中考数学@应用题专练
（三）解直角三角形类
1. 如图，地面上点 A，B，D在一条直线上，两个观察者从 A，B两地观测空中 C处一个无人
机，分别测得其仰角为 30°和 60°，已知 A，B两地相距 36 m.
(1)求观测者 B到 C处的距离；
(2)当无人机沿着与 AB平行的路线飞行 6 s后到达 C'，在 A处测得该无人机的仰角为 45°，求
无人机飞行的平均速度.(结果保留根号)
答案：(1) 解：∵∠ACB＝∠DBC－∠CAB，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝60°－30°＝30°.∴∠CAB＝∠ACB.∴AB＝BC＝36 m.
答：观测者 B到 C处的距离为 36 m.
(2) 解：如图，
过 C作 CF⊥AD于 F，过 C'作 C'E⊥AD于 E，
则四边形 C'EFC是矩形，∴CC'＝EF，CF＝C'E.
3
在 △ 中， ＝ · 60°＝36 × ＝18 3( )
2
在 Rt△ACF中，∵∠CAF＝30°，∠AFC＝90°，
18 3
∴ ＝ ＝ ＝54( ).
30° 3
3
在 Rt△AC'E中，∵∠AEC'＝90°，∠C'AB＝45°，∴ ' ＝ ＝ ＝18 3 ，
∴ ' ＝ ＝ － ＝(54－18 3) .
54 18 3
∴ 无人机飞行的平均速度为 ＝(9－3 3) / .
6
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2.如图，小明同学为了测量小河对岸某塔 AB的高度，他在与塔底 B同一水平线 BF上的点 C
处测得塔的顶端 A的仰角为 45°，接着他沿着坡度 ＝1 ∶ 3的斜坡 CE向上行走 10 m到达点 D
处(点 A，B，C，D，E，F在同一平面内)，此时测得塔的顶端 A的仰角为 31°.( 31° ≈
0.52， 31° ≈ 0.86， 31° ≈ 0.60， 3 ≈ 1.73， 2 ≈ 1.41)
(1)求点 D到 FC的距离；
(2)求塔 AB的高度.(结果精确到 0.1 m)
答案：
(1) 解：过 D点作 DM⊥BF于M点，如图.
1
∵ 斜坡 的坡度 ＝1 ∶ 3， ∴ ＝ .
3
设 ＝ ， ＝ 3 ， ∴ ＝ 2 + ( 3 )2＝2 ，即 2 ＝10，解得 ＝5 .
答：点 D到 FC的距离为 5 m.
(2) 解：过 D点作 DH⊥AB于 H点，如图，
∵∠DMB＝∠DHB＝∠HBM＝90°，∴四边形 DMBH为矩形.
∴BH＝DM＝5，DH＝CM＋BC.
∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝AH＋5.∴ ＝ ＋ ＝ ＋5＋5 3.
在 △ 中， ∵ ∠ ＝ ， ∴ ＝ · 31° ≈ 0.6( ＋5＋5 × 1.73)，
解得 AH≈20.475.∴AB＝AH＋BH≈20.475＋5≈25.5(m).
答：塔 AB的高度约为 25.5 m.
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3. 如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上
都做了升级.A为后胎中心，经测量车轮半径 AD为 30 cm，中轴轴心 C到地面的距离 CF为 30
cm，座位高度最低刻度为 155 cm，此时车架中立管 BC长为 54 cm，且∠BCA＝71°.(参考数据：
sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90)
(1)求车座 B到地面的高度(结果精确到 1 cm)；
(2)根据经验，当车座 B'到地面的距离 B'E'为 90 cm时，身高 175 cm的人骑车比较舒适，此时
车架中立管 BC拉长的长度 BB'应是多少？(结果精确到 1 cm)
答案：
(1) 解：如图，
设 AC交 BE于 H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE.
∵AD＝30 cm，CF＝30 cm，∴AD＝CF.
∵∠ADF＝90°，∴四边形 ADFC是矩形.∴HE＝AD＝30 cm.
∵BC长为 54 cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC·sin71°≈54×0.95＝51.3 cm.
∴BE＝BH＋EH＝BH＋AD≈51.3＋30≈81(cm).
答：车座 B到地面的高度约是 81 cm.
(2) 解：如图所示，B'E'＝90 cm，设 B'E'与 AC交于点 H'，
' ' '
则有 B'H'∥BH，∴△ ' ' ∽△ ，得 ＝ .
90 30 '
即 ＝ ，解得 ' ≈ 63 .故 BB'＝B'C－BC≈63－54＝9(cm).51.3 54
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4. 某数学小组开展项目式学习，从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车(如
图 1)的设计原理和优化设计.图 2是该数学小组设计的一个爬梯车模型，有两个轮子水平放置
在地面 EF上，图中☉A，☉B和☉C分别代表 3个轮子，3个轮子的半径均为 5 cm，点 O为
支点，OA＝OB＝OC＝10 cm，且∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，拉杆 OD＝80 cm.
