青海省西宁市城区2024年中考数学试题
1．（2024·西宁）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（ ）
A．元 B．60元 C．元 D．40元
【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为元．
故答案为：A．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据正负数的意义求解即可.
2．（2024·西宁）下列计算正确的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：﹣52＝﹣25，（﹣5）3＝﹣125，5﹣2＝，54÷53＝5．
∴计算正确的是选项D．
故答案为：D .
【分析】根据有理数的乘方的定义以及负整数指数幂的定义计算可得答案．
3．（2024·西宁）不等式组 的解集为 ( )
A． B． C．x＜1 D．无解
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x+2＜3，得：x＜1，
解不等式﹣2x≤1，得：x≥，
则不等式组的解集为．
故答案为：B .
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
4．（2024·西宁） 2024年5 月 9 日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕.在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进行了统计，并绘制了如图1所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是 500
B．本次调查的学生成绩在 70~80分之间的人数是10
C．本次调查的学生成绩的中位数落在80~90分之间
D．估计 500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70
【答案】C
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可知：
本次调查的样本容量是50，故选项A说法错误，不符合题意；
本次调查的学生成绩在70～80分之间的人数是：50﹣7﹣20﹣15＝8，故选项B说法错误，不符合题意；
把本次调查的学生成绩从小到大排列．两种中间的两个数都在80～90分之间，故本次调查的学生成绩的中位数落在80～90分之间，故选项C说法正确，符合题意；
500×＝150（人），
即估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是150人，故选项D说法错误，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据样本容量的定义可判断选项A；用样本容量减去其它三组的频数可判断选项B；根据中位数的定义可判断选项C；利用样本估计总体的方法可判断选项D
5．（2024·西宁）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCO 的顶点O是坐标原点，顶点 A 在反比例函数 的图象上，对角线OB 在x轴上.若菱形ABCO 的面积是8 ，则k的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC交OB于点D，
∵四边形ABCO是菱形，OB在x轴上，S菱形OABC＝，
∴OB⊥AC，S△AOD＝S菱形ABCO＝，
∵k＜0，
∴k＝，
故答案为：B .
【分析】根据菱形的性质以及反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．
6．（2024·西宁）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22 m的矩形场地ABCD 上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2xm的道路.如果阴影部分的总面积是600 m2，那么x 满足的方程是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵矩形场地ABCD的长为60m，宽为22m，且所修建停车位的两侧是宽xm的道路，中间是宽2xm的道路，
∴停车位（即阴影部分）可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形．
根据题意，得（60﹣2x）（22﹣2x）＝600，
化简，得x2﹣41x+180＝0．
故答案为：A .
【分析】根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形，结合阴影部分的总面积是600m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
7．（2024·西宁）如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，BE 是中线，AD=BE，且AD⊥BE，垂足为 F，G 为DC 的中点，连接 DE，EG.下列结论错误的是 ( )
A．△AFB≌△AFE B．∠ADB=∠ADE
C． D．△CEG∽△CBE
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：解：∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
又∵AF＝AF，
∴△AFB≌△AFE（ASA），
故A选项正确，不符合题意；
∵△AFB≌△AFE，
∴AB＝AE，
∵∠BAD＝∠EAD，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴∠ADB＝∠ADE，
故B选项正确，不符合题意；
∵BE是中线，
∴CE＝EA，
∵G为DC的中点，
∴CG＝GD，
∴EG是△CAD中位线，
∴EG＝AD，EG∥AD，
∴，
又∵△AFB≌△AFE，
∴BF＝FE，
∴BD＝GD，
∴DF是△BEG的中位线，
∴DF＝EG，
∴DF＝AD，
∵AD＝BE，
∴DF＝BE，
故C选项正确，不符合题意；
在△CEG和△CBE中，∠C为公共角，
但∠CEG和∠CBE，∠CGE和∠CEB均不相等，相应边不成比例，
故△CEG和△CBE不相似，
故D选项错误，符合题意，
故答案为：D .
【分析】根据三角形全等可判断A，B两选项，根据三角形中位线性质，可判断C选项，以及相似三角形的判断，从而得到结果.
8．（2024·西宁）点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线 (a是常数，且a＞0)上的两个点.下列结论：①抛物线与y轴的交点是(0，1)；②抛物线的对称轴是直线x=-2；③当. 时，AB = 4；④当 时， ⑤当0≤x≤2时，y 有最大值是1.其中正确结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0），
当x＝0时，y＝1，
∴抛物线与y轴的交点是（0，1），
故结论①正确，此结论符合题意；
∵抛物线的对称轴为x＝＝2，
故结论②错误，此结论不符合题意；
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个点，y1＝y2＝1，
∴A、B两点关于对称轴对称，
∴＝2，
∴|x1+x2|＝4，
∴AB＝4，
故结论③正确，此结论符合题意；
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0），
∴抛物线的开口向上，
∴在对称轴的右侧的函数图象，y随x的增大而增大，
∵x1＞x2＞2，
∴A，B两点位于对称轴的右侧，
∴y1＞y2，
故结论④错误，此结论不符合题意；
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y有最大值，最大值为1，
故结论⑤正确，此结论符合题意；
综上所述，正确的结论为①③⑤，
故答案为：C .
