6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
课标要求 情境导入
1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示（直观想象）. 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示（数学运算）. 上节课所学的平面向量基本定理告诉我们，指定基底之后，对平面上的任何一个向量都存在一组有序数对，使该向量具有唯一的分解方式.那这组有序数对能否称为“向量的坐标”呢？若建立了“向量的坐标”，可使抽象的向量数字化，对我们研究向量带来很多方便，下面让我们到知识的海洋里遨游吧！
知识点一｜平面向量的正交分解及坐标表示
问题1 （1）如图，在平面直角坐标系中，设与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，这里的向量i，j长度和方向上有什么特点？
提示：向量i，j都是单位向量且互相垂直.
（2）i，j能作为平面内的一个基底吗？
提示：能.
（3）在平面直角坐标系中，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？
提示：由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.
【知识梳理】
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量作正交分解.
2.平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标表示
（2）向量坐标与点的坐标的关系
在直角坐标平面中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标（x，y）就是 终点A 的坐标；反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量的坐标.
提醒：（1）点的坐标表示与向量的坐标表示不同，A（x，y），a＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同.
【例1】 （链接教材P29例3）如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及向量与的坐标.
解：由题意及题图知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点.
设B（x1，y1），D（x2，y2），
由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
∴B（，），D（－，），
又A（0，0），∴＝（，），＝（－，）.
【规律方法】
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标；
（2）在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
训练1 （1）已知＝（－2，4），则下列说法正确的是（ D ）
A.点A的坐标是（－2，4）
B.点B的坐标是（－2，4）
C.当B是原点时，点A的坐标是（－2，4）
D.当A是原点时，点B的坐标是（－2，4）
（2）已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是与x轴方向相同的单位向量，j是与y轴方向相同的单位向量，则和的坐标分别为 （4，3），（－4，3） .
解析：（2）由题图知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，所以＝（4，3）；因为＝＋＝－＋＝－4i＋3j，所以＝（－4，3）.
知识点二｜平面向量加、减运算的坐标表示
问题2 （1）已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b的坐标吗？
提示：a＋b＝（x1i＋y1j）＋（x2i＋y2j）＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，即a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）.同理可得a－b＝（x1－x2，y1－y2）.
（2）如图，已知A（x1，y1），B（x2，y2），怎样求的坐标？
提示：＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）.
【知识梳理】
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则：
（1）a＋b＝ （x1＋x2，y1＋y2） ；a－b＝ （x1－x2，y1－y2） ，即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；
（2）向量坐标的几何意义：
如图所示，在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），则＝（x1，y1），若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝ （x2－x1，y2－y1） .
结论：（1）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点 的坐标减去 起点 的坐标；
（2）两向量相等，对应坐标分别 相等 .
【例2】 （1）（链接教材P29例4）已知向量a＝（2，4），a＋b＝（3，2），则b＝ （1，－2） ，b－a＝ （－1，－6） ；
解析：（1）b＝a＋b－a＝（3，2）－（2，4）＝（1，－2）.b－a＝（1，－2）－（2，4）＝（－1，－6）.
（2）已知A（1，－2），B（2，1），C（3，2）和D（－2，3），则＋＋的坐标为 （－12，8） .
解析：（2）＝（－3，5），＝（－4，2），＝（－5，1），所以＋＋＝（－3，5）＋（－4，2）＋（－5，1）＝（－12，8）.
【规律方法】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算；
（3）向量的坐标运算可类比数的运算进行.
训练2 已知点A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），设＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b.
（1）求a＋b－c；
解：由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）.
（1）a＋b－c＝（5，－5）＋（－6，－3）－（1，8）＝（－2，－16）.
（2）求点M，N的坐标及向量的坐标.
解：（2）设O为坐标原点，
∵＝－＝c，
∴＝c＋＝（1，8）＋（－3，－4）＝（－2，4），
∴M（－2，4）.
又∵＝－＝b，
∴＝b＋＝（－6，－3）＋（－3，－4）＝（－9，－7），
∴N（－9，－7），
∴＝（－9，－7）－（－2，4）＝（－7，－11）.
提能点｜平面向量坐标运算的应用
【例3】 （链接教材P30例5）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B，C，D的坐标分别是（－1，3），（3，4），（2，2），求：
（1）向量的坐标；
解：（1）因为点B，C的坐标分别是（－1，3），（3，4），
所以＝（3，4）－（－1，3）＝（4，1）.
