第二课时 正弦定理
知识点一｜正弦定理的推导
问题 （1）如图，在Rt△ABC中，C＝90°，边a，b，c与角A，B的关系是什么？
（2）在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？你能用向量的方法证明吗？
（3）在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？
【知识梳理】
1.正弦定理的表示
（1）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径；
（2）符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝ ＝ ＝2R（R为△ABC的外接圆的半径）.
2.正弦定理的变形形式
设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：
（1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝ ；
（2）sin A＝，sin B＝ ，sin C＝；
（3）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
（4）＝＝＝＝2R；
（5）asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A.
知识点二｜已知两角及一边解三角形
【例1】 （链接教材P47例7）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形.
【规律方法】
已知两角及一边解三角形的一般步骤
训练1 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝，C＝，a＝5，则此三角形的最大边长为 .
知识点三｜已知两边及一边的对角解三角形
【例2】 （链接教材P47例8）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形.
变式 若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形.
【规律方法】
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
训练2 在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为（ ）
A.1 B.2
C.－1 D.
提能点｜判断三角形的形状
【例3】 在△ABC中，若＝2cos A，则此三角形为（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【规律方法】
利用正弦定理判断三角形形状的方法
（1）化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；
（2）化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2），进而确定三角形的形状.
训练3 已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.有一个内角是30°的直角三角形
三角形解的个数判断
通过教材P47例8我们知道，已知三角形的两边和其中一边的对角，可求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.那么怎样判断解的个数呢？
具体方法如下：
（1）代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a＜b，则A＜B，由正弦定理得sin B＝，①sin B＞1，即a＜bsin A，无解；②sin B＝1，即a＝bsin A，一解；③sin B＜1，即bsin A＜a＜b，两解.
（2）几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，见下表：
分类 图形 关系式 解的个数
A为锐角 a＜bsin A 无解
a＝bsin A 一解
bsin A＜ a＜b 两解
a≥b 一解
A为钝角或直角 a＞b 一解
a≤b 无解
【典例】 不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c）：
（1）a＝5，b＝4，A＝120°；
（2）a＝9，b＝10，A＝60°；
（3）b＝72，c＝50，C＝135°.
【迁移应用】
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ）
A.B＝30°，c＝4，b＝5，有两解
B.B＝30°，c＝4，b＝3.9，有一解
C.B＝30°，c＝4，b＝3，有一解
D.B＝30°，c＝4，b＝1，无解
2.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（ ）
A.x＞2 B.x＜2
C.2＜x＜2 D.2＜x＜2
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的是（ ）
A.a∶b＝A∶B B.a∶b＝sin A∶sin B
C.a∶b＝sin B∶sin A D.asin A＝bsin B
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝4，b＝4，B＝45°，则A＝（ ）
A.60° B.120°
C.60°或120° D.以上答案都不对
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，A＝45°，B＝30°，则b的值及△ABC外接圆的半径分别为（ ）
A.，2 B.，
C.2， D.2，2
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a.
1.理清单 （1）正弦定理及变形形式； （2）利用正弦定理解三角形； （3）应用正弦定理判断三角形的形状. 2.应体会 在解三角形的过程中，正弦定理及公式变形实现边角互化，体现了转化与化归、数形结合的思想方法. 3.避易错 已知两边及其中一边对角解三角形时一般要分类讨论.
提示：完成课后作业 第六章 6.4 6.4.3 第二课时
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知识点一｜正弦定理的推导
问题 （1）如图，在Rt△ABC中，C＝90°，边a，b，c与角A，B的关系是什么？
提示：sin A＝，sin B＝，可以变形写成c＝＝，又sin C＝1，则上式可写成＝＝.
（2）在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？你能用向量的方法证明吗？
提示：成立.
①如图，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C.
因为＋＝，所以j·（＋）＝j·.
由分配律，得j·＋j·＝j·，即｜j｜｜｜·cos ＋｜j｜｜｜cos（－C）＝｜j｜｜｜cos（－A），也即asin C＝csin A，所以＝.同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得＝.因此＝＝.
②当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角（如图所示），
过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A－，j与的夹角为－C，
仿照上述方法，同样可得＝＝.
（3）在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？
提示：观察图，
无论怎么移动B'，都会有角B'＝B，
所以在△AB'C中，＝＝c，c是Rt△ABC，△AB'C外接圆的直径，所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R（R为△ABC外接圆的半径）.
【知识梳理】
1.正弦定理的表示
（1）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦 的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径；
（2）符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝ ＝ ＝2R（R为△ABC的外接圆的半径）.
2.正弦定理的变形形式
设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：
（1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝ 2Rsin C ；
（2）sin A＝，sin B＝ ，sin C＝；
（3）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
（4）＝＝＝＝2R；
（5）asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A.
