第二课时 向量数量积的运算及应用
知识点一｜向量数量积的运算律
问题 （1）数的乘法运算满足哪些运算律？
（2）向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律？
（3）对于向量a，b，c，（a＋b）·c＝a·c＋b·c成立吗？
【知识梳理】
1.向量数量积的运算律
（1）a·b＝ （交换律）；
（2）（λa）·b＝ ＝ （数乘结合律）；
（3）（a＋b）·c＝ （分配律）.
2.向量数量积的常用结论
（1）（a±b）2＝｜a±b｜2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2＝a2±2a·b＋b2；
（2）a2－b2＝（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2；
（3）（a＋b）2＋（a－b）2＝2（｜a｜2＋｜b｜2）；
（4）a2＋b2＝0 a＝b＝0.
提醒：（1）a·b＝b·c推不出a＝c；（2）a，c不共线时，（a·b）c≠a（b·c），它们表示不同的向量.
【例1】 （1）（链接教材P21例12）已知单位向量e1，e2的夹角为120°，向量a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，则a·b＝ ；
（2）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC上的一点，DC＝2BD，则·＝ .
【规律方法】
数量积运算的两个关键点
（1）求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题；
（2）涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解.
训练1 （1）已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，a与b的夹角为60°，则（a＋2b）·（a＋3b）＝ ；
（2）已知在边长为1的菱形ABCD中，点E为线段CD的中点，则·＝ .
知识点二｜向量模的计算
【例2】 （1）已知平面向量a，b的夹角为，且｜a｜＝，｜b｜＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则｜｜＝（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
（2）已知平面向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝1，则｜a＋2b｜＝（ ）
A. B.2
C.4 D.12
【规律方法】
求向量的模的常见思路及方法
（1）求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝｜a｜2，勿忘记开方；
（2）a·a＝a2＝｜a｜2或｜a｜＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
训练2 向量a，b满足｜a｜＝1，｜a－b｜＝，a与b的夹角为60°，则｜b｜＝（ ）
A. B.
C. D.
知识点三｜向量的夹角与垂直
角度1 两向量的夹角
【例3】 已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1及｜3a－2b｜＝，求a，b的夹角.
【规律方法】
求向量夹角θ的基本步骤
角度2 两向量的垂直
【例4】 （链接教材P21例13）已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，求实数m为何值时，c与d垂直.
【规律方法】
求解向量垂直问题的一般思路
对于非零向量a，b，a⊥b a·b＝0是向量中非常重要的性质，其作用主要有：（1）证明两向量垂直；（2）利用a·b＝0列方程求未知数的值；（3）解决平面几何图形中有关垂直的问题.
训练3 （1）若平面四边形ABCD满足＋＝0，（－）·＝0，则该四边形一定是（ ）
A.直角梯形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
（2）已知向量a，b，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，（a＋2b）⊥（3a－b），求向量a与b夹角的大小.
1.已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝（ ）
A.4 B.3
C.2 D.0
2.已知｜a｜＝1，a·b＝，｜a－b｜＝，则a与b的夹角为（ ）
A.120° B.60°
C.30° D.45°
3.已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，m与n夹角的余弦值为，若n⊥（t m＋n），则实数t＝ .
4.已知｜a｜＝1，｜b｜＝.
（1）若a，b的夹角为60°，求｜a＋b｜；
（2）若a－b与a垂直，求a与b的夹角.
1.理清单 （1）向量数量积的运算律； （2）利用数量积求向量的模和夹角； （3）与垂直有关的问题. 2.应体会 求向量的模时，要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用方程思想. 3.避易错 忽略向量数量积不满足结合律、消去律.
提示：完成课后作业 第六章 6.2 6.2.4 第二课时
1 / 1第二课时 向量数量积的运算及应用
知识点一｜向量数量积的运算律
问题 （1）数的乘法运算满足哪些运算律？
提示：①交换律：a·b＝b·a.②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）.③乘法对加法的分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.
（2）向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律？
提示：满足.
（3）对于向量a，b，c，（a＋b）·c＝a·c＋b·c成立吗？
提示：成立.证明如下：
如图，任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝a＋b.
设向量a，b，a＋b与c的夹角分别为θ1，θ2，θ，它们在向量c上的投影向量分别为，，，与c方向相同的单位向量为e，则
＝｜a｜cos θ1e，
＝｜b｜cos θ2e，
＝｜a＋b｜cos θ e.
因为a＝，所以＝.
于是＝＋＝＋，
即｜a＋b｜cos θ e＝｜a｜cos θ1e＋｜b｜cos θ2e.
