6.3.1 平面向量基本定理
课标要求 情境导入
1.理解平面向量基本定理及其意义（数学抽象、直观想象）. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量（逻辑推理、数学运算）. 3.会用平面向量基本定理解决有关向量问题（数学运算）. 七个音符谱出千支乐曲，二十六个字母写就百态文章！在多样的平面向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？也就是说，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？
知识点一｜平面向量基本定理
问题 （1）如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量；
提示：如图，＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2.
（2）上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？
提示：分解方法唯一.事实上，若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即（λ1－μ1）e1＝（μ2－λ2）e2.因为e1与e2不共线，所以λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，所以λ1＝μ1，λ2＝μ2.
【知识梳理】
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的 任一 向量a， 有且只有一对 实数λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2 .
2.基底
若e1，e2 不共线 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
提醒：（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一个基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；（2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值.
【例1】 （1）〔多选〕设e1，e2是不共线的两个向量，则下列能作为平面内所有向量的一个基底的有（ ABD ）
A.e1与e1＋e2 B.e1－2e2与e2－2e1
C.e1－2e2与4e2－2e1 D.e1＋e2与e1－e2
解析：（1）由题意知e1，e2均不为零向量.设e1＋e2＝λe1，则无解，所以e1＋e2与e1不共线，A正确；同理可得B、D正确；因为e1－2e2＝－（4e2－2e1），所以e1－2e2与4e2－2e1共线，故C不正确.故选A、B、D.
（2）已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为 （－∞，4）∪（4，＋∞） .
解析：（2）若{a，b}能作为平面内的一个基底，则a与b不共线，则a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴实数λ的取值范围为（－∞，4）∪（4，＋∞）.
【规律方法】
对基底的理解
（1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；
（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
训练1 〔多选〕设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：AC 寻找不共线的向量组即可，在 ABCD中，与不共线，与不共线，而∥，∥，故A、C选项可作为基底.
知识点二｜用基底表示向量
【例2】 （链接教材P26例1）如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，用a，b表示，.
解：法一 设AC，BD交于点O，
则有＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b.
法二 设＝x，＝y，则＝＝y.
又所以
解得x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
【规律方法】
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示；二是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.
训练2 （1）在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以{b，c}作为基底，则＝（ ）
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
（1）解析：A 因为＝2，所以－＝2（－），所以－c＝2（b－），所以＝b＋c.故选A.
（2）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，.
（2）解：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点.
所以＝＝＝b.
＝＋＋＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
提能点｜平面向量基本定理的应用
【例3】 （链接教材P26例2）在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且＝，设＝a，＝b.
（1）试用基底{a，b}表示，，；
解：（1）＝＋＝＋＝＋＝a＋b，
＝＋＝＋＝＋＝a＋b，
＝－＝（a＋b）－（a＋b）＝a－b.
（2）若G为长方形ABCD所在平面内一点，且＝a－b，求证：E，G，F三点不能构成三角形的三个顶点.
解：（2）证明：＝－＝（a－b）－（a＋b）＝a－b，
∴＝2，∴∥，
又与有公共点E，
∴E，G，F三点共线，
∴E，G，F三点不能构成三角形的三个顶点.
【规律方法】
平面向量基本定理的应用
（1）平面向量基本定理的正用，就是已知一个基底，对平面内任一向量都可以沿这个基底的两个不共线向量的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的；
（2）平面向量基本定理的逆用，就是选择一个基底并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算解决问题（即求有关参数问题）.
训练3 （1）如图，在三角形ABC中，D是BC边上靠近点C的三等分点，E为AD中点.若＝x＋y，则x＝（ ）
A. B.－
C.－ D.
（1）解析：C 已知D是BC边上靠近点C的三等分点，所以＝＋.又E为AD中点，所以＝－＝（＋）－＝－＋，所以x＝－.故选C.
（2）如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E，求证：E为线段BD的三等分点.
（2）证明：设＝a，＝b，
则＝－＝b－a，
＝＋＝＋＝b＋a.
因为点A，E，F与点B，D，E分别共线，
所以存在实数λ，μ，
使＝λ，＝μ.
所以＝a＋λb，＝μb－μa.
由＋＝，
得（1－μ）a＋μb＝a＋λb.
因为a，b不共线，所以1－μ＝且μ＝λ，
解得λ＝μ＝，所以＝，
即E为线段BD（靠近D）的一个三等分点.
1.如果{a，b}是一个基底，那么下列一组向量不能作为基底的是（ ）
A.a＋b与a－b B.a＋2b与2a＋b
C.a＋b与－a－b D.a与－b
解析：C 由题意知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A、B、D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底.
2.设向量e1与e2不共线，若3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为（ ）
A.0，0 B.1，1
C.3，0 D.3，4
解析：D 因为向量e1与e2不共线，且3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋2xe2，所以解得故选D.
3.如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝（ ）
A.－2e1－4e2 B.－4e1－2e2
C.e2－3e1 D.－e2＋3e1
解析：C 如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C.
