6.2.2 向量的减法运算
1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、理解向量减法的几何意义（数学抽象、直观想象）. 2.掌握平面向量的减法运算及运算法则（直观想象、数学运算）.
知识点一｜向量的减法运算
问题1 （1）互为相反数的两个数有什么性质？类比相反数，能否给出“相反向量”的定义？
（2）类比两个实数的减法，如何定义向量的减法？
【知识梳理】
1.相反向量
（1）定义：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反向量，记作－a；
（2）性质：①－（－a）＝a；
②零向量的相反向量仍是零向量；
③对于相反向量有：a＋（－a）＝（－a）＋a＝0；
④如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
提醒：相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量.
2.向量减法的定义
向量a加上b的 ，叫做a与b的差，即a－b＝a＋（－b）.求两个向量差的运算叫做向量的减法.
提醒：两向量的差仍是向量.
【例1】 （1）－＋－＝（ ）
A. B.
C. D.0
（2）在△ABC中，O为BC的中点，记＝m，＝n，则＝（ ）
A.－m－n B.－m＋n
C.m－n D.m＋n
【规律方法】
两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行运算，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋（－b）即可.
训练1 〔多选〕下列命题中，正确的是（ ）
A.相反向量就是方向相反的向量 B.向量与是相反向量
C.两个向量的差仍是一个向量 D.相反向量是共线向量
知识点二｜向量减法的几何意义
问题2 如果已知＝a，＝b，请利用向量减法与加法的转化规则，用作图的方法得到a－b.
【知识梳理】
已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.
提醒：作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”.
【例2】 （链接教材P12例3）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【规律方法】
作两向量的差向量的步骤
训练2 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
知识点三｜向量加、减法的混合运算
【例3】 化简：（1）＋－－；
（2）（＋＋）－（－－）.
【规律方法】
1.向量减法运算的常用方法
2.向量加、减法化简的两种形式
（1）首尾相连且为和；
（2）起点相同且为差.
提醒：做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.
训练3 （1）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为（ ）
A.0 B.
C. D.
（2）在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则＋－＝ .
提能点｜向量加、减法的综合应用
【例4】 （链接教材P12例4）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
【规律方法】
用已知向量表示其他向量的一般步骤
（1）先观察各个向量在图形中的位置；
（2）寻找（或作出）相应的平行四边形或三角形；
（3）运用法则找关系；
（4）化简结果.
提醒：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和或差，即＝＋或＝－（M，N均是同一平面内的任意点）.
训练4 如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝ .（用a，b，c表示）
1.在△ABC中，＝a，＝b，则＝（ ）
A.a＋b B.－a－b
C.a－b D.b－a
2.－＋＋＝（ ）
A. B.
C. D.
3.若菱形ABCD的边长为2，则｜－＋｜＝ .
4.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，试用a，b，c，d表示以下向量：
（1）；
（2）；
（3）.
1.理清单 （1）向量减法的定义及几何意义； （2）向量加、减法的混合运算； （3）向量加、减法的综合应用. 2.应体会 向量的减法可以转化为向量的加法来进行，体现转化思想，三角形法则仍然可以进行向量减法运算，体现了数形结合思想. 3.避易错 求两向量的差时，将两向量移至共起点，连接两向量的终点，差向量的方向指向被减向量的终点.
提示：完成课后作业 第六章 6.2 6.2.2
1 / 16.2.2 向量的减法运算
课标要求 情境导入
1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、理解向量减法的几何意义（数学抽象、直观想象）. 2.掌握平面向量的减法运算及运算法则（直观想象、数学运算）. 在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”，类比数的减法，如何定义向量的减法法则？今天我们一起来学习.
知识点一｜向量的减法运算
问题1 （1）互为相反数的两个数有什么性质？类比相反数，能否给出“相反向量”的定义？
提示：互为相反数的两个数符号不同且绝对值相等，相反向量应为长度相等但方向相反的向量.
（2）类比两个实数的减法，如何定义向量的减法？
提示：两个向量的差的运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”.
【知识梳理】
1.相反向量
（1）定义：与向量a长度 相等 ，方向 相反 的向量，叫做a的相反向量，记作－a；
（2）性质：①－（－a）＝a；
②零向量的相反向量仍是零向量；
③对于相反向量有：a＋（－a）＝（－a）＋a＝0；
④如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
提醒：相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量.
2.向量减法的定义
向量a加上b的 相反向量 ，叫做a与b的差，即a－b＝a＋（－b）.求两个向量差的运算叫做向量的减法.
提醒：两向量的差仍是向量.
