2026版《决胜蓝图》第一部分 05-基础知识（课件）数学高考大二轮专题复习

(共42张PPT)
基础知识
知识点一 集 合
1.（2024·新课标Ⅰ卷）已知集合,, ,0,2,
，则 ( )
A
A., B. C.,, D.,0,
解析：选A.因为，，，0，2， ，
且注意到，从而， .
2.（2024·开封质量检测）已知集合， ，
， ，则下列命题正确的是( )
B
A. B.
C.， D.
解析：选B.因为的最小正周期，且 ，当
时，，当时，，当时，，当 时，
，所以，0，，又，，所以， ，
，， ，故A，C，D不正确，B正确.
3.已知全集，， ，
则图中阴影部分表示的集合为( )
A
A. B.
C.,0,1, D.,0,1,2,
解析：选A.易知.则 ，题
图中阴影部分为 .
4.已知集合,,,,则 中元
素的个数为( )
C
A.2 B.3 C.4 D.6
解析：选C.由题意，中的元素满足且, ,由
,得,所以满足的有，， ，
，故 中元素的个数为4.
5.（2024·合肥质量检测）已知集合 ，
，若 ，则实数 的取值范围为
___________________.
解析：由题意得 ，
，因为 ，所以 或
，解得或，则实数 的取值范围为
.
集合的基本运算的解题技巧
（1）以“形”定“法”：看集合的表示方法，用列举法表示的集合，宜用
图求解；用描述法表示的数集，常借助数轴分析得结果.
（2）先“简”后“算”：运算前先对集合进行化简，分清是数集还是点集，
是函数定义域还是值域，是方程的解还是不等式的解集等.
警示 遇到 时，需注意到“极端”情况： 或 ；同样
在应用条件时，不要忽略 的情况.
知识点二 常用逻辑用语
1.（2024·新课标Ⅱ卷）已知命题， ；命题
， .则( )
B
A.和都是真命题 B.和 都是真命题
C.和都是真命题 D.和 都是真命题
解析：选B.对于而言，取，则有，故 是假命
题，是真命题，对于而言，取，则有，故 是真
命题，是假命题，综上，和 都是真命题.
2.（2024·青岛三模）已知命题,,，则 ( )
D
A.,, B.,,
C.,, D.,,
解析：选D.命题,, 为全称量词命题，则
,, .
3.（2024·长沙模拟）若古典概型的样本空间，2，3， ，事件
，，甲：事件 ，乙：事件， 相互独立，则甲是乙的
( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A.若 ，，，则 ，而
，，所以 ，所以事件A，B相
互独立，
反过来，若事件A，B相互独立，则满足 ，当
，时，，此时， ，所
以不一定 ，所以甲是乙的充分不必要条件.
4.（2024·大连模拟）“函数 是奇函数”的充要条件是实
数 ___.
0
解析：若为奇函数，则 ，所以
，即，所以 ，若
,则是奇函数，所以函数 是奇函数的
充要条件是 .
判断充分、必要条件的三种方法
（1）定义法：根据命题 命题，命题 命题进行判断，适用于定
义、定理判断性问题
（2）集合法：根据命题，成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，
多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
（3）数形结合法：充要条件的判定问题中，若给出的条件与结论之间有
明显的几何意义，且可以作出满足条件的几何图形，则可作出其几何图形
后利用数形结合的思想求解.
警示 要弄清先后顺序：“的充分不必要条件是”是指能推出，且 不
能推出；而“是的充分不必要条件”则是指能推出，且不能推出 .
知识点三 不等式的性质及解法
1.设,则关于的不等式 的解集是( )
D
A., B.
C., D. ,
解析：选D.因为,所以, ,原不等式可化为
,解集为 , .
2.已知 ，则下列结论正确的是( )
C
A. B. C. D.
解析：选C.根据题意，不妨取,，对于A，此时 ,
,不满足,故A错误；对于B，易得,,此时 ,
故B错误；对于D， 无意义，故D错误；对于C，由指数函数的单调性
可得，当时， ,故C正确.
3.已知不等式的解集为 ，若对任意
，不等式恒成立，则 的取值范围是
__________.
解析：由题设知，3是方程的两根，所以 且
，可得, .
所以在 上恒成立，设
且在 上单调递增，故只需
即可，所以 .
明确解不等式的策略
（1）一元二次不等式：先化为一般形式（或）
（）.再结合相应一元二次方程的根及二次函数的图象确定一元二次
不等式的解集.
（2）含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为
整式不等式求解.
警示 解形如的一元二次不等式时，易忽视对系
数的讨论导致漏解或错解，要注意分,进行讨论.
知识点四 基本不等式
1.若,则 有( )
C
A.最大值0 B.最小值9 C.最大值 D.最小值
解析：选C.因为,所以 .
,
当且仅当，即时取等号.故 有最
大值 .
2.若关于的不等式在上恒成立，则实数 的取值
范围为( )
B
A. B. C. D.
解析：选B.当时，不等式恒成立，；当 时，由题
意可得恒成立，又，当且仅当 ,即
时取等号，所以，解得.所以实数 的取值范围是
.
3.（多选）（2024·贵阳适应性考试）已知,,且 ,则
( )
ABC
A. B.
C. D.
解析：选.对于A， ,当且仅当
时，取等号,A正确；对于B， ,当且仅当
时，取等号，B正确；对于C，
,当且仅当 时，
取等号，C正确；对于D，，当且仅当 时，
取等号，D错误.