4.如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线的交点是M，设＝a，＝b，试用a，b表示，，与.
解：因为＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b，
所以＝－＝－（a＋b）＝－a－b，
＝＝（a－b）＝a－b，
＝－＝a＋b，
＝－＝－a＋b.
课堂小结
1.理清单 （1）平面向量基本定理； （2）用基底表示向量； （3）平面向量基本定理的应用. 2.应体会 平面向量基本定理的应用，实质是利用三角形法则、平行四边形法则进行线性运算，同时也体现了化归与转化、数形结合的思想. 3.避易错 基底中的向量必须是不共线的两个向量.
1.已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A.a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2 B.a＝4e1－2e2，b＝e2－2e1
C.a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2 D.a＝e1－2e2，b＝2e1＋4e2
解析：D A选项，因为a＝4b，所以a，b共线，a，b不能作为基底，A错误；B选项，因为a＝－2b，所以a，b共线，a，b不能作为基底，B错误；C选项，因为a＝3b，所以a，b共线，a，b不能作为基底，C错误；D选项，设a＝mb（m∈R），则e1－2e2＝2me1＋4me2，则无解，故a，b不共线，则a＝e1－2e2，b＝2e1＋4e2可以作为基底，D正确.故选D.
2.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝（ ）
A.（e1＋e2） B.（e1－e2）
C.（2e2－e1） D.（e2－e1）
解析：A 因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝（＋）＝（e1＋e2）.故选A.
3.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（ ）
A.平行四边形 B.矩形
C.梯形 D.菱形
解析：C 因为＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2，即＝2，所以AD∥BC且AD≠BC.故四边形ABCD为梯形.故选C.
4.在△ABC中，D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
解析：A 画出示意图如图所示，由题意可得，A，B，D三点共线，C为A，B，D所在直线外一点，且＝＋λ，则＋λ＝1，所以λ＝.
5.〔多选〕如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（ ）
A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B.对平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.λ1e1＋λ2e2（λ1，λ2∈R）不一定在平面α内
D.对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解析：AB A正确；B正确，平面内的任一向量都可以用基底表示；C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
6.〔多选〕如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ＋3μ，则（ ）
A.P为线段OC的中点时，μ＝
B.P为线段OC的中点时，μ＝
C.无论μ取何值，恒有λ＝
D.存在μ∈R，λ＝
解析：AC 由题意知＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ，因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为线段OC中点时，＝，则1－λ＝μ，且λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误.故选A、C.
7.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝ a＋b .（用a，b表示）
解析：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.
8.已知{e1，e2}是平面内的一个基底，若向量a＝4e1－2e2与b＝－2e1＋λe2共线，则λ＝ 1 .
解析：因为a＝4e1－2e2与b＝－2e1＋λe2共线，所以存在实数t，使得a＝tb，即4e1－2e2＝t（－2e1＋λe2）＝－2te1＋λte2，所以解得
9.设四边形ABCD为平行四边形，｜｜＝6，｜｜＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝ 9 .
解析：考虑以{，}为基底来计算.∵＝3，＝2，∴＝＋，＝－＝－＋，∴·＝（＋）·（－＋）＝－＝×36－×16＝9.
10.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
（1）证明：{a，b}可以作为一个基底；
（2）以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.
解：（1）证明：假设a＝λb（λ∈R），
则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）.
由e1，e2不共线，得方程组无解，
所以λ不存在.
故a与b不共线，{a，b}可以作为一个基底.
（2）设c＝ma＋nb（m，n∈R），
则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1＋（－2m＋3n）e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
11.如图所示的平行四边形ABCD中，点E，F满足＝2，＝，G为EF的中点，若＝λ＋μ，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 连接AE，AF（图略），因为＝2，＝，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋，又G为EF的中点，所以＝＋＝（＋）＋（＋）＝＋，所以λ＝，μ＝，所以＝＝.故选A.
12.〔多选〕如图所示，在平面直角坐标系中，以{i，j}为该平面内一个基底，下列选项正确的是（ ）
A.＝2i＋3j B.＝3i＋4j
C.＝－5i＋j D.＝5i－j
解析：ACD 因为{i，j}为该平面内一个基底，由图可知i⊥j，过点A作x，y轴的垂线，垂足分别为C，E两点；再过点B作x，y轴的垂线，垂足分别为F，D两点；过A作BF的垂线，垂足为点G，则＝2i，＝3j，＝－3i，＝4j，＝－5i，＝j.所以在矩形OCAE中，＝2i＋3j，A正确；在矩形OFBD中，＝－3i＋4j，B错误；在Rt△AGB中，＝－5i＋j，C正确；＝－＝5i－j，D正确.
13.在△ABC中，D是直线AB上的点，若2＝＋λ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则＝ .
解析：依题意作图，设＝μ＝μ（－）＝－μ＋μ ，由条件＝＋，∴μ＝－，＝μ＝－，＝－，∴点D在AB的延长线上，并且AD＝AB，∴＝＝.
