6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课标要求 情境导入
1.掌握向量数乘的坐标运算法则（数学运算）. 2.理解用坐标表示两向量共线的条件，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线（数学运算、逻辑推理）. 我们上一节课学面向量加、减运算的坐标表示，知道当a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）时，a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），那么当a＝b时，a＋b＝2a，向量2a的坐标与a的坐标有什么关系呢？
知识点一｜平面向量数乘运算的坐标表示
问题1 已知a＝（x1，y1），怎样求向量2a的坐标？你能得到向量λa的坐标吗？
提示：2a＝a＋a＝（2x1，2y1），λa＝（λx1，λy1）.
【知识梳理】
1.符号表示
已知a＝（x，y），则λa＝ （λx，λy） .
2.文字表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
【例1】 （链接教材P31例6）已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求：（1）2a＋3b；（2）a－3b；（3）a－b.
解：（1）2a＋3b＝2（－1，2）＋3（2，1）＝（－2，4）＋（6，3）＝（4，7）.
（2）a－3b＝（－1，2）－3（2，1）＝（－1，2）－（6，3）＝（－7，－1）.
（3）a－b＝（－1，2）－（2，1）＝（－，1）－（，）＝（－，）.
【规律方法】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；
（3）向量的线性运算可完全类比数的运算进行.
训练1 （1）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝（ A ）
A.（－23，－12） B.（23，12）
C.（7，0） D.（－7，0）
解析：（1）∵a＝（5，2），b＝（－4，－3），且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）.
（2）已知点B（4，5），C（－2，－1），若点D满足＝3，则点D的坐标为（ A ）
A.（－，） B.（，） C.（，－） D.（－，－）
解析：（2）设点D的坐标为（x，y），由＝3可得（x－4，y－5）＝3（－2－x，－1－y），所以解得所以点D的坐标为（－，）.
知识点二｜平面向量共线的坐标表示
问题2 向量a与非零向量b共线的充要条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？
提示：向量a与非零向量b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，若向量a与b共线，则有（x1，y1）＝λ（x2，y2），即消去λ，得x1y2－x2y1＝0.
【知识梳理】
条件 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0
结论 向量a，b共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0
提醒：（1）当b＝0时，x1y2－x2y1＝0也成立，所以对任意向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b x1y2－x2y1＝0；（2）也可以将式子写成x1y2＝x2y1，记忆口诀：外项积＝内项积.
【例2】 （1）（链接教材P31例7）已知平面向量a＝（－2，1），b＝（－4，x），若a与a＋2b共线，则实数x的值为（ ）
A.2 B.－2
C.8 D.－8
（1）解析：A 由题意可得a＋2b＝（－10，1＋2x），因为a与a＋2b共线，所以－2（1＋2x）＝－10，解得x＝2.故选A.
（2）（链接教材P32例8）已知O为坐标原点，＝（3，4），＝（7，12），＝（9，16），求证：A，B，C三点共线.
（2）证明：由题知＝－＝（4，8），
＝－＝（6，12）.
因为4×12＝6×8，
所以∥.
又因为与有公共点A，
所以A，B，C三点共线.
【规律方法】
1.利用向量共线求参数
利用向量平行的坐标等价形式列出方程（组），通过解方程（组）可以求出参数的值.
2.向量共线的判定方法
提醒：三点共线的实质是有公共点的两个向量共线问题.
训练2 （1）已知向量m＝（2，λ），n＝（－1，3），若（2m＋n）∥（m－n），则实数λ的值为（ ）
A.6 B.3
C.－3 D.－6
（1）解析：D 根据题意，向量m＝（2，λ），n＝（－1，3），则2m＋n＝（3，2λ＋3），m－n＝（3，λ－3）.若（2m＋n）∥（m－n），则λ－3＝2λ＋3，解得λ＝－6.
（2）已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），且＝，＝，求证：∥.
（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）.
