7.1.2 复数的几何意义
课标要求 情境导入
1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系（直观想象）. 2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系（直观想象）. 3.通过向量的模表示复数的模（数学运算）. 大自然中有许多一一对应关系，数学中也有许多一一对应关系，例如同学们所在班级里的座位与每一位同学就是一一对应关系. 为了增强复数的应用性，使复数不仅有“数”的特征，还要有“形”的特征，引入了复平面的概念，从“形”的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础.
知识点一｜复数与复平面内点的关系
问题1 有序实数对是和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？
提示：复数a＋bi（a，b∈R）实质上是实数的有序实数对（a，b），所以复数可以和坐标平面上的点一一对应.
【知识梳理】
1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴 叫做实轴， y轴 叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi 复平面内的点Z（a，b），这是复数的一种几何意义.
提醒：复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点是（a，b），而不是（a，bi）.
【例1】 在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对应的点：
（1）在虚轴上；
解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i在复平面内对应的点为（m2－2m－8，m2＋3m－10）.
（1）由题意得m2－2m－8＝0.
解得m＝－2或4.
（2）第二象限；
解：（2）由题意，∴2＜m＜4.故实数m的取值范围是（2，4）.
（3）在直线y＝x上.
分别求实数m的值或范围.
解：（3）由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.
【规律方法】
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据；
（2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.
训练1 （1）已知a，b∈R，那么在复平面内复数a－bi，－a－bi对应的点（ ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称
（2）当＜m＜1时，复数z＝（3m－2）＋（m－1）i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案：（1）B （2）D
解析：（1）在复平面内复数a－bi对应的点为（a，－b），－a－bi对应的点为（－a，－b），两点关于y轴对称.
（2）当＜m＜1时，3m－2＞0，m－1＜0，所以复数z在复平面内对应的点在第四象限.
知识点二｜复数与复平面内向量的关系
问题2 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，试想复数与平面向量存在对应关系吗？
提示：存在，在复平面内，复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点Z（a，b），点Z（a，b）对应向量，则复数与平面向量存在对应关系.
【知识梳理】
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量 由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.
提醒：复数与平面向量一一对应
【例2】 （链接教材P71例2（1））在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
解：记O为复平面的原点，
由题意得＝（2，3），＝（3，2），＝（－2，－3）.
设＝（x，y），则＝（x－2，y－3），＝（－5，－5）.
由题意知，＝，
所以即
故点D对应的复数为－3－2i.
【规律方法】
复数与平面向量的对应关系
根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数；反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段表示的向量，即为复数对应的向量.
训练2 （1）设在复平面内，复数2＋3i和3－i对应的点分别为A，B，则向量表示的复数所对应的点位于（ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
（2）若O为复平面的原点，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（ C ）
A.－10＋8i B.10－8i
C.0 D.10＋8i
解析：（1）由复数的几何意义知，A（2，3），B（3，－1），故＝（1，－4），所以表示的复数所对应的点为（1，－4），位于第四象限.故选D.
（2）由复数的几何意义，可得＝（5，－4），＝（－5，4），所以＋＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），所以＋对应的复数为0.
知识点三｜复数的模
【知识梳理】
1.定义：向量的 模 叫做复数z＝a＋bi的 模 或绝对值.
2.记法：复数z＝a＋bi的模记作 ｜z｜或｜a＋bi｜ .
3.公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ （a，b∈R）.
【例3】 （链接教材P71例2（2）及P72例3）已知复数z1＝－i，z2＝－＋i.
（1）求｜z1｜，｜z2｜的值并比较大小；
解：（1）｜z1｜＝｜－i｜＝ ＝2，
｜z2｜＝＝ ＝1.
所以｜z1｜＞｜z2｜.
（2）设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示.
解：（2）由｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜，得1≤｜z｜≤2.
不等式1≤｜z｜≤2等价于不等式组
因为满足｜z｜≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部（包括边界），
而满足｜z｜≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部（包括边界），
所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包括边界），如图中阴影部分所示.
【规律方法】
1.复数的模的计算：计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
2.复数模的几何意义：（1）｜z｜表示点Z到原点的距离，可依据｜z｜满足的条件判断点Z的集合表示的图形；（2）利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决.
