(共25张PPT)
真题解构与重构 数 列
数列是高中数学教学的主要内容之一，也是每年高考的必考试题，选
择题、填空题与解答题都是其主要题型.从高考试题可以看出，基本上是一
大一小，小题表现在基本量的运算，大题呈现通项公式与前 项和及其相
关的关系.当难度不大时，试卷一般设置在第15题的位置,当难度略大或综
合性较强时，会往后放置.作为数列真题，主要考查等差数列或等比数列的
定义、公式、性质、通项公式与前 项和及相关的知识，有时也会与数学
文化和其他知识交汇出现，主要考查数学运算、逻辑推理等核心素养，常
用化归与转化思想及函数与方程思想加以解决.下面对2024年全国甲卷（理）
第18题数列问题进行解构与重构,激活真题功能，有效复习数列的相关知识，
助力高考复习.
［真题呈现］ （2024· 全国甲卷（理））记为数列的前 项和，
已知 ．
（1）求 的通项公式；
［规范解答］解：因为 ，①
当时，由得，所以 ，
注解①
［关键步骤］①对于与的关系，首项隐于其中，用可求出
，②
①-②，
所以数列是以4为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
［关键步骤］ ②当时，是寻找与 关系的重要
手段
注解②
（2）设，求数列的前项和 ．
［规范解答］解： 因为 ，
所以 ，
所以 ，
注解③
［关键步骤］ ③乘公比错位是求{等差×等比}数列前 项和的关键
两式相减得,所以 .
［真题分析］ 试题以数列的第项与前项和 的关系为载体，以
为转化手段，从而进行数列判断与求解.试题考查
等比数列的定义与通项公式和错位相减法求和问题.
考查数学运算、逻辑推理等核心素养，考查特殊与一般，化归与转化，函
数与方程思想.一般地，数列求和有下列三种最常见的情况.
（1）等（比）差数列的求和，直接利用求和公式.
（2）等差数列裂项求和，即若是等差数列，且 ，则
.
（3）等差×等比型数列求和，即若是等差数列， 是等比数列
（一般公比都不为1）.
则的前项和 ,①
乘公比错位 ,②
两式相减提公差 ,
等比数列求和 ,
化简结果 （可以继续合并运算）.
［源头与活水］
类别 教材题（选择性必修第 二册练习与 ） 考题 关联特征
条 件 ① 系数变化
② 都是等差×等比
问 题 ① 求 求 都是求通项公式
② 求前 项和 求前 项和 都是求{等差×等
比}的前 项和
［真题解构］
解构1 （多选）已知数列的通项公式,前项和为 ，
则( )
ACD
A.是公比为的等比数列 B.
C.为常数 D.数列{ 是等差数列
解析：选.对于A，由得 ,
.
故是首项为4，公比为 的等比数列，A正确；
对于B，由上知 ,B错误；
对于C，由上知
,C正确；
对于D，设
,所以数列
，即数列{ 是等差数列，D正确.
解构2 已知等比数列的前项和 ，对于一切
均有 .
（1）求 ， 与 的值;
[解] 方法一：解：由 得，
当时， ;
当时， ,
,
所以是公比为 的等比数列.
由题意知， 应满足 ,
所以 ,解得 .
方法二：由得 ,
, .
由 得
,,解得 .
方法三：由知，等比数列的公比 .
所以 .
与 对比得
解得
当时，， ，
代入 得
，
即 ,
所以,.因此 .
（2）若数列的前项和为，求常数与 的值.
[解] 由（1）知， ，
由于数列的前项和为 .
故数列 为常数列.
设（ 为常数）,
故 ,
即 .
所以解得
,因此,故 .
［真题重构］
重构1 （多选）已知数列的前项和为，且 ，则
( )
ABD
A.
B.以点，， 为顶点的三角形面积为18
C.当时，,, 可能成等差数列
D.
解析：选.由 ,①知
当时，，即 ，
当时， ,②
得,即 ,
所以数列 是首项为4，公比为4的等比数列.
因此 .
对于A，由得 ,或
，A正确;
对于B，记三点分别为，，，则 ，
,
所以 ,B正确；
对于C，若,,成等差数列，则,即 ,
即.由于,且,,,故 .
所以 ,
即,, 不可能成等差数列，C错误；
对于D，
,D正确.
重构2 已知数列的前项和为，,,则
_ _____________.
解析：由得 ,
由,可得,故 .
因此数列是首项为 ，公差为1的等差数列，
,故 .
当时， .
所以
或 .
所以
重构3 若数列满足, .
（1）求 的通项公式;
解：由得 ，
所以数列是首项为 ,公比为3的等比数列，
因此，所以 .
（2）令，若，求 的最
小值.
解： .
所以
.
由题意得，即 .
因此 的最小值为100.(共26张PPT)
第2讲 数列的通项公式
考情分析 备考关键
考点 由与 的关系求通项公式，累 加、累乘法求通项公式，构造新数列求 通项公式. 考法 由递推关系求通项公式是历年高 考命题常考的内容，属于中档题目，多 以选择题、填空题的形式考查，解答题 第一问多考查等差、等比数列的判定与 证明. 构造法是求数列通项公式的一种
重要方法，其总的思路是转化为
特殊的数列，转化方向有：
（1）构造常数列；（2）构造等
差数列；（3）构造等比数列；
（4）构造为可以利用累加法、
累乘法求和的数列．
PART
01
第一部分
做真题 明方向
1.（2022·全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探
测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与
地球绕日周期的比值，用到数列， ，
， ，依此类推，其中 .则( )
D
A. B. C. D.
解析：选D.依题意，不妨令，则， ，
,,,，,,所以， ，
， ．
2.（2022·新高考Ⅰ卷节选）记为数列的前项和，已知,
是公差为 的等差数列．
求 的通项公式.
解：依题意得， ,
,
所以 ,
则 ,
所以 ,
即 ,
所以 ,
即 ,
由累乘法得 ,
又,则 ,
所以 ,
又 满足上式，
综上 .
PART
02
第二部分
研考点 破重难
考点一 由与 的关系求通项公式
［例1］ 记为数列的前项和，已知， .求：
（1）， ；
【解】当时,，得，解得
（舍去）或.当时， ，得
，解得或（舍去）．故 ，
．
（2）数列 的通项公式．
【解】 当时， ，
又 ,
所以 ，即
．因为，所以 ，所
以，所以数列是首项为，公差为 的等差数列，
所以 .
由与的关系求的思路
当已知数列满足含有,的等式时，往往用替换得到一
个新的等式，然后两个等式相减，从而把前项和转化为数列的项之间的
关系，再根据这个关系求解数列的通项公式.
注意 需验证是否适合,若不适合则应写成分段形式.
