6.2.4 向量的数量积
课标要求 情境导入
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（数学抽象、直观想象）. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系（逻辑推理）. 前面我们学习了向量的线性运算，包括加法、减法和数乘运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！
第一课时 向量的夹角、数量积的定义及投影向量
知识点一｜两向量的夹角
问题1 物理上已学习了物体在力F的作用下发生了位移s，那么F所做的功为W＝｜F｜｜s｜cos θ.在计算公式中，θ的几何意义是什么？
提示：θ是向量F与向量s的夹角.
【知识梳理】
1.夹角：已知两个 非零向量 a，b（如图），O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 ∠AOB＝θ 叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是 0≤θ≤π .a，b的夹角记作＜a，b＞.
当θ＝0时，a与b 同向 ；当θ＝π时，a与b 反向 .
2.垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作 a⊥b .
提醒：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为.
【例1】 已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
解：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
因为｜a｜＝｜b｜＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
【规律方法】
求两个向量夹角的方法
（1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出；
（2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
训练1 如图，在等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，写出下列各组向量的夹角.
（1）与；
解：（1）与的夹角是∠EDF＝60°.
（2）与.
解：（2）因为＝，所以与的夹角等于与的夹角，即∠EDA＝120°.
知识点二｜两向量的数量积
【知识梳理】
1.向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 ｜a｜｜b｜cos θ 叫做向量a与b的数量积（或内积），记作 a·b ，即 a·b＝｜a｜｜b｜cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
提醒：（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0，这个数量的大小与两向量的长度及其夹角有关.
2.向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：
（1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ；
（2）a⊥b a·b＝0 ；
（3）当a∥b时，a·b＝特别地，a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝；
（4）a·b ≤ ｜a｜｜b｜；
（5）cos θ＝.
【例2】 （1）（链接教材P17例9）若｜m｜＝4，｜n｜＝6，m与n的夹角θ为120°，则m·n＝（ D ）
A.12 B.12
C.－12 D.－12
解析：（1）m·n＝｜m｜｜n｜cos θ＝4×6×cos 120°＝24×（－）＝－12.故选D.
（2）已知正三角形ABC的边长为1，则·＝ ，·＝ － .
解析：（2）∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜cos 60°＝1×1×＝.∵与的夹角为120°，∴·＝｜｜｜｜cos 120°＝1×1×（－）＝－.
【规律方法】
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；该定义式中涉及四个量，可知三求一.
训练2 （1）设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（ B ）
A. B.
C. D.π
解析：（1）设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
（2）已知平面上三点A，B，C满足｜｜＝3，｜｜＝4，｜｜＝5，则·＋·＋·＝（ D ）
A.－7 B.7
C.25 D.－25
解析：（2）由题得｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos（180°－C）＋5×3cos（180°－A）＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故选D.
知识点三｜投影向量
【问题2】 如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用｜OA｜和θ表示｜OD｜.
提示：｜OD｜＝｜OA｜cos θ.
【知识梳理】
1.定义：
如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b 投影 ，叫做向量a在向量b上的 投影向量 .
2.公式：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是 ｜a｜cos θ e .
提醒：（1）向量a在向量b上的投影向量是一个向量，它与向量b共线，其大小为｜｜a｜cos θ｜，其中θ为向量a与b的夹角；（2）a在b上的投影向量也可表示为｜a｜cos＜a，b＞或·b.
【例3】 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
（1）求a·b；
解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝5×4×cos 120°＝－10.
（2）求a在b上的投影向量.
解：（2）a在b上的投影向量为｜a｜cos θ e＝－e.
【规律方法】
投影向量的求解方法
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜cos θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜cos θ也称为a在b上投影向量的数量，即当0≤θ≤时，｜a｜cos θ为a在b上投影向量的模，当＜θ≤π时，｜a｜cos θ为a在b上投影向量模的相反数.
训练3 （1）等边三角形ABC的边长为2，则在上的投影向量为（ A ）
A.－ B.
C.2 D.－2
解析：（1）因为△ABC是边长为2的等边三角形，且cos＜，＞＝－，所以向量在向量上的投影向量为｜｜cos＜，＞×＝－1×＝－.故选A.
（2）已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且b在a上的投影向量为－a，则｜a＋b｜＝ .
解析：（2）由题意可得·a＝－a，又｜a｜＝3，所以a·b＝－6，又｜b｜＝4，所以｜a＋b｜＝＝＝＝.
1.已知在 ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析：C 如图，∠DAB＝60°，则与的夹角为∠ABC＝120°.
