6.2.3 向量的数乘运算
课标要求 情境导入
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义（数学抽象、直观想象）. 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义（逻辑推理、数学运算）. 实数的运算中，3个5相加，我们可以写成5＋5＋5，也可以用乘法表示成5×3；3个a相加，我们可以写成a＋a＋a，也可以用乘法表示成3a；在向量的运算中，3个a相加，我们可以写成a＋a＋a，能不能写成3a？这就是我们今天要研究的向量的数乘运算.
知识点一｜向量的数乘运算
问题1 已知非零向量a，作出a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）.它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？
提示：a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，（－a）＋（－a）＋（－a）的长度是a的长度的3倍，与a的方向相反.
【知识梳理】
1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 向量 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa .
2.规定：（1）｜λa｜＝ ｜λ｜｜a｜ ；
（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向 相同 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 相反 ；当λ＝0时，λa＝ 0 ；（－1）a＝ －a .
提醒：数乘向量仍是向量，实数λ与向量不能相加.
【例1】 〔多选〕已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是（ ）
A.2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B.－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的
C.－2a与2a是一对相反向量
D.a－b与－（b－a）是一对相反向量
解析：ABC 因为2＞0，所以2a与a的方向相同，且｜2a｜＝2｜a｜，所以A正确；因为5＞0，所以5a与a的方向相同，且｜5a｜＝5｜a｜，又－2＜0，所以－2a与a的方向相反，且｜－2a｜＝2｜a｜，所以－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的，所以B正确；按照相反向量的定义可以判断，C正确；因为－（b－a）与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，所以a－b与－（b－a）为相等向量，所以D不正确.
【规律方法】
1.｜λ｜表示向量长度变化的倍数.
2.λ的符号决定λa与向量a的方向之间的关系.
训练1 （1）设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是（ D ）
A.a与λa的方向相同
B.a与－λa的方向相反
C.｜－λa｜＝｜－λ｜·a
D.｜－λa｜＝｜－λ｜·｜a｜
解析：（1）依题意，λ＞0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，但是λ＜0时，a与λa的方向相反，a与－λa的方向相同，故A、B错误；由数乘运算的长度的定义可知｜－λa｜＝｜－λ｜·｜a｜，故C错误，D正确.故选D.
（2）若点C在线段AB上，且＝，则（ D ）
A.＝ B.＝－
C.＝ D.＝－
解析：（2）因为点C在线段AB上，所以，同向，，反向，故B、C错误；又｜｜＝｜｜，所以A错误；又，反向且｜｜＝｜｜，所以＝－，故D正确.故选D.
知识点二｜向量的线性运算
问题2 类比实数的乘法满足的运算律，请猜想向量的数乘有哪些运算律？
提示：结合律，分配律.
【知识梳理】
1.定义：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
2.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么
（1）λ（μa）＝ （λμ）a ；
（2）（λ＋μ）a＝ λa＋μa ；
（3）λ（a＋b）＝ λa＋λb .
特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.
提醒：向量的线性运算结果仍是向量.
【例2】 （链接教材P14例5）（1）若a＝2b＋c，则化简3（a＋2b）－2（3b＋c）－2（a＋b）等于（ C ）
A.－a B.－b
C.－c D.以上都不对
解析：（1）原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.故选C.
（2）若3（x＋a）＋2（x－2a）－4（x－a＋b）＝0，则x＝ 4b－3a .
解析：（2）由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
【规律方法】
向量线性运算的方法
（1）向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数；
（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移项，合并同类项，系数化为1等步骤求解.
训练2 （1）化简［（2a＋8b）－（4a－2b）］的结果是（ B ）
A.2a－b B.2b－a
C.b－a D.a－b
（2）已知向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则向量x＝ 3a＋2b ，y＝ 4a＋3b .（用a，b表示）
解析：（1）原式＝（a＋4b－4a＋2b）＝（－3a＋6b）＝2b－a.
（2）由3x－2y＝a，①
－4x＋3y＝b，②
①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3（3a＋2b）－2y＝a，即y＝4a＋3b.