由题意知＝（2，2），＝（－2，3），＝（4，－1），
∴＝＝（，），＝＝（－，1），
∴＝（x1，y1）－（－1，0）＝（，），
＝（x2，y2）－（3，－1）＝（－，1），
∴（x1，y1）＝（－，），（x2，y2）＝（，0），
∴＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（，－）.
∵4×（－）－（－1）×＝0，∴∥.
提能点｜有向线段的定比分点坐标公式及应用
【例3】 （链接教材P32例9）已知点A（3，－4）与点B（－1，2），点P在直线AB上，且｜｜＝2｜｜，求点P的坐标.
解：设点P的坐标为（x，y），
因为｜｜＝2｜｜，
所以当P在线段AB上时，＝2，
所以（x－3，y＋4）＝2（－1－x，2－y），
所以解得
所以点P的坐标为（，0）；
当P在线段AB的延长线上时，＝－2，
所以（x－3，y＋4）＝－2（－1－x，2－y），
所以解得
所以点P的坐标为（－5，8），
综上所述，点P的坐标为（，0）或（－5，8）.
变式 （1）若将本例条件“｜｜＝2｜｜”改为“＝3”，其他条件不变，求点P的坐标；
（2）若将本例条件改为“经过点P（－2，3）的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且｜｜＝3｜｜”，求点A，B的坐标.
解：（1）设点P的坐标为（x，y）.
因为＝3，
所以（x－3，y＋4）＝3（－1－x，2－y），
所以解得
所以点P的坐标为（0，）.
（2）由题设知，A，B，P三点共线，且｜｜＝3｜｜.
设A（x，0），B（0，y）.
①点P在A，B之间，则有＝3，
所以（－x，y）＝3（－2－x，3），
所以解得
点A，B的坐标分别为（－3，0），（0，9）.
②点P不在A，B之间，则有＝－3，
易得点A，B的坐标分别为（－，0），（0，－9）.
综上，点A，B的坐标分别为（－3，0），（0，9）或（－，0），（0，－9）.
【规律方法】
利用向量共线求点的坐标方法
（1）求点的坐标：把向量模的比例关系转化为向量数乘关系，再代入坐标运算；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2）.若点P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为（，）.
训练3 在△ABC中，A（2，3），B（8，－4），点G（2，－1）在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是（ ）
A.（－4，2） B.（－4，－2）
C.（4，－2） D.（4，2）
解析：B 设点C的坐标为（x，y），则点D的坐标为（，）.由＝2可得4＋x＝0，且－2＋y＝－4，解得x＝－4，y＝－2，故点C的坐标为（－4，－2）.
1.下列各组向量中，共线的是（ ）
A.a＝（－1，2），b＝（，1）
B.a＝（3，），b＝（2，）
C.a＝（2，3），b＝（2，－3）
D.a＝（－3，2），b＝（3，－2）
解析：D 选项A中，2×－（－1）×1≠0，则a与b不共线；同理，B，C中的两向量不共线；选项D中，2×3－（－3）×（－2）＝0，则有a∥b.
2.已知向量a＝（1，2），2a＋b＝（3，2），则b＝（ ）
A.（1，－2） B.（1，2）
C.（5，6） D.（2，0）
解析：A 由题意，得b＝（3，2）－2（1，2）＝（1，－2）.
3.已知A（1，－3），B（8，），C（9，λ），且A，B，C三点共线，则λ＝ 1 .
解析：由A（1，－3），B（8，），C（9，λ），可得＝（7，），＝（8，λ＋3），由A，B，C三点共线，得∥，则7（λ＋3）－8×＝0，解得λ＝1.
4.在平面直角坐标系中，已知点P1（－1，1），P2（1，3），点P满足＝－3，则点P的坐标为 （2，4） .
解析：设点P的坐标为（x，y），因为点P1（－1，1），P2（1，3），所以＝（x＋1，y－1），＝（1－x，3－y），因为＝－3，所以解得所以点P的坐标为（2，4）.
