7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
1.通过实例，结合实数的加、减运算法则，理解复数代数形式的加、减运算法则（数学抽象）. 2.结合向量的加、减运算，明确复数代数形式的加、减运算的几何意义（数学运算）.
知识点一｜复数的加、减运算
【知识梳理】
1.运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则
（1）z1＋z2＝ ；
（2）z1－z2＝ .
2.加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有
（1）交换律：z1＋z2＝ ；
（2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝ .
【例1】 （链接教材P76例1）（1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）；
（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
【规律方法】
复数加、减运算的解题思路
复数与复数相加减，类似于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）.
训练1 （1）复数（1＋2i）－（3－4i）在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
（2）已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝ .
知识点二｜复数加、减运算的几何意义
问题1 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？
【知识梳理】
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数 对应，向量与复数 对应.
【例2】 （链接教材P77例2）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求：
（1）对应的复数；
（2）对应的复数；
（3）对应的复数及｜｜的大小.
【规律方法】
1.复数z与复平面内的向量是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行运算，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则.
2.类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算.
训练2 （1）已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，则｜BD｜＝（ ）
A.5 B.
C. D.
（2）已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则｜｜＝ .
提能点｜复数模的最值问题
问题2 根据复数及其运算的几何意义，你能求出复平面内的两点Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）之间的距离吗？
【例3】 复数z满足｜z＋3＋4i｜＝2，且复数z在复平面内的对应点为P.
（1）确定点P的集合构成图形的形状；
（2）求｜z｜的最大值.
【规律方法】
两个复数差的模的几何意义
（1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；
（2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；
（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
训练3 （1）若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 ；
（2）设z∈C，且｜z＋1｜－｜z－i｜＝0，则｜z＋i｜的最小值为 .
1.计算（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝（ ）
A.－6－7i B.6＋7i
C.－6＋7i D.6－7i
2.设复数z＝1＋i，w＝3＋2i，则的虚部是（ ）
A.－3 B.3
C.－3i D.3i
3.若z－3i＝3＋i，则｜z｜＝（ ）
A.3 B.
C.5 D.
4.已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
（1）求z1－z2；
（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量.
1.理清单 （1）复数代数形式的加、减运算法则及运算律； （2）复数加、减运算的几何意义； （3）复数模的最值问题. 2.应体会 （1）向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据； （2）d＝｜z1－z2｜表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观性可求相关问题的最值. 3.避易错 （1）复数的差对应向量的方向； （2）两个复数差的模的几何意义.
提示：完成课后作业 第七章 7.2 7.2.1
1 / 17.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
课标要求 情境导入
1.通过实例，结合实数的加、减运算法则，理解复数代数形式的加、减运算法则（数学抽象）. 2.结合向量的加、减运算，明确复数代数形式的加、减运算的几何意义（数学运算）. 1777年，数学家欧拉首次提出用i表示平方等于－1的新数，1801年，数学家高斯系统使用了i这个符号，使之通行于世.我们知道实数可以进行加减乘除四则运算，且运算的结果仍为一个实数，那么复数呢？
知识点一｜复数的加、减运算
【知识梳理】
1.运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则
（1）z1＋z2＝ （a＋c）＋（b＋d）i ；
（2）z1－z2＝ （a－c）＋（b－d）i .
2.加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有
（1）交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 ；
（2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝ z1＋（z2＋z3） .
【例1】 （链接教材P76例1）（1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）；
解：（1）（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）＝[8－（－7）＋3]＋（－2－5＋7）i＝15＋3.
（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
解：（2）∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
∴（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，
∴∴
∴z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i.
【规律方法】
复数加、减运算的解题思路
复数与复数相加减，类似于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）.
训练1 （1）复数（1＋2i）－（3－4i）在复平面内对应的点在（ B ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：（1）由复数（1＋2i）－（3－4i）＝－2＋6i，可得其在复平面内对应的点为（－2，6），位于第二象限.故选B.
（2）已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝ 4＋i .
解析：（2）法一 设z＝x＋yi（x，y∈R），因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋1－3i＝5－2i，即解得所以z＝4＋i.
法二 因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝（5－2i）－（1－3i）＝4＋i.
知识点二｜复数加、减运算的几何意义
问题1 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？
提示：设＝（a，b），＝（c，d），则＋＝（a，b）＋（c，d）＝（a＋c，b＋d）.
几何意义是以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线.
【知识梳理】
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数 z1＋z2 对应，向量与复数 z1－z2 对应.
【例2】 （链接教材P77例2）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求：
（1）对应的复数；
解：（1）因为＝－，所以对应的复数为－3－2i.
（2）对应的复数；
解：（2）因为＝－，所以对应的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i.
（3）对应的复数及｜｜的大小.