［对点训练］ 1.（2024·开封质量检测）已知数列的前 项和
,则 ( )
B
A.81 B.162 C.243 D.486
【解析】 选B.方法一（公式法）：当 时，
.当 时，
,满足上式，所以.则 .
方法二（直接法）：
.
2.（2024·徐州模拟改编）已知数列的前项和为 ，且
,,则 _________.
解析：方法一：由题意得，
当时，,可得 ,
当时， ,
所以,整理可得 ,
即数列是首项为1，公比为的等比数列，则 .
方法二：因为当时， ,所以
,
即 ,
而,即 ，
则 ,
因此数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以
,
则,则 .
考点二 累加、累乘法求通项公式
［例2］ （1）已知数列满足 ，
，则 _______________.
解析：因为 ，
所以当 时，
.
经检验，当时上式也成立，故 ．
（2）设 是首项为1的正项数列，且
,则 __________.
解析：方法一（累乘法）：将原式分解因式，得
.
因为是正项数列，所以 ，
所以,所以 ,
所以 ,所以
.
又因为,所以 ,
当时也符合上式，故 .
方法二（逐项列举法）：由方法一，知 ,
所以 ,
所以 .
方法三（等差通项法）：由方法一，知 ,则数列
是首项为 ，公差为0的等差数列，所以
,所以 .
方法四（等比通项法）：由方法一，知 ,则
,则数列是首项为 ，公比为1的等比数列，所
以,所以 .
（1）型，可用“累加法”求 ,即
.
（2）型，可用“累乘法”求 ，即
.
［对点训练］ 已知数列满足,,则 ( )
D
A.2 023 B.2 024 C.4 045 D.4 047
【解析】 选D.因为 ,
所以 ,
即,可得 ,
所以 .
考点三 构造新数列求通项公式
［例3］ （1）在数列中，若,,则 _____.
解析：对取倒数得,即,所以数列
是首项为1，公差为2的等差数列，即 ,所以
.
（2）已知数列满足,,则 _________.
解析：对题中等式两边取以10为底的对数可得 ,即
,又,所以数列{ 是以
为首项， 为公比的等比数列，所以
，
即，即 .
（1）若数列满足 ,构造
.
（2）形如的数列，取倒数可得 ,即
,构造等差数列 求通项公式.
（3）若数列满足 ，构造
.
［对点训练］ 1.已知是数列的前项和， ,
,则 _ __________________.
解析：因为 ,
所以 .
所以从第二项起是公比为的等比数列，因为 ，
所以 ,
即 ,
所以
2.已知数列满足,且,则 ________.
解析：由题意得，,两边同时除以 可得
,又,所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以,所以 .(共20张PPT)
提升点3 子数列与增减项问题
类型一 奇、偶项问题
［例1］ （2024·上饶一模）设为正项数列的前项和，若 ，
， 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
【解】由已知得 ,①
当时， ,
又,所以 .
当时， ,②
①②得 ,
所以 .
因为,所以 ,
故数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以 .
（2）设求数列的前2 024项和 .
[答案] 由已知得 ,
所以 .
因为 ,
所以 .
所以 .
（1）数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题或 ;
②含有 的类型；
③含有, 的类型；
④已知条件明确的奇、偶项问题.
（2）对于通项公式分奇、偶项不同的数列求前项和 时，我们可以
分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把 看作一项，求出
，再求 .
［对点训练］ 在数列中，已知，,记为 的
前项和， .
（1）判断数列 是否为等比数列，并写出其通项公式；
解：因为 ,
所以 ,
所以，即 ,
所以 .
因为,，所以 ,
所以 ,
所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2）求数列 的通项公式.
解：由（1）可知 ,
且,,所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，数列
是以1为首项， 为公比的等比数列，
所以当为奇数时， ;
当为偶数时, .
所以
类型二 两个数列的公共项问题
［例2］ 已知数列的前项和，的前 项积
．
（1）求与 的通项公式；
【解】由得，当时， ,
当时， ,
当时，上式也成立，所以 .
由得，当时， ,
当时， ，
当时，上式也成立，所以 .
（2）把数列和的公共项由小到大排成的数列记为 ，求
的值．
【解】 设,即 ,
当,时，, ,解得
不是正整数，不合题意；
当,时， ,
,解得 均为正整数，符合题意.
所以数列和的公共项为, .
所以, .
所以数列 是首项为2，公比为4的等比数列，则
.
两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两个等差数列公差的最
小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比
的最小公倍数．
［对点训练］ 数列和数列 的公共项从小到大构成一个新
数列，数列满足,则数列 的最大项的值为__．
解析：数列和数列 的公共项从小到大构成一个新数列为1，
7，13， ，该数列是首项为1，公差为6的等差数列，
所以，所以 ，
因为 ,
所以当时，，即 ，
又当时，，故，所以数列 的最大项为第二项，
其值为 ．
类型三 数列有关增减项问题
［例3］ （2024·湘潭质量检测）设各项都不为0的数列的前 项积为
，, .
（1）求数列 的通项公式；
【解】因为 ,
当时， ,
两式相除可得 ,
因为，所以 ,
所以, .
（2）保持数列中的各项顺序不变，在每两项与 之间插入一项
（其中，2,3，），组成新的数列，记数列 的
前项和为,求 .
【解】 依题意，
.
解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意，弄清楚增加了（减少了）
多少项，增加（减少）的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分
组求和法，即把原数列部分和增加（减少）部分分别求和，再相加（相减）
即可．
［对点训练］ 已知正项数列和，为数列的前 项和，且满
足， ．
（1）分别求数列和 的通项公式；
解：因为 ,
所以当时， ,
两式相减得 ,
,
因为，所以 ,
又当时，，又 ，
所以，所以 ，
则，故 ．
（2）将数列中与数列 相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数
列，记数列的前项和为，求 .
解：，又， ，
因此 ，
所以
．(共30张PPT)
第1讲
专题强化训练
［A 基本技能］
1.（2024·济南三模）记等差数列的前项和为.若, ,
则 ( )
B
A.49 B.63 C.70 D.126
解析：选B.由题知
.
2.（2024·甘肃高考诊断考试）在等差数列中，, 是方程
的两根，若，则 ( )
B
A. B. C.2 D.6
解析：选B.因为,是方程 的两根，
,所以.又因为在等差数列 中，
,所以, ,代入
可得,解得 .
3.（2024·洛阳质量检测）已知正项等比数列的前项和为 ,若
，且与的等差中项为，则 ( )
B
A.29 B.31 C.33 D.36
解析：选B.不妨设等比数列的公比为 ,
由,可得 ,
因为,,所以 ,①
又由与的等差中项为可得 ，
即 ,②
将①代入②，可得（负值已舍去）,则 ,
于是 .
4.（2024·广州综合测试）记为等比数列的前 项和，若
，则 ( )
C
A.5 B.4 C.3 D.2
解析：选C.方法一（基本量法）设等比数列的公比为 ,由
，得,又， ,所以
,
所以 .
