7.2.2 复数的乘、除运算
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算（数学抽象）. 2.理解复数乘法的运算律（数学运算）.
知识点一｜复数的乘法
问题1 （1）类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
（2）类比实数乘法的运算律，你认为复数的乘法满足哪些运算律？写出你的猜想.
【知识梳理】
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝ .
2.复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝
结合律 （z1z2）z3＝
分配律 z1（z2＋z3）＝
【例1】 （链接教材P78例3、例4）计算下列各题：
（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）；
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i.
【规律方法】
复数的乘法运算法则的应用
（1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；
（2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
训练1 （1）计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（ ）
A.2i－13 B.13＋2i
C.13－2i D.－13－2i
（2）已知i是虚数单位，若复数（1＋ai）（2＋i）是纯虚数，则实数a＝（ ）
A.2 B.
C.－ D.－2
知识点二｜复数的除法
问题2 类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？
【知识梳理】
复数的除法法则
（a＋bi）÷（c＋di）＝＝ （a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）.
提醒：复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数.
【例2】 （链接教材P79例5）计算：
（1）（1－2i）÷（2＋i）；
（2）；
（3）.
【规律方法】
1.两个复数代数形式的除法运算的步骤
（1）首先将除式写为分式；
（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.
2.常用公式
（1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i.
训练2 （1）＝（ ）
A.1＋2i B.1－2i
C.2＋i D.2－i
（2）已知复数z满足（1－i）＝3＋5i，则复数z＝（ ）
A.4＋4i B.4－4i
C.－1＋4i D.－1－4i
知识点三｜i幂值的周期性及应用
【例3】 （1）若复数z＝＋i3＋i4，则z＝（ ）
A.1－2i B.1＋2i
C.1 D.－1
（2）计算：［（1＋2i）·i100＋（）5］2－（）20＝ .
【规律方法】
利用i幂值的周期性解题的技巧
（1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；
（2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
训练3 （1）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是 ；
（2）计算（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）＝ .
提能点｜在复数范围内解方程
【例4】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0（b，c为实数）的一个根.
（1）求b，c的值；
（2）试判断1－i是不是方程的一个根.
【规律方法】
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法：
（1）求根公式法：
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ＜0时，x＝.
（2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解；
（3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－，x1x2＝.
训练4 （1）已知复数z满足z2＋z＋1＝0且是z的共轭复数，则z＋＝（ ）
A.－1 B.1
C. D.－
（2）在复数范围内，方程x2－2x＋2＝0的根为 .
1.已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m＝（ ）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
2.在复平面内，复数＋（1＋i）2对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.方程x2＋3＝0在复数范围内的根为x＝ .
4.计算：（1）（1＋i）2 026；
（2）（－2＋3i）÷（1＋2i）.
1.理清单 （1）复数的乘法及运算律； （2）复数的除法运算； （3）在复数范围内解方程； （4）i的运算性质及应用. 2.应体会 复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立. 3.避易错 分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.
提示：完成课后作业 第七章 7.2 7.2.2
1 / 17.2.2 复数的乘、除运算
课标要求 情境导入
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算（数学抽象）. 2.理解复数乘法的运算律（数学运算）. 初中我们学过多项式的乘法，如（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，那么复数的乘、除法又该如何定义呢？
知识点一｜复数的乘法
问题1 （1）类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
提示：复数的乘法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.
（2）类比实数乘法的运算律，你认为复数的乘法满足哪些运算律？写出你的猜想.
提示：猜想：对于任意z1，z2，z3∈C，有：
①交换律：z1z2＝z2z1；
②结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）；
③分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.
【知识梳理】
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝ （ac－bd）＋（ad＋bc）i .
2.复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝ z2z1
结合律 （z1z2）z3＝ z1（z2z3）
分配律 z1（z2＋z3）＝ z1z2＋z1z3
【例1】 （链接教材P78例3、例4）计算下列各题：
（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）；
解：（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i.
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i.
解：（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i
＝（3＋11i）（3－4i）＋2i＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
【规律方法】
复数的乘法运算法则的应用
（1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；
（2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
训练1 （1）计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（ D ）
A.2i－13 B.13＋2i
C.13－2i D.－13－2i
解析：（1）（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）＝－13－2i.
（2）已知i是虚数单位，若复数（1＋ai）（2＋i）是纯虚数，则实数a＝（ A ）
A.2 B.
C.－ D.－2
解析：（2）（1＋ai）（2＋i）＝2－a＋（1＋2a）i，要使复数为纯虚数，则有2－a＝0，且1＋2a≠0，解得a＝2.故选A.
知识点二｜复数的除法
问题2 类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？
提示：通常先把（a＋bi）÷（c＋di）写成的形式，再把分子和分母都乘以（c－di），化简后得结果，即＝＝＝＋i（c＋di≠0）.
【知识梳理】
复数的除法法则
（a＋bi）÷（c＋di）＝＝ ＋i （a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）.
提醒：复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数.