【分析】根据二次函数开口方向，与x轴的交点，与y轴的交点，对称轴，以及函数图象逐一判断各选项，即可得到结果.
9．（2024·西宁）a的相反数是 ．
【答案】-a
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】a的相反数是﹣a．
故答案为：﹣a．
【分析】求一个数的相反数，就是再这个数的前面添上“-”号，可得出结果。
10．（2024·西宁）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】4（答案不唯一）
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意知：，即，
所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个．
故答案为：4（答案不唯一）．
【分析】根据三角形的三边关系求出a的取值范围解答即可．
11．（2024·西宁）计算 .
【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】先通分，再根据同分母分式加减法法则计算
12．（2024·西宁）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有 随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 .
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：在这5个二次根式中，，是最简二次根式，有2个，
∴随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是，
故答案为： .
【分析】在5个二次根式中，，是最简二次根式，再由概率公式求解即可．
13．（2024·西宁）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，E 为直径CD 延长线上一点， 则∠DAB= .
【答案】125°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：解：连接OA、OB，如图所示，
∵∠ADE＝110°，∠ADE+∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝70°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∴∠AOD＝40°，
∴∠AOC＝140°，
，
∴∠AOB＝∠BOC＝70°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝55°，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠DAB+∠OCB＝180°，
∴∠DAB＝125°，
故答案为：125° .
【分析】根据圆的性质和圆内接四边形的性质，可以求得∠DAB的度数．
14．（2024·西宁）已知方程 的两根分别为a 和b，则 的值为 .
【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b，
∴a+b＝﹣2，
∴4a2+8ab+4b2
＝4（a2+2ab+b2）
＝4（a+b）2
＝4×（﹣2）2
＝16．
故答案为：16 .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b＝﹣2，化简所求代数式，代入即可得到结果．
15．（2024·西宁）如图，在△ABC 中，∠A=70°，BC=12，D 是BC的中点，分别以B，C为圆心，BD 长为半径作弧，交AB 于点E，交AC 于点F，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】11π
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：解：∵∠A＝70°，
∴∠B+∠C＝110°，
∵BC＝12，D是BC的中点，
∴BD＝CD＝6，
∴图中阴影部分的面积是.
故答案为：11π .
【分析】阴影部分的面积等于两个扇形的面积的和，根据扇形的面积公式计算即可．
16．（2024·西宁）在平面直角坐标系xOy中，直线AB 与x轴交于点A(6，0)，与y轴交于点B(0，6)，点 P在y 轴上，且满足∠PAB=15°，则OP 的长为 .
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；求特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：解：∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°．
当点P在点B下方时，∠PAO＝∠BAO﹣∠PAB＝45°﹣15°＝30°，
∴OP＝OA tan∠PAO＝6×＝2；
当点P在点B上方时，∠PAO＝∠BAO+∠PAB＝45°+15°＝60°，
∴OP＝OA tan∠PAO＝6×＝6．
综上所述，OP的长为2或6．
故答案为：2或6 .
【分析】由点A，B的坐标，可得出OA＝OB＝6，进而可得出△AOB是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，可得出∠BAO＝45°，分点P在点B下方及点P在点B上方两种情况考虑，由各角之间的关系，可求出∠PAO的度数，再利用OP＝OA tan∠PAO，即可求出结论．
17．（2024·西宁）阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②西宁市的纬度约为北纬 37°；③如图2，赤道半径OA 约为6400千米，弦BC∥OA.以 BC 为直径的圆的周长就是北纬 37°纬线的长度，根据以上信息，北纬37°纬线的长度约为 千米(参考数据：
【答案】30720
【知识点】垂径定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：解：过OD⊥AB于D，如图所示：
∴BD＝CD＝BC，
∵BC∥OA，∠AOB＝37°，
∴∠CBO＝∠AOB＝37°，
在Rt△OBD中，OB＝6400千米，cos∠CBO＝BD/OB，
∴BD＝OB cos∠CBO＝6400×cos37°≈6400×0.8＝5120（千米），
∴BC＝2BD＝2×5120＝10240（千米），
∴以BC为直径的圆的周长为：BC π＝10240π≈10240×3＝30720（千米）．
∴北纬37°纬线的长度约为30720千米．
故答案为：30720 .
【分析】过OD⊥AB于D，则BD＝CD＝BC，根据BC∥OA得∠CBO＝∠AOB＝37°，解Rt△OBD中得BD＝OB cos∠CBO＝5120千米，则BC＝2BD＝10240千米，进而求出以BC为直径的圆的周长即可得出答案．
18．（2024·西宁）如图，正方形 ABCD 的边长为4，以AB 边为底向外作等腰 点 P 是对角线AC上的一个动点，连接 PB，PE，则 PB+PE 的最小值是 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：解：如图，作B点关于直线AC的对称点，正好落于点D，连接ED交AC于点P，连接PE，PB，此时PB+PE的值最小，
由作图知道，PB＝PD，DE＝PB+PE，
∵正方形ABCD的边长为4，△ABE是等腰直角三角形，
∴EB＝EA＝ ＝2，BD＝＝4，∠EBD＝45°+45°＝90°，
∴在Rt△EBD中，ED＝＝＝2，
∴PB+PE的最小值2．
故答案为： .