方法二：设等比数列的公比为,由 ,得
,,所以 ,
所以 .
5.（多选）（2024·东北三校模拟）已知等差数列的首项 ,则下
列选项中正确的是( )
ACD
A.若,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,则,
解析：选.对于A，因为 ，所以
，故A正确;对于B，因为
,所以 ,因为
,所以,所以 ,
,所以,故 ，故B错误;
记等差数列的公差为 ,对于C，
,则 ,所以
,故C正
确;对于D，因为， 所以
,所以 ,所以
, ,
,故D正确.
6.（2024·邵阳联考）已知等差数列的前项和为.若 ，
，则 ___.
9
解析：由题得，， ，
所以，，所以 .
7.已知数列的前项和为,若 ,且
,则 ___.
2
解析：方法一：因为,所以当 时，
,得 ,即
,所以数列是常数列，所以,,所以 ,
解得 .
方法二：因为,所以当时， ,得
,则有 ,
所以数列是常数列，则 ,
所以 ,
所以,解得 .
8.（2024·南京、盐城调研）设数列的前项和为, .
（1）求数列 的通项公式；
解：由,得 ,
两式相减得 ,
即 ,
当时，由,得 ,
所以,故是首项为，公比为的等比数列，故 .
（2）若数列满足,求的前50项和 .
解：由（1）得 ,
所以
.
［B 综合运用］
9.（2024·贵阳适应性考试）设正项等比数列的前项和为, ,
且,,成等差数列，则与 的关系是( )
A
A. B.
C. D.
解析：选A.设正项等比数列的公比为 ，由题意知，
,即,所以,解得 或
（舍去），
则 ,
,所以 .
10.（2024·宁波“十校”联考）已知是公比不为1的等比数列 的前
项和，则“，，成等差数列”是“存在不相等的正整数, ，使得
,, 成等差数列”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A.设数列的公比为.因为是公比不为1的等比数列
的前项和，所以若，，成等差数列，则，又 ，
从而,化简得 .
若,, 成等差数列，
则，即 ,
所以 ,
故当时，有
即“，，成等差数列”能推出“存在不相等的正整数,，使得 ,
, 成等差数列”，故充分性成立；
反之，满足不一定是,如, ,
,满足,但不满足 ,即“存在不相等的
正整数,,使得,,成等差数列”推不出“，， 成等差数列”，
故必要性不成立.
所以“，，成等差数列”是“存在不相等的正整数,，使得 ,
, 成等差数列”的充分不必要条件.
11.（多选）（2024·赣州模拟）已知等比数列的前项和为 ,
, ,则( )
BC
A. B.
C.数列为单调数列 D.数列 为单调数列
解析：选.设数列的公比为 ，
由题有
解得或
对于A，当为偶数时， ，故A错误;
对于B，因为,当 时,显然有,当 时，
因为,,所以 .
综上， ，故B正确;
对于C，当时，数列 是首项为2，公比为3的递增等比数列，当
时，数列是首项为32，公比为 的递减等比数列，故C正确;
对于D，由B知，所以 ,
当时， ,
此时 不具有单调性，故D错误.
12.（2024·武汉二调）已知各项均不为0的数列对任意正整数 满足：
.
（1）若为等差数列，求 ；
解：由题意 ,
当，时， ,两式相减得
，
即, ,
所以数列 是公差为2的等差数列.
在 中，
令,得 ,
又,所以 ，
所以，解得或,若 ，则
，
与矛盾，舍去，所以 .
（2）若,求的前项和 .
解：因为，由（1）知，当时 ,所以
.
而当,时， ,
所以 ,
所以当,时， ,而
时也满足上式，综上所述，的前 项和
.
［C 素养提升］
13.线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，
通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如图所示，
若图1中正六边形的边长为1，图n中正六边形的个数记为 ，所有正六边
形的周长之和、面积之和分别记为, ，其中图n中每个正六边形的边长
是图n-1中每个正六边形边长的 ，则下列说法正确的是( )
D
A.
B.
C.存在正数，使得 恒成立
D.
解析：选D.A选项，由题意及题图得数列 为首项为1，公比为7的等
比数列，所以，故 ，故A错误；
B选项，由题意知，， ，故B错
误；
C选项，数列是首项为6，公比为的等比数列，故 ，
因为，所以为递增数列，不存在正数，使得 恒成立，
故C错误；
D选项，分析可得，题图n中的正六边形的个数 ，每个正六边形
的边长为，故每个正六边形的面积为 ，则
，故D正确.
14.已知数列的前项和为,, .
（1）求证：数列 是等差数列；
证明： .
由，得 .
因为,所以是以 为
首项， 为公差的等差数列.
（2）求数列 中最接近2 025的数.
解：由（1）得,即 ,则
,
当时，满足上式，所以,则 .
由可知，在 上单调递增，
当时， ；
当时， .
所以数列 中最接近2 025的数是1 980 和2 070.(共30张PPT)
第3讲 数列的求和
考情分析 备考关键
考点 分组求和与并项、裂项相消 法、错位相减法求和. 考法 近几年高考，数列求和常出 现在解答题的第二问，主要考查 通过分组转化、错位相减、裂项 相消等方法求数列的和，难度中 档. 一是要明确数列求和方法选择的依
据，所以准确求解通项公式是解决求
和问题的基础；二是要辨清数列通项
公式的结构特征，准确利用想用的求
和方法；三是求和之后可以利用数列
前几项代入验证，检验结果是否准确.
PART
01
第一部分
做真题 明方向
1.（2024·全国甲卷）记为等差数列的前项和.已知 ，则
( )
B
A. B. C. D.
解析： 选B.方法一：设等差数列的公差为 ，
由 ，
得 ,
则
.
方法二：因为 为等差数列，
所以，得 ,
则 ,故选B.
返回目录
2.（2024· 新课标Ⅱ卷）记为等差数列的前 项和.若
，，则 ____.
95
解析：方法一：设的公差为 ，由
，
，解得， ，
则 .
方法二：设的公差为，由， ，
得，，故， ，则
.
3.（2023· 新课标Ⅱ卷）已知为等差数列， 记
，分别为数列，的前项和，， ．
（1）求 的通项公式；
解：设等差数列的公差为 .
因为
所以,, .
因为, ,
所以
整理，得解得
所以的通项公式为 .
（2）证明：当时， ．
证明：由（1）知 ,
所以
所以 .
当 为奇数时，
.
当时， ,
所以 .
当 为偶数时，
.
当时， ,
所以 .
综上所述，当时， .
PART
02
第二部分
研考点 破重难
考点一 分组求和与并项求和
［例1］ 已知正项数列满足， .