整理，得（｜a＋b｜cos θ－｜a｜cos θ1－｜b｜cos θ2）e＝0，
所以｜a＋b｜cos θ－｜a｜cos θ1－｜b｜cos θ2＝0，
即｜a＋b｜cos θ＝｜a｜cos θ1＋｜b｜cos θ2，
所以｜a＋b｜｜c｜cos θ＝｜a｜｜c｜cos θ1＋｜b｜｜c｜·cos θ2.
因此（a＋b）·c＝a·c＋b·c.
【知识梳理】
1.向量数量积的运算律
（1）a·b＝ b·a （交换律）；
（2）（λa）·b＝ λ（a·b） ＝ a· （λb） （数乘结合律）；
（3）（a＋b）·c＝ a·c＋b·c （分配律）.
2.向量数量积的常用结论
（1）（a±b）2＝｜a±b｜2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2＝a2±2a·b＋b2；
（2）a2－b2＝（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2；
（3）（a＋b）2＋（a－b）2＝2（｜a｜2＋｜b｜2）；
（4）a2＋b2＝0 a＝b＝0.
提醒：（1）a·b＝b·c推不出a＝c；（2）a，c不共线时，（a·b）c≠a（b·c），它们表示不同的向量.
【例1】 （1）（链接教材P21例12）已知单位向量e1，e2的夹角为120°，向量a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，则a·b＝ － ；
解析：（1）因为单位向量e1，e2的夹角为120°，且a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，所以a·b＝（－e1＋2e2）·（2e1＋e2）＝－2＋3e1·e2＋2＝－2＋3×1×1×cos 120°＋2＝－.
（2）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC上的一点，DC＝2BD，则·＝ － .
解析：（2）由已知得＝，即－＝（－），所以＝＋.又＝－，所以·＝（＋）·（－）＝－｜｜2＋｜｜2＋·＝－×4＋×1＋×2×1×cos 120°＝－.
【规律方法】
数量积运算的两个关键点
（1）求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题；
（2）涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解.
训练1 （1）已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，a与b的夹角为60°，则（a＋2b）·（a＋3b）＝ 192 ；
解析：（1）（a＋2b）·（a＋3b）＝a·a＋5a·b＋6b·b＝｜a｜2＋5a·b＋6｜b｜2＝｜a｜2＋5｜a｜｜b｜cos 60°＋6｜b｜2＝62＋5×6×4×＋6×42＝192.
（2）已知在边长为1的菱形ABCD中，点E为线段CD的中点，则·＝ － .
解析：（2）·＝（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝－1＝－.
知识点二｜向量模的计算
【例2】 （1）已知平面向量a，b的夹角为，且｜a｜＝，｜b｜＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则｜｜＝（ A ）
A.2 B.4
C.6 D.8
解析：（1）因为＝（＋）＝（2a＋2b＋2a－6b）＝2a－2b，则｜｜2＝4（a－b）2＝4（a2－2a·b＋b2）＝4（3－2××2×cos ＋4）＝4，即｜｜＝2.
（2）已知平面向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝1，则｜a＋2b｜＝（ B ）
A. B.2
C.4 D.12
解析：（2）法一 ｜a＋2b｜＝＝＝＝＝2.
法二（数形结合法） 由｜a｜＝｜2b｜＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则｜a＋2b｜＝｜｜.又∠AOB＝60°，所以｜a＋2b｜＝2.
【规律方法】
求向量的模的常见思路及方法
（1）求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝｜a｜2，勿忘记开方；
（2）a·a＝a2＝｜a｜2或｜a｜＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
训练2 向量a，b满足｜a｜＝1，｜a－b｜＝，a与b的夹角为60°，则｜b｜＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 由题意得｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2－2｜a｜·｜b｜cos 60°＝，即1＋｜b｜2－｜b｜＝，解得｜b｜＝.
知识点三｜向量的夹角与垂直
角度1 两向量的夹角
【例3】 已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1及｜3a－2b｜＝，求a，b的夹角.
解：设a与b的夹角为θ，由题意得（3a－2b）2＝7，
∴9｜a｜2＋4｜b｜2－12a·b＝7，
又｜a｜＝｜b｜＝1，∴a·b＝，
∴｜a｜｜b｜cos θ＝，即cos θ＝.
又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.
【规律方法】
求向量夹角θ的基本步骤
角度2 两向量的垂直
【例4】 （链接教材P21例13）已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，求实数m为何值时，c与d垂直.
解：由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1.
若c⊥d，则c·d＝0.
∴c·d＝（a＋5b）·（ma－2b）＝ma2＋（5m－2）a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，
∴m＝.
故当m＝时，c与d垂直.
【规律方法】
求解向量垂直问题的一般思路
对于非零向量a，b，a⊥b a·b＝0是向量中非常重要的性质，其作用主要有：（1）证明两向量垂直；（2）利用a·b＝0列方程求未知数的值；（3）解决平面几何图形中有关垂直的问题.
