6.1 平面向量的概念
1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景（数学抽象）. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素（直观想象）. 3.理解共线向量和相等向量的含义（直观想象）.
知识点一｜向量的概念及表示
问题1 （1）在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？
（2）在平面直角坐标系中，用箭头表示坐标轴的方向，物理量“位移”“速度”和“力”可以用此方法表示它们的方向吗？
【知识梳理】
1.向量的概念
（1）向量：既有 又有 的量叫做向量；
（2）数量：只有 没有 的量称为数量.
2.向量的表示
（1）有向线段：具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、 、长度.以A为起点、B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 ；
（2）向量的表示
提醒：（1）向量有两个要素：大小和方向；（2）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；（3）有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示.
（3）零向量与单位向量
向量名称 定义
零向量 长度为 的向量，记作
单位向量 长度等于 长度的向量
提醒：（1）定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向，零向量的方向是任意的；（2）0与0不同.0表示数量，但0表示零向量.
角度1 向量的概念
【例1】 〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.零向量没有方向
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量的长度都为0
D.两个单位向量的长度相等
【规律方法】
向量有关概念的辨析
（1）判断一个量是否为向量的两个关键条件：①有大小；②有方向.两个条件缺一不可；
（2）理解零向量和单位向量应注意的问题：①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.
提醒：两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等.
训练1 〔多选〕下列命题正确的是（ ）
A.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量
B.温度含零上和零下温度，所以温度是向量
C.若向量a＝，b＝，则｜a｜＝｜b｜
D.向量的大小与方向无关
角度2 向量的表示
【例2】 （链接教材P3例1）在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务.
（1）作出，，；
（2）求｜｜.
【规律方法】
用有向线段表示向量的步骤
训练2 某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方向走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D.试分别作出向量，和.
知识点二｜相等向量与共线向量
问题2 （1）在 ABCD中，向量与有什么关系？向量与有什么关系？
（2）如图，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？
【知识梳理】
1.平行向量（共线向量）：方向 的非零向量叫做平行向量.向量a与b平行，记作 .
规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有 .
2.相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作 .
提醒：（1）若a∥b，b∥c，则a与c未必共线；（2）两向量共线，则两向量所在的直线平行或重合.
【例3】 （链接教材P4例2）如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所标出的向量中.
（1）分别写出与，相等的向量；
（2）写出与共线的向量；
（3）写出与模相等的向量.
【规律方法】
共线向量与相等向量的探求方法
（1）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量；
（2）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的线段，再确定哪些是同向共线的向量.
提醒：在寻找共线向量时不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
训练3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
1.如图，在圆O中，向量，，是（ ）
A.有相同起点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等向量
2.〔多选〕在下列四个命题中，正确的是（ ）
A.单位向量都共线
B.长度相等的向量都相等
C.共线的单位向量不一定相等
D.任意向量与零向量都共线
3.〔多选〕设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是（ ）
A.＝ B.｜｜＝｜｜
C.＝ D.与共线
4.在如图所示的坐标纸中，小方格的边长为1，画出下列向量.
（1）｜｜＝3，点A在点O的正西方向；
（2）｜｜＝3，点B在点O的北偏西45°方向.
1.理清单 （1）向量的概念及表示； （2）向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量（平行向量）. 2.应体会 共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量，与平面几何中的“共线”“平行”是不同的.判定向量平行（共线），体现数形结合思想. 3.避易错 （1）零向量的模为零，方向不确定，不是没有方向； （2）所有的单位向量模都是1个单位长度，方向未必相同.
提示：完成课后作业 第六章 6.1
1 / 16.1 平面向量的概念
课标要求 情境导入
1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景（数学抽象）. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素（直观想象）. 3.理解共线向量和相等向量的含义（直观想象）. 你注意过吗？在描述天气的时候，温度和相对湿度都只要用一个实数就可以确切地表达，而风的确切描述，除了用一个实数说明“风力”外，还要给出“风向”.在生活中还有类似的例子吗？ 今天，我们也将开启探究之旅，去寻找一种既有大小又有方向的量——向量.
知识点一｜向量的概念及表示
问题1 （1）在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？
提示：面积、质量只有大小，没有方向，而位移、速度和力既有大小，又有方向.
（2）在平面直角坐标系中，用箭头表示坐标轴的方向，物理量“位移”“速度”和“力”可以用此方法表示它们的方向吗？
提示：可以.
【知识梳理】
1.向量的概念
（1）向量：既有 大小 又有 方向 的量叫做向量；
（2）数量：只有 大小 没有 方向 的量称为数量.