知识点二｜已知两角及一边解三角形
【例1】 （链接教材P47例7）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形.
解：因为＝＝，所以b＝＝＝＝4；因为C＝180°－（A＋B）＝180°－（30°＋45°）＝105°，所以c＝＝＝＝2＋2.
【规律方法】
已知两角及一边解三角形的一般步骤
训练1 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝，C＝，a＝5，则此三角形的最大边长为 5 .
解析：∵B＝，C＝，∴A＝，∴B所对的边最大，∵＝，∴b＝＝＝5.
知识点三｜已知两边及一边的对角解三角形
【例2】 （链接教材P47例8）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形.
解：由正弦定理＝，知sin A＝＝，
∵b＜a，∴A＝60°或120°，
当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，
∴c＝＝＝.
故当A＝60°时，C＝75°，c＝；
当A＝120°时，C＝15°，c＝.
变式 若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形.
解：由正弦定理＝，知sin B＝＝，
∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°，
∴c＝＝＝.
【规律方法】
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
训练2 在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为（ ）
A.1 B.2
C.－1 D.
解析：B 由＝及已知可得＝，∴sin B＝，由a＞b，得A＞B，又A＝，∴B∈（0，），∴B＝.故C＝π－－＝，由勾股定理得c＝＝2.
提能点｜判断三角形的形状
【例3】 在△ABC中，若＝2cos A，则此三角形为（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析：B 由＝2cos A可得sin B＝2sin Ccos A，易知sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C，所以2sin Ccos A＝sin Acos C＋cos Asin C sin（C－A）＝0，由于C，A为△ABC的内角，故C＝A，故△ABC为等腰三角形.故选B.
【规律方法】
利用正弦定理判断三角形形状的方法
（1）化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；
（2）化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2），进而确定三角形的形状.
训练3 已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一个内角是30°的直角三角形
解析：C 已知＝＝，由正弦定理可得cos A＝sin A，cos B＝sin B，故A＝B＝，C＝，则△ABC是等腰直角三角形.故选C.
三角形解的个数判断
通过教材P47例8我们知道，已知三角形的两边和其中一边的对角，可求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.那么怎样判断解的个数呢？
具体方法如下：
（1）代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a＜b，则A＜B，由正弦定理得sin B＝，①sin B＞1，即a＜bsin A，无解；②sin B＝1，即a＝bsin A，一解；③sin B＜1，即bsin A＜a＜b，两解.
（2）几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，见下表：
分类 图形 关系式 解的个数
A为锐角 a＜bsin A 无解
a＝bsin A 一解
bsin A＜a＜b 两解
a≥b 一解
A为钝角或直角 a＞b 一解
a≤b 无解
【典例】 不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c）：
（1）a＝5，b＝4，A＝120°；
解：（1）sin B＝sin 120°＝×＜，所以三角形有一解.
（2）a＝9，b＝10，A＝60°；
解：（2）sin B＝sin 60°＝×＝，而＜＜1.
所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°＜B＜90°.满足A＋B＜180°；
当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解.
（3）b＝72，c＝50，C＝135°.
解：（3）sin B＝＝sin C＞sin C＝.
所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解.
【迁移应用】
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ）
A.B＝30°，c＝4，b＝5，有两解
B.B＝30°，c＝4，b＝3.9，有一解
C.B＝30°，c＝4，b＝3，有一解
D.B＝30°，c＝4，b＝1，无解
解析：D 选项A，因为b＝5＞c＝4，所以B＝30°＞C，△ABC只有一解，故A错误；选项B，因为csin 30°＝2＜b＝3.9＜c＝4，所以△ABC有两解，故B错误；选项C，因为csin 30°＝2＜b＝3＜c＝4，所以△ABC有两解，故C错误；选项D，因为b＝1＜csin 30°＝2，所以△ABC无解，故D正确.故选D.
2.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（ ）
A.x＞2 B.x＜2
C.2＜x＜2 D.2＜x＜2
解析：C 由题意知a＞b，则x＞2，又由sin A＝＝＜1，可得x＜2，∴x的取值范围是2＜x＜2.故选C.
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的是（ ）
A.a∶b＝A∶B
B.a∶b＝sin A∶sin B
C.a∶b＝sin B∶sin A
D.asin A＝bsin B
解析：B 由正弦定理＝可得a∶b＝sin A∶sin B，可知B正确.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝4，b＝4，B＝45°，则A＝（ ）
A.60° B.120°
C.60°或120° D.以上答案都不对
解析：C 由正弦定理＝，得sin A＝＝.∵a＞b，∴A＞B，∴A＝60°或120°.