训练3 （1）若复数＋i（a∈R）为纯虚数，则｜3－ai｜＝（ A ）
A. B.13
C.10 D.
解析：（1）由于复数＋i（a∈R）为纯虚数，则则a＝－2，所以｜3－ai｜＝｜3＋2i｜＝＝.
（2）设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，｜z1｜＝2，z2＝3i，则Z1，Z2两点之间距离的最大值为（ C ）
A.1 B.3
C.5 D.7
解析：（2）因为｜z1｜＝2，说明复数z1在复平面内对应的点Z1到原点的距离为2，这样的点Z1的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.z2在复平面内对应的点为Z2（0，3），则最大值为点Z2（0，3）到圆心O的距离加上半径，即3＋2＝5.
知识点四｜共轭复数
问题3 复数z1＝a＋bi（a，b∈R）与z2＝a－bi（a，b∈R）对应的点有什么关系？它们的模之间有什么关系呢？
提示：它们对应的点关于实轴对称且｜z1｜＝｜z2｜.
【知识梳理】
1.定义：一般地，当两个复数的实部 相等 ，虚部 互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 共轭虚数 .
2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝ a－bi .
【例4】 〔多选〕已知复数z＝4－3i，则下列命题中正确的为（ ）
A.｜｜＝5
B.＝4＋3i
C.的虚部为－3i
D.在复平面上对应的点在第二象限
解析：AB 因为z＝4－3i，则＝4＋3i，故B正确；的虚部为3，故C错误；｜｜＝＝5，故A正确；在复平面上对应的点是（4，3），在第一象限，故D错误.故选A、B.
【规律方法】
共轭复数的特点
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数为＝a－bi；
（2）两个共轭复数的对应点关于实轴对称；
（3）互为共轭复数的两个复数的模长相等.
训练4 已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数a＋i与－1＋bi互为共轭复数，则（ ）
A.a＝－1，b＝1 B.a＝－1，b＝－1
C.a＝1，b＝1 D.a＝1，b＝－1
解析：B 因为复数a＋i与－1＋bi互为共轭复数，所以故选B.
1.复平面内复数z对应的向量为，且＝（－1，－2），则｜z｜＝（ ）
A. B.3
C.5 D.（－1，2）
解析：A 由题意，复数的模即为其对应的向量的模，故｜z｜＝＝.
2.已知复数z＝1－2i，则z的共轭复数对应的点位于复平面的（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：A 因为z＝1－2i，所以＝1＋2i，所以复数在复平面内对应的点为（1，2），位于第一象限.故选A.
3.复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是 －6－8i .
解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝（4，3），＝（－2，－5），又＝－＝（－2，－5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量表示的复数是－6－8i.
4.设z∈C，且满足｜z｜＜3，则复数z对应的点Z的集合是什么图形？
解：设z＝x＋yi（x，y∈R），则｜z｜＝.
由题意知＜3，x2＋y2＜9.
所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆的内部（不包括边界）.
课堂小结
1.理清单 （1）复数与复平面内的点、向量之间的对应关系； （2）复数的模及几何意义； （3）共轭复数. 2.应体会 复数z＝a＋bi（a，b∈R）与点Z（a，b）、向量一一对应，研究三者的关系应用了数形结合的思想方法；复数的模及共轭复数都是把复数问题实数化，体现了转化与化归的思想方法. 3.避易错 平面坐标系中的x、y轴与复平面内的实轴、虚轴的不同.
1.如图，复平面内点P所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（ ）
A.2＋2i B.3＋i
C.3＋3i D.3＋2i
解析：D 由题意可知，点P的坐标为（3，2），所以复平面内点P所表示的复数为3＋2i.故选D.
2.设复数z＝5－12i，则｜｜＝（ ）
A.7 B.12
C.13 D.25
解析：C 复数z＝5－12i，则＝5＋12i，所以｜｜＝＝13.故选C.
3.已知复数z＝（1＋x）＋i（i为虚数单位，x∈R）在复平面内对应的点在第二象限，则x的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1） B.（－1，0）
C.（－∞，0） D.（0，1）
解析：A 复数z＝（1＋x）＋i（i为虚数单位，x∈R）在复平面内对应的点在第二象限，则1＋x＜0，解得x＜－1，即x的取值范围是（－∞，－1）.故选A.