知识点三｜向量共线定理
问题3 如果b＝λa（a≠0），那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa（a≠0）？
提示：共线，存在.
【知识梳理】
向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在 唯一一个 实数λ，使 b＝λa .
提醒：（1）向量共线定理中规定a≠0，当a＝0时，λ未必存在；（2）λ的值是唯一存在的.
【例3】 （链接教材P15例7、P16例8）设a，b是不共线的两个非零向量.
（1）若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
解：（1）证明：∵＝－＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，＝－＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2，
∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.
（2）若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
解：（2）∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b），
即（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0.
∵a与b不共线，∴解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
【规律方法】
1.利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
2.证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ（或＝λ等）即可.
提醒：若向量，，的终点A，B，C共线，则存在实数x，y，且x＋y＝1，使得＝x＋y，反之也成立.
训练3 （1）已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是（ B ）
A.不共线 B.共线
C.相等 D.无法确定
解析：（1）∵a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，∴a＋b＝3e1－e2＝c，因此a＋b与c＝6e1－2e2的关系是共线，故选B.
（2）已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，a－tb共线，则实数t＝ ± .
解析：（2）∵b－ta与a－tb共线，∴存在实数λ，使得b－ta＝λ（a－tb），即（λ＋t）a＋（－λt－1）b＝0.∵a与b不共线，∴解得t＝±.
提能点｜用已知向量表示未知向量
【例4】 （链接教材P14例6）如图，在平行四边形OADB中，OD与AB交于点C，M，N分别是AB，OD上的点，且＝，＝，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.
解：由题意，可知＝＝＝（－）＝（a－b），所以＝＋＝b＋（a－b）＝a＋b.
又＝＝，
所以＝＋＝＋＝＝（＋）＝（a＋b）＝a＋b.
所以＝－＝a＋b－（a＋b）＝a－b.
【规律方法】
用已知向量表示未知向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
训练4 已知5x＋2y＝a，3x－y＝b，用向量a，b表示x，y，则x＝ a＋b ，y＝ a－b .
解析：把已知中的两个等式看成关于x，y的方程，联立得解得
1.若a＝－b（b≠0），则（ ）
A.a和b方向相同，｜a｜＝2｜b｜
B.a和b方向相同，｜b｜＝2｜a｜
C.a和b方向相反，｜a｜＝2｜b｜
D.a和b方向相反，｜b｜＝2｜a｜
解析：D ∵a＝－b（b≠0），－＜0，∴a和b方向相反，且｜a｜＝｜－b｜＝｜b｜，∴｜b｜＝2｜a｜.故选D.
2.已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，则2a－3b＋c＝（ ）
A.10d B.－10d
C.20d D.－20d
解析：B 2a－3b＋c＝2×4d－3×5d－3d＝8d－15d－3d＝－10d.
3.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则＋＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 在矩形ABCD中，AB CD，故＝，又∵E为CD的中点，∴＋＝＋＝＋＝.
4.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，求实数k的值.
解：依题意，＝e1＋2e2，
故＝＋＋＝7e1＋（k＋6）e2.
已知A，B，D三点共线，可设＝λ，
则7e1＋（k＋6）e2＝λ（e1＋ke2），
即（7－λ）e1＝（λk－k－6）e2，
所以解得k＝1.
课堂小结
1.理清单 （1）向量的数乘及运算律； （2）向量共线定理； （3）向量共线定理的应用. 2.应体会 借助向量共线定理，解决三点共线及求参数问题，体现了方程思想. 3.避易错 利用向量共线定理易忽略零向量这一特殊情况.
1.化简：6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）＝（ ）
A.6a＋2b＋8c B.6a－14b
C.－2a－14b D.6a＋2b
解析：D 6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b.
2.设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是（ ）
A.a＝－2b B.a＝2b
C.a∥b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜
解析：A 由＋＝0，得＝－，即a与b的方向相反，排除B、C、D，故选A.
3.如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝（ ）
A.a－b B.a＋b
C.a＋b D.a－b
解析：D 因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝＋＝a－b.