2.向量的表示
（1）有向线段：具有 方向 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 起点 、 方向 、长度.以A为起点、B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 ｜｜ ；
（2）向量的表示
提醒：（1）向量有两个要素：大小和方向；（2）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；（3）有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示.
（3）零向量与单位向量
向量名称 定义
零向量 长度为 0 的向量，记作 0
单位向量 长度等于 1个单位 长度的向量
提醒：（1）定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向，零向量的方向是任意的；（2）0与0不同.0表示数量，但0表示零向量.
角度1 向量的概念
【例1】 〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.零向量没有方向
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量的长度都为0
D.两个单位向量的长度相等
解析：CD 零向量有方向，只是方向任意，A错误；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，B错误；零向量的长度都是0；单位向量的长度都是1，故C、D正确.
【规律方法】
向量有关概念的辨析
（1）判断一个量是否为向量的两个关键条件：①有大小；②有方向.两个条件缺一不可；
（2）理解零向量和单位向量应注意的问题：①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.
提醒：两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等.
训练1 〔多选〕下列命题正确的是（ ）
A.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量
B.温度含零上和零下温度，所以温度是向量
C.若向量a＝，b＝，则｜a｜＝｜b｜
D.向量的大小与方向无关
解析：CD A中平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向，没有长度，不是向量，故A错误；B中的温度都是数量，不是向量，故B错误；C中由于｜a｜＝｜｜＝AB，｜b｜＝｜｜＝BA＝AB，因此有｜a｜＝｜b｜，故C正确；D中向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故D正确.
角度2 向量的表示
【例2】 （链接教材P3例1）在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务.
（1）作出，，；
解：（1）如图所示，作出，，.
（2）求｜｜.
解：（2）由题意知AB∥CD，AB＝CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AD＝BC＝400 km，所以｜｜＝400 km.
【规律方法】
用有向线段表示向量的步骤
训练2 某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方向走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D.试分别作出向量，和.
解：根据题意，在平面内任取一点为A，按照题意要求的方向，作线段AB＝4，BC＝6，CD＝4，则向量，和如图所示.
知识点二｜相等向量与共线向量
问题2 （1）在 ABCD中，向量与有什么关系？向量与有什么关系？
提示：大小相等，方向相同；大小相等，方向相反.
（2）如图，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？
提示：大小不等，方向相同.
【知识梳理】
1.平行向量（共线向量）：方向 相同或相反 的非零向量叫做平行向量.向量a与b平行，记作 a∥b .
规定：零向量与任意向量 平行 ，即对于任意向量a，都有 0∥a .
2.相等向量：长度 相等 且方向 相同 的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作 a＝b .
提醒：（1）若a∥b，b∥c，则a与c未必共线；（2）两向量共线，则两向量所在的直线平行或重合.
【例3】 （链接教材P4例2）如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所标出的向量中.
（1）分别写出与，相等的向量；
解：（1）与相等的向量只有；与相等的向量只有.
（2）写出与共线的向量；
解：（2）与共线的向量有，，.
（3）写出与模相等的向量.
解：（3）与模相等的向量有，，，，，，.
【规律方法】
共线向量与相等向量的探求方法
（1）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量；
（2）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的线段，再确定哪些是同向共线的向量.
提醒：在寻找共线向量时不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
训练3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
解：（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF＝BC.
又因为D是BC的中点，所以与共线的向量有，，，，，，.
（2）写出与的模相等的向量；
解：（2）与的模相等的向量有，，，，.
（3）写出与相等的向量.
解：（3）与相等的向量有，.
1.如图，在圆O中，向量，，是（ ）
A.有相同起点的向量 B.共线向量
C.模相等的向量 D.相等向量
解析：C 由题图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆O的半径.故选C.
2.〔多选〕在下列四个命题中，正确的是（ ）
A.单位向量都共线 B.长度相等的向量都相等
C.共线的单位向量不一定相等 D.任意向量与零向量都共线
解析：CD 对于A，单位向量长度都相等，但不一定都共线，A错误；对于B，长度相等的向量，方向不一定相同，故长度相等的向量不一定相等，B错误；对于C，共线的单位向量方向可能相反，C正确；对于D，任意向量与零向量都共线，D正确.
3.〔多选〕设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是（ ）
A.＝ B.｜｜＝｜｜
C.＝ D.与共线
解析：AD 因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点，即有＝，A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则｜｜与｜｜不一定相等，B不正确；点A，O，B三点不共线，所以向量与向量的方向必不相同，所以与不相等，C不正确；在平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有与共线，D正确.故选A、D.
