2026版《决胜蓝图》第一部分 04-四 转化与化归思想——化繁为简，峰回路转（课件）数学高考大二轮专题复习

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四 转化与化归思想
——化繁为简，峰回路转
转化与化归的原则 常见的转化与化归的方法
1.熟悉化原则 2.简单化原则 3.直观化原则 4.正难则反原则 1.直接转化法2.换元法3.数形结合法4.构造
法5.坐标法6.类比法7.特殊化法8.等价问题
法9.加强命题法10.补集法
转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种措施将问 题转化，进而使问题得到解决的一种数学思想 应用1 正与反的相互转化
［例1］ 已知函数在区间上不单调，则实数 的
取值范围为_______.
，
【解析】 方法一：由题意得， .
①若函数在区间 上单调递增，
则在 上恒成立，
即当时， 恒成立，
则，所以 ；
②若函数在区间 上单调递减，
则在 上恒成立，
即当时， 恒成立，
则，所以 .
综上，若函数在区间 上单调，
则实数的取值范围为或 .
所以若函数在区间 上不单调，
则实数的取值范围为， .
方法二：由得 .
由于函数在区间 上不单调，
故,使 ,
即, ，
故实数的取值范围为, .
（1）本题是正与反的转化，可先求出其反面情况，遵循“正难则反”的原则.
（2）题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对较少，从反面考虑较
简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.
［对点训练］
1.若“，”为假命题，则实数 的取值范围为_____.
,
解析：由条件可知“, ”为真命题，则
，解得 .
2.已知甲、乙两人三分球投篮的命中率分别为0.4和 ，则他们各投两个
三分球，至少有一人两球都投中的概率为_____.
0.37
解析：设“甲两个三分球都投中”为事件 ，“乙两个三分球都投中”为事件
，“至少有一人两球都投中”为事件，则， ，
，，，由题可知，事件 与事
件 互相独立，所以
,所以至少
有一人两球都投中的概率为0.37.
应用2 常量与变量的相互转化
［例2］ 已知函数， ，其中
是的导函数.对任意，都有，则实数 的取值
范围为________.
,
【解析】 由题意知
,令
， .
由题意得即
解得 .
故实数的取值范围为, .
（1）本题是把关于的函数转化为区间内关于 的一次函数的问题.
（2）在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（参数），将其
看成“主元”，而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的.
［对点训练］ 对于满足的所有实数 ，使不等式
恒成立的实数 的取值范围是___________________.
解析：由题意设,,则当 时，
，所以 .
在上恒成立，等价于即
解得或.故实数的取值范围为 .
应用3 特殊与一般的相互转化
［例3］ （1）过抛物线的焦点，作一直线交抛物线于 ,
两点.若线段与的长度分别为,，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 抛物线的标准方程为 ，
焦点为， .
取特殊情况，过焦点作直线垂直于轴（图略），直线与抛物线交于 ，
两点，
则，所以 .
（2）已知函数满足对，，有 ，
且，则 ( )
D
A.2 B.3 C.6 D.9
【解析】 方法一：令，得 ，
令，得 ，
令，，得 ，
令， ，
得 ，
解得 .
方法二：取，满足及 ，
所以 .
（1）一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可
以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题
的效果.
（2）对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答
案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.
［对点训练］ 1.已知一个等差数列的前项和为48，前项和为60，则它
的前 项和为( )
D
A. B.84 C.72 D.36
解析： 选D.方法一（直接法）因为数列是等差数列，所以 ，
，也是等差数列，所以 ，
即，解得 .
方法二（特值法）选项中不含，故本题答案与的取值无关，可对 取
特殊值，如，此时， ，
,所以前 项和为36.
2.设四边形为平行四边形，，.若点， 满足
，，则 ( )
C
A.20 B.15 C.9 D.6
解析： 选C.方法一（特例法）若四边形 为矩
形，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图1.
由， ，
知， ，
所以， ，
则 .
方法二：如图2所示，由题设知，
，
，
所以
.
应用4 函数、方程、不等式之间的相互转化
［例4］ 若不等式（为参数）在上有解，则实数
的取值范围是( )
C
A., B. , C., D.
【解析】 若 因为关于的不等式在 上有解，所以
（为参数）在 上有解.
设,,易得在区间 上单调递减，
所以有最小值，为 ,
所以实数的取值范围是, .
借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般
可将不等式关系转化为最值（值域）问题，从而求出含参变量的范围.
［对点训练］ 已知,,,则 的最小值为___.
6
解析：方法一：由已知得 ，
即 ，
当且仅当，即， 时取等号，
令，则且 ，
解得，即 .
故 的最小值为6.
方法二：因为 ，
当且仅当，即， 时取等号.
所以 ，
所以 ，
又，,所以 ，
所以，所以 ，
即 的最小值为6.