【例2】 （链接教材P79例5）计算：
（1）（1－2i）÷（2＋i）；
解：（1）（1－2i）÷（2＋i）＝＝＝＝－i.
（2）；
解：（2）＝＝＝－2＋i.
（3）.
解：（3）＝＝＝＝＋i.
【规律方法】
1.两个复数代数形式的除法运算的步骤
（1）首先将除式写为分式；
（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.
2.常用公式
（1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i.
训练2 （1）＝（ D ）
A.1＋2i B.1－2i
C.2＋i D.2－i
解析：（1）＝＝＝2－i.
（2）已知复数z满足（1－i）＝3＋5i，则复数z＝（ D ）
A.4＋4i B.4－4i
C.－1＋4i D.－1－4i
解析：（2）＝＝＝＝－1＋4i，所以z＝－1－4i.故选D.
知识点三｜i幂值的周期性及应用
【例3】 （1）若复数z＝＋i3＋i4，则z＝（ A ）
A.1－2i B.1＋2i
C.1 D.－1
解析：（1）z＝＋i3＋i4＝－i＋1＝－i＋1＝1－2i.故选A.
（2）计算：［（1＋2i）·i100＋（）5］2－（）20＝ 1＋2i .
解析：（2）＝＝＝－i，（）2＝＝i，［（1＋2i）·i100＋（）5］2－（）20＝[（1＋2i）·1＋（－i）5]2－i10＝（1＋i）2－i10＝1＋2i.
【规律方法】
利用i幂值的周期性解题的技巧
（1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；
（2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
训练3 （1）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是 1 ；
解析：（1）由复数的运算法则可知1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝1＋（i＋i2＋i3＋i4）＋…＋（i97＋i98＋i99＋i100）＝1＋0＋…＋0＝1.
（2）计算（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）＝ 47－39i .
解析：（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）＝（24－8i－6i＋2i2）＋（28－21i－4i＋3i2）＝47－39i.
提能点｜在复数范围内解方程
【例4】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0（b，c为实数）的一个根.
（1）求b，c的值；
解：（1）∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，
∴（1＋i）2＋b（1＋i）＋c＝0，
即b＋c＋（2＋b）i＝0，
∴解得
（2）试判断1－i是不是方程的一个根.
解：（2）由（1）知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程，
左边＝（1－i）2－2（1－i）＋2＝0＝右边，
即方程成立.∴1－i是方程的一个根.
【规律方法】
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法：
（1）求根公式法：
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ＜0时，x＝.
（2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解；
（3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－，x1x2＝.
训练4 （1）已知复数z满足z2＋z＋1＝0且是z的共轭复数，则z＋＝（ A ）
A.－1 B.1
C. D.－
解析：（1）由求根公式可知，若z为方程z2＋z＋1＝0的根，则其共轭复数也是该方程的根，故z＋＝－＝－1.故选A.
（2）在复数范围内，方程x2－2x＋2＝0的根为 x＝1＋i或1－i .
解析：（2）方程x2－2x＋2＝0中，Δ＝（－2）2－4×1×2＝－4，所以该方程的根为x1＝＝1＋i，x2＝＝1－i.
1.已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m＝（ ）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
解析：A 由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－i，得解得m＝1.
2.在复平面内，复数＋（1＋i）2对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：B 因为＋（1＋i）2＝i＋＋1－3＋2i＝－＋（＋2）i，故复数对应的点在第二象限.
3.方程x2＋3＝0在复数范围内的根为x＝ ±i .
解析：∵（i）2＝（－i）2＝－3，∴方程的根为x＝±i.
4.计算：（1）（1＋i）2 026；
解：（1）原式＝[（1＋i）2]1 013＝（1＋2i＋i2）1 013＝（2i）1 013＝21 013·i1 013＝21 013·i4×253＋1＝21 013i.
（2）（－2＋3i）÷（1＋2i）.
解：（2）原式＝＝
＝＝＋i.
课堂小结
1.理清单 （1）复数的乘法及运算律； （2）复数的除法运算； （3）在复数范围内解方程； （4）i的运算性质及应用. 2.应体会 复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立. 3.避易错 分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.
1.已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为，那么z·＝（ ）
A.5 B.－7
C.12 D.25
解析：D 由题意得z＝3＋4i，＝3－4i，则z·＝（3＋4i）（3－4i）＝9＋16＝25.
2.已知复数z＝＋5i，则｜z｜＝（ ）
A. B.5
C.3 D.2
解析：B z＝＋5i＝＋5i＝－1＋7i，故｜z｜＝5.故选B.
3.（1＋i）20－（1－i）20＝（ ）
A.－1 024 B.1 024
C.0 D.512
解析：C ∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－2i，∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－（－4）5＝0.
4.已知i是虚数单位，复数z满足＝1＋i，那么复数＝（ ）
A.－1＋i B.－1－i
C.1＋i D.1－i
解析：A ∵＝1＋i，∴z＝＝＝＝－i（1－i）＝－1－i，∴＝－1＋i.故选A.