【分析】利用轴对称﹣最短路线问题，作辅助线，根据等腰直角三角形的性质，正方形的性质解答．
19．（2024·西宁） 计算：
【答案】解：原式=
=
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；二次根式的乘法
【解析】【分析】先根据二次根式的乘法法则、零指数幂定义以及绝对值的定义进行计算，再合并即可．
20．（2024·西宁） 先化简，再求值： ，其中a 满足
【答案】解： 原式=（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1）
＝（9a2﹣6a+1）﹣8a2+2a
＝（9a2﹣8a2）+（﹣6a+2a）+1
＝a2﹣4a+1
∵a2﹣4a+3＝0，
∴a2﹣4a＝﹣3，
∴原式＝a2﹣4a+1＝﹣3+1＝﹣2
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到a2﹣4a+1，由所给条件得到a2﹣4a＝﹣3，整体代入，即可得到结果．
21．（2024·西宁） 解方程：
【答案】解：
方程两边乘，得。
解得，
检验：当时，.
所以，原分式方程的解为
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
22．（2024·西宁） 2024年4月23 日是第29个世界读书日，我市某社区开展了以“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动.
（1）为了解西宁市初中生每周的累计读书时长，应采用的调查方式是 (填“全面调查”或“抽样调查”).
（2）该社区某校准备从 A，B，C，D四名同学中选择两人作为“好书推荐官”，参加社区的好书推荐活动.请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出 A，B两名同学恰好同时被选中的概率.
【答案】（1）抽样调查
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A，B两名同学恰好同时被选中的结果有2种，即AB、BA，
∴A，B两名同学恰好同时被选中的概率为=
【知识点】全面调查与抽样调查；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）为了解西宁市初中生每周的累计读书时长，应采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
【分析】（1）根据抽样调查的定义即可得出结论；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中A，B两名同学恰好同时被选中的结果有2种，即AB、BA，再由概率公式求解即可．
23．（2024·西宁）如图，在△ABC 中， ，点 D 在AC上，过点 D 作 交AB 于点E，延长BC 到点F，使CF=AD，连接CE，DF.
（1）求证：四边形 DFCE 是平行四边形.
（2）若∠DCE=30°，AC=2，求 FC 的长.
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠AED＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠AED，
∴AD＝DE，
∵CF＝AD，
∴DE＝CF，
又∵DE∥FC，
∴四边形DFCE是平行四边形
（2）解：解：由（1）可知，四边形DFCE是平行四边形，
∴FC＝DE，
设AD＝DE＝FC＝x，则DC＝AC﹣AD＝2﹣x，
由（1）可知，∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝90°，
在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝2x，
∵由勾股定理得：
，
∴
解得 (舍去)，
所以
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得∠A＝∠B＝45°，进而证明∠A＝∠AED，得AD＝DE，再证明DE＝CF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得FC＝DE，设AD＝DE＝FC＝x，则DC＝AC﹣AD＝2﹣x，再由含30°角的直角三角形的性质得CE＝2DE＝2x，然后由勾股定理得出方程，解方程即可．
24．（2024·西宁）西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施.某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y(单位：kW·h)与充电时间x(单位：h)之间的函数图象，其中折线ABC 表示用快速充电器充电时y1与x的函数关系；线段AD 表示用普通充电器充电时y2与x的函数关系.根据相关信息，回答下列问题：
（1）用快速充电器充电时，汽车电池电量从10 kW·h充到70 kW·h需 h.
（2）求y2关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
（3）该品牌汽车电池电量从 10 kW·h 充到 100 kW·h，快速充电器比普通充电器少用 h.
【答案】（1）
（2）解：设 关于 x 的函数解析式为 将 A(0，10)， E(2，70) 代入解析式中，得 . 解得
函数解析式为
（3）
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）由图象可知，用快速充电器充电时，汽车电池电量从10kW h充到70kW h需h，
故答案为：；
（3）把y2＝100代入y2＝30x+10，得30x+10＝100，
解得x＝3，
h
故答案为：；
【分析】（1）根据函数图象即可求出答案；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分别求出快速充电器所用时间和普通充电器所用时间，即可求出答案．
25．（2024·西宁）如图，PA，PB 是⊙O的切线，A，B 为切点，连接OA，OB，过点O作 交PB 于点C，过点 C 作 垂足为 D.
（1）求证：
（2）若⊙O 的半径是3，. 求OC 的长.