（1）求 的通项公式；
【解】由 ,
得当时，
，
因为，故 ．
当时，符合，所以 .
（2）若数列满足,求的前项和 .
【解】 因为
，
所以 ．
（1）分组转化法求和
数列求和应从通项公式入手，若无通项公式，则先求通项公式，然后通过
对通项公式变形，转化为等差（等比）数列或可求前 项和的数列．
（2）分组转化法求和的常见类型
［对点训练］ 1.已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 是以
1为首项，2为公比的等比数列，则 ( )
A
A.1 033 B.2 057 C.1 034 D.2 058
解析： 选A.由题得，， .所以
,所以 .
2.（2024·南京六校联考）在数列中，已知 ，
，则 的前11项的和为( )
C
A.2 045 B.2 046 C.4 093 D.4 094
解析： 选C.由，得，又 ，解得
，
所以 的前11项的和为
.
考点二 裂项相消法求和
［例2］ 已知等比数列的前项和为,且满足 ,
.
（1）求数列 的通项公式；
【解】设等比数列的公比为 ,
由题意可知， ,①
，②
显然, ,
则得， ,
解得,将代入①式得， ,
所以 .
（2）设,求数列的前项和 .
【解】 由（1）可知， ,
所以 ,
所以
,
所以
.
裂项相消法求数列前项和的基本步骤
注意 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数
第几项.
［对点训练］ 已知等差数列的公差为2，前项和为,且,, 成
等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
解：因为, ,
.
由题意得 ,
解得,所以 .
（2）令,求数列的前项和 .
解：
.
当 为偶数时，
.
当为奇数时， +…-
.
所以
或 .
考点三 错位相减法求和
［例3］ （2024·安徽一模）己知数列 满足
,且 .
（1）求数列 的通项公式；
【解】 ,
故 为常数列，
其中,故 ,
故,即 .
（2）证明： .
证明：设，的前项和为 ,
则, ,①
,②
得，
,
故 ,
即 .
运用错位相减法求和的关键
注意①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“”和“ ”的表达式时
将两式“错项对齐”，以便准确写出“ ”的表达式.
［对点训练］ 已知公差不为0的等差数列的前项和为,是 与
的等比中项， .
（1）求数列 的通项公式；
解：设等差数列的公差为 .
则
即
解得
所以 .
（2）求数列的前项和 .
解：由（1）得 ,①
则 ,②
得,所以 .(共29张PPT)
提升点4
专题强化训练
［A 基本技能］
1.已知数列的通项公式为，则“”是“ ，
”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析：选A.由题知
，即
对恒成立，当时，取得最小值 ，所以
，所以“”是“， ”的充分不必要条件．
2.已知函数的图象在点 处的切线的斜率为3，数
列的前项和为,则 的值为( )
D
A. B. C. D.
解析：选D.由题意得 ,
所以,解得 ,
所以 ,
所以 ，
所以 .
3.若数列的前项积，则 的最大值与最小值之和为
( )
C
A. B. C.2 D.
解析：选C.因为数列的前项积 ,
当时， ;
当时, ,
所以 ,
当时也适合上式，所以 .
当时，数列单调递减，且 ;
当时，数列单调递减，且 ，
故的最大值为，最小值为 ，
所以 的最大值与最小值之和为2.
4.若等差数列的公差不为0，数列中的部分项组成的数列 ，
，， ，恰为等比数列，其中，， ，则
满足的最小正整数 是( )
B
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：选B.设等差数列的公差为，则,因为数列 恰为等
比数列，
由,,,可得,, ，所以
,即,所以 ,所以
,又,所以数列是首项为 ,公比
为2的等比数列，则,所以 .
由,得 ，
所以,又,解得 ，
所以满足的最小正整数 是7.
5.（多选）若数列满足：对,,若,则,称数列 为
“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列 是“鲤鱼跃龙门数列”的有( )
BD
A. B.
C. D.
解析：选.对于A，不妨取,但 ,不满足
,故A错误；
对于B，,对,,若,则 ,则
,即 ,故B正确；
对于C，不妨取,但,不满足 ,故C错误；
对于D，,对,,若,则 ,则
,故,即 ,故D正确.
6.序列是指把在0到1之间的所有分母不超过 的最简真分数
及视为和视为 按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记为
，例如的各项为，，，，，，，则 的项数为
____.
19
解析：根据题意可得的各项为，，，，，，，，，， ，
，，，，，，， ，共有19项.
7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著
作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不
知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何 现有
这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序
排成一列，构成数列，记数列的前项和为,则 的最小值为
___.
解析：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序构成的数列 的通项公式
为,被5除余3的正整数按照从小到大的顺序构成的数列 的通
项公式为,数列和的第一个公共项为 ,则被3除余2
且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8，公
差为的等差数列，则，
所以 ，
当且仅当,即时，等号成立，所以的最小值为 .
8.已知数列的前项积为 .
（1）求数列 的通项公式；
解：由数列的前项积为 ，可得
且， ，
则且 ，
又符合上式，所以 .
（2）记为数列在区间上的项的个数，求数列
的前50项和 .
解：由题意，，即 ，
所以（表示不超过 的最大整数），
当时， ;
当，3时， ；
……
当时， .
则 .
［B 综合运用］
9.（多选）（2024·河南五市联考）对于数列，定义 为
，, ，中的最大值，把数列 称为数列
的“值数列”.如数列2,2,3,7,6的“ 值数列”为2，2，3，7，7，则下列
说法正确的是( )
ABD
A.若数列是递减数列，则数列 为常数列
B.若数列是递增数列，则有
C.满足为2，3，3，5，5的所有数列 的个数为8
D.若，记为数列的前 项和，则
解析：选.若数列是递减数列，则是，， ， 中的最
大值，所以，即数列 为常数列，A正确；
若数列是递增数列，则是，， ， 中的最大值
，
所以，即 ，B正确;
满足为2，3，3，5，5，则，， 可以取1，2，3，
，可以取1，2，3，4，5，所有数列的个数为 ，C
错误；
若，则数列 中奇数项构成递增的正项数列，偶
数项都是负数，则有 ,所以
,D正确.
10.（多选）（2024·湖北十一名校联考）如表所示的数阵的特点是：每行
每列都成等差数列，该数列一共有行列，表示第行第 列
的数,且,，比如， ，则( )
2 3 4 5 6 7 …
3 5 7 9 11 13 …
4 7 10 13 16 19 …
5 9 13 17 21 25 …
6 11 16 21 26 31 …
7 13 19 25 31 37 …
… … … … … … …
A. B.65在这个数阵中出现了8次
C. D.这个数阵中个数的和
解析：选.对于C，由题知，第行第一个数为 ，每行的数都成等
差数列且第行公差为，则 ,故C正确；
对于A，因为，所以 ,故A正确；
对于B，令,则 ,而
，所
以65出现了7次，故B错误；
对于D，第1行所有项的和为 ，第2行所有项的和为
，第3行所有项的和为， ，第 行所有
项的和为，所以 个数的和为
，故D错误.