4.已知O为坐标原点，复数z1＝1＋i，z2＝2＋mi分别表示向量，，若⊥，则m＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.－2
解析：D 由已知得＝（1，1），＝（2，m），又因为⊥，所以·＝2＋m＝0，解得m＝－2.故选D.
5.〔多选〕在复平面内，复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜｜＝.点Z与Z1关于x轴对称.则点Z对应的复数z＝（ ）
A.1－i B.1＋i
C.1－i D.1＋i
解析：CD 由于复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜｜＝，所以｜｜＝＝，所以a＝±1，Z1（1，1）或Z1（1，－1），又点Z与Z1关于x轴对称，所以点Z（1，－1）或Z（1，1），所以复数z＝1－i或1＋i.故选C、D.
6.〔多选〕设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A.｜z｜＝
B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.z的共轭复数为－1＋2i
D.复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
解析：AC ｜z｜＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为（－1，－2），在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点（－1，－2）不在直线y＝－2x上，D不正确.故选A、C.
7.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，2），则＝ －1－2i .
解析：因为复数z对应的点的坐标是（－1，2），所以z＝－1＋2i，因此＝－1－2i.
8.已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－，则＝ －－2i .
解析：依题意，设z＝－＋yi，y＞0，由题意得｜z｜＝＝3，解得y＝2，所以＝－－yi＝－－2i.
9.已知复数z1＝a＋bi，z2＝4＋ai（a，b∈R），若｜z1｜＜z2，则b的取值范围是 （－4，4） .
解析：因为｜z1｜＜z2，所以z2为实数，故a＝0，又＜4，即｜b｜＜4，所以－4＜b＜4，则b的取值范围是（－4，4）.
10.在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.
（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
（2）如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.
解：（1）设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），
则点B的坐标为（x1，y1），
由题意可知，点A的坐标为（2，1），
根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，
故z1＝2－i.
（2）设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R），
则点C的坐标为（x2，y2），由（1）可得，点B的坐标为（2，－1），
由对称性可知x2＝－2，y2＝－1，
故z2＝－2－i.
11.已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应的点的集合是（ ）
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
解析：A 由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3或｜z｜＝－1.∵｜z｜≥0，∴｜z｜＝3，∴复数z对应的点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆.
12.〔多选〕已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（ ）
A.若z1＝z2，则｜z1｜＝｜z2｜
B.若z1≠z2，则｜z1｜和｜z2｜可能相等
C.若z1＞z2，则｜z1｜＞｜z2｜
D.若｜z1｜＞｜z2｜，则z1＞z2
解析：AB 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A正确；当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1－i≠1＋i，但｜1－i｜＝｜1＋i｜，所以B正确；若z1＞z2，则z1，z2为实数，当z1＝1，z2＝－2时，满足z1＞z2，但｜z1｜＜｜z2｜，故C错误；因为两个虚数之间只有相等与不等，不能比较大小，所以D错误.
13.在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则线段AB的中点所对应的复数为 1＋2i .
解析：由复数的几何意义可得A（1，1），B（1，3），所以线段AB的中点为M（1，2），故线段AB的中点所对应的复数为1＋2i.
14.四边形ABCD为复平面内的平行四边形，O为坐标原点，向量对应的复数为5，对应的复数为－2－3i，对应的复数为－6＋4i.
（1）求点D对应的复数；
（2）判断A，B，C，D四点是否在同一个圆上，并证明你的结论.
解：（1）由题意知，＝（5，0），＝（－2，－3），＝（－6，4）.
∵＝＋，且＝，∴＝＋＝（5，0）＋（－6，4）＝（－1，4），
∴D（－1，4），则点D对应的复数为－1＋4i.
（2）A，B，C，D四点在同一个圆上，证明如下：由（1）可知，·＝0，则⊥，即AB⊥BC.
∴平行四边形ABCD为矩形，∴A，B，C，D四点共圆.
15.已知x为实数，复数z＝x－2＋（x＋2）i.
（1）当x为何值时，复数z的模最小？
（2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值.
解：（1）由题意得｜z｜＝＝≥2，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2.
（2）由（1）知当x＝0时，复数z的模最小，则Z（－2，2）.
因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.
又mn＞0，所以m＞0，n＞0.
