，
∴当时，，
解得，
∴此时水面的宽度为：米．
16．（本题8分）如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？
(1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________．
(2)依据你的建系方案：
①设出抛物线解析式为___________________．
②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可）
(3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？
（1）解∶ 如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点，
（2）解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为，
∴可设出抛物线解析式为；
故答案为：；
②根据题意得：，
∴抛物线经过的点；
故答案为：
（3）解：把点代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴当水面下降时，水面宽度为，
∴当水面下降时，水面宽度增加了．
17．（本题8分）如图为一座大桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线的函数表达式．
解：∵以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系，水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m，
∴，
设抛物线的函数解析式为，
把代入，得，
解得：，
∴该抛物线的解析式是．
18．（本题9分）某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）．
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
(3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？
（1）解：∵隧道宽度为12米，最高处离地面10米，
∴抛物线的顶点为，
∴设抛物线的表达式为，
∵长方形宽为4米
∴抛物线经过点，
把代入，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为，
即该抛物线的表达式为，
（2）解：由（1）得抛物线的顶点为
∵一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽为，隧道内设双向车道，
∴货运汽车靠路面中心线行驶时，或
则其另一侧与地面交点的横坐标为2或10，
∴当时，，
当时，．
∴这辆货运汽车能安全通过．
（3）解：由（1）得，
依题意，令，则，
∴，
解得， ，
则，
∴两排灯的水平距离最小是．
19．（本题10分）如图，某悬索桥的主跨长（即），两座桥塔高（即），，，主缆可视为抛物线，其最低处P距离桥面，在主缆上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，起到承接桥面重量的作用．现以的中点为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该主缆所在抛物线的函数表达式；
(2)现在点P两侧各有一吊索需要更换，且这两根吊索的长度相等，若这两根吊索的总长度为，求需要更换的这两根吊索之间的水平距离．
（1）解：∵点O是的中点，
∴，
∴点C的坐标为，
∵最低处P距离桥面，，
∴，
∴点P的坐标为，
∴设该主缆所在抛物线的函数表达式为，
把代入中得：，
解得：，
∴；
（2）解：∵这两根吊索的总长度为，这两根吊索的长度相等，
∴每根吊索的长度为，
把代入中得：，
解得：，，
∴，
∴需要更换的这两根吊索之间的水平距离为．
20．（本题12分）某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：，组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为，且米，米，抛物线的最高点与地面的距离为3米，点分别在抛物线上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌（点M在点Q的左侧），轴，且点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米，与之间的距离为2米，求的长．
（1）解：∵米，米，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的最高点与地面的距离为3米，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线的函数表达式为，
将代入得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，的顶点坐标为，
∵抛物线和抛物线关于所在直线对称，
∴抛物线开口大小、方向不变，顶点坐标变为，
则抛物线的函数表达式为，
如图，延长交抛物线于，
，
∵点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米，
∴，
此时，
解得：，（舍去），
∵与之间的距离为2米，
∴．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.4.2二次函数应用之拱桥问题
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离为时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ）
A．7米 B．6米 C．5米 D．4米
3．（本题3分）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图①，赵州桥的桥拱可近似看成是一条不完整的抛物线，建立如图②所示的平面直角坐标系，其函数表达式为．当水面离桥拱拱顶的高度为时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽为．
①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为；
②若水面由位置l下降，水面宽度为；
③若水面由位置l下降，水面宽度增加．
以上结论正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（本题3分）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，当水面上升时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（ ）
A．16m B．18m C．20m D．24m
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m．
10．（本题3分）如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面的宽度为16米，则此时拱顶O到水面的距离为__米．
11．（本题3分）位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨沁水河上．它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升2米后水面宽度为_____米．
12．（本题3分）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______．
13．（本题3分）某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为_______米．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）．
15．（本题8分）如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？
16．（本题8分）如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？
(1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________．
(2)依据你的建系方案：
①设出抛物线解析式为___________________．
②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可）
(3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？
17．（本题8分）如图为一座大桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线的函数表达式．
18．（本题9分）某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）．
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
(3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？
19．（本题10分）如图，某悬索桥的主跨长（即），两座桥塔高（即），，，主缆可视为抛物线，其最低处P距离桥面，在主缆上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，起到承接桥面重量的作用．现以的中点为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该主缆所在抛物线的函数表达式；
(2)现在点P两侧各有一吊索需要更换，且这两根吊索的长度相等，若这两根吊索的总长度为，求需要更换的这两根吊索之间的水平距离．
20．（本题12分）某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：，组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为，且米，米，抛物线的最高点与地面的距离为3米，点分别在抛物线上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌（点M在点Q的左侧），轴，且点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米，与之间的距离为2米，求的长．
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