2026版《决胜蓝图》第一部分 01-一 函数与方程思想——巧妙转化，相辅相成（课件）数学高考大二轮专题复习

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第一部分 自学篇
思想方法
一 函数与方程思想
——巧妙转化，相辅相成
函数思想 方程思想
函数思想是通过建立函数关系或 构造函数，运用函数的图象和性 质去分析问题、转化问题，从而 使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或
者构造方程，通过解方程或方程组或
者运用方程的性质去分析问题、转化
问题，从而使问题得到解决的思想
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函 数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运 动中的等量关系 应用1 借助函数解决问题
在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题
中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法
使问题顺利获解.
［例1］ （2024·天津卷）在边长为1的正方形中，为线段 的三
等分点，,，则__；为线段 上的动
点，为中点，则 的最小值为_____．
【解析】 方法一：因为，即 ，
则 ，
可得，，所以 .
由题意可知,， ，
因为为线段 上的动点，
设， ，
则
，
又因为为 中点，则
，
可得
，
又因为，所以当时，取到最小值，最小值为 .
方法二：以 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所
示，则，，， ，
， ，
可得，， ，
因为 ，
则所以 .
因为点在线段， ，上，
设， ，
且为中点，则 ，
可得， ，
则
，
且，所以当时，取到最小值，最小值为 .
解答此类问题需通过建系或引入变量建立目标函数，运用一次函数、
二次函数、不等式、导数等求出最值.
［对点训练］ 甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”
制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，，则甲以 获胜概
率的最大值为____.
解析：甲以 获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，
若所求概率用表示，所以 ，
，则.令 ，得
；令，得.所以在， 上单调递增，在
，上单调递减，所以当时， 取得最大值，
.
应用2 转换函数解决问题
在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经
常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难解题时，不妨转
换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变
元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.
［例2］ （2024·新课标Ⅱ卷）设函数 ，
.当时，曲线与 恰有一个
交点.则 ( )
A. B. C.1 D.2
【解析】 方法一：令，即 ，可
得 ，
令， ，
原题意等价于当时，曲线与 恰有一个交点，
D
注意到，均为偶函数，可知该交点只能在 轴上，可得
，
即，解得 .
若，令，可得，因为 ，
则，，当且仅当 时，等号成立，可得
，当且仅当 时，等号成立，则方程
有且仅有一个实根0，即曲线与 恰有
一个交点，所以 符合题意.
综上所述, .
方法二：令， ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为 ，
则 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即 ,解得
.
若，则， ，
又因为，,当且仅当 时，等号成立，
可得，当且仅当 时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以 符合题意．
方法三：由曲线与 恰有一个交点知，
有且仅有一个根，即 ,令
,,知是偶函数，故 .
挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，
主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，
是解题人思维品质高的表现.
［对点训练］ （2024·昆明模拟改编）已知函数 ，
,当时，，则 的取值范围为
________.
解析：因为当时， ,
等价于，令， ，则
恒成立.
,
当时，由 ，
得，， 时，
，单调递减，所以当，时， ，
不符合题意；
当时，，因为 ，
所以，则，在 上单调递增，所以
，符合题意.
综上所述，的取值范围为 .
应用3 构造函数解决问题
在数学各分支的形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或
结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此
基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是利用函数思想解题的更高
层次的体现.
［例3］ 已知,分别满足,，则 ___.
2
【解析】 由于,于是，从而,又由于 ,于
是,从而,.则 ,构造函
数,,根据其导函数 得到函数
在上单调递增，从而转化为 ,因此
.
构造函数的策略
（1）直接构造：如果关系式的左右形式相当，一边一个变量，取左或取
右，构造函数.
（2）变形构造：如果关系式的左右形式稍有差异，可适当变形后得到已
知中出现的“两个变量”，然后利用结构相同，构造出一个函数，最后利用
函数的性质解题.
［对点训练］ 1.设，，，则，， 的
大小关系为( )
A
A. B. C. D.
解析： 选A.因为指数函数，为 上的减函数，所以
， .因为幂函数
为上的增函数，所以，所以 .因为
对数函数为 上的减函数，所以
，即，所以 .
2.已知，则“”是“ ”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析： 选C.构造函数，则 在定义
域 上恒成立，
所以函数 为增函数，
又因为，所以 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，即“ ”能推出“
”，充分性成立；
由 ，
可得 ，
即 ，
所以，所以 ，即 ，所以“
”能推出“ ”，必要性成立.所以“
”是“ ”的充要条件.
应用4 借助方程（组）形式解决问题
把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸显其隐含条件，充分发挥
其方程性质，运用有关方程的解的定理（如根与系数的关系、判别式、实
根分布的充要条件）使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方法.
［例4］ （2024· 新课标Ⅰ卷）已知， ，
则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 由已知条件及三角函数公式，
得
所以， ，
故
利用条件建立待求量的方程（组），通过解方程（组）求出有关量，进而
达到解题的目的.
［对点训练］ 1.（2024·全国甲卷）已知且 ，则
____．
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解析：由题意可知， ，整理得
，解得或，又 ，所
以，故 .
2.设非零向量，，满足，，， ，则
的最大值为_ ___.
解析：因为，所以 ，两边平方，得
，即 ，所
以，解得，即的最大值为 .