解：（3）因为＝＋，所以对应的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i，
所以｜｜＝＝.
【规律方法】
1.复数z与复平面内的向量是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行运算，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则.
2.类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算.
训练2 （1）已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，则｜BD｜＝（ B ）
A.5 B.
C. D.
解析：（1）由题意得A（0，1），B（1，0），C（4，2），则＝（－1，1），＝（3，2），∴＝＋＝（2，3），∴｜BD｜＝｜｜＝＝.
（2）已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则｜｜＝ .
解析：（2）∵＝＋，∴对应的复数为（－2＋i）＋（3＋2i）＝1＋3i，∴｜｜＝＝.
提能点｜复数模的最值问题
问题2 根据复数及其运算的几何意义，你能求出复平面内的两点Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）之间的距离吗？
提示：因为复平面内的点Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）对应的复数分别为z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为｜Z1Z2｜＝｜｜＝｜z2－z1｜＝｜（x2＋y2i）－（x1＋y1i）｜＝｜（x2－x1）＋（y2－y1）i｜＝.
【例3】 复数z满足｜z＋3＋4i｜＝2，且复数z在复平面内的对应点为P.
（1）确定点P的集合构成图形的形状；
解：（1）由题意可知｜z－（－3－4i）｜＝2，
即复数z在复平面内对应的点P与复数－3－4i在复平面内对应的点Q的距离为2，复数z在复平面内对应的点在复平面内的轨迹为如图所示的圆心为Q（－3，－4），半径为2的圆.
（2）求｜z｜的最大值.
解：（2）由图可知，｜z｜的最大值为圆Q上的点到原点O的最大距离，显然在点M处取得，
则｜z｜的最大值为＋2＝7.
【规律方法】
两个复数差的模的几何意义
（1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；
（2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；
（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
训练3 （1）若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 9π ；
解析：（1）由条件知｜z－i｜＝3，所以点Z的轨迹是以点（0，1）为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.
（2）设z∈C，且｜z＋1｜－｜z－i｜＝0，则｜z＋i｜的最小值为 .
解析：（2）因为由｜z＋1｜－｜z－i｜＝0，得｜z＋1｜＝｜z－i｜，所以复数z表示以A（－1，0），B（0，1）为端点的线段的垂直平分线OM，设复数－i对应点C（0，－1），｜z＋i｜表示点Z到点C（0，－1）的距离.当CM⊥OM时，｜z＋i｜取到最小值｜CM｜.又｜CM｜＝｜OC｜sin 45°＝，所以｜z＋i｜的最小值为.
1.计算（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝（ ）
A.－6－7i B.6＋7i
C.－6＋7i D.6－7i
解析：C （－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝－6＋7i.故选C.
2.设复数z＝1＋i，w＝3＋2i，则的虚部是（ ）
A.－3 B.3
C.－3i D.3i
解析：A 依题意得z＋w＝4＋3i，则＝4－3i，所以其虚部为－3.故选A.
3.若z－3i＝3＋i，则｜z｜＝（ ）
A.3 B.
C.5 D.
解析：C 因为z－3i＝3＋i，所以z＝3＋i＋3i＝3＋4i，所以｜z｜＝＝5.故选C.
4.已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
（1）求z1－z2；
（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量.
解：（1）由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i.
（2）在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中.
课堂小结
1.理清单 （1）复数代数形式的加、减运算法则及运算律； （2）复数加、减运算的几何意义； （3）复数模的最值问题. 2.应体会 （1）向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据； （2）d＝｜z1－z2｜表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观性可求相关问题的最值. 3.避易错 （1）复数的差对应向量的方向； （2）两个复数差的模的几何意义.
1.设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则｜z｜＝（ ）
A.6 B.6
C.5 D.5
解析：D 因为z＋1－2i＝－3＋i，所以z＝－4＋3i，所以｜z｜＝＝5.故选D.
2.已知复数z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋（5m＋6）i，m为实数.若z1－z2＝0，则m的值为（ ）
A.4 B.－1
C.6 D.0
解析：B 由题意可得z1＝z2，则解得m＝－1.
3.已知z1＝－1－2i，且复数z满足方程｜z－z1｜＝4，那么复数z在复平面内对应的点P组成的图形为（ ）
A.以点（－1，－2）为圆心，4为半径的圆
B.以点（－1，－2）为圆心，2为半径的圆
C.以点（1，2）为圆心，4为半径的圆
D.以点（1，2）为圆心，2为半径的圆
解析：A z1＝－1－2i在复平面内对应的点为（－1，－2），则由｜z－z1｜＝4及｜z－z1｜的几何意义知，复数z在复平面内对应的点P组成的图形是以点（－1，－2）为圆心，4为半径的圆.