课堂小结
1.理清单 （1）平面向量数乘运算的坐标表示及简单应用； （2）两个向量共线的坐标表示及应用； （3）三点共线问题； （4）有向线段的定比分点坐标公式及应用. 2.应体会 利用向量共线的坐标表示可以解决参数问题及三点共线问题；向量数乘运算的坐标表示及应用体现了转化与化归的思想方法. 3.避易错 只有当x2y2≠0时，a∥b ＝.
1.已知e1＝（2，1），e2＝（1，3），a＝（－1，2），若a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对（λ1，λ2）为（ ）
A.（1，1） B.（－1，1）
C.（－1，－1） D.无法确定
解析：B 由已知得a＝λ1e1＋λ2e2＝（2λ1＋λ2，λ1＋3λ2），又a＝（－1，2），∴解得∴实数对（λ1，λ2）为（－1，1）.故选B.
2.如果向量a＝（k，1），b＝（4，k）共线且方向相反，则k＝（ ）
A.±2 B.－2
C.2 D.0
解析：B 因为a与b共线且方向相反，所以存在实数λ（λ＜0），使得b＝λa，即（4，k）＝λ（k，1）＝（λk，λ），所以解得或（舍去）.故选B.
3.已知点A（3，－1），B（3，2），O为坐标原点，＝2＋λ（λ∈R）.若点P在x轴上，则λ的值为（ ）
A.0 B.1
C.－1 D.－2
解析：B 设点P（a，0），则＝（a，0）.又＝（3，－1），＝（3，2），则（a，0）＝（6，－2）＋（3λ，2λ），则有解得
4.已知向量＝（7，6），＝（－3，m），＝（－1，2m），若A，C，D三点共线，则m＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
解析：D ＝＋＝（4，m＋6），因为A，C，D三点共线，所以与共线，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－.故选D.
5.〔多选〕已知a＝（5，4），b＝（3，2），则下列向量中与2a－3b平行的向量有（ ）
A.（，） B.（，－）
C.（－2，1） D.（1，2）
解析：AD ∵a＝（5，4），b＝（3，2），∴2a－3b＝（1，2），则与2a－3b平行的向量c＝（x，y）需满足y－2x＝0，即y＝2x.选项A，D中向量满足，故选A、D.
6.〔多选〕已知λ，μ∈R，＝（λ，1），＝（－1，1），＝（1，μ），则（ ）
A.＋＝（λ－1，1－μ） B.若∥，则λ＝2，μ＝
C.若A是BD的中点，则B，C两点重合 D.若点B，C，D共线，则μ＝1
解析：AC A选项，＋＝－＋－＝－＝（λ，1）－（1，μ）＝（λ－1，1－μ），A选项正确；B选项，若∥，则λ·μ＝1，故也可取λ＝3，μ＝，B选项错误；C选项，若A是BD的中点，则＝－，即（λ，1）＝（－1，－μ） λ＝μ＝－1，所以＝＝（－1，1），所以B，C两点重合，C选项正确；D选项，由于B，C，D三点共线，所以∥，＝－＝（－1，1）－（λ，1）＝（－1－λ，0），＝－＝（1，μ）－（λ，1）＝（1－λ，μ－1），则（－1－λ）×（μ－1）＝0×（1－λ） λ＝－1或μ＝1，所以D选项错误.
7.设向量a＝（1，2），b＝（－3，5），c＝（4，x），若a＋b＝λc（λ∈R），则λ＋x＝ － .
解析：由已知，可得（1，2）＋（－3，5）＝λ（4，x），所以解得所以λ＋x＝－.
8.已知向量a＝（3，2），b＝（2，－1），若非零向量ma＋nb与a＋2b共线，其中m，n∈R，则的值为 .
解析：由a＝（3，2），b＝（2，－1），得ma＋nb＝（3m＋2n，2m－n），a＋2b＝（7，0）.因为ma＋nb与a＋2b共线，所以14m－7n＝0，解得＝.
9.已知A（2，4），B（－4，6），若＝，＝，则的坐标为 （11，－） .