【例1】 （1）－＋－＝（ D ）
A. B.
C. D.0
解析：（1）－＋－＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.故选D.
（2）在△ABC中，O为BC的中点，记＝m，＝n，则＝（ A ）
A.－m－n B.－m＋n
C.m－n D.m＋n
解析：（2）＝＋＝－－＝－m－n.故选A.
【规律方法】
两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行运算，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋（－b）即可.
训练1 〔多选〕下列命题中，正确的是（ ）
A.相反向量就是方向相反的向量
B.向量与是相反向量
C.两个向量的差仍是一个向量
D.相反向量是共线向量
解析：BCD 由相反向量的定义知B、D正确，且C正确，A错误.故选B、C、D.
知识点二｜向量减法的几何意义
问题2 如果已知＝a，＝b，请利用向量减法与加法的转化规则，用作图的方法得到a－b.
提示：如图，作＝－b，由向量减法与加法的转化规则可知a－b＝a＋（－b）＝＋，以OA和OD为邻边作平行四边形OACD，则＋＝，且AC与OD平行且相等.再结合相反向量的定义，在四边形OCAB中，AC与OB平行且相等，所以四边形OCAB是平行四边形，所以＝＝a－b.
【知识梳理】
已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b 可以表示为从 向量b 的终点指向 向量a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.
提醒：作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”.
【例2】 （链接教材P12例3）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解：法一 如图1所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二 如图2所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
【规律方法】
作两向量的差向量的步骤
训练2 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解：由向量减法的三角形法则，
令a＝，b＝，则a－b＝－＝，
令c＝，所以a－b－c＝－＝.如图中即为a－b－c.
知识点三｜向量加、减法的混合运算
【例3】 化简：（1）＋－－；
（2）（＋＋）－（－－）.
解：（1）＋－－＝（－）＋（－）＝＋＝.
（2）（＋＋）－（－－）
＝＋－＋
＝＋＋＋
＝＋＝0.
【规律方法】
1.向量减法运算的常用方法
2.向量加、减法化简的两种形式
（1）首尾相连且为和；
（2）起点相同且为差.
提醒：做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.
训练3 （1）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为（ A ）
A.0 B.
C. D.
解析：（1）＋－－＝（－）＋（－）＝＋＝－＝0.
（2）在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则＋－＝ .
解析：（2）＋－＝－＝.
提能点｜向量加、减法的综合应用
【例4】 （链接教材P12例4）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
解：由平行四边形的性质可知＝＝c，
由向量的减法可知＝－＝b－a，
由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c.
【规律方法】
用已知向量表示其他向量的一般步骤
（1）先观察各个向量在图形中的位置；
（2）寻找（或作出）相应的平行四边形或三角形；
（3）运用法则找关系；
（4）化简结果.
提醒：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和或差，即＝＋或＝－（M，N均是同一平面内的任意点）.
训练4 如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝ a－b＋c .（用a，b，c表示）
解析：依题意，在△OAD中，＝＋＝c－b；在△OAB中，＝＋＝c－b＋a，所以＝a－b＋c.
1.在△ABC中，＝a，＝b，则＝（ ）
A.a＋b B.－a－b
C.a－b D.b－a
解析：B 如图，∵＝＋＝a＋b，∴＝－＝－a－b.
2.－＋＋＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 原式＝（＋）＋（＋）＝＋0＝.
3.若菱形ABCD的边长为2，则｜－＋｜＝ 2 .
解析：｜－＋｜＝｜＋＋｜＝｜｜＝2.
4.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，试用a，b，c，d表示以下向量：
（1）；
解：（1）＝－＝c－a.
（2）；
解：（2）＝－＝d－a.
（3）.
解：（3）＝－＝d－b.
课堂小结
1.理清单 （1）向量减法的定义及几何意义； （2）向量加、减法的混合运算； （3）向量加、减法的综合应用. 2.应体会 向量的减法可以转化为向量的加法来进行，体现转化思想，三角形法则仍然可以进行向量减法运算，体现了数形结合思想. 3.避易错 求两向量的差时，将两向量移至共起点，连接两向量的终点，差向量的方向指向被减向量的终点.
1.已知空间中三个不同的点A，B，C，则下列等式成立的是（ ）
A.＋＝ B.－＝
C.＋＝ D.－＝
解析：B 由平面向量的加法可知A、C选项错误；由平面向量的减法可得－＝，B对，D错误.故选B.
2.已知正六边形ABCDEF，则＋－＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 如图，由正六边形的特征可知＝，＝，所以＋－＝＋－＝＝.
