2026版《决胜蓝图》第一部分 03-三 分类讨论思想——深究细查,各个击破（课件）数学高考大二轮专题复习

(共19张PPT)
三 分类讨论思想
——深究细查,各个击破
分类讨论的原则 分类讨论的常见类型
1.不重不漏 2.标准要统一，层次要 分明 3.能不分类的要尽量避 免，决不无原则的讨论 1.由数学概念而引起的分类讨论
2.由数学运算要求而引起的分类讨论
3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论
4.由图形的不确定性而引起的分类讨论
5.由参数的变化而引起的分类讨论
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究 时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别进行 研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质 上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略 应用1 由概念、运算、性质引起的分类讨论
［例1］ （1）（2024·上海春季卷）已知函数 ，
若满足，则 的取值范围为
________.
【解析】 由已知得当时， ，解得
，因此；当时， ，不等式恒成立，
因此.综上，的取值范围为 .
（2）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都
为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.
已知数列是等和数列，且，公和为5，则数列的前 项和
_ ______________.
【解析】 由数列是等和数列，且 ，公和为5，所以
，解得 .
当时，数列的前 项和
.
当时，数列的前 项和
,
又 ,也满足上式.
所以
解决由概念、运算、性质引起的分类讨论问题的步骤
第一步:确定需分类的目标与对象.一般把需要用到公式、定理来解决问题
的对象作为分类的目标.
第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区分.
第三步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理.
第四步:汇总“分目标”.对“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理.
［对点训练］ 1.（2024·南宁适应性测试）已知集合 ，
，，，且，则 的取值集合为( )
D
A. B.， C.， D.，0，
解析： 选D.当时， ，满足；当时， ，
又，所以或，所以或.故满足题意的 所有
取值组成的集合是，0， .
2.已知函数 是幂函数，且为偶函数，则实
数 的值为___.
2
解析：因为函数 是幂函数，则
，解得或，当 时，函数
，其定义域为 关于原点对称，
，
则 是偶函数，满足题意；
当时，函数是奇函数，不满足题意.综上，实数 的值为2.
应用2 由参数变化引起的分类讨论
［例2］ （2024·全国甲卷节选）已知函数 ，
求 的单调区间.
【解】 由题意得，的定义域为，,当
时，，故在上单调递减；当 时，令
得,故当时，， 单调递增，当
时，， 单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为 ；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为 .
由参数取值引起的分类讨论问题的解题策略
（1）含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.
（2）若参数有明确的几何意义时，应全面分析参数变化引起结论的变化
情况，有时需要适当地运用数形结合思想，做到分类标准明确、不重不漏.
［对点训练］ 设函数若 ，则
___.
6
解析：当时，， ，
,
因为,所以 ，
解得或 （舍去）.
所以 .
当时，，所以 ,
，
所以 ，无解.
综上， .
应用3 由图形位置引起的分类讨论
［例3］ （多选）已知是圆上任意一点，定点在 轴上，
线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时， 的轨
迹可以是( )
ABC
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
【解析】 设的中点为B，过B作的垂线交直线于，连接 ，当
点A在圆外时，如图1，图2所示，则 ，则
，又，则此时的轨迹为以 ，A为焦点
的双曲线；
图1
图2
图3
当点A在圆内（非原点）时，如图3所示，此时
，又，则此时 的轨迹为以 ，A为焦点的椭圆；
图4
当点A在坐标原点时，如图4所示，此时B， 重合，
，则此时的轨迹为以 为圆心，半径为1的圆；
当点A在圆上时，如图5所示，由垂径定理，可知与 重合，
则此时的轨迹为点 .
图5
（1）涉及图形位置不同、大小差异不确定时，要进行分类讨论；
（2）破解此类问题的关键：
①确定特征：一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定；
②分类：根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类；
③得结论：将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理.
［对点训练］ 已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为 和 ,
则两平行截面间的距离是( )
C
A.1 B.2 C.1或7 D.2或6
图1
解析： 选C.画出球的轴截面图,是球的一个大圆,两平行直
线是球的两个平行截面的直径,设两个平行截面的圆心分别为
和 ，由题意可得，两个平行截面的半径分别为3和4，
则, .如图1，当
两个平行截面在球心的两侧时,两平行截面间的距离是 ;
图2
如图2,当两个平行截面在球心的同侧时,两平行截面间的距离
是 .