4.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为（ ）
A.2＋8i B.－6－6i
C.4－4i D.－4＋i
解析：C 因为＝－＝－（＋），所以表示的复数为3＋2i－（1＋5i－2＋i）＝4－4i.
5.〔多选〕若z－＝－14i，｜｜＝5，则z可能为（ ）
A.1－7i B.1＋7i
C.－1－7i D.－1＋7i
解析：AC 设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，由题意可得解得或所以z＝1－7i或z＝－1－7i.故选A、C.
6.〔多选〕已知复数z0＝1＋2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜，下列结论正确的有（ ）
A.点P0的坐标为（1，2）
B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C.复数z在复平面内对应的点Z在一条直线上
D.点P（0，2）与z对应的点Z间的距离的最小值为
解析：ACD 复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0（1，2），A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；由｜z－z0｜的几何意义及｜z－1｜＝｜z－i｜，可知复数z对应的点Z在以点（1，0），（0，1）为端点的线段的垂直平分线上，C正确；结合平面几何知识知D正确.故选A、C、D.
7.若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝ 4＋i .
解析：两式相加得2z1＝8＋2i，所以z1＝4＋i.
8.若复数z＝a＋bi（a，b∈R，i为虚数单位）满足｜z－2i｜＝｜z｜，写出一个满足条件的复数z＝ 1＋i（答案不唯一） .
解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋（b－2）i.由｜z－2i｜＝｜z｜知，＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i（a可为任意实数）均满足题意，可取z＝1＋i.
9.若｜z－2｜＝｜z＋2｜，则｜z－1｜的最小值是 1 .
解析：由｜z－2｜＝｜z＋2｜，知z对应点的集合是到（2，0）与到（－2，0）距离相等的点的集合，即虚轴，∵｜z－1｜表示z对应的点与（1，0）的距离，∴｜z－1｜min＝1.
10.计算：
（1）（2－i）＋（－2i）；
（2）（3＋2i）＋（－2）i；
（3）（1＋2i）＋（i＋i2）＋｜3＋4i｜；
（4）（6－3i）＋（3＋2i）－（3－4i）－（－2＋i）.
解：（1）原式＝（2＋）－（＋2）i＝－i.
（2）原式＝3＋（2＋－2）i＝3＋i.
（3）原式＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i.
（4）原式＝[6＋3－3－（－2）]＋[－3＋2－（－4）－1]i＝8＋2i.
11.复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值为（ ）
A.3－2 B.－1
C.3＋2 D.＋1
解析：D ｜z1－z2｜＝｜（1－sin θ）＋（cos θ＋1）i｜＝＝＝，∵－1≤cos（θ＋）≤1，∴｜z1－z2｜max＝＝＋1.
12.如图，在复平面内，向量对应的复数z1＝2＋i，绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则｜z1＋z2｜＝ .
解析：由题意可设z2＝a＋bi（a＜0，b＞0），则解得∴z2＝－1＋2i，∴z1＋z2＝（2＋i）＋（－1＋2i）＝1＋3i，∴｜z1＋z2｜＝.
13.已知｜z1｜＝1，｜z2｜＝，｜z1－z2｜＝2，则｜z1＋z2｜＝ 2 .
解析：设z1对应的向量为，z2对应的向量为，则z1－z2对应的向量为，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1＋z2对应的向量为，则由题意可得｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴⊥，∴平行四边形OACB为矩形，∴｜｜＝｜｜，故｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜＝2.
14.已知复数z1＝1＋（10－a2）i，z2＝（2a－5）i（a＞0），＋z2∈R.
（1）求实数a的值；
（2）若z∈C，｜z－z2｜＝2，求｜z｜的取值范围.
解：（1）由题意得＝1－（10－a2）i，
所以＋z2＝1－（10－a2）i＋（2a－5）i＝1＋（a2＋2a－15）i，
因为＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3，因为a＞0，所以a＝3.
（2）由（1）知z2＝i，所以满足条件｜z－z2｜＝2的点的集合是以（0，1）为圆心，2为半径的圆，设为圆A，所以｜z｜的取值范围即圆A上的点到坐标原点的距离的范围，所以2－1≤｜z｜≤2＋1，即1≤｜z｜≤3.
故｜z｜的取值范围为[1，3].
15.已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
（1）点C，D对应的复数；
（2）平行四边形ABCD的面积.
解：（1）∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.
又∵＝＋，
∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，
即＝（3，－1）.
设D（x，y），则＝（x－2，y－1）＝（3，－1），
∴解得
∴点D对应的复数为5.
（2）∵·＝｜｜｜｜cos B，
∴cos B＝＝＝.
∵0＜B＜π，∴sin B＝.
∴S ABCD＝｜｜｜｜sin B＝××＝7.
∴平行四边形ABCD的面积为7.
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