解析：设C（x1，y1），D（x2，y2），＝，则（x1－2，y1－4）＝（－6，2）＝（－9，3），所以x1＝－7，y1＝7，即C（－7，7）.又＝，则（x2＋4，y2－6）＝（6，－2）＝（8，－），所以x2＝4，y2＝，即D（4，），则＝（11，－）.
10.设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，－2），C（4，1）.
（1）若＝，求D点的坐标；
（2）设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值.
解：（1）设D（x，y），则＝（1，－5），＝（x－4，y－1）.
因为＝，所以（1，－5）＝（x－4，y－1），即解得
所以D点的坐标为（5，－4）.
（2）由题意得a＝＝（1，－5），b＝＝（2，3），所以ka－b＝（k－2，－5k－3），a＋3b＝（7，4）.
因为（ka－b）∥（a＋3b），所以4（k－2）＝7（－5k－3），解得k＝－.
11.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB＝4，E为AD的中点，若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ的值为（ ）
A. B.
C.2 D.
解析：B 以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（图略），则D（0，0），C（4，0），A（0，4），B（2，4），E（0，2），所以＝（－4，4），＝（－4，2），＝（2，4）.又因为＝λ＋μ（λ，μ∈R），所以（－4，4）＝λ（－4，2）＋μ（2，4），则解得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.故选B.
12.在平面直角坐标系中，A（1，m），B（－2，2m＋1），＝（－1，m－1），若A，B，C三点能构成三角形的三个顶点，则实数m的取值范围为 {m｜m≠2}.
解析：由题知A，B，C三点不共线，即，不共线，易得＝（－3，m＋1），又＝（－1，m－1），所以－（m＋1）≠－3（m－1），所以m≠2.所以实数m的取值范围为{m｜m≠2}.
13.已知A（0，5），B（－1，0），C（3，4），D是BC上一点且△ACD的面积是△ABC面积的，则△ABC的重心G的坐标是 （，3） ，点D的坐标是 （2，3） .
解析：由题可得△ABC的重心G的坐标为（，），即（，3）.由题意得＝3.设D（x，y），则＝（x＋1，y），＝（3－x，4－y），所以x＋1＝3（3－x），y＝3（4－y），解得x＝2，y＝3，即D（2，3）.
14.已知点O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），＝t1＋t2.
（1）若点M在第二或第三象限，求t1与t2满足的条件；
（2）求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线.
解：（1）点O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），＝t1＋t2，所以＝－＝（4，4），＝t1（0，2）＋t2（4，4）＝（4t2，2t1＋4t2）.当点M在第二或第三象限时，
（2）证明：当t1＝1时，由（1）知＝（4t2，4t2＋2），＝（4，4）.因为＝－＝（4t2，4t2）＝t2（4，4）＝t2，所以与共线，又与有公共点A，所以A，B，M三点共线.
15.如图，已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P是直线P1P2上一点，且＝λ（λ∈R，且λ≠－1）.
（1）求点P的坐标；
（2）探究点P的位置与λ的取值范围之间的关系.
解：（1）由题意可知，
＝＋， ①
＝－. ②
①＋λ×②得（1＋λ）＝＋＋λ－λ.
又已知＝λ，
所以（1＋λ）＝＋λ，
从而＝＝＝（，）.
因此，点P的坐标为（，）.
（2）设线段P1P2的中点为P0，
则点P的位置与λ的取值范围之间的关系如下：
①当点P位于P1P2的延长线上时，λ＜－1；
②当点P位于P2P1的延长线上时，－1＜λ＜0；
③当点P与P1重合时，λ＝0；
④当点P位于P1P0之间时，0＜λ＜1；
⑤当点P与P0重合时，λ＝1；
⑥当点P位于P0P2之间时，λ＞1；
⑦当点P与P2重合时，λ不存在.
1 / 16.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
1.掌握向量数乘的坐标运算法则（数学运算）. 2.理解用坐标表示两向量共线的条件，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线（数学运算、逻辑推理）.