4.在如图所示的坐标纸中，小方格的边长为1，画出下列向量.
（1）｜｜＝3，点A在点O的正西方向；
解：（1）因为｜｜＝3，点A在点O的正西方向，所以向量如图所示.
（2）｜｜＝3，点B在点O的北偏西45°方向.
解：（2）因为｜｜＝3，点B在点O的北偏西45°方向，所以向量如图所示.
课堂小结
1.理清单 （1）向量的概念及表示； （2）向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量（平行向量）. 2.应体会 共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量，与平面几何中的“共线”“平行”是不同的.判定向量平行（共线），体现数形结合思想. 3.避易错 （1）零向量的模为零，方向不确定，不是没有方向； （2）所有的单位向量模都是1个单位长度，方向未必相同.
1.下列四个命题中正确的是（ ）
A.时间、距离都是向量
B.两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同
C.向量与向量表示同一个向量
D.平行向量不一定是共线向量
解析：B 对于A，时间和距离只有大小，没有方向，是数量，不是向量，故A错误；对于B，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，故B正确；对于C，向量与向量表示的是模长相等，方向相反的两个不同的向量，故C错误；对于D，平行向量也叫做共线向量，故D错误.故选B.
2.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量终点形成的图形是（ ）
A.单位圆 B.一段弧
C.线段 D.圆面
解析：A 平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长度为1的向量的起点固定在同一点，这些向量终点形成的轨迹是单位圆.故选A.
3.如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，且＝，则必有（ ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：D ∵在四边形ABCD中，＝，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴＝.
4.“向量，共线”是“直线AB∥CD”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：A 向量，共线 直线AB，CD平行或重合；直线AB∥CD 向量，共线.因此“向量，共线”是“直线AB∥CD”的必要不充分条件.
5.〔多选〕已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是（ ）
A.C A B.A∩B＝{a}
C.C B D.（A∩B） {a}
解析：AC 因为A∩B除了包含a，还包含与a长度相等且方向相反的向量，所以B，D中的关系错误.易知A、C正确.
6.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.｜｜＝｜｜
B.a，b都是单位向量，则｜a｜＝｜b｜
C.若｜｜＞｜｜，则＞
D.∥，则AB∥CD
解析：AB 对于A，与是起点和终点相反的向量，所以｜｜＝｜｜，A正确；对于B，a，b都是单位向量，则｜a｜＝｜b｜＝1，B正确；对于C，向量有大小和方向，不可以比较大小，C错误；对于D，∥，AB与CD可能平行或重合，D错误.
7.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点O为其中心，则｜｜＝ .
解析：因为正方形的对角线长为2，所以｜｜＝.
8.若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是 西北方向5 km .
解析：根据题意画出图形，如图，由题可知｜｜＝5 km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5 km.
9.在如图所示的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，则与相等的向量有 7 个（除外）.
解析：如图，当向量的起点是图中所标的格点时，可以作出7个与相等的向量（除外）.
10.已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中，
（1）试找出与共线的向量；
解：（1）与共线的向量有，.
（2）确定与相等的向量.
解：（2）由于与长度相等且方向相同，所以＝.
11.〔多选〕如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定正确的有（ ）
A.｜｜＝｜｜ B.与共线
C.与共线 D.＝
解析：ABD 由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知｜｜＝｜｜，A正确；由题图可知，与的方向相反，B正确；与方向相同且长度相等，即＝，D正确；而与不一定共线，C不一定正确.故选A、B、D.
12.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝ 0 .
解析：向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反；向量m与向量是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反.由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线，则m＝0.
13.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（每个小方格都是单位正方形）中，若象在A处，可跳到A1处，用向量表示象走了“一步”，若象在B或C处，则以B，C为起点表示象走了“一步”的向量共有 5 个.
解析：象在B处有一条路可走，在C处有四条路可走，如图，以B点为起点作向量，共1个，记作；以C点为起点作向量，共4个，分别记作，，，，所以共有5个.
14.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且｜｜＝.
（1）画出所有的向量；
解：（1）画出所有的向量，如图所示.
（2）求｜｜的最大值与最小值.
解：（2）由（1）所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，
｜｜取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，
｜｜取得最大值＝.
所以｜｜的最大值为，最小值为.
15.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，O是两对角线AC，BD的交点，设点集M＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{｜P，Q∈M且P，Q不重合}，求集合T中元素的个数.
解：以A点为起点的向量有4个，同理，分别以B，C，D，O为起点的向量各有4个，因此共有20个向量，但这20个向量中有如下相等向量：＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，所以共有12个互不相等的向量，即集合T中有12个元素.
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