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，A＝45°，B＝30°，则b的值及△ABC外接圆的半径分别为（ ）
A.，2 B.，
C.2， D.2，2
解析：B 由正弦定理可得b＝＝＝.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R＝＝＝2，所以R＝.故选B.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a.
解：由正弦定理，得＝，
得sin B＝＝.
因为b＞c，所以B＞C＝30°，
所以B＝60°或B＝120°.
当B＝60°时，A＝90°，a＝＝＝12；
当B＝120°时，A＝30°，a＝＝＝6.
所以a＝6或a＝12.
课堂小结
1.理清单 （1）正弦定理及变形形式； （2）利用正弦定理解三角形； （3）应用正弦定理判断三角形的形状. 2.应体会 在解三角形的过程中，正弦定理及公式变形实现边角互化，体现了转化与化归、数形结合的思想方法. 3.避易错 已知两边及其中一边对角解三角形时一般要分类讨论.
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2，A＝45°，B＝60°，则a＝（ ）
A. B.2
C.2 D.4
解析：A 已知b＝2，A＝45°，B＝60°，由正弦定理可得＝，则a＝＝＝.故选A.
2.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则角B的大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 由正弦定理＝及＝，可得sin B＝cos B.又0＜B＜π，所以B＝.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a＝6，b＝3，则B的大小为（ ）
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
解析：A 由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝，又B为三角形内角，所以B＝30°或B＝150°，又因为a＞b，所以A＞B，即B＝30°.
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A－sin B＋＝0，则△ABC的形状一定为（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
解析：B 在△ABC中，sin A－sin B＋＝0，则由正弦定理可得（sin A－sin B）＋＝（1＋）·（sin A－sin B）＝0.因为A，B，C∈（0，π），所以sin C＞0，可得＋1≠0，所以sin A＝sin B，则有a＝b，则△ABC一定为等腰三角形.故选B.
5.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos A＝bcos B，则△ABC是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析：AC 由正弦定理＝，得＝.又acos A＝bcos B，所以＝，所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B，所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B.因为A，B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝，故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
6.〔多选〕根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
解析：ABD A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵＝，∴sin C＝＝＝，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝，有解；D中，∵＝，∴sin B＝＝＝，又b＜a，∴只有一解.
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝ 1∶1∶ .
解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶.
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2asin C＝c，则A＝ 45°或135° .
解析：设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，得2×2Rsin Asin C＝×2Rsin C，因此sin A＝，又因为0°＜A＜180°，故A＝45°或A＝135°.
9.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝ 1 .
解析：在△ABC中，因为sin B＝，0＜B＜π，所以B＝或B＝π.又因为B＋C＜π，C＝，所以B＝，所以A＝π－－＝π.因为＝，所以b＝＝1.
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：
（1）A＝30°，C＝105°，a＝2；
（2）b＝3，c＝3，B＝30°.
解：（1）∵A＝30°，C＝105°，
∴B＝180°－（A＋C）＝45°.
∵＝＝，
∴b＝＝＝2，
c＝＝＝＋.
∴B＝45°，b＝2，c＝＋.
（2）由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝.
∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°.
①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝＝6；
②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，∴a＝b＝3.
综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.
11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cos A＝，a＝1，则＝（ ）
A. B.
C.2 D.3
解析：D 因为cos A＝，0＜A＜π，所以sin A＝＝，在△ABC中，由正弦定理＝＝＝2R（R为△ABC外接圆的半径），得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，则＝＝2R＝＝＝3.故选D.
12.在△ABC中，若sin C＝2sin Bcos B，且B∈（，），则的取值范围为（ ）
A.（，） B.（，2）
C.（0，2） D.（，2）
解析：A 由正弦定理得＝＝＝2cos B.又＜B＜，余弦函数在此范围内单调递减，故＜cos B＜，∴∈（，）.
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 （，2） .
解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞csin B，即＜b＜2.
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
（1）求B；
（2）若b＝3，sin C＝sin A，求a，c.
解：（1）由bsin A＝acos B及正弦定理，
得sin Bsin A＝sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，∴sin B＝cos B，
∴tan B＝.
∵0＜B＜π，∴B＝.
（2）由sin C＝sin A及正弦定理，
得c＝a， ①
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋c2－2accos ，
即a2＋c2－ac＝9， ②
联立①②，解得a＝3，c＝3（负值舍去）.
15.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
（1）求角A的大小；
（2）若a＝1，b＝，求c的值.
解：（1）由acos C＋c＝b，
得sin Acos C＋sin C＝sin B.
因为sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin C＝cos Asin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
（2）由正弦定理，得sin B＝＝.
又b＞a，所以B＞A，所以B＝或B＝.
①当B＝时，由A＝，得C＝，
所以c＝＝2.
②当B＝时，由A＝，得C＝.
所以c＝a＝1.
综上可得c＝1或c＝2.
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