【答案】（1）（1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，OA，OB是⊙O的半径，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵OC∥PA，CD⊥AP，
∴CD⊥OC，
∴∠OAD＝∠CDA＝∠OCD＝90°，
∴四边形OADC是矩形，
∴OC＝AD
（2）解：设，
∵∵四边形OADC是矩形，⊙O的半径是3，PA＝9，
∴OA＝OB＝CD＝3，BD＝PA﹣AD＝9﹣x，
∵OC∥PA，
∠OCB＝∠P，
∵OB⊥PB，CD⊥AP，
∴∠OBC＝∠CDP＝90°，
在△OCB和△CPD中，
∴，
∴BC＝BD＝9﹣x
在中，，（勾股定理）
即，解得，
∴OC=5
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，再根据OC∥PA，CD⊥AP，得∠OAD＝∠CDA＝∠OCD＝90°，则四边形OADC是矩形，然后根据矩形的性质可得出结论；
（2）设OC＝AD＝x，依题意得OA＝OB＝CD＝3，BD＝PA﹣AD＝9﹣x，证明△OCB和△CPD全等得BC＝BD＝9﹣x，然后在Rt△OCB中，由勾股定理求出x＝5，进而可得OC的长．
26．（2024·西宁）（1）【感知特例】
如图1，点 A，B 在直线l上，AC⊥l，DB⊥l，垂足分别为A，B，点 P 在线段AB 上，且PC⊥PD，垂足为 P.
结论：AC·BD=AP·BP
(请将下列证明过程补充完整)
证明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD
∴∠CAP=∠DBP=∠CPD=90°，
∴∠C+∠APC =90°，
+∠APC =90°，
∴ = ，(同角的余角相等)
∴△APC∽ ，(两角分别相等的两个三角形相似)
∴ = .(相似三角形的对应边成比例)
即AC·BD=AP·BP
（2）【建构模型】
如图2，点A，B 在直线l上，点 P 在线段AB 上，且∠CAP=∠DBP=∠CPD.结论AC·BD=AP·BP 仍成立吗 请说明理由.
（3）【解决问题】
如图3，在△ABC 中，AC=BC=5，AB=8，点 P 和点D 分别是线段AB，BC 上的动点，始终满足∠CPD=∠A.设 AP 长为x(0＜x＜8)，当. 时，BD 有最大值是 .
【答案】（1）；；；；；
（2）解：成立，理由如下：
∵，，
又∵.
∴.
∴.
∴.(两角分别相等的两个三解形相似)
∴(相似三角形的对应边成比例)，即
（3）4；
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）证明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD，
∴∠CAP＝∠DBP＝∠CPD＝90°，
∴∠C+∠APC＝90°，
∠DPB+∠APC＝90°，
∴∠C＝∠DPB（同角的余角相等），
∴△APC∽△BDP（两角分别相等的两个三角形相似），
∴（相似三角形的对应边成比例），
即AC BD＝AP BP．
故答案为：∠DPB，∠C＝∠DPB，△BDP，；
（3）解：∵AB＝8，AP＝x，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣x，
∵AC＝BC＝5，
∴∠A＝∠B，
∵∠CPD+∠BPD＝∠A+∠ACP，
∴∠BPD＝∠ACP，
∴△BPD∽△ACP，
∴，
∴AC BD＝AP BP，
∴5BD＝x（8﹣x）＝8x﹣x2，
∴BD＝﹣（x﹣4）2+，
当x＝4时，BD的最大值为．
故答案为：4，.
【分析】1）根据相似三角形的判定与性质填空即可；
（2）证明△APC∽△BDP，即可解决问题；
（3）证明△BPD∽△ACP，得，所以AC BD＝AP BP，得BD＝﹣（x﹣4）2+，然后根据二次函数的性质即可解决问题
27．（2024·西宁）如图，二次函数的图象与x轴交于点A(-3，0)，与y轴交于点B，顶点C 的坐标为
（1）求二次函数的解析式.
（2）判断 的形状，并说明理由.
（3）在直线 AB 上方的抛物线上是否存在一点 P，使 若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
将顶点C（﹣2，﹣1）代入解析式得y＝a（x+2）2﹣1，
∵二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0），
∴0＝a（﹣3+2）2﹣1，
解得a＝1，
∴二次函数解析式为y＝（x+2）2﹣1
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
抛物线y＝（x+2）2﹣1与y轴的交点，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
如图1，过点C作CD⊥y轴于点D，
∴D（0，﹣1），
过点A作AE⊥CD于点E，
∴E（﹣3，﹣1），
∵A（﹣3，0），C（﹣2，﹣1），
∴AB2＝OB2+OA2＝32+32＝18，AC2＝AE2+CE2＝12+12＝2，BC2＝CD2+BD2＝22+42＝20，
∴AB2+AC2＝20，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形
（3）解： 存在，理由如下：
y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3，
设点P的坐标为（m，m2+4m+3），
过点P作PH⊥AB，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠O），将A（﹣3.0），B（0，3）代入得
得解得
∴直线AB的解析式为，
∴点Q的坐标为.
∵，
∴，即.
在中，
∴.
∴.
∴轴，
∴.