2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b＝（ ）
A.3 B.－3
C.－3 D.3
解析：B 由数量积的定义，得a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝×2×（－）＝－3.
3.〔多选〕对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π）
C.若a⊥b，则a·b＝0
D.｜a｜＝
解析：CD a·b＝0，则a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误；由
数量积的性质知，C正确；因为a·a＝｜a｜｜a｜cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝，所以D正确.
4.已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，向量a在向量e上的投影向量是 3e .
解析：因为向量a，e的夹角等于45°，所以向量a在向量e上的投影向量是｜a｜·cos 45°·e＝3e.
课堂小结
1.理清单 （1）两向量的夹角； （2）向量数量积的定义； （3）向量数量积的性质； （4）投影向量. 2.应体会 计算向量的数量积及投影向量，二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角问题时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法. 3.避易错 （1）用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； （2）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不同.
1.若｜a｜＝3，｜b｜＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝（ ）
A.－3 B.－6
C.6 D.2
解析：B a·b＝｜a｜｜b｜cos 135°＝3×4×（－）＝－6.故选B.
2.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（ ）
A.100 J B.50 J
C.50 J D.200 J
解析：B 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50（J）.
3.对于非零向量a与b，下列不等式中恒成立的是（ ）
A.a·b≥｜a｜｜b｜ B.a·b≤｜a｜｜b｜
C.a·b＞｜a｜｜b｜ D.a·b＜｜a｜｜b｜
解析：B 设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，cos θ∈[－1，1]，则a·b＝｜a｜｜b｜cos θ≤｜a｜｜b｜.故选B.
4.已知向量｜a｜＝2，b在a上的投影向量为－2a，则a·b＝（ ）
A.4 B.8
C.－8 D.－4
解析：C 根据b在a上的投影向量为－2a，得·＝－2a，即a·b＝－2｜a｜2＝－2×4＝－8.故选C.
5.〔多选〕设a为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（ ）
A.｜｜＝1 B.∥a
C.＝a D.·a＝｜a｜
解析：ABD 因为表示与向量a同方向的单位向量，所以＝1，∥a，即A、B正确；当a不是单位向量时，≠a，所以C错误；因为·a＝｜｜｜a｜cos 0°＝×｜a｜＝｜a｜，所以D正确.
6.〔多选〕在△ABC中，下列说法正确的是（ ）
A.在上的投影向量可能为0
B.｜－｜＝｜｜
C.若·＜0，则△ABC为钝角三角形
D.若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60°
解析：ABC 对于A，△ABC为直角三角形且∠ABC＝90°时，在上的投影向量为0，故A正确；对于B，｜－｜＝｜｜＝｜｜，故B正确；对于C，·＝｜｜｜｜cos A＜0，所以cos A＜0，所以A为钝角，则△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故D错误.故选A、B、C.
7.若向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1，且a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝ .
解析：a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120°＝.
8.已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为4e，则｜b｜＝ 4 .
解析：设a与b的夹角为θ，且a·b＝16，∴｜a｜·｜b｜·cos θ＝16，又∵a在b上的投影向量为4e，∴｜a｜·cos θ e＝4e，∴｜a｜cos θ＝4，∴｜b｜＝4.
9.已知圆O的半径为R，A，B是其圆周上的两个三等分点，则·＝ －R2 .
解析：因为圆O的半径为R，A，B是其圆周上的两个三等分点，所以｜｜＝｜｜＝R，＜，＞＝，＜，＞＝π－＝，｜｜＝R，所以·＝｜｜·｜｜cos＜，＞＝R2cos ＝－R2.
10.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向量.
（1）求a与b的夹角θ；
（2）求a在b上的投影向量.
解：（1）由a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，
得cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
（2）a在b上的投影向量为｜a｜cos θ e＝－e.
11.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星ABCDE中，AB＝6，O是该正五角星的中心，则·＝（ ）
A.－18 B.－12
C.12 D.18
解析：D 过O作OH⊥AB，垂足为H，如图所示，易知H为AB的中点，故·＝｜｜·｜｜·cos∠OAB＝｜｜·｜｜·＝｜｜2＝18.故选D.
12.〔多选〕在△ABC中，边长分别为a，b，c，外接圆半径为1，则下列结论中正确的是（ ）
A.若G是重心，则＋＋＝0
B.若H是垂心，则·＋·＋·＝0
C.若I是外心，则·（＋＋）＝（a2＋b2＋c2）
D.若O是内心，则·－·＝
解析：ABD A、B显然正确；对于C，·（＋＋）＝·（＋－＋）＝2·＝b2，若·（＋＋）＝（a2＋b2＋c2）成立，则△ABC为直角三角形，否则不成立，所以C不一定正确；对于D，设AD＝x，BD＝y，CE＝z，则解得x＝，如图，
·－·＝｜｜c－｜｜b＝｜｜（c－b）＝.故A、B、D正确.