训练3 （1）若平面四边形ABCD满足＋＝0，（－）·＝0，则该四边形一定是（ ）
A.直角梯形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
（1）解析：C 由＋＝0，得平面四边形ABCD是平行四边形.由（－）·＝0，得·＝0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形.
（2）已知向量a，b，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，（a＋2b）⊥（3a－b），求向量a与b夹角的大小.
（2）解：设a与b的夹角为θ，由已知得（a＋2b）·（3a－b）＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cos θ－8＝0，
所以cos θ＝，
又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
1.已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝（ ）
A.4 B.3
C.2 D.0
解析：B a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2－（－1）＝3.
2.已知｜a｜＝1，a·b＝，｜a－b｜＝，则a与b的夹角为（ ）
A.120° B.60°
C.30° D.45°
解析：D 由｜a－b｜＝可得（a－b）2＝，即｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝，故1－1＋｜b｜2＝，即｜b｜＝.设a与b的夹角为θ，则a·b＝｜a｜·｜b｜cos θ＝，即cos θ＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.
3.已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，m与n夹角的余弦值为，若n⊥（t m＋n），则实数t＝ －4 .
解析：由题意知，＝＝，所以m·n＝｜n｜2＝n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4.
4.已知｜a｜＝1，｜b｜＝.
（1）若a，b的夹角为60°，求｜a＋b｜；
解：（1）因为｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝3＋，
所以｜a＋b｜＝.
（2）若a－b与a垂直，求a与b的夹角.
解：（2）由（a－b）·a＝0，得a2＝a·b，
设a与b的夹角为θ，
所以cos θ＝＝，
又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.
课堂小结
1.理清单 （1）向量数量积的运算律； （2）利用数量积求向量的模和夹角； （3）与垂直有关的问题. 2.应体会 求向量的模时，要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用方程思想. 3.避易错 忽略向量数量积不满足结合律、消去律.
1.已知单位向量a，b，则（2a＋b）·（2a－b）的值为（ ）
A. B.
C.3 D.5
解析：C 由题意得（2a＋b）·（2a－b）＝4a2－b2＝4－1＝3.故选C.
2.若向量a，b满足｜a｜＝，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，则｜a＋b｜＝（ ）
A.3 B.2
C.10 D.
解析：D ∵（a－b）⊥a，∴（a－b）·a＝｜a｜2－a·b＝0，∴a·b＝｜a｜2＝2，∴｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，∴｜a＋b｜＝.
3.已知向量b在单位向量a上的投影向量为－4a，则（a＋b）·a＝（ ）
A.－3 B.－1
C.3 D.5
解析：A ∵向量b在单位向量a上的投影向量为－4a，｜a｜＝1，∴｜b｜cos＜a，b＞·＝a＝（a·b）a＝－4a，∴a·b＝－4，∴（a＋b）·a＝a2＋a·b＝1－4＝－3.
4.已知a，b，c均为单位向量，且2a＝3b＋4c，则a与b的夹角的余弦值为（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：D 因为a，b，c均为单位向量，且2a＝3b＋4c，所以2a－3b＝4c，则（2a－3b）2＝（4c）2，即4a2－12a·b＋9b2＝16c2，即4－12cos＜a，b＞＋9＝16，解得cos＜a，b＞＝－，即a与b的夹角的余弦值为－.故选D.
5.〔多选〕已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是（ ）
A.｜a＋b｜＝1 B.a⊥b
C.（4a＋b）⊥b D.a·b＝－1
解析：CD 分析知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；∵（a＋b）2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝3，∴｜a＋b｜＝，故A错误；∵（4a＋b）·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，∴（4a＋b）⊥b，故C正确；a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D正确.
6.〔多选〕若向量a，b满足｜b｜＝1，且（a＋b）⊥b，（a＋2b）⊥a，则下列命题正确的是（ ）
A.a·b＝－1 B.a与b的夹角为
C.｜a｜＝ D.a在b方向上的投影数量为1
解析：AC 由（a＋b）⊥b得a·b＋b2＝0，即a·b＋1＝0，所以a·b＝－1，故A正确；由（a＋2b）⊥a得2a·b＋a2＝0，即a2＝2，所以｜a｜＝，故C正确；设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故B错误；a在b方向上的投影数量为｜a｜cos θ＝＝＝－1，故D错误.
7.如图所示，A，B是圆O上的两点，若弦AB的长为2，则·＝ 2 .
解析：过点O作OD⊥AB于点D（图略）.
法一 ｜｜cos∠OAD＝｜｜＝｜｜＝1，·＝｜｜·｜｜cos∠OAD＝2.
法二 ·＝·（＋）＝·＋·＝｜｜｜｜cos 0°＋0＝2.
8.已知向量a与e的夹角为30°，｜a｜＝4，e为单位向量，则a在e上的投影向量的模与e在a上的投影向量的模分别为 2 、 .
