中考数学@几何计算与证明
(二)与四边形有关
1、如图，点 A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF.
(1)求证：∠ACB＝∠DFE；
(2)连接 BF，CE，直接判断四边形 BFEC的形状.
(2)四边形 BFEC是平行四边形.
2、如图，在矩形 ABCD中，AB＝8，BC＝6，将 ACB 沿 AC 对折到 ACE 的位置，AE和 CD
交于点 F.
(1)求证： CEF ADF；
(2)求 tan∠DAF 的值.
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中考数学@几何计算与证明
3、如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠CAB＝∠ACB，
过点 B 作 BE⊥AB 交 AC 于点 E.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)若 AB＝10，AC＝16，求 OE 的长.
4、如图，在 ABCD中，E是 AD的中点，连接 CE并延长交 BA的延长线于点 F.
(1)求证：AF＝AB；
(2)G是线段 AF上的一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG 交 AD 于点 H，若 AG＝2，FG＝6，求
GH的长.
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5、如图，四边形 ABCD为平行四边形，$\angle ABC$的平分线 BE交 AD于点 E，连接 AC交
BE于点 F.
(1)求证：BC＝CD＋ED；
(2)若 AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求 AE 的长.
6、如图 1，四边形 ABCD是正方形，E为对角线 AC上的一点，连接 DE，BE.
(1)求证：BE＝DE；
(2)如图 2，过点 E作 EF⊥DE，交边 BC于点 F，以 DE，EF为邻边作矩形 DEFG，连接 CG.
①求证：矩形 DEFG是正方形；
②若正方形 ABCD的边长为 9，CG＝3 2，求正方形 DEFG的边长.
图 1 图 2
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(二)与四边形有关
1、如图，点 A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF.
(1)求证：∠ACB＝∠DFE；
(2)连接 BF，CE，直接判断四边形 BFEC的形状.
答案：(1)证明：∵AF＝CD，∴AF＋CF＝CD＋CF，即 AC＝DF.
AB＝DE
在 ABC和 DEF中， AC＝DF ∴ ABC DEF（SSS）.∴∠ACB＝∠DFE.
BC＝EF
(2)四边形 BFEC是平行四边形.
2、如图，在矩形 ABCD中，AB＝8，BC＝6，将 ACB沿 AC对折到 ACE的位置，AE和 CD
交于点 F.
(1)求证： CEF ADF；
(2)求 tan∠DAF的值.
答案：(1)证明：由折叠，得 ACB ACE.∴∠B＝∠E，CB＝CE.
∵四边形 ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90 ，CB＝DA.∴∠D＝∠E＝90 ，CE＝AD.
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∠CFE＝∠AFD
在 CEF和 ADF中， ∠E＝∠D ∴ CEF ADF（AAS）.
CE＝AD
(2)解：由(1)得 CEF ADF，∴EF＝DF.
∵ ABC AEC，∴AB＝AE＝8.
设 DF＝x，则 EF＝x，∴AF＝8－x.
在 Rt ADF中，由勾股定理得：AD2＋DF2＝AF2，即62＋x2＝(8－x)2，
7
7 DF 7
展开化简得：36+x2=64 16x+x2，解得 x＝ . ∴ tan∠DAF＝ ＝ 4 ＝ .
4 AD 6 24
3、如图，在 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，∠CAB＝∠ACB，
过点 B作 BE⊥AB交 AC于点 E.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)若 AB＝10，AC＝16，求 OE的长.
答案：(1)证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴AB＝BC.
又∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ ABCD是菱形.∴AC⊥BD.
(2)解：∵四边形 ABCD是平行四边形，AC＝16，
1
∴AO＝CO＝ AC＝8.由(1)知 AC⊥BD，∴∠EOB＝∠AOB＝90 .
2
在 Rt ABO中，AB＝10，AO＝8，
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由勾股定理得：OB＝ AB2 AO2＝ 102 82＝6.∵BE⊥AB，∴∠EBA＝90 .
∴∠BEO＋∠BAO＝∠ABO＋∠BAO＝90 ，
∴∠BEO＝∠ABO.又∵∠BOE＝∠AOB＝90 ，
OE OB OE 6 9
∴ BOE AOB.∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 OE＝ .
OB OA 6 8 2
4、如图，在 ABCD中，E是 AD的中点，连接 CE并延长交 BA的延长线于点 F.
(1)求证：AF＝AB；
(2)G是线段 AF上的一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交 AD于点 H，若 AG＝2，FG＝6，求
GH的长.
答案：
(1)证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴∠CDE＝∠FAE.