11.（2024·湖北七市州联考）已知各项均不为0的数列的前 项和为
，且, .
（1）求 的通项公式；
解：由题意， ,
当时， ,
两式相减得 .
因为，故 ,
所以,, ,， 及,, ,, 均为公差为4的等差数列.
当时，由及,得 ,
所以 ,
,
所以 .
（2）若对任意，恒成立，求实数 的取值范围．
解：由（1）及已知，得 ,
所以对任意， 恒成立.
设 ，
则 .
当，即，2时，, ;
当，即，时，, .
所以 ,
故,故 ,
所以实数 的取值范围是， .
［C 素养提升］
12.（2024·连云港调研）记为数列的前项积，已知 .
（1）证明：数列 是等差数列；
证明：由题知当时， ,
所以,解得 ;
当时， ,
所以 ,
可得，即,则数列 是首项为3，公差为2的
等差数列.
（2）若将集合,, 中的元素从小到
大依次排列，构成数列,,,, 求数列的前项和 ;
解：由（1）可得 ,
所以 ,
可得数列和中的相同项为5，11，17，23， ，
即有,,,,,，,, ,
可设 ,
则 .
（3）已知等比数列的首项为1，公比为 ,若
对任意的恒成立，求 的值.
解：若,即有, ,即对任意的
， ，恒成立；
当时，, ,即
,
上式左边即为 ，
当 无限增大时，指数函数的增长速度大于二次函数的增长速度，
所以当时，对任意的
不恒成立.
综上，可得 .(共35张PPT)
提升点4 数列中的综合问题
类型一 数列与函数、不等式
［例1］ 已知数列的前项和为，，, .
（1）求 ；
【解】因为 ,
所以 .
所以 ,
因为,所以 .
又, ,
所以 ,
所以数列 的奇数项、偶数项分别是以2，4为首项，4，4为公差的等差
数列．
当时， ;
当时，.综上， .
（2）设，数列的前项和为，若 ，都
有成立，求实数 的取值范围．
【解】 因为 ,
所以
.
所以, .
若，都有 成立，
则只需满足 ，
且,则 ,
所以 的取值范围是 .
求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立，还是有解问
题，若恒成立，则；若 有解，则
.在求与 时可利用函数的单调性求解.
［对点训练］ 已知正项数列的前项和为,且 .
（1）求证：数列 为等差数列；
证明：因为，所以当时， ,
所以 ，
所以 .
当时， ，
所以，即，故 是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）记，求证： .
证明： 由（1）知正项数列的前项和满足 ,
所以， ,
所以 ,
即 .
类型二 与数列有关的最值、范围
［例2］ 已知数列的前项和为,, .
（1）求数列 的通项公式；
【解】因为 ,
由 ，
得 ,
所以 ,
所以 ,
即 .
在中，令，得 ，所
以 .
所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ，即
.
当时，，当 时，
也适合上式，
所以数列的通项公式为 .
（2）设，数列的前项和为，求证： .
证明：由（1）知
,
所以
,
因为，所以随着 的增大而增大，
所以 .
又 .
所以 .
求数列和式最值、范围的基本方法
（1）利用不等式组确定和式的最大值；
利用不等式组确定和式的最小值．
（2）利用和式的单调性.
（3）把数列的和式看作函数求其最值、值域．
［对点训练］ 在公差不为零的等差数列中，，且,, 成
等比数列，数列的前项和满足 .
（1）求数列和 的通项公式；
解：设等差数列的公差为,则 ，
因为,且,, 成等比数列，
所以，即 ，
解得或 （舍去），
所以 .
因为数列的前项和 ，
当时，,所以 ，
当时， ,
所以 ，
即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以 .
（2）设，数列的前项和为 ，若不等式
对任意恒成立，求实数 的取值范围.
解：由（1）可得 ，
所以 ,
所以 .
令， ,
所以 ，
所以 单调递增，
所以 .
所以，所以 ，
所以 .
即实数的取值范围是 .
类型三 数列与集合
［例3］ （2024·日照一模）已知各项均为正数的数列的前 项和为
，且，， 成等差数列．
（1）求及 的通项公式；
【解】因为,，成等差数列，则,①且 ,
当时，可得,解得或 （舍去）;
当时,可得 ,②
①②得 ，
整理得,又 ,则
,
可知数列 是首项为1，公差为1的等差数列，所以
.
（2）记集合的元素个数为，求数列 的前
50项和．
【解】 由（1）可得 ,
即 ,
因为 ,
当且仅当,即 时，等号成立，
可知, ；
当，时，因为 ,
,
所以 .
综上所述,
所以数列 的前50项和为
.
解答这类问题的思路是依据题设条件，综合运用所学的知识和数学思
想方法去分析问题和解决问题.明确集合中元素属性及个数，再结合数列知
识解决此类问题.
［对点训练］ 已知是等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
（1）证明： ;
证明：设等差数列的公差为 ，
由，得，即 ，
由，得 ，即
，即 .
（2）求集合,，, 中元素的个数．
解：由（1）知，
,
,
由 ,
得 ，
由得 ，
由题知，所以,又,所以,3,4, ，
10，共9个数，即集合,,, ,3,4,
， 中元素的个数为9.
类型四 数列中的创新问题
［例4］ （2024·温州二模改编）已知数列，满足： 是等比
数列，， ,且
.
（1）求, ；
【解】因为, ,
所以 ,
又, ,
,,所以 ,
所以等比数列的公比，所以 .
又, ,
则 ,
将 代入，
化简得 ,
所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，所以 .
（2）对数列，若存在互不相等的正整数，， , ，使得
也是数列中的项，则称数列 是“和稳定数
列”．试分别判断数列，是否是“和稳定数列”.若是，求出所有 的
值；若不是，请说明理由．
【解】 数列 是“和稳定数列”,理由如下：
当 时，
是3的正整数倍，
故一定不是数列 中的项；
当 时，
,不是数列 中的项；
当 时，
,是数列 中的项.
综上，数列是“和稳定数列”， .
数列 不是“和稳定数列”，理由如下：
不妨设,则 ,且
,
故不是数列中的项,所以数列 不是“和稳定数列”.