解析：由投影向量的定义可知，a在e上的投影向量的模为｜｜a｜cos 30°｜＝4×＝2，e在a上的投影向量的模为｜｜e｜cos 30°｜＝.
9.已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，点P为△ABC所在平面内一点，且AP⊥BC.若＝＋λ，则实数λ＝ .
解析：由题意，知｜｜＝3，｜｜＝2，·＝3×2×cos 120°＝－3.因为AP⊥BC，所以·＝0.又＝＋λ，＝－，所以·＝（＋λ）·（－）＝（1－λ）·－＋λ＝－3（1－λ）－32＋λ·22＝7λ－12＝0，所以λ＝.
10.已知平面向量a，b，若｜a｜＝1，｜b｜＝2，且｜a－b｜＝.
（1）求a与b的夹角θ；
（2）若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及｜c｜.
解：（1）由｜a－b｜＝，得a2－2a·b＋b2＝7，
∴1－2×1×2×cos θ＋4＝7，
∴cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
（2）∵a⊥c，∴a·（ta＋b）＝0，
∴ta2＋a·b＝0，∴t＋1×2×（－）＝0，
∴t＝1，
∴c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×（－）＋4＝3，∴｜c｜＝.
11.〔多选〕如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中∠A＝30°，且B，C，D三点共线，则下列结论成立的是（ ）
A.＝ B.·＝0
C.与共线 D.·＝·
解析：ABC 设BC＝DE＝m，因为∠A＝30°，且B，C，D三点共线，所以∠ACB＝∠CED＝60°，∠ACE＝90°，CD＝AB＝m，AC＝EC＝2m，所以＝，·＝0，∥，故A、B、C成立；·＝2m·m·cos 60°＝m2，·＝2m·m·cos 30°＝3m2，故·＝·不成立.故选A、B、C.
12.已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为 {k｜k＞0且k≠1} .
解析：因为e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，所以（e1＋ke2）·（ke1＋e2）＝k＋k＋（k2＋1）e1·e2＝2k＞0，所以k＞0.但当e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为0时不符合题意，此时设e1＋ke2＝λ（ke1＋e2），λ＞0，得k＝1，故k≠1.综上，k的取值范围为{k｜k＞0且k≠1}.
13.设非零向量a与b的夹角是，且｜a｜＝｜a＋b｜，则的最小值是 .
解析：因为非零向量a与b的夹角是，且｜a｜＝｜a＋b｜，所以｜a｜2＝｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2＋2｜a｜｜b｜cos ，所以｜b｜2－｜a｜｜b｜＝0.因为｜b｜≠0，所以｜b｜＝｜a｜，所以（）2＝＝＝t2－2t＋＝（t－1）2＋，所以当t＝1时，取得最小值，最小值是＝.
14.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
（1）求证：（a－b）⊥c；
（2）若｜ka＋b＋c｜＞1（k∈R），求k的取值范围.
解：（1）证明：∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，
∴（a－b）·c＝a·c－b·c＝｜a｜·｜c｜cos 120°－｜b｜·｜c｜cos 120°＝0，∴（a－b）⊥c.
（2）∵｜ka＋b＋c｜＞1 ｜ka＋b＋c｜2＞1 （ka＋b＋c）2＞1，∴k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1.
∵a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－，∴k2－2k＞0，∴k＜0或k＞2.
∴k的取值范围是（－∞，0）∪（2，＋∞）.
15.已知平面上三个单位向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，e是该平面上任意的单位向量.
（1）求（e－a）·（e－b）＋（e－b）·（e－c）＋（e－c）·（e－a）的值；
（2）求2｜e·a｜＋3｜e·b｜＋4｜e·c｜的最大值.
解：（1）由a＋b＋c＝0，得（a＋b）2＝（－c）2＝1，即a·b＝－，同理可得a·c＝c·b＝－，
则（e－a）·（e－b）＋（e－b）·（e－c）＋（e－c）·（e－a）＝3－－2（a＋b＋c）·e＝.
（2）（2｜e·a｜＋3｜e·b｜＋4｜e·c｜）max
＝max{｜2e·a＋3e·b＋4e·c｜，｜2e·a＋3e·b－4e·c｜，｜2e·a－3e·b＋4e·c｜，｜－2e·a＋3e·b＋4e·c｜}
＝max{｜（2a＋3b＋4c）·e｜，｜（2a＋3b－4c）·e｜，｜（2a－3b＋4c）·e｜，｜（－2a＋3b＋4c）·e｜}
≤max{｜2a＋3b＋4c｜，｜2a＋3b－4c｜，｜2a－3b＋4c｜，｜－2a＋3b＋4c｜}＝max{，，，}
＝，此时e与2a＋3b－4c共线.
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