在中，
∵，
∴，
，
解得，，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴所有符合条件的P点的坐标是
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），将顶点C（﹣2，﹣1）代入解析式得y＝a（x+2）2﹣1，进而可以解决问题；
（2）过点C作CD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥CD于点E，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题；
（3）设点P的坐标为（m，m2+4m+3），过点P作PH⊥AB，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，求出直线AB的解析式为y＝x+3，得点Q的坐标为（m，m+3），得PQ＝m2+4m+3﹣（m+3）＝m2+3m＝4，得m1＝1，m2＝﹣4，进而解决问题．
1 / 1青海省西宁市城区2024年中考数学试题
1．（2024·西宁）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（ ）
A．元 B．60元 C．元 D．40元
2．（2024·西宁）下列计算正确的是 ( )
A． B． C． D．
3．（2024·西宁）不等式组 的解集为 ( )
A． B． C．x＜1 D．无解
4．（2024·西宁） 2024年5 月 9 日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕.在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进行了统计，并绘制了如图1所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是 500
B．本次调查的学生成绩在 70~80分之间的人数是10
C．本次调查的学生成绩的中位数落在80~90分之间
D．估计 500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70
5．（2024·西宁）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCO 的顶点O是坐标原点，顶点 A 在反比例函数 的图象上，对角线OB 在x轴上.若菱形ABCO 的面积是8 ，则k的值为( )
A． B． C． D．
6．（2024·西宁）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22 m的矩形场地ABCD 上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2xm的道路.如果阴影部分的总面积是600 m2，那么x 满足的方程是 ( )
A． B．
C． D．
7．（2024·西宁）如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，BE 是中线，AD=BE，且AD⊥BE，垂足为 F，G 为DC 的中点，连接 DE，EG.下列结论错误的是 ( )
A．△AFB≌△AFE B．∠ADB=∠ADE
C． D．△CEG∽△CBE
8．（2024·西宁）点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线 (a是常数，且a＞0)上的两个点.下列结论：①抛物线与y轴的交点是(0，1)；②抛物线的对称轴是直线x=-2；③当. 时，AB = 4；④当 时， ⑤当0≤x≤2时，y 有最大值是1.其中正确结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024·西宁）a的相反数是 ．
10．（2024·西宁）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可）
11．（2024·西宁）计算 .
12．（2024·西宁）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有 随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 .
13．（2024·西宁）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，E 为直径CD 延长线上一点， 则∠DAB= .
14．（2024·西宁）已知方程 的两根分别为a 和b，则 的值为 .
15．（2024·西宁）如图，在△ABC 中，∠A=70°，BC=12，D 是BC的中点，分别以B，C为圆心，BD 长为半径作弧，交AB 于点E，交AC 于点F，则图中阴影部分的面积是 .
16．（2024·西宁）在平面直角坐标系xOy中，直线AB 与x轴交于点A(6，0)，与y轴交于点B(0，6)，点 P在y 轴上，且满足∠PAB=15°，则OP 的长为 .
17．（2024·西宁）阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②西宁市的纬度约为北纬 37°；③如图2，赤道半径OA 约为6400千米，弦BC∥OA.以 BC 为直径的圆的周长就是北纬 37°纬线的长度，根据以上信息，北纬37°纬线的长度约为 千米(参考数据：
18．（2024·西宁）如图，正方形 ABCD 的边长为4，以AB 边为底向外作等腰 点 P 是对角线AC上的一个动点，连接 PB，PE，则 PB+PE 的最小值是 .
19．（2024·西宁） 计算：
20．（2024·西宁） 先化简，再求值： ，其中a 满足
21．（2024·西宁） 解方程：
22．（2024·西宁） 2024年4月23 日是第29个世界读书日，我市某社区开展了以“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动.
（1）为了解西宁市初中生每周的累计读书时长，应采用的调查方式是 (填“全面调查”或“抽样调查”).
（2）该社区某校准备从 A，B，C，D四名同学中选择两人作为“好书推荐官”，参加社区的好书推荐活动.请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出 A，B两名同学恰好同时被选中的概率.
23．（2024·西宁）如图，在△ABC 中， ，点 D 在AC上，过点 D 作 交AB 于点E，延长BC 到点F，使CF=AD，连接CE，DF.
（1）求证：四边形 DFCE 是平行四边形.
（2）若∠DCE=30°，AC=2，求 FC 的长.
24．（2024·西宁）西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施.某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y(单位：kW·h)与充电时间x(单位：h)之间的函数图象，其中折线ABC 表示用快速充电器充电时y1与x的函数关系；线段AD 表示用普通充电器充电时y2与x的函数关系.根据相关信息，回答下列问题：
（1）用快速充电器充电时，汽车电池电量从10 kW·h充到70 kW·h需 h.
（2）求y2关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
（3）该品牌汽车电池电量从 10 kW·h 充到 100 kW·h，快速充电器比普通充电器少用 h.
25．（2024·西宁）如图，PA，PB 是⊙O的切线，A，B 为切点，连接OA，OB，过点O作 交PB 于点C，过点 C 作 垂足为 D.
（1）求证：
（2）若⊙O 的半径是3，. 求OC 的长.
26．（2024·西宁）（1）【感知特例】
如图1，点 A，B 在直线l上，AC⊥l，DB⊥l，垂足分别为A，B，点 P 在线段AB 上，且PC⊥PD，垂足为 P.
结论：AC·BD=AP·BP
(请将下列证明过程补充完整)
证明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD
∴∠CAP=∠DBP=∠CPD=90°，
∴∠C+∠APC =90°，
+∠APC =90°，
∴ = ，(同角的余角相等)
∴△APC∽ ，(两角分别相等的两个三角形相似)
∴ = .(相似三角形的对应边成比例)
即AC·BD=AP·BP
（2）【建构模型】
如图2，点A，B 在直线l上，点 P 在线段AB 上，且∠CAP=∠DBP=∠CPD.结论AC·BD=AP·BP 仍成立吗 请说明理由.