14.在△COB中，点D为线段OB上靠近点B的三等分点，点A为BC的中点.
（1）用，表示，；
（2）若向量与λ＋平行，求λ的值.
解：（1）因为在△COB中，点D为线段OB上靠近点B的三等分点，点A为BC的中点，
所以＝＋＝＋2＝＋2（－）＝2－，＝，
所以＝－＝2－－＝2－.
（2）结合（1）可知λ＋＝λ＋2－＝（2＋λ）－，又向量与λ＋平行，
所以存在k∈R，使得λ＋＝k，
所以（2＋λ）－＝k（2－），
所以解得k＝，λ＝，所以λ的值为.
15.已知O是线段AB外一点，若＝a，＝b.
（1）设点G是△OAB的重心，证明：＝（a＋b）；
（2）设点A1，A2是线段AB的三等分点，△OAA1，△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1，G2，G3，试用向量a，b表示＋＋；
（3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论.（不必证明）
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.
解：（1）证明：设AB的中点为E，则＝＝×（a＋b）＝（a＋b）.
（2）由已知得＝（＋），＝（＋），＝（＋），
则＋＋＝（a＋b）＋（＋）＝（a＋b）＋［a＋（b－a）＋a＋（b－a）］＝a＋b.
（3）设A1是AB的二等分点，△OAA1，△OA1B的重心依次为G1，G2，则＝（a＋b），＋＝（＋）＋（＋）＝（a＋b）＋＝（a＋b）＋×（a＋b）＝（a＋b），
设A1，A2，A3是线段AB的四等分点，则＋＋＝（a＋b），
或设A1，A2，…，An－1是线段AB的n等分点，则＋＝a＋b（k＝1，2，…，n－1）；
设A1，A2，…，An－1是线段AB的n等分点，则＋＋…＋＝（a＋b）；
设A1，A2，…，An－1是线段AB的n等分点，△OAA1，△OA1A2，…，△OAn－1B的重心依次为G1，G2，…，Gn，则＋＋…＋＝（a＋b）.
1 / 16.3.1 平面向量基本定理
1.理解平面向量基本定理及其意义（数学抽象、直观想象）. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量（逻辑推理、数学运算）. 3.会用平面向量基本定理解决有关向量问题（数学运算）.
知识点一｜平面向量基本定理
问题 （1）如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量；
（2）上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？
【知识梳理】
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝ .
2.基底
若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
提醒：（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一个基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；（2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值.
【例1】 （1）〔多选〕设e1，e2是不共线的两个向量，则下列能作为平面内所有向量的一个基底的有（ ）
A.e1与e1＋e2 B.e1－2e2与e2－2e1
C.e1－2e2与4e2－2e1 D.e1＋e2与e1－e2
（2）已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为 .
【规律方法】
对基底的理解
（1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；
（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
训练1 〔多选〕设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
知识点二｜用基底表示向量
【例2】 （链接教材P26例1）如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，用a，b表示，.
【规律方法】
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示；二是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.
训练2 （1）在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以{b，c}作为基底，则＝（ ）
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
（2）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，.
提能点｜平面向量基本定理的应用
【例3】 （链接教材P26例2）在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且＝，设＝a，＝b.
（1）试用基底{a，b}表示，，；
（2）若G为长方形ABCD所在平面内一点，且＝a－b，求证：E，G，F三点不能构成三角形的三个顶点.
【规律方法】
平面向量基本定理的应用
（1）平面向量基本定理的正用，就是已知一个基底，对平面内任一向量都可以沿这个基底的两个不共线向量的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的；
（2）平面向量基本定理的逆用，就是选择一个基底并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算解决问题（即求有关参数问题）.
训练3 （1）如图，在三角形ABC中，D是BC边上靠近点C的三等分点，E为AD中点.若＝x＋y，则x＝（ ）
A. B.－
C.－ D.
（2）如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E，求证：E为线段BD的三等分点.
1.如果{a，b}是一个基底，那么下列一组向量不能作为基底的是（ ）
A.a＋b与a－b B.a＋2b与2a＋b
C.a＋b与－a－b D.a与－b
2.设向量e1与e2不共线，若3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为（ ）
A.0，0 B.1，1
C.3，0 D.3，4
3.如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝（ ）
A.－2e1－4e2 B.－4e1－2e2
C.e2－3e1 D.－e2＋3e1
4.如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线的交点是M，设＝a，＝b，试用a，b表示，，与.
1.理清单 （1）平面向量基本定理； （2）用基底表示向量； （3）平面向量基本定理的应用. 2.应体会 平面向量基本定理的应用，实质是利用三角形法则、平行四边形法则进行线性运算，同时也体现了化归与转化、数形结合的思想. 3.避易错 基底中的向量必须是不共线的两个向量.
提示：完成课后作业 第六章 6.3 6.3.1
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