新定义题型的破题模型
［对点训练］ （多选）（2024·枣庄二模）将数列 中的所有项排成
如下数阵：
…
从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比
数列；第1列数，，, 成等差数列.若， ，则
( )
ACD
A. B.
C. 位于第45行第88列 D.2 024在数阵中出现两次
解析：选.由第1列数，，，, 成等差数列可设公差为,
又由，，可得,,解得, ,
故A正确；
则第1列数组成数列 的通项公式为
,又从第2行开始每一行比上一行
多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，
可得 ，故B
错误；
又因为每一行的最后一个数为，,,， ，且 ，可得
是第45行的最后一个数，因为这一行共有 个数，
是的前一个数，则 在第45行第88列，故C正确；
由题设可知第行第个数的大小为，, ,令
，若，则 ,即
;若,则,无整数解；若，则 ，
即;若，则 ，无整数解，故D正确.(共22张PPT)
第3讲
专题强化训练
［A 基本技能］
1.若数列的通项公式是,则
( )
A
A.15 B.12 C. D.
解析：选A.由题意得,
,所以
.
2.已知等差数列的前项和为,， ，则
( )
A
A. B. C. D.
解析：选A.设等差数列的公差为 ,
因为,所以 ，①
又,即,即 ,所以
,代入①，解得则,所以 .
3.复数 的虚部为( )
B
A.1 012 B. C. D.
解析：选B.由题意得 ，
所以 ，所以
，所以
，所以复数 的虚部为
．
4.（多选）设数列的前项和为,且, ，则
( )
ACD
A.数列 是等比数列
B.
C.
D.的前项和为
解析：选.由已知，当时，可得 .
选项A，当时，,故 ，可得
数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 ，故A正确,B
错误；
选项C，数列 是以1为首项，4为公比的等比数列，所以
,故C正确；
选项D，因为,所以 ，所以
，故D正确．
5.已知数列满足,则数列 的前32项之和为
_____.
528
解析：当为奇数时， ,
,两式相减得 ,
当为偶数时， ,
.
两式相加得,所以数列 的前32项之和
.
6.已知数列的前项和为，且点在直线 上，则数
列的前项和 ______________.
解析：由题意得 .
当时，，所以 ，
当时，,所以 ,
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 ,所以
,
则 ,
，两式相减得 ，
所以 .
7.南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连
续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》
中给出了著名的三角垛公式
，
则数列的前项和 ______________________.
解析：因为 ，
所以数列的前 项和为
.
因为 ,
所以数列的前 项和
.
8.在等比数列中，已知， ．
（1）求数列 的通项公式；
解：设数列的公比为 ,
则解得所以数列 的通项公式为
.
（2），求数列的前项和 .
解：由（1）得,所以数列的前 项和
,
当为偶数时， ;
当 为奇数时，
.
所以
［B 综合运用］
9.（2024·扬州二调）已知数列的前项和为, ,
.
（1）证明：数列 为等比数列；
证明：由 得,
当时, ,
两式相减得 ,
即 ,
则有 ,
当时， ,
则，即 ,
所以数列是以1为首项， 为公比的等比数列.
（2）设,求数列的前项和 .
解：由（1）得， ,
则,又 ,
所以数列是首项为 ，公差为1的等差数列，
所以,故 ,
则 ,
所以的前项和
.
10.已知数列 为非零数列，且满足
.
（1）求数列 的通项公式；
解：当时，，解得 ，
由,得当 时,
，
两式相除得，即 ,
当时，也满足上式，所以 .
（2）求数列的前项和 .
解：由（1）可知，，所以 ，所以
，
令 ,
，
则 ,
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
［C 素养提升］
11.设数列的前项和,数列满足 .
（1）求数列和 的通项公式；
解：当时， ,
由，得 ，
所以 ，
又也符合上式，所以 ，
.
（2）若数列的前项和为,,求数列的前项和 .
解：因为 ,
所以 .
所以 ,①
所以 ,②
①②得
,
所以 .(共34张PPT)
专题二 数列
第1讲 等差、等比数列
考情分析 备考关键
考点 等差、等比数列基本量的运算，等差、 等比数列的性质、判定与证明. 考法 主要以选择题、填空题的形式考查等差 数列、等比数列的基本运算、性质，解答题的 第一问求数列的通项公式及等差、等比数列的 判断（证明）. 1.等差、等比数列基本运
算中的“整体思想与方程
思想”，性质研究中的“函
数思想”.
2.“定义法”证明等差、等
比数列.
PART
01
第一部分
做真题 明方向
1.（2024·全国甲卷）记为等差数列的前项和.已知 ，
，则 ( )
B
A. B. C. D.
解析： 选B.由，得 ，所以
，
所以，公差 ，
所以 .
2.（2024·北京卷）设与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数
列.记集合， ，给出下列四个结论：
①若与均为等差数列，则 中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则 中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则 中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则 中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是________.
①③④
解析：对于①：由题知，是关于 的一次式，对应的函数为一次函数，
即点， 分别在两条斜率均不为0的直线上，而这两条直线最
多有1个交点，所以 中最多有1个元素，所以①正确;
对于②：不妨取，，则有 ,
，所以，此时 中有无数个
元素，所以②不正确;
对于③：由①知点在一条斜率不为0的直线
上．设，当公比时，直线
与数列对应的函数的图象至多有2个公共点， 中
最多有2个元素；当时，点 在如图所示的
曲线，上，由图易知直线与曲线， 至多有
3个公共点，如当，
时，,,,两个数列有3项相同，所以
中最多有3个元素；
当时，易知中最多有2个元素；当时，易知 中最多
有3个元素．综上可知，当为等差数列，为等比数列时， 中最多
有3个元素，所以③正确；
对于④：若数列为递增数列，数列 为递减数列，则它们对应的函
数分别为单调递增函数和单调递减函数，两个函数图象的公共点最多有1
个，所以 中最多有1个元素，所以④正确．综上可知，正确结论的序号
为①③④．
3.（2024·全国甲卷）记为等比数列的前 项和，已知
.
（1）求 的通项公式；
解：因为 ，
所以 ，
两式相减可得 ,
即，所以等比数列的公比为 .
因为，所以 ，
故 .
（2）求数列的前 项和.
解：因为，所以 ,
设数列的前项和为,则 .
PART
02
第二部分
研考点 破重难
考点一 等差、等比数列基本量的运算
1.通项公式
等差数列: ;
等比数列： .
2.求和公式
等差数列： ;
等比数列：
［例1］ （1）（2024·黄山质量检测）已知是以 为公比的等比数
列，,,则 ( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 由题得， ,解
得 .
（2）（2024· 九省联考）记等差数列的前项和为, ,
,则 ( )
C
A.120 B.140 C.160 D.180
【解析】 设等差数列的公差为 ,
由题得
解得所以 .
破解等差（等比）数列基本量问题的关键
等差（等比）数列的通项公式及求和公式共涉及,,,,
五个基本量，可以通过列方程（组），达到“五量二式，知三求二”的目的.
注意 在等比数列的前项和公式中，若不确定是否等于1，应注意分
和两种情况讨论.
［对点训练］ 1.（2024·湖南九校联考）已知是等比数列，是其前
项和.若，，则 ( )
C
A.2 B.4 C. D.