（3）【解决问题】
如图3，在△ABC 中，AC=BC=5，AB=8，点 P 和点D 分别是线段AB，BC 上的动点，始终满足∠CPD=∠A.设 AP 长为x(0＜x＜8)，当. 时，BD 有最大值是 .
27．（2024·西宁）如图，二次函数的图象与x轴交于点A(-3，0)，与y轴交于点B，顶点C 的坐标为
（1）求二次函数的解析式.
（2）判断 的形状，并说明理由.
（3）在直线 AB 上方的抛物线上是否存在一点 P，使 若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为元．
故答案为：A．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据正负数的意义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：﹣52＝﹣25，（﹣5）3＝﹣125，5﹣2＝，54÷53＝5．
∴计算正确的是选项D．
故答案为：D .
【分析】根据有理数的乘方的定义以及负整数指数幂的定义计算可得答案．
3．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x+2＜3，得：x＜1，
解不等式﹣2x≤1，得：x≥，
则不等式组的解集为．
故答案为：B .
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
4．【答案】C
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可知：
本次调查的样本容量是50，故选项A说法错误，不符合题意；
本次调查的学生成绩在70～80分之间的人数是：50﹣7﹣20﹣15＝8，故选项B说法错误，不符合题意；
把本次调查的学生成绩从小到大排列．两种中间的两个数都在80～90分之间，故本次调查的学生成绩的中位数落在80～90分之间，故选项C说法正确，符合题意；
500×＝150（人），
即估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是150人，故选项D说法错误，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据样本容量的定义可判断选项A；用样本容量减去其它三组的频数可判断选项B；根据中位数的定义可判断选项C；利用样本估计总体的方法可判断选项D
5．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC交OB于点D，
∵四边形ABCO是菱形，OB在x轴上，S菱形OABC＝，
∴OB⊥AC，S△AOD＝S菱形ABCO＝，
∵k＜0，
∴k＝，
故答案为：B .
【分析】根据菱形的性质以及反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．
6．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵矩形场地ABCD的长为60m，宽为22m，且所修建停车位的两侧是宽xm的道路，中间是宽2xm的道路，
∴停车位（即阴影部分）可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形．
根据题意，得（60﹣2x）（22﹣2x）＝600，
化简，得x2﹣41x+180＝0．
故答案为：A .
【分析】根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形，结合阴影部分的总面积是600m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：解：∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
又∵AF＝AF，
∴△AFB≌△AFE（ASA），
故A选项正确，不符合题意；
∵△AFB≌△AFE，
∴AB＝AE，
∵∠BAD＝∠EAD，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴∠ADB＝∠ADE，
故B选项正确，不符合题意；
∵BE是中线，
∴CE＝EA，
∵G为DC的中点，
∴CG＝GD，
∴EG是△CAD中位线，
∴EG＝AD，EG∥AD，
∴，
又∵△AFB≌△AFE，
∴BF＝FE，
∴BD＝GD，
∴DF是△BEG的中位线，
∴DF＝EG，
∴DF＝AD，
∵AD＝BE，
∴DF＝BE，
故C选项正确，不符合题意；
在△CEG和△CBE中，∠C为公共角，
但∠CEG和∠CBE，∠CGE和∠CEB均不相等，相应边不成比例，
故△CEG和△CBE不相似，
故D选项错误，符合题意，
故答案为：D .
【分析】根据三角形全等可判断A，B两选项，根据三角形中位线性质，可判断C选项，以及相似三角形的判断，从而得到结果.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0），
当x＝0时，y＝1，
∴抛物线与y轴的交点是（0，1），
故结论①正确，此结论符合题意；
∵抛物线的对称轴为x＝＝2，
故结论②错误，此结论不符合题意；
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个点，y1＝y2＝1，
∴A、B两点关于对称轴对称，
∴＝2，
∴|x1+x2|＝4，
∴AB＝4，
故结论③正确，此结论符合题意；
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0），
∴抛物线的开口向上，
∴在对称轴的右侧的函数图象，y随x的增大而增大，
∵x1＞x2＞2，
∴A，B两点位于对称轴的右侧，
∴y1＞y2，
故结论④错误，此结论不符合题意；
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y有最大值，最大值为1，
故结论⑤正确，此结论符合题意；
综上所述，正确的结论为①③⑤，
故答案为：C .
【分析】根据二次函数开口方向，与x轴的交点，与y轴的交点，对称轴，以及函数图象逐一判断各选项，即可得到结果.
9．【答案】-a
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】a的相反数是﹣a．
故答案为：﹣a．
【分析】求一个数的相反数，就是再这个数的前面添上“-”号，可得出结果。
10．【答案】4（答案不唯一）
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意知：，即，
所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个．
故答案为：4（答案不唯一）．
【分析】根据三角形的三边关系求出a的取值范围解答即可．
11．【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】先通分，再根据同分母分式加减法法则计算
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：在这5个二次根式中，，是最简二次根式，有2个，
∴随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是，
故答案为： .