3.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝（ ）
A.a－b＋c B.b－（a＋c）
C.a＋b＋c D.b－a＋c
解析：A ＝－＝＋－＝－＋＝a－b＋c.
4.在△ABC中，｜｜＝｜－｜＝｜＋｜，则△ABC是（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
解析：A －＝，＋＝，由｜｜＝｜－｜＝｜＋｜可得，｜｜＝｜｜＝｜｜，∴△ABC是等边三角形.故选A.
5.〔多选〕下列结果为零向量的是（ ）
A.＋（－）
B.－＋－
C.－＋
D.＋＋－
解析：BCD 对于A，＋（－）＝＋（＋）＝＋＝≠0，故选项A不正确；对于B，－＋－＝＋－＝－＝0，故选项B正确；对于C，－＋＝＋＝0，故选项C正确；对于D，＋＋－＝＋－＝－＝0，故选项D正确.
6.〔多选〕对于菱形ABCD，下列各式正确的是（ ）
A.＝
B.｜｜＝｜｜
C.｜－｜＝｜＋｜
D.｜＋｜＝｜－｜
解析：BCD 向量与的方向不同，但它们的模相等，所以B正确，A错误；因为｜－｜＝｜＋｜＝2｜｜，｜＋｜＝2｜｜，且｜｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜＋｜，所以C正确；因为｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以D正确.故选B、C、D.
7.如图，在梯形ABCD中，AC与BD交于点O，则－＋－＋＝ 0 .
解析：－＋－＋＝＋＋＋＋＝0.
8.若a，b为相反向量，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，则｜a＋b｜＝ 0 ，｜a－b｜＝ 2 .
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以｜a＋b｜＝0，又a＝－b，所以｜a｜＝｜－b｜＝1，因为a与－b共线，所以｜a－b｜＝2.
9.已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，作＝a，＝a＋b，则∠AOB＝ 30° .
解析：构造如图所示的平行四边形OABC，＝a，＝a＋b，则＝b，＝a－b，又｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则△AOC为正三角形，故∠COA＝60°，平行四边形OABC为菱形，故OB平分∠COA，则∠AOB＝30°.
10.如图，在各小题中，已知a，b，分别求作a－b.
解：将a，b的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，如图，＝a－b.
11.设a表示“向东走6 km”，b表示“向南走 3 km”，则b－a＋b所表示的意义为（ ）
A.向东南走6 km B.向东南走3 km
C.向西南走6 km D.向西南走3 km
解析：C 如图，分别作出＝a，＝2b，则利用向量加法的交换律可得b－a＋b＝（b＋b）－a，故＝（b＋b）－a.易知△OAB为等腰直角三角形，故∠OAB＝45°，且｜｜＝6，于是b－a＋b所表示的意义为向西南走6 km.故选C.
12.〔多选〕非零共线向量a，b的差为a－b，下列命题为真的是（ ）
A.若a，b反向，则a－b与a同向，且｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜
B.若a，b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a－b与a同向，且｜a－b｜＝｜a｜－｜b｜
C.若a，b同向，且｜b｜＞｜a｜，则a－b与a反向，且｜a－b｜＝｜b｜－｜a｜
D.若｜a｜＝｜b｜，则a－b＝0
解析：ABC 由符合条件的两向量差的几何意义知，对于A，如图1，A正确；对于选项B，如图2，B正确；对于选项C，如图3，C正确；对于选项D，当｜a｜＝｜b｜且a，b反向时，a－b≠0，D错误.
13.已知｜｜＝7，｜｜＝9，则｜－｜的取值范围为 [2，16] .
解析：∵｜｜｜－｜｜｜≤｜－｜≤｜｜＋｜｜且｜｜＝9，｜｜＝7，∴2≤｜－｜≤16.∴｜－｜的取值范围为[2，16].
14.如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB和BC的中点，G为AC与BD的交点.
（1）若｜｜＝｜＋＋｜，则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形？
解：（1）｜｜＝｜＋＋｜＝｜｜，故平行四边形ABCD是菱形.
（2）化简－－，并在图中作出化简后的向量.
解：（2）因为E为AB的中点，所以＝.
又F为BC的中点，所以由三角形中位线定理知EF∥AC，EF＝AC，故＝.
所以－－＝－－＝－（＋）＝－＝.
作出向量，如图所示.
15.如图，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
证明：如图，连接AH，HC，延长BO交圆O于点D，连接DA，DC，则OB＝OD，DA⊥AB，DC⊥BC.又AH⊥BC，CH⊥AB，
∴CH∥DA，AH∥DC，∴四边形AHCD是平行四边形.
∴＝.又＝－＝＋，
∴＝＋＝＋＝＋＋.
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