知识点一｜平面向量数乘运算的坐标表示
问题1 已知a＝（x1，y1），怎样求向量2a的坐标？你能得到向量λa的坐标吗？
【知识梳理】
1.符号表示
已知a＝（x，y），则λa＝ .
2.文字表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
【例1】 （链接教材P31例6）已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求：
（1）2a＋3b；（2）a－3b；（3）a－b.
【规律方法】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；
（3）向量的线性运算可完全类比数的运算进行.
训练1 （1）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝（ ）
A.（－23，－12） B.（23，12）
C.（7，0） D.（－7，0）
（2）已知点B（4，5），C（－2，－1），若点D满足＝3，则点D的坐标为（ ）
A.（－，） B.（，）
C.（，－） D.（－，－）
知识点二｜平面向量共线的坐标表示
问题2 向量a与非零向量b共线的充要条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？
【知识梳理】
条件 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0
结论 向量a，b共线的充要条件是
提醒：（1）当b＝0时，x1y2－x2y1＝0也成立，所以对任意向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b x1y2－x2y1＝0；（2）也可以将式子写成x1y2＝x2y1，记忆口诀：外项积＝内项积.
【例2】 （1）（链接教材P31例7）已知平面向量a＝（－2，1），b＝（－4，x），若a与a＋2b共线，则实数x的值为（ ）
A.2 B.－2
C.8 D.－8
（2）（链接教材P32例8）已知O为坐标原点，＝（3，4），＝（7，12），＝（9，16），求证：A，B，C三点共线.
【规律方法】
1.利用向量共线求参数
利用向量平行的坐标等价形式列出方程（组），通过解方程（组）可以求出参数的值.
2.向量共线的判定方法
提醒：三点共线的实质是有公共点的两个向量共线问题.
训练2 （1）已知向量m＝（2，λ），n＝（－1，3），若（2m＋n）∥（m－n），则实数λ的值为（ ）
A.6 B.3
C.－3 D.－6
（2）已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），且＝，＝，求证：∥.
提能点｜有向线段的定比分点坐标公式及应用
【例3】 （链接教材P32例9）已知点A（3，－4）与点B（－1，2），点P在直线AB上，且｜｜＝2｜｜，求点P的坐标.
变式 （1）若将本例条件“｜｜＝2｜｜”改为“＝3”，其他条件不变，求点P的坐标；
（2）若将本例条件改为“经过点P（－2，3）的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且｜｜＝3｜｜”，求点A，B的坐标.
【规律方法】
利用向量共线求点的坐标方法
（1）求点的坐标：把向量模的比例关系转化为向量数乘关系，再代入坐标运算；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2）.若点P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为（，）.
训练3 在△ABC中，A（2，3），B（8，－4），点G（2，－1）在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是（ ）
A.（－4，2） B.（－4，－2）
C.（4，－2） D.（4，2）
1.下列各组向量中，共线的是（ ）
A.a＝（－1，2），b＝（，1）
B.a＝（3，），b＝（2，）
C.a＝（2，3），b＝（2，－3）
D.a＝（－3，2），b＝（3，－2）
2.已知向量a＝（1，2），2a＋b＝（3，2），则b＝（ ）
A.（1，－2） B.（1，2）
C.（5，6） D.（2，0）
3.已知A（1，－3），B（8，），C（9，λ），且A，B，C三点共线，则λ＝ .
4.在平面直角坐标系中，已知点P1（－1，1），P2（1，3），点P满足＝－3，则点P的坐标为 .
1.理清单 （1）平面向量数乘运算的坐标表示及简单应用； （2）两个向量共线的坐标表示及应用； （3）三点共线问题； （4）有向线段的定比分点坐标公式及应用. 2.应体会 利用向量共线的坐标表示可以解决参数问题及三点共线问题；向量数乘运算的坐标表示及应用体现了转化与化归的思想方法. 3.避易错 只有当x2y2≠0时，a∥b ＝.
提示：完成课后作业 第六章 6.3 6.3.4
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