6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
课标要求 情境导入
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算（数学运算）. 2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直（逻辑推理）. 前面我们学面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”来描述向量的加、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标来表示两向量的数量积呢？
知识点一｜平面向量数量积的坐标表示
问题1 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能给出a·b的值吗？
提示：根据向量数量积的定义，易得i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.
∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝（x1i＋y1j）·（x2i＋y2j）
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2
＝x1x2＋y1y2.
【知识梳理】
向量数量积的坐标表示
（1）语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；
（2）坐标表示：已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝ x1x2＋y1y2 .
【例1】 已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）.
（1）求a·（a－b）；
解：（1）法一 因为a＝（－1，2），b＝（3，2），
所以a－b＝（－4，0）.
所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－4）＋2×0＝4.
法二 a·（a－b）＝a·a－a·b
＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4.
（2）求（a＋b）·（2a－b）.
解：（2）因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2），
所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋4×2＝－2.
【规律方法】
向量数量积坐标运算的技巧
（1）两向量进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：①a2＝a·a；②（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；③（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积.
训练1 （1）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（ C ）
A.6 B.5
C.4 D.3
解析：（1）由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4.
（2）在平面直角坐标系Oxy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，－2），＝（2，1），则·＝（ A ）
A.5 B.4
C.3 D.2
解析：（2）由＝＋＝（1，－2）＋（2，1）＝（3，－1），得·＝（2，1）·（3，－1）＝2×3＋1×（－1）＝5.
知识点二｜平面向量的模
问题2 若向量a＝（x，y），你能计算出向量a的模吗？
提示：｜a｜＝＝＝＝.
【知识梳理】
1.向量模的坐标公式
若a＝（x，y），则｜a｜2＝ x2＋y2 ，｜a｜＝.
2.两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式
｜｜＝ .
【例2】 （1）已知向量a＝（1，0），b＝（2，2），则｜a－2b｜＝（ D ）
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：（1）由题知向量a＝（1，0），b＝（2，2），所以a－2b＝（－3，－4），所以｜a－2b｜＝＝5，故选D.
（2）已知，均为单位向量，且＋2＝（1，1），则｜｜＝（ C ）
A. B.C. D.
解析：（2）因为＋2＝（1，1），所以（＋2）2＝＋4＋4·＝2，因为向量，均为单位向量，所以1＋4＋4·＝2，所以·＝－，所以｜｜＝｜－｜＝＝＝.
【规律方法】
求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ .
训练2 已知向量a＝（2，m），b＝（3，6），若｜3a＋b｜＝｜3a－b｜，则实数m的值为（ ）
A.1 B.－1
C.4 D.－4
解析：B 法一 已知向量a＝（2，m），b＝（3，6），则3a＋b＝（9，3m＋6），3a－b＝（3，3m－6），由｜3a＋b｜＝｜3a－b｜可得＝，解得m＝－1.
法二 ∵｜3a＋b｜＝｜3a－b｜，∴（3a＋b）2＝（3a－b）2，即9a2＋6a·b＋b2＝9a2－6a·b＋b2，∴12a·b＝0，即a·b＝0，∴2×3＋6m＝0，m＝－1.
知识点三｜平面向量的夹角与垂直
问题3 你能根据向量数量积的坐标运算，表示两非零向量的夹角吗？当夹角为时，得到的结论是什么？
提示：若两非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.当夹角为时，x1x2＋y1y2＝0.
【知识梳理】
设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b的夹角.
（1）cos θ＝＝；
（2）a⊥b x1x2＋y1y2＝0 .
【例3】 （链接教材P35例11）已知a＝（4，3），b＝（－1，2）.
（1）求a与b夹角的余弦值；
解：（1）因为a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，
｜a｜＝＝5，｜b｜＝＝，
设a与b的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝.
（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值.
解：（2）因为a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8），
又（a－λb）⊥（2a＋b），
所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，解得λ＝.
【规律方法】
解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ；
（2）注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
训练3 （1）已知向量a＝（1，1），2a＋b＝（4，2），则向量a与b的夹角为（ B ）
A. B.
C. D.
解析：（1）由题意得b＝2a＋b－2a＝（2，0），所以a·b＝1×2＋1×0＝2，易得｜b｜＝2，｜a｜＝，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，故选B.
（2）已知A，B，C是平面直角坐标系内的三点，若＝（2，1），＝（3，－6），则△ABC的面积为（C ）
A.15 B.12
C. D.6
解析：（2）因为＝（2，1），＝（3，－6），所以·＝2×3－6＝0，即⊥，所以S△ABC＝｜｜·｜｜＝××＝，故选C.
1.已知a＝（－4，3），b＝（5，6），则3｜a｜2－4a·b＝（ ）
A.23 B.57
C.63 D.83
解析：D 3｜a｜2－4a·b＝3×[（－4）2＋32]－4×（－4×5＋3×6）＝83.故选D.
