中考数学@函数专项
（五）二次函数综合
1. 已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c与 x轴交于 A，B两点，与 y轴交于点 C(0，4)，
3
其对称轴为直线 x＝－ 。
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，D是线段 OC上的一动点，连接 AD，BD，将△ABD沿直线 AD翻折，得到△AB'D，
当点 B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点 D的坐标。
答案：
b 3
(1) 解：抛物线对称轴公式为 x= 2a，此抛物线
a= 1，对称轴为 x= ，
2
b 3
代入得： = ，解得 b= 3；抛物线与 y轴交于点 C(0,4)，代入得 c=4。
2×( 1) 2
因此抛物线的解析式为 y＝－x2－3x＋4。
(2) 解：
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令 y=0，解方程 x2 3x+4=0，即x2+3x 4=0，
因式分解得(x+4)(x 1)=0，解得x1= 4，x2=1，
所以点 A( 4,0)，B(1,0)，AB长度为 1 ( 4)=5；
3 3 5
设抛物线对称轴 x= 与 x轴交于点 H，则 AH长度为 ( 4)= ；
2 2 2
5
由翻折性质知 AB'=AB=5，在 Rt△AB'H中，AB'=5，AH= ，
2
所以∠AB'H=30 ，∠B'AH=60 ；
1
翻折后 AD平分∠B'AB，故∠DAB= =30 ；
60
OD
在 Rt△AOD中，OA=4， tan∠DAB= tan 3 0 = ，
OA
3 4 3
则 OD=OA× tan 3 0 =4× = 。
3 3
4 3
因此点 D的坐标为(0, )。
3
2. 在平面直角坐标系中，已知点 A在 y轴的正半轴上，如果四个点(0，0)，(0，2)，(1，1)，
(－1，1)中恰有三个点在二次函数 y＝ax2（a为常数，且 a≠0）的图象上。
(1)a＝
(2)如图，已知菱形 ABCD的顶点 B，C，D在该二次函数的图象上，且 AD⊥y轴，求菱形的
边长。
答案：(1)1
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(2) 解：
由(1)知二次函数解析式为 y=x2；
设菱形边长为 2t，AD⊥y轴，菱形关于 y轴对称，故点 B坐标为( t,t2)，AD长度为 2t；
在 Rt△ABE中，AB=2t，BE=t，由勾股定理得 AE= (2t)2 t2= 3t；
点 A在 y轴上，OA=OE+AE=t2+ 3t，故点 D坐标为(2t,t2+ 3t)；
3
点 D在二次函数 y=x2上，代入得t2+ 3t=(2t)2，化简得 3t2 3t=0，解得 t= （t=0舍去）；
3
3 2 3 2 3
菱形边长为 2t=2× = 。因此菱形的边长为 。
3 3 3
3. 如图，抛物线C1：y＝x2－2x－8交 x轴于 A，B两点(点 A在点 B的左边)，交 y轴于点 C。
(1)直接写出 A，B，C三点的坐标；
(2)作直线 x＝t(0＜t＜4)，分别交 x轴、线段 BC、抛物线C1于点 D，E，F，连接 CF，若△BDE
与△CEF相似，求 t的值。
答案：
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(1) 点 A坐标为( 2,0)，点 B坐标为(4,0)，点 C坐标为(0, 8)。
(2) 解：
先求直线 BC的解析式：设 y=kx+b，代入 B(4,0) C(0, 8) 4k+b=0、 ，得 b= 8 ，
解得 k=2，b= 8，即 y=2x 8；
点 E在直线 BC上，坐标为(t,2t 8)，点 F在抛物线上，坐标为(t,t2 2t 8)，
则 EF=(2t 8) (t2 2t 8)= t2+4t，DE=8 2t，
BE= (4 t)2+(0 (2t 8))2= 5(4 t)，
CE= t2+(2t 8+8)2= 5t。
分两种情况讨论：
①当 BDE CEF时，∠B=∠ECF，则 CF∥x轴，点 F纵坐标与 C相同，
即t2 2t 8= 8，解得 t=2（t=0舍去）；
BD DE
②当 BDE FEC时，∠BDE=∠FEC=90 ，则 = ，
FE EC
4 t 8 2t 1 2 3
即 2 = ，化简得 = ，解得 t= 。 t +4t 5t t 5 2
3
综上，t的值为 2或 。
2
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4. 如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx－3与 x轴交于点 A(－3，0)和点 B(1，0)，与 y轴交于点 C，点