所以＋＝＝＋＋≥＋，当且仅当＝，即n2＝2m2时等号成立.
又2m＋n＝2且mn＞0，所以取等号时m＝2－，n＝2－2.
1 / 17.1.2 复数的几何意义
1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系（直观想象）. 2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系（直观想象）. 3.通过向量的模表示复数的模（数学运算）.
知识点一｜复数与复平面内点的关系
问题1 有序实数对是和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？
【知识梳理】
1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 叫做实轴， 叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b），这是复数的一种几何意义.
提醒：复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点是（a，b），而不是（a，bi）.
【例1】 在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对应的点：
（1）在虚轴上；
（2）第二象限；
（3）在直线y＝x上.
分别求实数m的值或范围.
【规律方法】
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据；
（2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.
训练1 （1）已知a，b∈R，那么在复平面内复数a－bi，－a－bi对应的点（ ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称
（2）当＜m＜1时，复数z＝（3m－2）＋（m－1）i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
知识点二｜复数与复平面内向量的关系
问题2 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，试想复数与平面向量存在对应关系吗？
【知识梳理】
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量 由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.
提醒：复数与平面向量一一对应
【例2】 （链接教材P71例2（1））在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
【规律方法】
复数与平面向量的对应关系
根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数；反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段表示的向量，即为复数对应的向量.
训练2 （1）设在复平面内，复数2＋3i和3－i对应的点分别为A，B，则向量表示的复数所对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
（2）若O为复平面的原点，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（ ）
A.－10＋8i B.10－8i
C.0 D.10＋8i
知识点三｜复数的模
【知识梳理】
1.定义：向量的 叫做复数z＝a＋bi的 或绝对值.
2.记法：复数z＝a＋bi的模记作 .
3.公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ （a，b∈R）.
【例3】 （链接教材P71例2（2）及P72例3）已知复数z1＝－i，z2＝－＋i.
（1）求｜z1｜，｜z2｜的值并比较大小；
（2）设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示.
【规律方法】
1.复数的模的计算：计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
2.复数模的几何意义：（1）｜z｜表示点Z到原点的距离，可依据｜z｜满足的条件判断点Z的集合表示的图形；（2）利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决.
训练3 （1）若复数＋i（a∈R）为纯虚数，则｜3－ai｜＝（ ）
A. B.13
C.10 D.
（2）设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，｜z1｜＝2，z2＝3i，则Z1，Z2两点之间距离的最大值为（ ）
A.1 B.3
C.5 D.7
知识点四｜共轭复数
问题3 复数z1＝a＋bi（a，b∈R）与z2＝a－bi（a，b∈R）对应的点有什么关系？它们的模之间有什么关系呢？
【知识梳理】
1.定义：一般地，当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 .
2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝ .
【例4】 〔多选〕已知复数z＝4－3i，则下列命题中正确的为（ ）
A.｜｜＝5
B.＝4＋3i
C.的虚部为－3i
D.在复平面上对应的点在第二象限
【规律方法】
共轭复数的特点
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数为＝a－bi；
（2）两个共轭复数的对应点关于实轴对称；
（3）互为共轭复数的两个复数的模长相等.
训练4 已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数a＋i与－1＋bi互为共轭复数，则（ ）
A.a＝－1，b＝1 B.a＝－1，b＝－1
C.a＝1，b＝1 D.a＝1，b＝－1
1.复平面内复数z对应的向量为，且＝（－1，－2），则｜z｜＝（ ）
A. B.3
C.5 D.（－1，2）
2.已知复数z＝1－2i，则z的共轭复数对应的点位于复平面的（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是 .
4.设z∈C，且满足｜z｜＜3，则复数z对应的点Z的集合是什么图形？
1.理清单 （1）复数与复平面内的点、向量之间的对应关系； （2）复数的模及几何意义； （3）共轭复数. 2.应体会 复数z＝a＋bi（a，b∈R）与点Z（a，b）、向量一一对应，研究三者的关系应用了数形结合的思想方法；复数的模及共轭复数都是把复数问题实数化，体现了转化与化归的思想方法. 3.避易错 平面坐标系中的x、y轴与复平面内的实轴、虚轴的不同.
提示：完成课后作业 第七章 7.1 7.1.2
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