一、向量的线性运算
向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参数等.
【例1】 （1）已知向量a＝（1，－2），b＝（m，4），且a∥b，那么2a－b＝（ ）
A.（4，0） B.（0，4）
C.（4，－8） D.（－4，8）
（2）设D，E为△ABC所在平面内两点，＝，＝2，则＝（ ）
A.－＋ B.－
C.－ D.－＋
【反思感悟】
向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用时要注意向量的大小和方向两个方面.
二、向量的数量积运算（考教衔接）
平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等.
教材原题 （教材P60复习参考题第8题）已知向量a＝（1，0），b＝（1，1）.当λ为何值时，a＋λb与a垂直？
【例2】 （2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
变式1 计算向量的模
（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（ ）
A. B.
C. D.1
变式2 计算向量的夹角
已知单位向量a，b满足｜a－b｜＝，则a与a＋b的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
变式3 计算向量的数量积
在△ABC中，BC＝6，AB＝4，∠CBA＝，D为AC的中点，E在BC上，且·＝0，则·＝（ ）
A.16 B.12
C.8 D.－4
变式4 计算向量的投影向量
已知向量a与向量b的夹角为，｜a｜＝｜b｜，则b－2a在a上的投影向量为（ ）
A.－a B.－a
C.a D.a
【反思感悟】
1.向量数量积的两种计算方法
（1）当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ；
（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2.
2.利用向量数量积可以解决以下问题
（1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a，b均为非零向量）：
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
（2）求向量的夹角和模的问题：
设a＝（x1，y1），则｜a｜＝；
两向量夹角θ的余弦值（0≤θ≤π，a，b为非零向量）cos θ＝＝.
三、余弦定理、正弦定理
主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理与三角恒等变换公式的综合应用.
【例3】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos B＝，b＝5，＝.
（1）求a的值；
（2）求sin A的值.
【例4】 （2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3＋，求c.
【反思感悟】
在解决解三角形、判断三角形的形状、求三角形面积等问题时，首先要结合已知条件，恰当地选用余弦定理或正弦定理求解；其次就是解题过程中要注意边角的互化和等式的恒等变形.
四、余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用
余弦定理和正弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
【例5】 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）n mile的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？
【反思感悟】
正、余弦定理在实际应用中应注意的问题
（1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图；
（2）明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等；
（3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形；
（4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.
1 / 1一、向量的线性运算
向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参数等.
【例1】 （1）已知向量a＝（1，－2），b＝（m，4），且a∥b，那么2a－b＝（ C ）
A.（4，0） B.（0，4）
C.（4，－8） D.（－4，8）
解析：（1）因为a∥b，所以1×4＝－2×m，解得m＝－2，所以b＝（－2，4），所以2a－b＝2（1，－2）－（－2，4）＝（4，－8）.
（2）设D，E为△ABC所在平面内两点，＝，＝2，则＝（ B ）
A.－＋ B.－
C.－ D.－＋
解析：（2）如图，因为＝，＝2，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝＋（－）＝－.故选B.
【反思感悟】
向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用时要注意向量的大小和方向两个方面.
二、向量的数量积运算（考教衔接）
平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等.
教材原题 （教材P60复习参考题第8题）已知向量a＝（1，0），b＝（1，1）.当λ为何值时，a＋λb与a垂直？
【例2】 （2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
解析：D 法一 因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.故选D.
法二 因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2.故选D.
变式1 计算向量的模
（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（ ）
A. B.
C. D.1
解析：B 因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B.
变式2 计算向量的夹角
已知单位向量a，b满足｜a－b｜＝，则a与a＋b的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 由｜a－b｜＝，｜a｜＝｜b｜＝1得2－2a·b＝3，即a·b＝－，所以｜a＋b｜2＝2＋2a·b＝1，所以｜a＋b｜＝1，易知a·（a＋b）＝1＋a·b＝，所以cos＜a，a＋b＞＝＝＝，又0≤＜a，a＋b＞≤π，所以a与a＋b的夹角为.故选B.
变式3 计算向量的数量积
在△ABC中，BC＝6，AB＝4，∠CBA＝，D为AC的中点，E在BC上，且·＝0，则·＝（ ）
A.16 B.12
C.8 D.－4
解析：A 以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（4，0），B（0，0），C（0，6），D（2，3），＝（2，3），＝（0，6），设E（0，b），则＝（－4，b），由·＝0得（－4，b）·（2，3）＝0，即－8＋3b＝0，所以b＝，所以E（0，），所以＝（－4，），所以·＝16.故选A.
变式4 计算向量的投影向量
已知向量a与向量b的夹角为，｜a｜＝｜b｜，则b－2a在a上的投影向量为（ ）
A.－a B.－a
C.a D.a
解析：A 因为向量a与向量b的夹角为，｜a｜＝｜b｜，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos＝｜b｜2，则b－2a在a上的投影向量为·a＝·a＝·a＝－a.故选A.
【反思感悟】
1.向量数量积的两种计算方法
（1）当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ；
（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2.
2.利用向量数量积可以解决以下问题
（1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a，b均为非零向量）：
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
（2）求向量的夹角和模的问题：
设a＝（x1，y1），则｜a｜＝；
两向量夹角θ的余弦值（0≤θ≤π，a，b为非零向量）cos θ＝＝.
三、余弦定理、正弦定理
主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理与三角恒等变换公式的综合应用.
【例3】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos B＝，b＝5，＝.
（1）求a的值；
解：（1）由＝得a＝c，
由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B，即c2＋c2－25＝2×c×c×，
得c2－25＝c2，得c＝6，故a＝c＝4.
（2）求sin A的值.
解：（2）因为cos B＝，所以sin B＝＝，
由正弦定理得＝，即＝，
得sin A＝.
【例4】 （2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
（1）求B；
解：（1）由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ab，
可得cos C＝＝＝，
因为C∈（0，π），所以C＝，
又sin C＝cos B，所以＝cos B，
即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝.
（2）若△ABC的面积为3＋，求c.
解：（2）由（1）可得A＝，
则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝，
从而a＝·c＝c，
又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1），将a＝c代入，解得c＝2.
【反思感悟】
在解决解三角形、判断三角形的形状、求三角形面积等问题时，首先要结合已知条件，恰当地选用余弦定理或正弦定理求解；其次就是解题过程中要注意边角的互化和等式的恒等变形.
四、余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用
余弦定理和正弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
【例5】 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）n mile的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知AB＝5（3＋）n mile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，
∴∠ADB＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得＝，
∴DB＝＝
＝
＝＝10（n mile）.
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）
＝60°，BC＝20n mile，
∴在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30 n mile，
∴该救援船到达D点需要的时间为＝1（h）.
【反思感悟】
正、余弦定理在实际应用中应注意的问题
（1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图；
（2）明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等；
（3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形；
（4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.
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