【分析】在5个二次根式中，，是最简二次根式，再由概率公式求解即可．
13．【答案】125°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：解：连接OA、OB，如图所示，
∵∠ADE＝110°，∠ADE+∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝70°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∴∠AOD＝40°，
∴∠AOC＝140°，
，
∴∠AOB＝∠BOC＝70°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝55°，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠DAB+∠OCB＝180°，
∴∠DAB＝125°，
故答案为：125° .
【分析】根据圆的性质和圆内接四边形的性质，可以求得∠DAB的度数．
14．【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b，
∴a+b＝﹣2，
∴4a2+8ab+4b2
＝4（a2+2ab+b2）
＝4（a+b）2
＝4×（﹣2）2
＝16．
故答案为：16 .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b＝﹣2，化简所求代数式，代入即可得到结果．
15．【答案】11π
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：解：∵∠A＝70°，
∴∠B+∠C＝110°，
∵BC＝12，D是BC的中点，
∴BD＝CD＝6，
∴图中阴影部分的面积是.
故答案为：11π .
【分析】阴影部分的面积等于两个扇形的面积的和，根据扇形的面积公式计算即可．
16．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；求特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：解：∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°．
当点P在点B下方时，∠PAO＝∠BAO﹣∠PAB＝45°﹣15°＝30°，
∴OP＝OA tan∠PAO＝6×＝2；
当点P在点B上方时，∠PAO＝∠BAO+∠PAB＝45°+15°＝60°，
∴OP＝OA tan∠PAO＝6×＝6．
综上所述，OP的长为2或6．
故答案为：2或6 .
【分析】由点A，B的坐标，可得出OA＝OB＝6，进而可得出△AOB是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，可得出∠BAO＝45°，分点P在点B下方及点P在点B上方两种情况考虑，由各角之间的关系，可求出∠PAO的度数，再利用OP＝OA tan∠PAO，即可求出结论．
17．【答案】30720
【知识点】垂径定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：解：过OD⊥AB于D，如图所示：
∴BD＝CD＝BC，
∵BC∥OA，∠AOB＝37°，
∴∠CBO＝∠AOB＝37°，
在Rt△OBD中，OB＝6400千米，cos∠CBO＝BD/OB，
∴BD＝OB cos∠CBO＝6400×cos37°≈6400×0.8＝5120（千米），
∴BC＝2BD＝2×5120＝10240（千米），
∴以BC为直径的圆的周长为：BC π＝10240π≈10240×3＝30720（千米）．
∴北纬37°纬线的长度约为30720千米．
故答案为：30720 .
【分析】过OD⊥AB于D，则BD＝CD＝BC，根据BC∥OA得∠CBO＝∠AOB＝37°，解Rt△OBD中得BD＝OB cos∠CBO＝5120千米，则BC＝2BD＝10240千米，进而求出以BC为直径的圆的周长即可得出答案．
18．【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：解：如图，作B点关于直线AC的对称点，正好落于点D，连接ED交AC于点P，连接PE，PB，此时PB+PE的值最小，
由作图知道，PB＝PD，DE＝PB+PE，
∵正方形ABCD的边长为4，△ABE是等腰直角三角形，
∴EB＝EA＝ ＝2，BD＝＝4，∠EBD＝45°+45°＝90°，
∴在Rt△EBD中，ED＝＝＝2，
∴PB+PE的最小值2．
故答案为： .
【分析】利用轴对称﹣最短路线问题，作辅助线，根据等腰直角三角形的性质，正方形的性质解答．
19．【答案】解：原式=
=
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；二次根式的乘法
【解析】【分析】先根据二次根式的乘法法则、零指数幂定义以及绝对值的定义进行计算，再合并即可．
20．【答案】解： 原式=（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1）
＝（9a2﹣6a+1）﹣8a2+2a
＝（9a2﹣8a2）+（﹣6a+2a）+1
＝a2﹣4a+1
∵a2﹣4a+3＝0，
∴a2﹣4a＝﹣3，
∴原式＝a2﹣4a+1＝﹣3+1＝﹣2
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到a2﹣4a+1，由所给条件得到a2﹣4a＝﹣3，整体代入，即可得到结果．
21．【答案】解：
方程两边乘，得。
解得，
检验：当时，.