2.已知向量a＝（1，－2），b＝（m，1），若a⊥b，则b与a＋b夹角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.－
解析：A 因为a⊥b，所以a·b＝m－2＝0，即m＝2.所以b＝（2，1），a＋b＝（3，－1），所以cos＜b，a＋b＞＝＝＝＝.故选A.
3.设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，则｜3a＋b｜＝ .
解析：∵a∥b，∴1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝（1，2），｜3a＋b｜＝.
4.已知点A（0，1），B（1，－2），向量＝（4，－1），求·及｜｜.
解：因为＝（1，－3），
所以·＝1×4＋（－3）×（－1）＝7，
＝－＝（4，－1）－（1，－3）＝（3，2），
所以｜｜＝＝.
课堂小结
1.理清单 （1）平面向量数量积的坐标表示； （2）平面向量的模与夹角（垂直）问题. 2.应体会 应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、平行、夹角及长度等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法. 3.避易错 （1）易混淆平面向量平行与垂直的坐标表示； （2）在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况.
1.向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
解析：C ∵a＝（1，－1），b＝（－1，2），∴2a＋b＝（1，0），∴（2a＋b）·a＝1×1＋0×（－1）＝1.
2.已知向量m＝（1，1），向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则｜n｜＝（ ）
A.－1 B.1
C.2 D.－2
解析：B cos ＝＝＝－，｜n｜＝1.故选B.
3.已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
解析：A 由题设知＝（8，－4），＝（2，4），所以·＝8×2＋（－4）×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形.
4.已知向量a＝（－2，－1），b＝（1，2），若a在b上的投影向量为c，则c·（a＋b）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
解析：B 因为a＝（－2，－1），b＝（1，2），所以a在b上的投影向量为·＝×（1，2）＝（－，－），所以c＝（－，－）.因为a＋b＝（－1，1），所以c·（a＋b）＝－＝－.故选B.
5.〔多选〕已知向量a＝（1，3），b＝（2，－4），则下列结论正确的是（ ）
A.（a＋b）⊥a B.｜2a＋b｜＝
C.向量a，b的夹角为 D.a·b＝－10
解析：ACD 对于选项A，a＋b＝（3，－1），因为（a＋b）·a＝（3，－1）·（1，3）＝3－3＝0，所以（a＋b）⊥a，故A正确；对于选项B，易得2a＋b＝（4，2），所以｜2a＋b｜＝＝＝2，故B错误；对于选项C，设向量a，b的夹角为θ（θ∈[0，π]），则cos θ＝＝＝－，所以θ＝，即向量a，b的夹角为，故C正确；对于选项D，a·b＝1×2＋3×（－4）＝－10，故D正确.故选A、C、D.
6.〔多选〕已知向量a＝（cos θ，sin θ），b＝（－3，4），则（ ）
A.若a∥b，则tan θ＝－
B.若a⊥b，则sin θ＝
C.｜a－b｜的最大值为6
D.若a·（a－b）＝0，则｜a－b｜＝2
解析：ACD 若a∥b，则4cos θ＝－3sin θ，tan θ＝－，A正确；若a⊥b，则－3cos θ＋4sin θ＝0，tan θ＝，所以sin θ＝±，B错误；因为｜a｜＝＝1，｜b｜＝＝5，｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，所以C正确；若a·（a－b）＝0，则a2＝a·b，则｜a－b｜＝＝＝＝＝2，D正确.故选A、C、D.
7.设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m＝ －1 .
解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1.
8.已知a＝（2，0），b＝（1，2），实数λ满足｜a－λb｜＝，则λ的值为 1或－ .
解析：由题意可得a－λb＝（2－λ，－2λ），所以｜a－λb｜＝＝，解得λ＝1或λ＝－.
9.设点A（4，2），B（a，8），C（2，a），O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为 .
解析：∵四边形OABC是平行四边形，∴＝，即（4－0，2－0）＝（a－2，8－a），∴a＝6，∴＝（4，2），＝（2，6），设向量与的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，∴与的夹角为.
10.已知向量a＝（－1，2），b＝（3，－1）.
（1）求a＋2b的坐标与｜a－b｜；
（2）求向量a与a－b的夹角的余弦值.
解：（1）a＋2b＝（5，0），a－b＝（－4，3），
｜a－b｜＝＝5.
（2）a·（a－b）＝10，
｜a｜＝＝，
cos＜a，a－b＞＝＝＝.
11.若向量＝（3，－1），n＝（2，1），且n·＝7，则n·＝（ ）
A.－2 B.2
C.－2或2 D.0
解析：B ∵＋＝，∴n·（＋）＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2.
12.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是（ ）
A.（－2，6） B.（－6，2）
C.（－2，4） D.（－4，6）
解析：A 连接AE，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），设P（x0，y0），则－1＜x0＜3.＝（2，0），＝（x0，y0），则·＝2x0∈（－2，6）.故选A.
13.已知O为坐标原点，向量＝（2，2），＝（4，1），在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标为 （3，0） .
