中考数学@函数专项
（二）反比例函数
1. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABO的直角顶点 A的坐标为(m，2)，点 B
8
在 x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点 D恰好在反比例函数 y＝ x (x＞0)的图象上.
求 m的值和点 D的坐标.
2，一把直尺如图所示放置在直角坐标系上，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与 y轴正
半轴夹角为 60°，对边经过 x轴上点 A(2，0)和双曲线上的点 B，双曲线上的点 C正好对着直
尺上的刻度 2.(直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致)
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求点 B的坐标.
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3. 如图，点 A的坐标是(－3，0)，点 B的坐标是(0，4)，C为 OB的中点，将△ABC绕着点 B
逆时针旋转 90°得到△A'BC'.
k
(1)反比例函数 y＝ x 的图象经过点 C'，求该反比例函数的解析式；
(2)一次函数图象经过 A，A'两点，求该一次函数的解析式.
4. 如图，四边形 OABC为矩形，点 A在 x轴正半轴上，点 C在 y轴正半轴上，点 B的坐标为
k
(4，8)，反比例函数 y＝ (x＞0)x 的图象与边 AB，BC分别交于点 D，E(不与边的端点重合)，
连接 OD，DE，OE.
(1)若 D为边 AB的中点，求 k的值及点 E的坐标；
(2)若 OD⊥DE，求△ODE的面积.
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5. 如图，已知平行四边形 OABC的顶点 A，C都在反比例函数 y＝k/x 的图象上，已知点 C
的坐标为(2，3)，点 B的纵坐标为 4，
(1)求 A点坐标；
(2)连接 AC，求平行四边形 OABC的面积.
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（二）反比例函数
1. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABO的直角顶点 A的坐标为(m，2)，点 B
8
在 x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点 D恰好在反比例函数 y＝ x (x＞0)的图象上.
求 m的值和点 D的坐标.
答案：过点 A作 AH⊥BO于点 H。
∵△ABO是等腰直角三角形，点 A(m，2)，∴OH＝AH＝2，∴m＝－2。
由平移性质可知，点 D的纵坐标与点 A相同，即( yD=2 )。
8 8
设点 D的坐标为(n，2)，将其代入反比例函数 y＝ ，得：(2= )，解得(n=4)。x n
∴点 D的坐标为(4，2)。
2，一把直尺如图所示放置在直角坐标系上，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与 y轴正
半轴夹角为 60°，对边经过 x轴上点 A(2，0)和双曲线上的点 B，双曲线上的点 C正好对着直
尺上的刻度 2.(直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致)
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求点 B的坐标.
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答案：
k
(1) 作 CD⊥x轴，垂足为 D，设反比例函数解析式为(y＝ )x 。
∵直尺一边与 y轴正半轴夹角为 60°，∴(∠COD＝90°－60°＝30°)。
1 3
在 Rt△COD中，OC＝2，(CD=OC·sin30°=2× =1)，(OD=OC·cos30°=2× = 3)，
2 2
k
∴点 C的坐标为( 3,1)。将点 C( 3,1)代入(y＝ )，得(k= 3×1= 3)x ，
3
∴反比例函数的解析式为(y＝ )。
x
3
(2)设直线 OC的解析式为(y＝mx)，将点 C(( 3,1))代入，得(1=m× 3)，解得(m= )，
3
3
∴直线 OC的解析式为(y＝ x)。
3
3
∵OC∥AB，设直线 AB的解析式为(y＝ x+b)，将点 A(2，0)代入，
3
3 2 3 3 2 3
得：(0= ×2+b)，解得(b= )，∴直线 AB的解析式为(y＝ x )。
3 3 3 3
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3 2 3
y= x
联立直线 AB与反比例函数的方程： 3 3
3
y=
x
将第二个方程代入第一个方程，化简得：(x2 2x 3=0)，因式分解得((x 3)(x+1)=0)，
3
解得(x=3)或(x= 1)。对应纵坐标分别为(y= )和(y= 3)，
3
3
∵点 B在第一象限，∴点 B的坐标为(3, )。
3
3. 如图，点 A的坐标是(－3，0)，点 B的坐标是(0，4)，C为 OB的中点，将△ABC绕着点 B
逆时针旋转 90°得到△A'BC'.
k
(1)反比例函数 y＝ x 的图象经过点 C'，求该反比例函数的解析式；
(2)一次函数图象经过 A，A'两点，求该一次函数的解析式.