解析： 选C.设等比数列的公比为.由 可
得, .
由，可得,化简得,所以 ，
又因为,所以,所以 .
2.（2024·蚌埠质量检测）记数列的前项和为,若 是等差数列，
，，则 ( )
C
A. B. C.0 D.4
解析： 选C.设的公差为,则 ,
所以 ,
所以 ,所以
.
考点二 等差、等比数列的性质
1.通项性质：若 ,则对于等差数列
，有,对于等比数列 ，有
.
2.前 项和的性质
（1）对于等差数列有，，, 成等差数列；对于等比
数列有,,, 成等比数列（且 为偶数的情况除
外）.
（2）对于等差数列，有 .
［例2］ （1）（2023. 新课标Ⅱ卷）记为等比数列的前 项和，若
，，则 ( )
C
A.120 B.85 C. D.
【解析】 方法一：设等比数列的公比为，由题意易知 ,
则
化简整理得
所以 .
方法二：易知,,,, 为等比数列，
所以 ,
解得或 .
当时，由,解得 ；
当时，结合得
化简可得 ，不成立，舍去.
所以 .
（2）（多选）（2024·安徽六校测试）已知等差数列的前 项和为
,,且 ,则( )
ABD
A. B.
C.当时，取最大值 D.当时， 的最小值为19
【解析】 对于A，由题得， ,
由等差数列性质可得 ,
即 .
因为,若公差,则，,不满足上述不等式，故 ,则
，
则, ,故A正确；
对于B，由A知，,,故, .
则,则 ,
又,故，即 ,
故B正确；
对于C，由,可得，, ,,，，， ,
故当时， 取最大值，故C错误；
对于D，, ,
由的单调性可得，当时，单调递减，所以当时， 的最
小值为19，故D正确.
等差、等比数列的性质问题的求解策略
抓关系 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入
手选择恰当的性质进行求解
用性质 数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周
期性等，可利用函数的性质解题
［对点训练］ 1.（2024·岳阳质量监测）已知 为等差数列，
,,则 ( )
C
A.6 B.12 C.17 D.24
解析： 选C.设等差数列的公差为 ,
由题知， ,解得
,又由 ，
解得，所以 .
2.（多选）（2024·东北三省四市模拟）设等比数列的公比为,前 项
和为,前项积为,并且满足,, ,则下列结论正确
的是( )
ABC
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
解析： 选.因为,,所以等比数列的公比 且
，则 没有最大值，所以D错误；
因为,,所以,且, ,所以A，C正确;
因为,所以 ,所以B正确.
考点三 等差（比）数列的判定与证明
类别 等差数列 等比数列
定义法
通项法
中项法
前 项和法 （, 为常数） （为常数且 ,
,1）
［例3］ （2024·苏州适应性考试节选）已知数列的前项和为 ,对
任意正整数,总存在正数,,,使得, 恒成立；数列
的前项和为,且对任意正整数, 恒成立.
（1）求正数,, 的值；
【解】因为 ,①
所以 ,②
得 ,
即 ,
又,所以 ,
当时，;当时， .
因为,为正数，解得 .
又因为,,且,所以 .
（2）证明:数列 为等差数列.
证明：因为 ，③
当时， ，④
得 ,
即 ，⑤
方法一：又 ，⑥
得 ,
即 ,
所以 为等差数列.
方法二：当时，由 ，
得 ,
即 ,
所以, ,
所以当时， ,
因为当时，由得,所以,则当 时，
成立,所以,对恒成立，所以 为等差
数列.
判定数列是等差（等比）数列的关键
（1）会转化：将所给的关系式进行变形、转化，利用等差（等比）数列
判定方法进行判定.
（2）举反例：判定一个数列不是等差（等比）数列，只需说明某连续三
项不是等差（等比）数列即可.
注意 在解答题证明数列为等差（比）数列只能使用定义法或等差（等比）
中项法.
［对点训练］ （2024·长沙适应性考试）已知数列 满足
,且 .
（1）证明：数列 是等比数列；
证明：因为, ,
所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列.
（2）求数列的前项和 .
解：由（1）可知， ,
则 .
从而
.(共24张PPT)
第2讲
专题强化训练
［A 基本技能］
1.已知数列满足,，则 ( )
D
A. B. C. D.
解析：选D.因为,则,又 ,
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则 ，
故 .
2.已知数列满足， ,则下列结论正确的是( )
C
A.数列是公差为 的等差数列
B.数列 是公差为2的等差数列
C.数列是公比为 的等比数列
D.数列 是公比为2的等比数列
解析：选C.由,得 ,则
,,故数列是以为首项， 为公比
的等比数列．
3.若数列满足,则称 为“梦想数列”.已知正项数列
为“梦想数列”，且,则 ( )
B
A. B. C. D.
解析：选B.因为“梦想数列”满足 ,即
,
所以由正项数列 为“梦想数列”，可得
,
即 ,
又因为,所以 .
4.（2024· 苏锡常镇四市调研）已知正项数列 满足
,若,则 ( )
D
A. B.1 C. D.2
解析：选D.当时， ;
当时，,则 ,所以
,又,所以（负值已舍去）, ,因为
,所以,因为,所以,又因为 ,所
以,又,故 .
5.（多选）已知数列 ，下列结论正确的是( )
ACD
A.若，，则
B.若，，则
C.若,,则
D.若，，则
解析：选.对于A, ,
则 ,故A正确;
对于B，因为，所以，又 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以
,故 ，故B错误；
对于C，因为,所以,所以 ,又
,所以 是以1为首项，3为公差的等差数列，所以
,所以 ,故C正确；
对于D，因为,所以，又,所以
是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ,所以
,故D正确.
6.（2024·广州综合测试）已知数列的前项和,当 取
最小值时， ___.
3
解析：当时，由 ，①
知 ，②
，得.又当时，满足上式，所以 ,
所以,当且仅当 ,
即 时等号成立.
7.如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算
法》中，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第
二层有3个球，第三层有6个球.根据以上规律引入一个数列 ，
满足，且.则 ______________.
解析：因为,,所以,,易知 ,所
以当 时，
,当时，上式也成立，所以 .
8.己知数列满足， .
（1）若,求数列 的通项公式；
解： ,
由 ，
得 ，
即 ，
当时， ，
所以 ，
当时，上式也成立，所以 ．
（2）求使取得最小值时 的值.
解：由（1）可知， ，当
时，，当时，,当或
时， ,
则数列在且上单调递减，在且 上单
调递增，又因为，所以取得最小值时，或 .
［B 综合运用］
9.已知数列的前项和为,且满足,则 ( )
C
A. B. C. D.
解析：选C.当时，，得，当 时，
，化简得 ,即
，又，所以 是首项为4，
公比为的等比数列，所以 ,所以
.