所以，原分式方程的解为
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
22．【答案】（1）抽样调查
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A，B两名同学恰好同时被选中的结果有2种，即AB、BA，
∴A，B两名同学恰好同时被选中的概率为=
【知识点】全面调查与抽样调查；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）为了解西宁市初中生每周的累计读书时长，应采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
【分析】（1）根据抽样调查的定义即可得出结论；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中A，B两名同学恰好同时被选中的结果有2种，即AB、BA，再由概率公式求解即可．
23．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠AED＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠AED，
∴AD＝DE，
∵CF＝AD，
∴DE＝CF，
又∵DE∥FC，
∴四边形DFCE是平行四边形
（2）解：解：由（1）可知，四边形DFCE是平行四边形，
∴FC＝DE，
设AD＝DE＝FC＝x，则DC＝AC﹣AD＝2﹣x，
由（1）可知，∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝90°，
在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝2x，
∵由勾股定理得：
，
∴
解得 (舍去)，
所以
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得∠A＝∠B＝45°，进而证明∠A＝∠AED，得AD＝DE，再证明DE＝CF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得FC＝DE，设AD＝DE＝FC＝x，则DC＝AC﹣AD＝2﹣x，再由含30°角的直角三角形的性质得CE＝2DE＝2x，然后由勾股定理得出方程，解方程即可．
24．【答案】（1）
（2）解：设 关于 x 的函数解析式为 将 A(0，10)， E(2，70) 代入解析式中，得 . 解得
函数解析式为
（3）
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）由图象可知，用快速充电器充电时，汽车电池电量从10kW h充到70kW h需h，
故答案为：；
（3）把y2＝100代入y2＝30x+10，得30x+10＝100，
解得x＝3，
h
故答案为：；
【分析】（1）根据函数图象即可求出答案；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分别求出快速充电器所用时间和普通充电器所用时间，即可求出答案．
25．【答案】（1）（1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，OA，OB是⊙O的半径，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵OC∥PA，CD⊥AP，
∴CD⊥OC，
∴∠OAD＝∠CDA＝∠OCD＝90°，
∴四边形OADC是矩形，
∴OC＝AD
（2）解：设，
∵∵四边形OADC是矩形，⊙O的半径是3，PA＝9，
∴OA＝OB＝CD＝3，BD＝PA﹣AD＝9﹣x，
∵OC∥PA，
∠OCB＝∠P，
∵OB⊥PB，CD⊥AP，
∴∠OBC＝∠CDP＝90°，
在△OCB和△CPD中，
∴，
∴BC＝BD＝9﹣x
在中，，（勾股定理）
即，解得，
∴OC=5
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，再根据OC∥PA，CD⊥AP，得∠OAD＝∠CDA＝∠OCD＝90°，则四边形OADC是矩形，然后根据矩形的性质可得出结论；
（2）设OC＝AD＝x，依题意得OA＝OB＝CD＝3，BD＝PA﹣AD＝9﹣x，证明△OCB和△CPD全等得BC＝BD＝9﹣x，然后在Rt△OCB中，由勾股定理求出x＝5，进而可得OC的长．
26．【答案】（1）；；；；；
（2）解：成立，理由如下：
∵，，
又∵.
∴.
∴.
∴.(两角分别相等的两个三解形相似)
∴(相似三角形的对应边成比例)，即
（3）4；
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）证明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD，
∴∠CAP＝∠DBP＝∠CPD＝90°，
∴∠C+∠APC＝90°，
∠DPB+∠APC＝90°，
∴∠C＝∠DPB（同角的余角相等），
∴△APC∽△BDP（两角分别相等的两个三角形相似），
∴（相似三角形的对应边成比例），
即AC BD＝AP BP．
故答案为：∠DPB，∠C＝∠DPB，△BDP，；
（3）解：∵AB＝8，AP＝x，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣x，
∵AC＝BC＝5，
∴∠A＝∠B，
∵∠CPD+∠BPD＝∠A+∠ACP，
∴∠BPD＝∠ACP，
∴△BPD∽△ACP，
∴，
∴AC BD＝AP BP，
∴5BD＝x（8﹣x）＝8x﹣x2，
∴BD＝﹣（x﹣4）2+，
当x＝4时，BD的最大值为．
故答案为：4，.
【分析】1）根据相似三角形的判定与性质填空即可；
（2）证明△APC∽△BDP，即可解决问题；
（3）证明△BPD∽△ACP，得，所以AC BD＝AP BP，得BD＝﹣（x﹣4）2+，然后根据二次函数的性质即可解决问题
27．【答案】（1）解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
将顶点C（﹣2，﹣1）代入解析式得y＝a（x+2）2﹣1，
∵二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0），
∴0＝a（﹣3+2）2﹣1，
解得a＝1，
∴二次函数解析式为y＝（x+2）2﹣1
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
抛物线y＝（x+2）2﹣1与y轴的交点，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
如图1，过点C作CD⊥y轴于点D，
∴D（0，﹣1），
过点A作AE⊥CD于点E，
∴E（﹣3，﹣1），
∵A（﹣3，0），C（﹣2，﹣1），
∴AB2＝OB2+OA2＝32+32＝18，AC2＝AE2+CE2＝12+12＝2，BC2＝CD2+BD2＝22+42＝20，
∴AB2+AC2＝20，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形
（3）解： 存在，理由如下：
y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3，
设点P的坐标为（m，m2+4m+3），
过点P作PH⊥AB，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠O），将A（﹣3.0），B（0，3）代入得
得解得
∴直线AB的解析式为，
∴点Q的坐标为.
∵，
∴，即.
在中，
∴.
∴.
∴轴，
∴.
在中，
∵，
∴，
，
解得，，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴所有符合条件的P点的坐标是
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），将顶点C（﹣2，﹣1）代入解析式得y＝a（x+2）2﹣1，进而可以解决问题；
（2）过点C作CD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥CD于点E，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题；
（3）设点P的坐标为（m，m2+4m+3），过点P作PH⊥AB，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，求出直线AB的解析式为y＝x+3，得点Q的坐标为（m，m+3），得PQ＝m2+4m+3﹣（m+3）＝m2+3m＝4，得m1＝1，m2＝﹣4，进而解决问题．
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