解析：设点P的坐标为（x，0），则＝（x－2，－2），＝（x－4，－1）.所以·＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）.
14.已知向量a＝（2，0），b＝（，）.
（1）若（a＋b）⊥（a－λb），求实数λ的值；
（2）若ka＋b与2a－b的夹角为钝角，求实数k的取值范围.
解：（1）因为（a＋b）⊥（a－λb），所以（a＋b）·（a－λb）＝0.
因为a＝（2，0），b＝（，），所以a＋b＝（，），a－λb＝（2－λ，－λ），所以（a＋b）·（a－λb）＝7－6λ＝0，解得λ＝.
（2）由已知可得（ka＋b）·（2a－b）＜0，且ka＋b与2a－b不共线，易得ka＋b＝（2k＋，），2a－b＝（，－），
由（ka＋b）·（2a－b）＜0，可得（2k＋）×＋×（－）＜0，解得k＜－.
若ka＋b与2a－b共线，则（2k＋）×（－）＝×，解得k＝－2，
所以由ka＋b与2a－b不共线可得k≠－2，所以k的取值范围为{k｜k＜－且k≠－2}.
15.在平面直角坐标系xOy中，给定A（x1，y1），B（x2，y2），假设O，A，B不在同一条直线上，如图所示.
（1）你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？
（2）以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积用A，B的坐标怎样表示？
解：（1）如图所示，
记t＝OA，a＝（－y1，x1），则容易验证，a是与垂直的单位向量.
过B作BD⊥OA于点D.因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知
BD＝｜a·｜，
因此，△OAB的面积为
S△OAB＝AO×BD＝AO×｜a·｜
＝t×｜（－y1，x1）·（x2，y2）｜
＝｜（－y1，x1）·（x2，y2）｜
＝｜x1y2－x2y1｜.
所以S△OAB＝｜x1y2－x2y1｜.
（2）由于以OA，OB为邻边的平行四边形OACB被AB分为两个全等的三角形，所以S OACB＝｜x1y2－x2y1｜.
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1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算（数学运算）. 2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直（逻辑推理）.
知识点一｜平面向量数量积的坐标表示
问题1 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能给出a·b的值吗？
【知识梳理】
向量数量积的坐标表示
（1）语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；
（2）坐标表示：已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝ .
【例1】 已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）.
（1）求a·（a－b）；
（2）求（a＋b）·（2a－b）.
【规律方法】
向量数量积坐标运算的技巧
（1）两向量进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：①a2＝a·a；②（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；③（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积.
训练1 （1）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（ ）
A.6 B.5
C.4 D.3
（2）在平面直角坐标系Oxy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，－2），＝（2，1），则·＝（ ）
A.5 B.4
C.3 D.2
知识点二｜平面向量的模
问题2 若向量a＝（x，y），你能计算出向量a的模吗？
【知识梳理】
1.向量模的坐标公式
若a＝（x，y），则｜a｜2＝ ，｜a｜＝.
2.两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式
｜｜＝ .
【例2】 （1）已知向量a＝（1，0），b＝（2，2），则｜a－2b｜＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
（2）已知，均为单位向量，且＋2＝（1，1），则｜｜＝（ ）
A. B.
C. D.
【规律方法】
求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝.
训练2 已知向量a＝（2，m），b＝（3，6），若｜3a＋b｜＝｜3a－b｜，则实数m的值为（ ）
A.1 B.－1
C.4 D.－4
知识点三｜平面向量的夹角与垂直
问题3 你能根据向量数量积的坐标运算，表示两非零向量的夹角吗？当夹角为时，得到的结论是什么？
【知识梳理】
设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b的夹角.
（1）cos θ＝＝；
（2）a⊥b .
【例3】 （链接教材P35例11）已知a＝（4，3），b＝（－1，2）.
（1）求a与b夹角的余弦值；
（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值.
【规律方法】
解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ；
（2）注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
训练3 （1）已知向量a＝（1，1），2a＋b＝（4，2），则向量a与b的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
（2）已知A，B，C是平面直角坐标系内的三点，若＝（2，1），＝（3，－6），则△ABC的面积为（ ）
A.15 B.12 C. D.6
1.已知a＝（－4，3），b＝（5，6），则3｜a｜2－4a·b＝（ ）
A.23 B.57
C.63 D.83
2.已知向量a＝（1，－2），b＝（m，1），若a⊥b，则b与a＋b夹角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.－
3.设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，则｜3a＋b｜＝ .
4.已知点A（0，1），B（1，－2），向量＝（4，－1），求·及｜｜.
1.理清单 （1）平面向量数量积的坐标表示； （2）平面向量的模与夹角（垂直）问题. 2.应体会 应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、平行、夹角及长度等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法. 3.避易错 （1）易混淆平面向量平行与垂直的坐标表示； （2）在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况.
提示：完成课后作业 第六章 6.3 6.3.5
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