10.（2024·潍坊模拟）已知数列满足, .若数列
是公比为2的等比数列，则 ( )
A
A. B. C. D.
解析：选A.方法一（累加法）：由题知 ,所以
,
所以 ,
两式相减得 ,
所以 .
方法二（构造数列法）:由题知 ,所以
,所以 ,则
,即 ，所以
是公比为 的等比数列，则
,
所以 ，
因此 .
11.已知在数列中，，， ,则
_______________________.
解析：因为 ，所以
，又，所以
是首项为7，公比为3的等比数列，
则 ，①
又， ，所以
是首项为，公比为 的等比数列，
则 ，②
由得， ,则
.
12.已知是数列的前项和，，且当时，，, 成
等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
解： 方法一：由题意知当时, ,
所以 ,
整理得，由 ,
所以 ，
经检验，也符合上式，故 ．
所以当 时，
.
也满足上式，故 .
方法二：由题意知当时，,所以当 时，
,两式相减得 ，
即 ,
所以,所以当时， 为常数列，
又由得 ，
所以,所以，即 .
（2）设数列满足,若,求正整数 的值.
解： 由（1）得 ,
故 .
由,得 .
［C 素养提升］
13.已知数列的首项，，前项和满足当 时，
，则数列的前项和 _______．
解析：由得，当时， ,
当时， ，
即 ，
所以，所以 ，两式作差，得
，即 ，
所以或，又 ，故
，
又也满足上式，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数
列，所以数列的前项和 ．
14.（2024·南昌一模）对于各项均不为零的数列 ，我们定义：数列
为数列的“比分数列”.已知数列,满足 ,且
的“比分数列”与的“ 比分数列”是同一个数列．
（1）若是公比为2的等比数列，求数列的前项和 ;
解：由题意知 ,
因为，且是公比为2的等比数列，所以 ,
因为，所以数列 是首项为1，公比为4的等比数列，
所以 .
（2）若是公差为2的等差数列，求 .
解：因为，且是公差为2的等差数列，所以 ，
所以 ,
所以当时， ,
又 也符合上式，
所以 .(共22张PPT)
提升点3
专题强化训练
［A 基本技能］
1.已知在等差数列中，前项（ 为偶数）和为126，其中偶数项之和
为69，且，则数列 的公差为( )
B
A. B.4 C.6 D.
解析：选B.设等差数列的公差为 .由题意可得，
， ，所以
．因为，解得 ．
2.（2024·兰州诊断考试）已知数列满足 ,
则 ( )
B
A.5 B.4 C.2 D.1
解析：选B.由题知，,, , ,
,,, ，可知该数列从第1 010项开始为周期
数列，周期为3，又，所以 .
3.（2024·漳州质量检测）将数列与 的公共项从小到大排列
得到数列，则 ( )
C
A. B. C. D.
解析：选C.令,得
, ,
当是正奇数，即时， 是正整数，符合题意，所以
,所以 .
4.（多选）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的
积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的
公积．已知数列是等积数列，且 ，前7项的和为14，则下列结
论正确的是( )
AB
A. B. C.公积为1 D.
解析：选.设（为常数），则 ，所以
，即 ，故A正确；因为前7项的和为14，所以
．因为，所以，所以 ，即
公积为2，故B正确，C错误；当为奇数时，，当 为偶
数时， ，故D错误．
5.（多选）（2024·乌鲁木齐质量监测）数学中有个著名的“角谷猜想”，
其中数列满足：（ 为正整数），
则下列说法正确的是( )
ABD
A.当时，
B.当时，在所有 的值组成的集合中，任选2个数都是偶数的概率
为
C.当时,所有可能的取值组成的集合为，10，
D.若所有的值组成的集合有5个元素,则
解析：选.对于A，当时, ，所以该数列前6项依次为5，
16，8，4，2，1， ,故A正确；
对于B,当时，该数列各项为5，16，8，4，2，1，4，2，1， ，所
有的值组成的集合为，16，8，4，2， ，所以任选2个数都是偶数的
概率为 ，故B正确；
对于C，当时，数列各项为1，4，2，1，4， ，满足 ，
所以 ，故C错误；
对于D，若所有 的值组成的集合有5个元素，则所有集合都含有4，2,1三
个元素，4的前一项为8或1，8的前一项为16，1的前一项为2，不符合题意，
所以所有的值组成的集合必为，8，4,2, 且首项必为16，故D正确.
6.（多选）（2024·哈尔滨二模）已知等差数列的首项 ,公差
,在中每相邻两项之间都插入 个数，使它们和原数列的数一起构
成一个新的等差数列 ,下列说法正确的有( )
ABD
A.
B.当时，
C.当时，不是数列 中的项
D.若是数列中的项，则 的值可能为6
解析：选 .对于A，由题意得
,A正确；对于B，设 的
公差为,因为,所以为,,,, , ,则
，则 ，B正确；对于
C，由B选项知,令,得,所以 是
数列中的项，C错误；对于D，设的公差为,则为 ,
,,, ,,且, ,
,令,即,当 时，
,符合题意，D正确.
7.已知数列满足，,.则
_ ______________.
解析：由题意，当时，，则 ，
因为，所以 ，
所以，所以数列 的奇数项和偶数项都是公比为9的等比数列．
所以当为奇数时，设 ，
则 ；
当为偶数时，设 ，则
.
因此，
8.记为等差数列的前项和，已知， ．
（1）求数列 的通项公式；
解：设数列的公差为 ，
则解得
所以数列的通项公式为 .
（2）求数列的前项和 .
解：由（1）得
当时， ；
当时， .
综上，
［B 综合运用］
9.（2024·河南五市联考）在等差数列中，, .
（1）求数列 的通项公式；
解：在等差数列中，由，得 ，而
，所以 ，
因此数列的公差 ,
，
所以数列的通项公式是 ．
（2）若记为中落在区间内项的个数，求数列
的前项和 ．
解：由，得 ，
整理得 ,
又，因此正整数满足 ，从而得
,
所以数列的前 项和
.
10.已知等比数列的前项和为,公比， ，
，数列满足,且， .
（1）求数列和数列 的通项公式；
解：将，两式作差可得 ，
即 ，
因为,则 ，
因为，解得 ,
所以 ,
解得，所以 .
因为,故数列 为等差数列，
设该数列的公差为 ，
由于，可得,又 ,
所以 ，
所以 .
（2）将数列和数列 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列
，求数列的前100项和 .
解：当时， ，
当时， ，
所以数列的前100项中，数列有6项，数列 有94项，
所以 .
［C 素养提升］
11.设是数列的前项和，已知， ．
（1）求， ；
解：由 ,
得当时，，即 ,
当时，，即，又 ，所以
, ．
（2）令,求 .
解：当时， ，
当时， ，两式相加可得
，
则 ，
由于 ,
所以
.