（2）顶点A的坐标.
解：（2）设顶点A的坐标为（x，y），
因为四边形ABCD为平行四边形，点D的坐标是（2，2），所以＝（2－x，2－y），
所以＝，即（4，1）＝（2－x，2－y），
所以解得
所以顶点A的坐标为（－2，1）.
【规律方法】
坐标形式下向量相等的条件及应用
（1）条件：相等向量的对应坐标相等；
（2）应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系即构造方程（组），由此可以求出某些参数的值或点的坐标.
训练3 已知点A（2，3），B（5，4），＝（5λ，7λ）（λ∈R）.若＝＋，试求λ为何值时：
（1）点P在第一、三象限的角平分线上；
解：设点P的坐标为（x，y），则＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），＋＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.
∵＝＋，且与不共线，
∴则
（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
（2）点P在第三象限内.
解：（2）若点P在第三象限内，则∴λ＜－1.
1.已知向量a＝（1，2），b＝（3，1），则b＋a＝（ ）
A.（－2，1） B.（2，－1）
C.（2，0） D.（4，3）
解析：D 因为a＝（1，2），b＝（3，1），所以b＋a＝（3，1）＋（1，2）＝（4，3）.故选D.
2.如果用i，j分别表示与x轴和y轴方向相同的单位向量，且A（2，3），B（4，2），则可以表示为（ ）
A.2i＋3j B.4i＋2j
C.2i－j D.－2i＋j
解析：C 设O为坐标原点，因为A（2，3），B（4，2），所以＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝4i＋2j－2i－3j＝2i－j.
3.如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，则a＋b＋c＝（ ）
A.（－4，6） B.（－6，0）
C.（－2，－4） D.（0，2）
解析：C 因为a＝－i－3j＝（－1，－3），b＝－3i＋j＝（－3，1），c＝2i－2j＝（2，－2），所以a＋b＋c＝（－2，－4）.
4.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的非负半轴上，则向量－＋的坐标为 （2，0） .
解析：因为－＋＝＋（＋）＝＋，由题意得A（0，0），B（1，0），所以＝（1，0），故－＋＝＋＝（1，0）＋（1，0）＝（2，0）.
课堂小结
1.理清单 （1）平面向量的正交分解及坐标表示； （2）平面向量加、减运算的坐标表示； （3）平面向量坐标运算的应用. 2.应体会 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是要求两个向量互相垂直；向量的和与差的坐标就是它们对应向量坐标的和与差；两个向量相等，则它们的坐标相同. 3.避易错 （1）向量的坐标不一定是终点的坐标； （2）的坐标一定是终点B的坐标减去起点A的坐标.
1.已知向量a＝（m，2），b＝（1，－2），若a＋b＝0，则实数m的值为（ ）
A.－4 B.4
C.－1 D.1
解析：C 由题意，向量a＝（m，2），b＝（1，－2），所以a＋b＝（m＋1，0）＝（0，0），可得m＋1＝0，解得m＝－1.
2.在平面直角坐标系xOy内， 已知点A（－1，1），＝（1，－2），则＝（ ）
A.（2，－3） B.（0，－1）
C.（－2，3） D.（0，1）
解析：B 因为点A（－1，1），所以＝（－1，1），故＝＋＝（－1，1）＋（1，－2）＝（0，－1）.故选B.
3.若＝（3，4），A点的坐标为（－2，－1），则B点的坐标为（ ）
A.（1，3） B.（5，5）
C.（1，5） D.（5，4）
解析：A 设B（x，y），∵A点的坐标为（－2，－1），∴＝（x＋2，y＋1）.又∵＝（3，4），∴解得即B点的坐标为（1，3）.故选A.
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数y＝sin x图象的最高点，Q是y＝sin x的图象与x轴的交点，则＋的坐标是（ ）
A.（，1） B.（π，0）
C.（－π，0） D.（2π，0）
解析：B 由题意以及题图可知Q（π，0），O（0，0），所以＋＝＝（π，0）.故选B.
5.已知平行四边形ABCD中，＝（3，7），＝（－2，3），对角线为AC，BD，则－＝（ ）
A.（1，10） B.（5，4）
C.（－4，6） D.（－5，2）
解析：C 因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＋＝（1，10），＝－＝（5，4），所以－＝（1，10）－（5，4）＝（－4，6）.故选C.