(1)求 BC的长；
(2)在使用爬梯车时，拉杆 OD倾斜，从条件①或条件②中选择一个作为已知，求把手 D到地
面的距离 DE的长.(参考数据：sin45°＝cos45°≈0.71，$\sqrt{3}$≈1.73)
条件①：OD与 DE的夹角∠ODE＝45°；
条件②：点 O到 DE的距离为 56.8 cm.
图 1 图 2
答案：(1) 解：如图，
过 O作 ON⊥EF于 N，连接 BC交 ON于M，
∵☉B和☉C轮子的半径均为 5 cm，∴点 B和点 C到地面 EF距离都是 5 cm.
∴BC平行地面 EF.∴MN＝5 cm，ON⊥BC.
1
∵OB＝OC＝10 cm，∠BOC＝120°，∴ ＝2 ，∠ ＝ ∠ ＝60°，∠ ＝30°.2
1
∴ ＝ ＝5 .
2
∵ ＝ 2 2＝ 102 52＝5 3 ， ∴ ＝2 ＝10 3 .
答： 的长为 10 3 .
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(2) 选择条件①：解：如图，过 O作 OG⊥DE于 G，则四边形 OGEN是矩形，
∴GE＝ON＝OM＋MN＝5＋5＝10(cm).
∵OD与 DE的夹角∠ODE＝45°，∴ ∠ ＝ ≈ 0.71.
∵拉杆 OD＝80 cm，∴GD≈0.71×80＝56.8 cm.
∴把手 D到地面的距离 DE＝DG＋EG≈56.8＋10＝66.8(cm).
答：把手 D到地面的距离 DE的长约为 66.8 cm.
选择条件②：解：如图，过 O作 OG⊥DE于 G，则四边形 OGEN是矩形，
∴GE＝ON＝OM＋MN＝5＋5＝10(cm).
∵点 O到 DE的距离为 56.8 cm，即 OG＝56.8 cm.
∵OD＝80 cm，∴ ＝ 2 2＝ 802 56. 82＝ 3173.76 ≈ 56.3( ).
∴把手 D到地面的距离 DE＝DG＋EG≈56.3＋10＝66.3(cm).
答：把手 D到地面的距离 DE的长约为 66.3 cm.
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（三）解直角三角形类
1. 如图，地面上点 A，B，D在一条直线上，两个观察者从 A，B两地观测空中 C处一个无人
机，分别测得其仰角为 30°和 60°，已知 A，B两地相距 36 m.
(1)求观测者 B到 C处的距离；
(2)当无人机沿着与 AB平行的路线飞行 6 s后到达 C'，在 A处测得该无人机的仰角为 45°，求
无人机飞行的平均速度.(结果保留根号)
2.如图，小明同学为了测量小河对岸某塔 AB的高度，他在与塔底 B同一水平线 BF上的点 C
处测得塔的顶端 A的仰角为 45°，接着他沿着坡度 ＝1 ∶ 3的斜坡 CE向上行走 10 m到达点 D
处(点 A，B，C，D，E，F在同一平面内)，此时测得塔的顶端 A的仰角为 31°.( 31° ≈
0.52， 31° ≈ 0.86， 31° ≈ 0.60， 3 ≈ 1.73， 2 ≈ 1.41)
(1)求点 D到 FC的距离；
(2)求塔 AB的高度.(结果精确到 0.1 m)
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3. 如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上
都做了升级.A为后胎中心，经测量车轮半径 AD为 30 cm，中轴轴心 C到地面的距离 CF为 30
cm，座位高度最低刻度为 155 cm，此时车架中立管 BC长为 54 cm，且∠BCA＝71°.(参考数据：
sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90)
(1)求车座 B到地面的高度(结果精确到 1 cm)；
(2)根据经验，当车座 B'到地面的距离 B'E'为 90 cm时，身高 175 cm的人骑车比较舒适，此时
车架中立管 BC拉长的长度 BB'应是多少？(结果精确到 1 cm)
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4. 某数学小组开展项目式学习，从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车(如
图 1)的设计原理和优化设计.图 2是该数学小组设计的一个爬梯车模型，有两个轮子水平放置
在地面 EF上，图中☉A，☉B和☉C分别代表 3个轮子，3个轮子的半径均为 5 cm，点 O为
支点，OA＝OB＝OC＝10 cm，且∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，拉杆 OD＝80 cm.
(1)求 BC的长；
(2)在使用爬梯车时，拉杆 OD倾斜，从条件①或条件②中选择一个作为已知，求把手 D到地
面的距离 DE的长.(参考数据：sin45°＝cos45°≈0.71，$\sqrt{3}$≈1.73)
条件①：OD与 DE的夹角∠ODE＝45°；
条件②：点 O到 DE的距离为 56.8 cm.
图 1 图 2
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