4.在梯形ABCD中，＝4，＋＝x＋y，则x－y＝（ ）
A.5 B.6 C.－5 D.－6
解析：B 因为＝4，所以＋＝（＋）＋4＝－5，所以x－y＝1－（－5）＝6，故选B.
5.〔多选〕已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是（ ）
A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B.存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0
C.已知正五边形ABCDE，其中＝a，＝b
D.已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
解析：AB 选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为梯形的两腰时，直线AB，CD是相交直线，则向量a，b不共线，故选A、B.
6.〔多选〕已知P为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.向量与可能平行
B.点P在线段EF的延长线上
C.点P在线段EF上
D.PE∶PF＝2∶1
解析：CD 因为P为△ABC所在平面内一点，E为AC的中点，F为BC的中点，所以＋＝2，＋＝2，又＋2＋3＝0即（＋）＋2（＋）＝0，所以2＋4＝0，即＝2，所以点P在线段EF上，且PE∶PF＝2∶1，故B错误，C、D正确；易知P，A，C三点不共线，则向量与不可能平行，故A错误.故选C、D.
7.已知＝，若＝λ，则λ＝ － .
解析：因为＝，所以－＝（＋），即＝－＝λ，所以λ＝－.
8.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝ － .（用，表示）
解析：利用向量的三角形法则，可得＝－，＝＋，∵E为BC的中点，F为AE的中点，∴＝，＝，∴＝－＝－＝（＋）－＝＋－.又∵＝，∴＝－.
9.已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y＝ 1 .
解析：法一 由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ，即－＝λ（－），所以＝（1－λ）＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
法二 由三点共线的性质定理可知，x＋y＝1.
10.（1）化简：[2（2a＋4b）－4（5a－2b）]；
（2）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），求x.
解：（1）[2（2a＋4b）－4（5a－2b）]＝（4a＋8b－20a＋8b）＝（－16a＋16b）＝－4a＋4b.
（2）因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c.
11.在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若2＋3＝2＋3，则四边形ABCD一定是（ ）
A.矩形 B.梯形 C.平行四边形 D.菱形
解析：B ∵2＋3＝2＋3，∴2（－）＝3（－），∴2＝3，∴四边形ABCD一定是梯形.故选B.
12.在△ABC中，＝，E为AD中点，则＝（ ）
A.＋ B.－
C.－ D.＋
解析：B 如图，因为＝，E为AD中点，所以＝－＝－＝－（＋）＝－［＋（－）］＝－（＋）＝－.故选B.
13.已知M为△ABC的边AB的中点，N为△ABC内一点，且＝＋，则＝ .
解析：如图所示，因为＝＋，所以＝，所以MN∥BC.又M为边AB的中点，所以点A到MN的距离等于点N到BC的距离，所以＝＝.
14.已知e1，e2是平面上两个不共线的向量，且＝ke1－4e2，＝－e1＋ke2，＝e1＋2e2.
（1）若，方向相反，求k的值；
（2）若A，C，D三点共线，求k的值.
解：（1）由题意知，∥，则存在λ∈R，使得＝λ，即ke1－4e2＝λ（－e1＋ke2），
整理得（k＋λ）e1＝（kλ＋4）e2.
由e1，e2是不共线的向量，
得解得或
又，方向相反，则λ＝－2，k＝2，故k的值为2.
（2）由题意得，＝＋＝（k＋1）e1－2e2.
由A，C，D三点共线得，存在μ∈R，使得＝μ，即（k＋1）e1－2e2＝μ（－e1＋ke2），整理得（k＋μ＋1）e1＝（kμ＋2）e2.
由e1，e2是不共线的向量，
得解得或
综上，k＝1或k＝－2.
15.如图，在三角形OPQ中，M，N分别是边OP，OQ的中点，点R在直线MN上，且＝x＋y（x，y∈R），求代数式的最小值.
解：因为点R，M，N共线，所以＝λ（λ∈R），则＝λ＋（1－λ），
因为M，N分别是边OP，OQ的中点，所以＝λ＋（1－λ）＝λ＋（1－λ），
所以x＋y＝λ＋（1－λ）＝，即y＝－x，
所以
＝
＝＝≥，
故当且仅当x＝时，取得最小值，最小值为.