13.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是 等边三角形 ，·＝ －8 .
解析：·＝｜｜｜｜cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，因为0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.此时·＝｜｜｜｜cos 120°＝－8.
14.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
（1）若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用，表示向量；
（2）求·的取值范围.
解：（1）由已知可得＝，连接AM，BM（图略），则四边形OAMB是菱形，则＝＋，
所以＝－＝－（＋）＝－－.
（2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜，那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，
则·＝××cos 60°＝.
当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则·＝cos 60°＝.
所以·的取值范围为［，］.
15.设M，P，Q为平面内三点，求证｜·｜≤｜｜｜｜，并确定等号成立的条件.
证明：令向量，的夹角为θ.
∵M，P，Q为平面内三点，∴0°≤θ≤180°，∴－1≤cos θ≤1，
又·＝｜｜｜｜cos θ，
∴－｜｜｜｜≤·≤｜｜｜｜，
∴｜·｜≤｜｜｜｜，
当且仅当cos θ＝±1即θ＝0°或180°时，｜·｜＝｜｜｜｜.
1 / 16.2.4 向量的数量积
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（数学抽象、直观想象）. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系（逻辑推理）.
第一课时 向量的夹角、数量积的定义及投影向量
知识点一｜两向量的夹角
问题1 物理上已学习了物体在力F的作用下发生了位移s，那么F所做的功为W＝｜F｜｜s｜cos θ.在计算公式中，θ的几何意义是什么？
【知识梳理】
1.夹角：已知两个 a，b（如图），O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是 .a，b的夹角记作＜a，b＞.
当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .
2.垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作 .
提醒：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为.
【例1】 已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
【规律方法】
求两个向量夹角的方法
（1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出；
（2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
训练1 如图，在等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，写出下列各组向量的夹角.
（1）与；（2）与.
知识点二｜两向量的数量积
【知识梳理】
1.向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积），记作 ，即 .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
提醒：（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0，这个数量的大小与两向量的长度及其夹角有关.
2.向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：
（1）a·e＝e·a＝｜a｜cos θ；
（2）a⊥b ；
（3）当a∥b时，a·b＝特别地，a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝；
（4）a·b ｜a｜｜b｜；
（5）cos θ＝.
【例2】 （1）（链接教材P17例9）若｜m｜＝4，｜n｜＝6，m与n的夹角θ为120°，则m·n＝（ ）
A.12 B.12
C.－12 D.－12
（2）已知正三角形ABC的边长为1，则·＝ ，·＝ .
【规律方法】
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；该定义式中涉及四个量，可知三求一.
训练2 （1）设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（ ）
A. B.
C. D.π
（2）已知平面上三点A，B，C满足｜｜＝3，｜｜＝4，｜｜＝5，则·＋·＋·＝（ ）
A.－7 B.7
C.25 D.－25
知识点三｜投影向量
【问题2】 如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用｜OA｜和θ表示｜OD｜.
【知识梳理】
1.定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 .
2.公式：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是 .
提醒：（1）向量a在向量b上的投影向量是一个向量，它与向量b共线，其大小为｜｜a｜cos θ｜，其中θ为向量a与b的夹角；（2）a在b上的投影向量也可表示为｜a｜cos＜a，b＞或·b.
【例3】 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
（1）求a·b；
（2）求a在b上的投影向量.
【规律方法】
投影向量的求解方法
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜cos θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜cos θ也称为a在b上投影向量的数量，即当0≤θ≤时，｜a｜cos θ为a在b上投影向量的模，当＜θ≤π时，｜a｜cos θ为a在b上投影向量模的相反数.
训练3 （1）等边三角形ABC的边长为2，则在上的投影向量为（ ）
A.－ B.
C.2 D.－2
（2）已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且b在a上的投影向量为－a，则｜a＋b｜＝ .
1.已知在 ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b＝（ ）
A.3 B.－3
C.－3 D.3
3.〔多选〕对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π）
C.若a⊥b，则a·b＝0
D.｜a｜＝
4.已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，向量a在向量e上的投影向量是 .
1.理清单 （1）两向量的夹角； （2）向量数量积的定义； （3）向量数量积的性质； （4）投影向量. 2.应体会 计算向量的数量积及投影向量，二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角问题时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法. 3.避易错 （1）用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； （2）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不同.
提示：完成课后作业 第六章 6.2 6.2.4 第一课时
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