5.〔多选〕在复平面内，复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A.复数z＝1＋i
B.｜｜＝
C.复数z对应的点位于第一象限
D.复数的实部是－1
解析：BD 复数＝＝＝－1－i对应的点的坐标为（－1，－1）.因为复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以复数z对应的点的坐标为（－1，1），所以复数z＝－1＋i.故A、C错误；＝－1－i，｜｜＝，的实部是－1，故B、D正确.
6.〔多选〕若复数z满足z（1－i）＝｜1－i｜，则（ ）
A.z＝－1＋i B.z的实部为1
C.＝1＋i D.z2＝2i
解析：BD 由z（1－i）＝｜1－i｜，得z（1－i）＝2，所以z＝＝＝1＋i，A错误；z的实部为1，B正确；＝1－i，C错误；z2＝（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝2i，D正确.故选B、D.
7.（4－i）（6＋2i）－（7－i）（4＋3i）＝ －5－15i .
解析：（4－i）（6＋2i）－（7－i）（4＋3i）＝（24＋8i－6i＋2）－（28＋21i－4i＋3）＝（26＋2i）－（31＋17i）＝－5－15i.
8.在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根x＝ －3±i .
解析：x＝＝－3±i.
9.在复数范围内把二次多项式分解为两个一次因式的积，则x2＋x＋2＝ （x－）（x－） .
解析：设x2＋x＋2＝0，则Δ＝1－8＝－7＜0，所以此方程的两个根为x1＝，x2＝，所以x2＋x＋2＝（x－）（x－）.
10.计算：
（1）（－＋i）（2－i）（3＋i）；
（2）.
解：（1）（－＋i）（2－i）（3＋i）＝（－＋i）·（7－i）＝＋i.
（2）＝
＝＝＝
＝－2－2i.
11.已知复数z满足z（1＋i）＝2ti（t∈R），若｜z｜＝2，则t＝（ ）
A.－2 B.－1
C.±2 D.±1
解析：C 由z（1＋i）＝2ti（t∈R），得z＝＝＝ti（1－i）＝t＋ti，因为｜z｜＝2，所以t2＋t2＝（2）2，解得t＝2或t＝－2.
12.〔多选〕对任意z1，z2，z∈C，下列结论正确的有（ ）
A.当m，n∈N*时，有zmzn＝zm＋n
B.当z1，z2∈C时，若＋＝0，则z1＝0且z2＝0
C.互为共轭复数的两个复数的模相等，且｜｜2＝｜z｜2＝z
D.z1＝z2的充要条件是｜z1｜＝｜z2｜
解析：AC 由复数乘法的运算律知A正确；取z1＝1，z2＝i，满足＋＝0，但z1≠0，z2≠0，B错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；由z1＝z2能推出｜z1｜＝｜z2｜，但由｜z1｜＝｜z2｜推不出z1＝z2，因此z1＝z2的必要不充分条件是｜z1｜＝｜z2｜，D错误.故选A、C.
13.方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为 6 .
解析：令z＝a＋bi（a，b∈R），则a2－b2＋2abi－4＋3＝0，得当b＝0时，a2－4｜a｜＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4｜b｜－3＝0，｜b｜＝－2＋或｜b｜＝－2－（舍）.综上共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±（－2）i.
14.设复数z1＝2＋ai（a∈R），z2＝1－i，i为虚数单位.
（1）若z1·z2为纯虚数，求a的值；
（2）若z1＋2z2为实数，求｜｜.
解：（1）由题得z1·z2＝（2＋ai）（1－i）＝（2＋a）＋（a－2）i，
若z1·z2为纯虚数，则解得a＝－2.
（2）由题得z1＋2z2＝2＋ai＋2－2i＝4＋（a－2）i，若z1＋2z2为实数，则a－2＝0，解得a＝2，即z1＝2＋2i，
法一 因为＝＝＝2i，所以｜｜＝2.
法二 ｜｜＝＝＝2.
15.已知复数z＝1＋bi（b∈R，i为虚数单位），z在复平面内对应的点位于第四象限，且满足z＝4（为z的共轭复数）.
（1）求实数b的值；
（2）若复数z是关于x的方程px2＋2x＋q＝0（p≠0，且p，q∈R）的一个复数根，求p＋q的值.
解：（1）z＝1＋bi在复平面内对应的点为（1，b），因为该点位于第四象限，所以b＜0，
由z＝4，得（1＋bi）（1－bi）＝4，即b2＝3，
所以b＝－.
（2）由（1）知z＝1－i，
法一 因为复数z是关于x的方程px2＋2x＋q＝0的一个根，
所以p（1－i）2＋2（1－i）＋q＝0，
整理得（－2p＋q＋2）＋（－2p－2）i＝0，又p，q∈R，
所以解得所以p＋q＝－5.
法二 因为二次方程两虚数根互为共轭复数，
所以另一个根为1＋i，
则解得所以p＋q＝－5.
1 / 1