1 / 16.2.3 向量的数乘运算
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义（数学抽象、直观想象）. 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义（逻辑推理、数学运算）.
知识点一｜向量的数乘运算
问题1 已知非零向量a，作出a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）.它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？
【知识梳理】
1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 .
2.规定：（1）｜λa｜＝ ；
（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝ ；（－1）a＝ .
提醒：数乘向量仍是向量，实数λ与向量不能相加.
【例1】 〔多选〕已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是（ ）
A.2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B.－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的
C.－2a与2a是一对相反向量
D.a－b与－（b－a）是一对相反向量
【规律方法】
1.｜λ｜表示向量长度变化的倍数.
2.λ的符号决定λa与向量a的方向之间的关系.
训练1 （1）设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是（ ）
A.a与λa的方向相同 B.a与－λa的方向相反
C.｜－λa｜＝｜－λ｜·a D.｜－λa｜＝｜－λ｜·｜a｜
（2）若点C在线段AB上，且＝，则（ ）
A.＝ B.＝－
C.＝ D.＝－
知识点二｜向量的线性运算
问题2 类比实数的乘法满足的运算律，请猜想向量的数乘有哪些运算律？
【知识梳理】
1.定义：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
2.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么
（1）λ（μa）＝ ；
（2）（λ＋μ）a＝ ；
（3）λ（a＋b）＝ .
特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.
提醒：向量的线性运算结果仍是向量.
【例2】 （链接教材P14例5）（1）若a＝2b＋c，则化简3（a＋2b）－2（3b＋c）－2（a＋b）等于（ ）
A.－a B.－b
C.－c D.以上都不对
（2）若3（x＋a）＋2（x－2a）－4（x－a＋b）＝0，则x＝ .
【规律方法】
向量线性运算的方法
（1）向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数；
（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移项，合并同类项，系数化为1等步骤求解.
训练2 （1）化简［（2a＋8b）－（4a－2b）］的结果是（ ）
A.2a－b B.2b－a
C.b－a D.a－b
（2）已知向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则向量x＝ ，y＝ .（用a，b表示）
知识点三｜向量共线定理
问题3 如果b＝λa（a≠0），那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa（a≠0）？
【知识梳理】
向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在 实数λ，使 .
提醒：（1）向量共线定理中规定a≠0，当a＝0时，λ未必存在；（2）λ的值是唯一存在的.
【例3】 （链接教材P15例7、P16例8）设a，b是不共线的两个非零向量.
（1）若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
（2）若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
【规律方法】
1.利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
2.证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ（或＝λ等）即可.
提醒：若向量，，的终点A，B，C共线，则存在实数x，y，且x＋y＝1，使得＝x＋y，反之也成立.
训练3 （1）已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是（ ）
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
（2）已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，a－tb共线，则实数t＝ .
提能点｜用已知向量表示未知向量
【例4】 （链接教材P14例6）如图，在平行四边形OADB中，OD与AB交于点C，M，N分别是AB，OD上的点，且＝，＝，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.
【规律方法】
用已知向量表示未知向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
训练4 已知5x＋2y＝a，3x－y＝b，用向量a，b表示x，y，则x＝ ，y＝ .
1.若a＝－b（b≠0），则（ ）
A.a和b方向相同，｜a｜＝2｜b｜
B.a和b方向相同，｜b｜＝2｜a｜
C.a和b方向相反，｜a｜＝2｜b｜
D.a和b方向相反，｜b｜＝2｜a｜
2.已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，则2a－3b＋c＝（ ）
A.10d B.－10d
C.20d D.－20d
3.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则＋＝（ ）
A. B.
C. D.
4.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，求实数k的值.
1.理清单 （1）向量的数乘及运算律； （2）向量共线定理； （3）向量共线定理的应用. 2.应体会 借助向量共线定理，解决三点共线及求参数问题，体现了方程思想. 3.避易错 利用向量共线定理易忽略零向量这一特殊情况.
提示：完成课后作业 第六章 6.2 6.2.3
1 / 1
