2026版《决胜蓝图》第一部分 02-二 数形结合思想——直观快捷,别有洞天（课件）数学高考大二轮专题复习

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二 数形结合思想
——直观快捷,别有洞天
以形助数（数题形解） 以数辅形（形题数解）
借助形的生动性和直观性来阐述数 之间的关系，把数转化为形，即以 形作为手段，数作为目的来解决数 学问题的数学思想 借助于数的精确性、规范性及严密
性来阐明形的某些属性，即以数作
为手段，形作为目的来解决数学问
题的数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问 题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质， 它是数学的规律性与灵活性的有机结合 应用1 借用函数图象解决问题
［例1］ （2024·全国甲卷）曲线与 在
上有两个不同的交点，则 的取值范围为________．
【解析】 令 ，
即 ,
令 ，
则 ，
令得 ，
当时，， 单调递减，
当时，，单调递增，， .
因为曲线与在 上有两个不同的交点，
所以等价于直线与曲线在 上有两个交点，所以
.
研究函数的零点及方程的根、不等式的求解及参数范围等问题，常转
化为函数图象的交点问题，其思维流程为：
［对点训练］ 1.已知函数是定义域为的奇函数，且当 时，
单调递增，,若，则实数 的取值范围为( )
A
A.或 B.或
C.或 D.或
解析： 选A.因为函数是定义域为的奇函数，所以 ,
,又函数在上单调递增，所以函数 在
上单调递增，由此可作出函数
的大致图象，如图，则不等式 可转化为
或,解得或 .
2.已知正实数，满足， ，则( )
B
A. B. C. D.
解析： 选B.由题意，在同一平面直角坐标系内，分别作出函数
，,的图象，结合图象可得， .
应用2 巧借几何性质解决问题
［例2］ （2024· 九省联考）已知平面向量, 满足
，,的夹角为,若,则 的最小值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 依题意，作出如图的示意图：
其中，， 的长度均为1，
, ,
且点C在以B为圆心，1为半径的圆上运动，
所以,
.
（1）对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其
中的相互关系求解.
（2）应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主
要有：
①比值——可考虑直线的斜率；
②二元一次式——可考虑直线的截距；
③分母为根式的分式——可考虑点到直线的距离；
④根式——可考虑两点间的距离.
［对点训练］ 1.（2024·北京三模）已知圆
和两点，，若圆上存在点，使得 ，
则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
解析： 选B.说明点在以 为直径的圆
上，而 又在圆C上，因此两圆有公共点，
所以，即 ，又
，解得 .
2.已知为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分
别为，，离心率为，点是 的右支上异于顶点的任意一点，过点
作的平分线的垂线，垂足是，，则 ( )
C
A. B. C.1 D.2
解析： 选C.设半焦距为，如图，延长交于点 ，
因为是的平分线， ，
所以 是等腰三角形，
所以，且是 的中点.
根据双曲线的定义可知 ，
所以 .
由于是的中点，所以是 的中位线，所以
，
又双曲线的离心率为，故 ，
所以，所以 .