一、复数的概念
复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.
【例1】 （1）已知a，b∈R，＋（i为虚数单位）是纯虚数，则a，b应满足（ ）
A.b＝－2a且a≠0 B.b＝a
C.ab＝1 D.ab＝0
（2）〔多选〕若复数z满足（1＋i）·z＝5＋3i（其中i是虚数单位），则（ ）
A.z的虚部为－i
B.z的模为
C.z的共轭复数为4－i
D.z在复平面内对应的点位于第四象限
【反思感悟】
处理复数概念问题的两个注意点
（1）当已知复数不是以代数形式给出时，要通过变形化为复数的代数形式a＋bi（a，b∈R），以便确定其实部和虚部；
（2）求解与复数的概念有关的参数时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.
二、复数的四则运算（考教衔接）
复数运算是本章的重要内容，掌握复数的加法、减法、乘法和除法法则是关键，注意与多项式的四则运算法则做类比.
教材原题 （教材P95复习参考题第7题）已知（1＋2i）＝4＋3i，求z及.
【例2】 （2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（ ）
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
变式1 直接计算
已知z＝，则z·＝（ ）
A.1 B.2
C.4 D.16
变式2 与复数的概念结合计算
复数z满足z（＋1）＝1＋i，其中i是虚数单位，则z＝（ ）
A.1＋i或－2＋i B.i或1＋i
C.i或－1＋i D.－1－i或－2＋i
【反思感悟】
进行复数代数运算的策略
（1）复数运算的基本思路就是应用运算法则进行计算；
（2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式.
三、复数的几何意义
复数的几何意义是本章学习的难点，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用复数与复平面内的点，向量之间的关系解题.
【例3】 （1）设复数z的共轭复数为，z（1－i）＝3－i，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
（2）〔多选〕已知非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量，，且｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，线段AB的中点M对应的复数为4＋3i，则（ ）
A.⊥ B.＝
C.｜z1｜2＋｜z2｜2＝10 D.｜z1｜2＋｜z2｜2＝100
（3）复数z满足｜z＋3－i｜＝，则｜z｜的最大值是 ，｜z｜的最小值是 .
【反思感悟】
在复平面内确定复数对应的点的步骤
（1）由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序实数对（a，b）；
（2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）；
（3）由复平面内的点Z（a，b）确定向量＝（a，b），同时也对应复数z＝a＋bi（a，b∈R）.
1 / 1一、复数的概念
复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.
【例1】 （1）已知a，b∈R，＋（i为虚数单位）是纯虚数，则a，b应满足（ A ）
A.b＝－2a且a≠0 B.b＝a
C.ab＝1 D.ab＝0
解析：（1）＋＝＋＝，因为＋（a，b∈R）是纯虚数，所以2a＋b＝0，且b－2a≠0，解得b＝－2a且a≠0.故选A.
（2）〔多选〕若复数z满足（1＋i）·z＝5＋3i（其中i是虚数单位），则（ BD ）
A.z的虚部为－I B.z的模为
C.z的共轭复数为4－I D.z在复平面内对应的点位于第四象限
（2）由（1＋i）·z＝5＋3i得z＝＝＝＝4－i，所以z的虚部为－1，A错误；z的模为＝，B正确；z的共轭复数为4＋i，C错误；z在复平面内对应的点为（4，－1），位于第四象限，D正确.
【反思感悟】
处理复数概念问题的两个注意点
（1）当已知复数不是以代数形式给出时，要通过变形化为复数的代数形式a＋bi（a，b∈R），以便确定其实部和虚部；
（2）求解与复数的概念有关的参数时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.
二、复数的四则运算（考教衔接）
复数运算是本章的重要内容，掌握复数的加法、减法、乘法和除法法则是关键，注意与多项式的四则运算法则做类比.
教材原题 （教材P95复习参考题第7题）已知（1＋2i）＝4＋3i，求z及.
【例2】 （2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（ ）
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
解析：C 法一 因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
法二 由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i.
变式1 直接计算
已知z＝，则z·＝（ ）
A.1 B.2
C.4 D.16
解析：D ∵z＝＝＝，∴z·＝｜z｜2＝＝＝16.
变式2 与复数的概念结合计算
复数z满足z（＋1）＝1＋i，其中i是虚数单位，则z＝（ ）
A.1＋i或－2＋i B.i或1＋i
C.i或－1＋i D.－1－i或－2＋i
解析：C 设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，由z（＋1）＝1＋i，得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.故z＝i或z＝－1＋i.
【反思感悟】
进行复数代数运算的策略
（1）复数运算的基本思路就是应用运算法则进行计算；
（2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式.
三、复数的几何意义
复数的几何意义是本章学习的难点，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用复数与复平面内的点，向量之间的关系解题.
【例3】 （1）设复数z的共轭复数为，z（1－i）＝3－i，则复数在复平面内对应的点位于（ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：（1）z＝＝＝2＋i，则＝2－i，所以复数在复平面内对应的点的坐标为（2，－1），位于第四象限.故选D.
（2）〔多选〕已知非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量，，且｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，线段AB的中点M对应的复数为4＋3i，则（ AD ）
A.⊥
B.＝
C.｜z1｜2＋｜z2｜2＝10
D.｜z1｜2＋｜z2｜2＝100
解析：（2）如图，由向量的加法及减法法则可知，＝＋，＝－.由复数加法及减法的几何意义可知，｜z1＋z2｜对应的模，｜z1－z2｜对应的模.又｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，所以四边形OACB是矩形，则⊥.又因为线段AB的中点M对应的复数为4＋3i，所以｜｜＝2｜｜＝10，所以｜z1｜2＋｜z2｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＝100.
（3）复数z满足｜z＋3－i｜＝，则｜z｜的最大值是 ，｜z｜的最小值是 .
解析：（3）｜z＋3－i｜＝表示以－3＋i对应的点P（－3，）为圆心，以为半径的圆，如图所示，
则｜OP｜＝｜－3＋i｜＝＝2，显然｜z｜max＝｜OA｜＝｜OP｜＋＝3，｜z｜min＝｜OB｜＝｜OP｜－＝.
【反思感悟】
在复平面内确定复数对应的点的步骤
（1）由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序实数对（a，b）；
（2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）；
（3）由复平面内的点Z（a，b）确定向量＝（a，b），同时也对应复数z＝a＋bi（a，b∈R）.
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