∵E是 AD的中点，∴ED＝EA.
∠CED＝∠FEA
在 CDE和 FAE中， ED＝EA ∴ CDE FAE（ASA）.
∠CDE＝∠FAE
∴CD＝AF.又∵CD＝AB，∴AF＝AB.
(2)解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠FCD＝∠CFG.∵∠FCG＝∠FCD，∴∠FCG＝∠CFG，∴FG＝CG＝6.
∵AG＝2，FG＝6，∴AF＝AG＋FG＝8.
由(1)得 AF＝AB，∴AB＝CD＝8.
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设 GH＝x，则 CH＝CG GH＝6 x.∵CD∥AB，∴ CDH GAH.
CD CH 8 6 x
∴ ＝ ，即 ＝ ，化简得：4x＝6 x，
AG GH 2 x
6 6
解得 x＝ .∴GH＝ .
5 5
5、如图，四边形 ABCD为平行四边形，$\angle ABC$的平分线 BE交 AD于点 E，连接 AC交
BE于点 F.
(1)求证：BC＝CD＋ED；
(2)若 AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求 AE的长.
答案：(1)证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD，AB＝CD.
∴∠AEB＝∠CBE.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE.∴BC＝AD＝AE＋ED＝AB＋ED＝CD＋ED.
(2)解：过点 F作 FG⊥BC于点 G.
∵BE平分∠ABC，AB⊥AC，∴AF＝GF＝3（角平分线的性质）.
BF＝BF
在 Rt ABF和 Rt GBF中， ∴Rt ABF Rt GBF（HL），
AF＝GF
∴AB＝BG.∵AC＝8，AF＝3，∴CF＝AC AF＝5.
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在 Rt CFG中，由勾股定理得：
CG＝ CF2 GF2＝ 52 32＝4.设 AB＝x，则 BC＝BG＋CG＝x＋4.
在 Rt ABC中，由勾股定理得：AB2＋AC2＝BC2，即x2＋82＝(x＋4)2，
展开化简得：x2+64=x2+8x+16，解得 x＝6.∴AB＝6.
由(1)知 AB＝AE，∴AE＝6.
6、如图 1，四边形 ABCD是正方形，E为对角线 AC上的一点，连接 DE，BE.
(1)求证：BE＝DE；
(2)如图 2，过点 E作 EF⊥DE，交边 BC于点 F，以 DE，EF为邻边作矩形 DEFG，连接 CG.
①求证：矩形 DEFG是正方形；
②若正方形 ABCD的边长为 9，CG＝3 2，求正方形 DEFG的边长.
图 1 图 2
答案：(1)证明：∵四边形 ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠DAE＝45 ，AB＝AD.
AB＝AD
在 ABE和 ADE中， ∠BAE＝∠DAE ∴ ABE ADE（SAS）.∴BE＝DE.
AE＝AE
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(2)①证明：过点 E作 EM⊥BC于点 M，EN⊥CD于点 N.
∵四边形 ABCD是正方形，∴∠NCM＝90 .
∵∠EMC＝∠NCM＝∠ENC＝90 ，∴四边形 EMCN是矩形，∴∠MEN＝90 .
∵E是正方形 ABCD对角线上的点，∴EM＝EN.∵∠DEF＝90 ，
∴∠DEN＝∠FEM＝90 ∠FEN.
∠DNE＝∠FME
在 DEN和 FEM中， EN＝EM ∴ DEN FEM（ASA）. ∴EF＝DE.
∠DEN＝∠FEM
∵四边形 DEFG是矩形，且 DE＝EF，∴矩形 DEFG是正方形.
②解：连接 EG.
∵四边形 DEFG和四边形 ABCD均是正方形，
∴DE＝DG，AD＝DC，∠EDG＝∠ADC＝90 .∴∠CDG＝∠ADE.
AD＝CD
在 ADE和 CDG中， ∠ADE＝∠CDG ∴ ADE CDG（SAS）.
DE＝DG
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45 .
∵∠ACD＝45 ，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90 ，即 CE⊥CG.
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∵正方形 ABCD的边长为 9，∴AC＝ 2AB＝9 2.∵CG＝3 2，
∴CE＝AC AE＝9 2 3 2＝6 2.
在 Rt ECG中，由勾股定理得：EG＝ CE2+CG2＝ (6 2)2+(3 2)2＝3 10.
2 2
∵四边形 DEFG是正方形，∴DE＝ EG＝ ×3 10＝3 5.
2 2
∴正方形 DEFG的边长为 3 5.
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