6.〔多选〕在平面直角坐标系xOy内，下面四种说法正确的有（ ）
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应唯一的一个向量
D.平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一对应
解析：ABD 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，A、B、D正确.
7.若A（2，－1），B（4，2），C（1，5），则＋＝ （－1，6） .
解析：法一 由题意得＝（2，3），＝（－3，3），所以＋＝（2，3）＋（－3，3）＝（－1，6）.
法二 ＋＝＝（－1，6）.
8.如图，向量a，b，c的坐标分别是 （－4，0） ， （0，6） ， （－2，－5） .
解析：将各向量分别向i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，所以a＝（－4，0）；b＝0i＋6j，所以b＝（0，6）；c＝－2i－5j，所以c＝（－2，－5）.
9.已知i，j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设＝（x2＋x＋1）i－（x2－x＋1）j（x∈R），则点A位于第 四 象限
解析：由题意得A（x2＋x＋1，－x2＋x－1），∵x2＋x＋1＝（x＋）2＋＞0，同理得－x2＋x－1＜0，∴点A位于第四象限.
10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2）.
（1）若＝＋，求点P的坐标；
（2）若＋＋＝0，求的坐标.
解：（1）因为＝（1，2），＝（2，1），
所以＝（1，2）＋（2，1）＝（3，3），
即点P的坐标为（3，3）.
（2）设点P的坐标为（x，y），
因为＋＋＝0，
又＋＋
＝（1－x，1－y）＋（2－x，3－y）＋（3－x，2－y）
＝（6－3x，6－3y）.
所以解得
所以点P的坐标为（2，2），故＝（2，2）.
11.已知向量与a＝（6，－8）的夹角为π，且｜｜＝｜a｜，若点A的坐标为（－1，2），则点B的坐标为（ ）
A.（－7，10） B.（7，10）
C.（5，－6） D.（－5，6）
解析：A 由题意知，与a方向相反，且｜｜＝｜a｜，∴＋a＝0.设B（x，y），则＝（x＋1，y－2），∴解得故点B的坐标为（－7，10）.
12.已知对任意平面向量＝（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝（xcos θ－ysin θ，xsin θ＋ycos θ），叫做点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A（0，1），点B（，1－2），把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（ ）
A.（－3，－1） B.（－3，0）
C.（－1，－2） D.（－1，－3）
解析：C 因为A（0，1），B（，1－2），所以＝（，－2），将向量绕起点A沿顺时针方向旋转，即逆时针方向旋转－，得到＝（cos（－）－（－2）sin（－），sin（－）＋（－2）cos（－）），化简得＝（－1，－3），所以点P的坐标为（－1，－2）.
13.〔多选〕已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为（ ）
A.（4，5） B.（8，9）
C.（2，－1） D.（3，－1）
解析：ABC 设点D的坐标为（x，y）.若是平行四边形ABCD，则有＝，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝4，y＝5，所以所求顶点D的坐标为（4，5），所以A正确；若是平行四边形ABDC，则有＝，即（5－3，4－2）＝（x－6，y－7），解得x＝8，y＝9，所以所求顶点D的坐标为（8，9），所以B正确；若是平行四边形ACBD，则有＝，即（6－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝－1，所以所求顶点D的坐标为（2，－1），所以C正确.综上，顶点D的坐标为（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故选A、B、C.
14.如图，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB＝∠ABC＝120°，｜｜＝｜｜＝2｜｜＝4.
（1）求的坐标；
解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E，
如图所示.
因为∠OAB＝120°，所以∠EAB＝60°，
又｜｜＝2，
所以在Rt△ABE中，AE＝1，BE＝，
又｜｜＝4，
所以A（4，0），B（5，），
所以＝（1，）.
（2）若四边形ABCD为平行四边形，求点D的坐标.
解：（2）过点C作CF⊥x轴于点F，
过点B作BM⊥CF于点M，如图所示.
在Rt△CMB中，｜｜＝4，∠CBM＝60°，所以BM＝2，CM＝2，
所以CF＝CM＋MF＝CM＋BE＝3，OF＝OE－BM＝3，即C（3，3），
设点D（x，y），
因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝，
又＝（1，），＝（3－x，3－y），所以解得
所以点D的坐标为（2，2）.