D是抛物线的顶点。
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 2，连接 AC，DC，直线 AC交抛物线的对称轴于点M，若 P是直线 AC上方抛物线上
的一点，且S PMC＝2S DMC，求点 P的坐标；
(3)若 N是抛物线对称轴上位于点 D上方的一动点，是否存在以点 N，A，C为顶点的三角形
是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点 N的坐标；若不存在，请说明理由。
图 1 图 2
答案：
(1) 解：设抛物线交点式为 y=a(x+3)(x 1)，展开得 y=ax2+2ax 3a，
与 y=ax2+bx 3对比，得 3a= 3，解得 a=1，则 b=2a=2。
因此抛物线的解析式为 y＝x2＋2x－3。
(2) 解：
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抛物线顶点 D坐标为( 1, 4)，点 C坐标为(0, 3)；
直线 AC的解析式：设 y=kx+m，代入 A( 3,0) C(0, 3) 3k+m=0、 ，得 m= 3 ，
解得 k= 1，m= 3，即 y= x 3；
抛物线对称轴为 x= 1，交直线 AC于点 M，代入得 y= ( 1) 3= 2，即 M( 1, 2)；
1 1 1 1
S DMC= ×|MC|×1= ×| 2 ( 3)|×1= ，故S =2× =1；2 2 2 PMC 2
设点 P坐标为(x,x2+2x 3)，过 P作 PQ∥y轴交 AC于 Q，则 Q(x, x 3)，
PQ长度为( x 3) (x2+2x 3)= x2 3x；
1 1
S PMC= ×PQ×1=1，即 ×( x2 3x)=1，化简得x2+3x+2=0，2 2
解得 x= 1（舍去，与 M重合）或 x= 2，
对应 y=( 2)2+2×( 2) 3= 3，或联立直线 y= x+1与抛物线方程，
解得 x=1或 x= 4，对应点 P(1,0)或( 4,5)。
因此点 P的坐标为(1,0)或( 4,5)。
(3)解：存在，点 N的坐标为( 1, 14)、( 1, 14)、( 1, 1)或( 1, 3+ 17)。
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（五）二次函数综合
1. 已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c与 x轴交于 A，B两点，与 y轴交于点 C(0，4)，
3
其对称轴为直线 x＝－ 。
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，D是线段 OC上的一动点，连接 AD，BD，将△ABD沿直线 AD翻折，得到△AB'D，
当点 B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点 D的坐标。
2. 在平面直角坐标系中，已知点 A在 y轴的正半轴上，如果四个点(0，0)，(0，2)，(1，1)，
(－1，1)中恰有三个点在二次函数 y＝ax2（a为常数，且 a≠0）的图象上。
(1)a＝
(2)如图，已知菱形 ABCD的顶点 B，C，D在该二次函数的图象上，且 AD⊥y轴，求菱形的
边长。
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3. 如图，抛物线C1：y＝x2－2x－8交 x轴于 A，B两点(点 A在点 B的左边)，交 y轴于点 C。
(1)直接写出 A，B，C三点的坐标；
(2)作直线 x＝t(0＜t＜4)，分别交 x轴、线段 BC、抛物线C1于点 D，E，F，连接 CF，若△BDE
与△CEF相似，求 t的值。
4. 如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx－3与 x轴交于点 A(－3，0)和点 B(1，0)，与 y轴交于点 C，点
D是抛物线的顶点。
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 2，连接 AC，DC，直线 AC交抛物线的对称轴于点M，若 P是直线 AC上方抛物线上
的一点，且S PMC＝2S DMC，求点 P的坐标；
(3)若 N是抛物线对称轴上位于点 D上方的一动点，是否存在以点 N，A，C为顶点的三角形
是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点 N的坐标；若不存在，请说明理由。
图 1 图 2
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