答案：(1)∵点 B(0，4)，C是 OB的中点，
∴点 C的坐标为(0，2)。
由旋转性质可知，点 C绕点 B逆时针旋转 90°后，横坐标增加 2，纵坐标不变，
k
∴点 C'的坐标为(2，4)。将点 C'(2，4)代入(y＝ x )，得 k = 2×4 = 8 ，
8
∴反比例函数的解析式为(y＝ )。x
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(2) 过点 A'作 A'D⊥y轴于点 D。
由旋转性质得(∠ABA'＝90° )，( AB＝A'B )，
∴(∠ABO＋∠DBA'＝90° )，
又(∠BOA＝90° )，故(∠ABO＋∠BAO＝90° )，
∴(∠DBA'＝∠BAO )。
∠BOA=∠A'DB=90°
在△ABO和△BA'D中： ∠BAO=∠A'BD ∴△ABO≌△BA'D(AAS)，
AB=BA'
∴( BO＝A'D＝4 )，( AO＝BD＝3 )，
OD＝BO - BD = 4 - 3 = 1 ，∴点 A'的坐标为(4，1)。
设一次函数解析式为( y＝ax＋b(a≠0) )，将 A(-3，0)、A'(4 1) 3a+b=0， 代入得： 4a+b=1
1 3 1 3
解得(a= )，(b= )，∴一次函数的解析式为(y＝ x+ )。
7 7 7 7
4. 如图，四边形 OABC为矩形，点 A在 x轴正半轴上，点 C在 y轴正半轴上，点 B的坐标为
k
(4，8)，反比例函数 y＝ (x＞0)x 的图象与边 AB，BC分别交于点 D，E(不与边的端点重合)，
连接 OD，DE，OE.
(1)若 D为边 AB的中点，求 k的值及点 E的坐标；
(2)若 OD⊥DE，求△ODE的面积.
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答案：(1)∵点 B(4，8)，D为 AB中点，∴点 D的坐标为(4，4)。
k 16
将 D(4，4)代入(y＝ )，得(k=4×4=16)，∴反比例函数解析式为(y＝ )x 。x
16 16
点 E在 BC边上，纵坐标为 8，代入(y＝ )得(8= )，解得(x=2)，
x x
∴点 E的坐标为(2，8)。
k k
(2)设点 D的坐标为(4, ) E ( ,8)4 ，点 的坐标为 8 。
∵OD⊥DE，(∠B＝∠EDO＝∠OAB＝90° )，
∴(∠BED＋∠EDB＝∠ADO＋∠EDB＝90° )，
∴(∠BED＝∠ADO )，故△BED∽△ADO。
BE BD 4
k 8 k
由相似三角形性质得：( = )，即 8k =
4，
AD AO 4
4
化简解得(k=8)（(k=32)舍去，因点不与端点重合）。
则点 D(4，2)，点 E(1，8)，
(OD= 42+22=2 5)，(DE= (4 1)2+(2 8)2=3 5)，
1 1
∵OD⊥DE，∴△ODE的面积(= ×OD×DE= ×2 5×3 5=15)。
2 2
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5. 如图，已知平行四边形 OABC的顶点 A，C都在反比例函数 y＝k/x 的图象上，已知点 C
的坐标为(2，3)，点 B的纵坐标为 4，
(1)求 A点坐标；
(2)连接 AC，求平行四边形 OABC的面积.
k 6
答案：(1)∵点 C(2，3)在(y＝ )x 上，∴( k = 2×3 = 6 )，反比例函数解析式为
(y＝ )。
x
6
设点 A的坐标为(a, )，a
6
0+4 3+
∵平行四边形对角线互相平分，OB中点纵坐标为 =22 ，
AC中点纵坐标为 a2 ，
3+ 6
∴ a =2 a=62 ，解得 ，∴点 A的坐标为(6，1)。
(2) 分别过 A、C作 AE⊥x轴于 E，CF⊥x轴于 F。
∵四边形 OABC是平行四边形，∴S OABC=2S△AOC。由反比例函数性质，S△AOC=S梯形 AEFC，
梯形 AEFC的上底 AE=1，下底 CF=3，高 EF=6 2=4，
1
S梯形 AEFC= ×(1+3)×4=8，∴S2 △AOC
=8，S OABC=2×8=16。
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