15.已知向量u＝（x，y）和向量v＝（y，2y－x）的对应关系可以用v＝f（u）表示.
（1）若a＝（1，1），b＝（1，0），试求向量f（a）及f（b）的坐标；
（2）求使f（c）＝（4，5）的向量c的坐标.
解：（1）由v＝f（u）可得，当u＝（x，y）时，有v＝（y，2y－x）＝f（u），从而f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）.
（2）设c＝（x，y），则f（c）＝（y，2y－x）＝（4，5），
所以解得即c＝（3，4）.
1 / 16.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示（直观想象）. 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示（数学运算）.
知识点一｜平面向量的正交分解及坐标表示
问题1 （1）如图，在平面直角坐标系中，设与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，这里的向量i，j长度和方向上有什么特点？
（2）i，j能作为平面内的一个基底吗？
（3）在平面直角坐标系中，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？
【知识梳理】
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解.
2.平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标表示
（2）向量坐标与点的坐标的关系
在直角坐标平面中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标（x，y）就是 的坐标；反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量的坐标.
提醒：（1）点的坐标表示与向量的坐标表示不同，A（x，y），a＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同.
【例1】 （链接教材P29例3）如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及向量与的坐标.
【规律方法】
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标；
（2）在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
训练1 （1）已知＝（－2，4），则下列说法正确的是（ ）
A.点A的坐标是（－2，4）
B.点B的坐标是（－2，4）
C.当B是原点时，点A的坐标是（－2，4）
D.当A是原点时，点B的坐标是（－2，4）
（2）已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是与x轴方向相同的单位向量，j是与y轴方向相同的单位向量，则和的坐标分别为 .
知识点二｜平面向量加、减运算的坐标表示
问题2 （1）已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b的坐标吗？
（2）如图，已知A（x1，y1），B（x2，y2），怎样求的坐标？
【知识梳理】
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则：
（1）a＋b＝ ；a－b＝ ，即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；
（2）向量坐标的几何意义：如图所示，在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），则＝（x1，y1），若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝ .
结论：（1）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标；
（2）两向量相等，对应坐标分别 .
【例2】 （1）（链接教材P29例4）已知向量a＝（2，4），a＋b＝（3，2），则b＝ ，b－a＝ ；
（2）已知A（1，－2），B（2，1），C（3，2）和D（－2，3），则＋＋的坐标为 .
【规律方法】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算；
（3）向量的坐标运算可类比数的运算进行.
训练2 已知点A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），设＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b.
（1）求a＋b－c；
（2）求点M，N的坐标及向量的坐标.
提能点｜平面向量坐标运算的应用
【例3】 （链接教材P30例5）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B，C，D的坐标分别是（－1，3），（3，4），（2，2），求：
（1）向量的坐标；
（2）顶点A的坐标.
【规律方法】
坐标形式下向量相等的条件及应用
（1）条件：相等向量的对应坐标相等；
（2）应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系即构造方程（组），由此可以求出某些参数的值或点的坐标.
训练3 已知点A（2，3），B（5，4），＝（5λ，7λ）（λ∈R）.若＝＋，试求λ为何值时：
（1）点P在第一、三象限的角平分线上；
（2）点P在第三象限内.
1.已知向量a＝（1，2），b＝（3，1），则b＋a＝（ ）
A.（－2，1） B.（2，－1）
C.（2，0） D.（4，3）
2.如果用i，j分别表示与x轴和y轴方向相同的单位向量，且A（2，3），B（4，2），则可以表示为（ ）
A.2i＋3j B.4i＋2j
C.2i－j D.－2i＋j
3.如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，则a＋b＋c＝（ ）
A.（－4，6） B.（－6，0）
C.（－2，－4） D.（0，2）
4.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的非负半轴上，则向量－＋的坐标为 .
1.理清单 （1）平面向量的正交分解及坐标表示； （2）平面向量加、减运算的坐标表示； （3）平面向量坐标运算的应用. 2.应体会 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是要求两个向量互相垂直；向量的和与差的坐标就是它们对应向量坐标的和与差；两个向量相等，则它们的坐标相同. 3.避易错 （1）向量的坐标不一定是终点的坐标； （2）的坐标一定是终点B的坐标减去起点A的坐标.
提示：完成课后作业 第六章 6.3 6.3.2 6.3.3
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