4.已知,,,则 的最小值为___.
3
解析：由于,,,则两边同除以 可得
,两边再同乘 ,得
，当且仅当 ,即
,时等号成立.因此,当且仅当, 时取等号，故
的最小值为3.
基本不等式求最值的3种解题技巧
（1）凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值.
（2）凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和
或积为定值，从而利用基本不等式求最值.
（3）换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分
母换元后将式子分开，即化为，
恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.
警示 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相
等”.若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，
否则最值取不到.
知识点五 复数
1.（2024· 新课标Ⅰ卷）若，则 ( )
C
A. B. C. D.
解析：选C.因为，所以 .
2.已知复数满足，其中为虚数单位，则 的虚部为( )
A
A. B. C. D.
解析：选A.由得 ，故复
数的虚部为 .
3.（2024·湖北联考）已知为虚数单位，复数满足，则 的
虚部为( )
B
A. B.1 C. D.
解析：选B.设，则 ，所以
，即，解得，所以 的虚部
为，所以 的虚部为1.
4.（2024· 湘豫名校联考）已知复数满足，复数 的共轭复
数为，则 在复平面内对应的点位于( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：选C.因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以在复平面内对应的点的坐标为， ，位于第三象限.
5.（多选）（2024·郑州质量预测）在复平面内，复数 对应的
点为，复数对应的点为 ，下列说法正确的是( )
AD
A. B.
C.向量对应的复数是1 D.
解析：选.因为，则其对应的点为， ,
,
则复数对应的点为， .
对于A，， ，所以
选项A正确；
对于B， ，所
以选项B错误；
对于C，向量，则向量对应的复数为 ，所以选项C错误；
对于D，，，所以 ，所以选项D正确.
复数的概念及运算问题的解题技巧
（1）与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为且
，利用复数相等求解.
（2）与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设
，利用待定系数法求解.
警示 在复平面内，复数对应的点为，不是
，当且仅当为坐标原点时，向量与点对应的复数相同.
知识点六 平面向量的线性运算
1.在正六边形中，用和表示,则 ( )
B
A. B. C. D.
解析：选B.如图，记正六边形的中心为，连接，交于，则 在
上，为的中点，且为 的中点，
所以 ，
.
2.已知向量,.若与共线，则 ____；若
,且，，三点共线，则实数 的值为__.
解析：因为向量,,所以, 不共线.由题意知
, .
若与共线，则,解得 .
因为,,且，， 三点
共线，所以，即,解得 .
3.在中，点为线段 上任一点（不含端点），若
,则 的最小值为( )
D
A.1 B.4 C.9 D.16
解析：选D.由题意知A，C，三点共线，则,且, ,
故 ,当且仅
当,即时，等号成立，故 的最小值为16.
运算遵法则，基底定分解
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三
角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量归结到相关的三角形中，
利用三角形法则列出三个向量之间的关系．
（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运
用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
警示 同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一个基底下的分
解都是唯一的．
知识点七 平面向量的数量积
1.（2024· 新课标Ⅰ卷）已知向量,，若 ，
则 ( )
D
A. B. C.1 D.2
解析：解析：选D.因为，所以 ，所以
，即，故 .
2.（2024·黄山质量检测）已知向量,,满足, ,
,则向量, 的夹角为( )
B
A. B. C. D.
解析：选B.根据题意，由 可得
.
又,,可得 ,
设向量,的夹角为 , ,
所以 ,
可得,即 .
3.（2024·湖北七市联考）已知正方形的边长为2，若 ，则
( )
B
A.2 B. C.4 D.
解析：选B.方法一（基向量法）由题意可知点为 的中点，所以
.
方法二（坐标法） 如图，以B为原点建立平面直角坐标系，
则，，， ，所以
， ，所以
.
4.（多选）（2024·广州综合测试）已知向量,不共线，向量平分
与 的夹角，则下列结论一定正确的是( )
BC
A.
B.
C.向量与在 上的投影向量相等
D.
解析：选.在中，令,,由题意可知，
为菱形，所以，即,, .对于A,因
为,,所以只有当,时，才有 ，故A错
误；对于B，由菱形的性质知，即 ,故B正确；对
于C,因为,所以,即 ，
因为在上的投影向量为,在 上的投影向量为
,所以向量与在 上的投影向量相等，故C正确；对于
D，菱形的对角线不一定相等，故D错误.
5.（2024· 江南十校联考）如图，在等腰梯形
中，，，，，点 是线段
上一点，且满足，动点在以 为圆心的半
径为1的圆上运动，则 的最大值为( )
A
A. B. C. D.
解析：选A.如图，以 为原点，建立平面直角坐标系.
由题意，梯形的高为 ，
则 ，， .
因为以为圆心的半径为1的圆的方程为,可设点 .
则 ,其中，
,故当时， .
平面向量数量积问题的解题方法
（1）借“底”数字化：要先选取一个合适的基底（一般用已知的向量表示
未知的向量），建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知向
量的方程进行求解．
（2）借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可
以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得以解决．
警示 求两向量夹角的注意点
两向量夹角的范围是 ，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个
向量夹角可能是0或 的情况．