(共34张PPT)
第1讲
专题强化训练
［A 基本技能］
1.（2024·茂名期中）已知点，，，且点 在线段
的垂直平分线上，则 ( )
C
A. B.2 C.8 D.
解析：选C.由点，可得线段的中点 ，线段
的斜率，所以线段垂直平分线的斜率 ，
解得 .
2.（2024·开封第二次质量检测）若直线 过点
，则当直线在轴和轴上的截距之和取最小值时， ( )
D
A.2 B. C. D.
解析：选D.因为直线过点，所以 ，又
， ，所以
，当且仅当
，即 时取等号.
3.（2024·连云港调研）过点作直线交圆 于点
，，若，则点 的横坐标是( )
A
A. B. C. D.
解析：选A.设，故有，即 ，由
，则点为线段中点，故 ，故有
，即有 ，整理得
，即 .
4.（2024·普通高考适应性测试）已知为直线 上的动
点，点满足，记的轨迹为 ，则( )
C
A.是一个半径为的圆 B.是一条与 相交的直线
C.上的点到的距离均为 D. 是两条平行直线
解析：选C.设， ，故
，所以 整理得
消去可得，所以轨迹 的方程为
，易知为一条与直线 平行的直线，所以A，B，D错误.直
线与直线的距离，因此 上
的点到的距离均为 ，故C正确.
5.已知曲线 与曲线
恰有三个不同的公共点，则实数 的取值
范围为( )
D
A. B.
C. D.
解析：选D. ，即
，因为 ，所以
或，因为的圆心到 的距离为1，所以
与相切于点，与 交于不同的三点，即要求
与有2个交点，且不交于点，记为圆心 到
直线的距离，则 ，所以
，又因为直线不经过点 ，即
，得，所以 .
6.（2024·枣庄二模）在平面直角坐标系中，已知 ，
，为圆上动点，则 的最
小值为( )
B
A.34 B.40 C.44 D.48
解析：选B.设 ，则
，
即等价于点到点 的距离的平方的
两倍加八，
又 ，即
.
7.（多选）已知三边所在直线分别为 ，
， ，则( )
ABC
A.边上的高所在直线方程为
B.边上的高的长度为
C.的面积为
D. 是直角三角形
解析：选.由
得.由得 .
由得，.易得，所以 边上的高所在直线
的斜率为 ，
则方程为 ，
即 ，故A正确；
AB边上的高的长度为点C到直线的距离，为 ，故B正确；
因为，所以 的面积为
，故C正确；
由斜率的关系可知， 的任意两边均不垂直，故D错误.
8.（多选）若圆与圆 的公共
弦的长为 ，则下列结论中正确的有( )
AB
A.
B.直线的方程为
C.中点的轨迹方程为
D.四边形的面积为
解析：选.由题意知，两圆方程相减可得直线 的方程为
，因为圆的圆心为 ，半径为2，且公共
弦的长为，则到直线 的距离为1，
即，解得，所以直线 的方程为
，故A，B正确；
由圆的性质可知直线垂直平分公共弦，所以 到直线
的距离即为中点与点的距离，设 的中
点坐标为，则 ，即 ，故C错误；
易得四边形为菱形，且， ，则四边形
的面积为 ，故D错误.
9.（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发
现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值 的点的轨迹是圆.”
后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在
平面直角坐标系中，点，，点满足.设点 的
轨迹为 ，下列结论正确的是( )
BC
A.的方程为
B.在轴上存在异于，的两定点，，使得
C.当，，三点不共线时，射线是 的角平分线
D.在上存在点，使得
解析：选.设点，则由，得 ，化简可得
，故A错误；
假设在轴上存在异于A，B的两定点D，，使得，设 ，
，由，得 ，即
，化简得
，由点 的轨迹为
，得解得， 或
，（舍去），即存在点，，使得 ，
故B正确；
当A，B，三点不共线时，由，可得射线是 的角平
分线，故C正确；
若存在点，使得，可设 ，则
，化简可得，即点
的轨迹方程为，与 联立可知方
程组无解，所以不存在这样的点 ，故D错误.
10.直线关于 轴对称的直线方程为_______________.
解析：直线的斜率为，与轴交于点， ，直线
关于轴对称的直线的斜率为，并且过点 ，由直
线的点斜式方程得，即 ，所以所求直线
的方程为 .
11.（2024·常德模拟）已知曲线在处的切线 与圆
相交于，两点，则 _____.
解析：由，定义域为， ，则切线
斜率 ，
又 ，
所以切线方程为 ，
化简为 .
又因为圆的圆心，半径 ，
设圆心到直线的距离为，则 ，
则 .
12.已知动圆经过点及原点,点是圆与圆
的一个公共点,则当最小时,圆 的半径为___.
5
解析：如图，记圆半径为, ,为 的中点，
则 , ,所以
,当最小时, 最大,
此时两圆内切.由已知设动圆的圆心为 ,又由圆
心可得 ，即
,解得,所以 ,
即圆 的半径为5.
［B 综合运用］
13.（2024·宁波“十校”联考）过直线上的点 作圆
的两条切线，，当直线， 关于直线
对称时，点 的坐标为( )
C
A.， B.， C. D.，
解析：选C.圆的圆心为，直线 ，
关于直线对称时，直线与直线垂直，所以直线 的方
程为，即 ，
由解得
所以 .
14.过圆上的动点作圆 的两条切线，两个切点
之间的线段称为切点弦，则圆 内不在任何切点弦上的点形成的区域的面
积为( )
A
A. B. C. D.
解析：选A.如图所示，
过圆上一动点作圆C的两条切线， ，切点分别为A，
B，连接交于点，则， ，
，则，且
为锐角，所以 ，同理可得 ，所以 ，
则为等边三角形，因为为的角平分线，则为 的中点，
所以，且 ，所以 ，
若圆C内的点不在任何切点弦上，则该点到圆C圆心的距离应小于 ，
即圆C内的这些点构成了以原点为圆心，半径为1的圆的内部，因此，圆C
内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为 .
15.已知圆和动圆交于， 两点.
（1）若直线过原点，求 ；
解：由圆和动圆 ，可得圆心坐
标分别为，，半径都为 ，
因为圆和动圆交于， 两点，
可得圆心距小于半径之和，即，即 ，
解得 .
又由两圆方程相减，可得公共弦直线 ，因为
直线过原点，可得，解得 ，经检验都成立，
所以实数的值为 .
（2）若直线交轴于点，当的面积最小时，求 .
解：由直线，令 ，
即，解得 ，
即， ，
则 ，
所以，当且仅当 时取等号，且
满足，，此时直线 ，
又由圆心到直线的距离为 ，所以弦长
.
16.已知直线，，，为坐标原点，动点
满足，动点的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
解：设点，依题意知，整理得 ，
所以曲线的方程为 .
（2）若直线与圆交于不同的两点，，则当
时，求 的值；
解：因为点为圆心，，所以点到直线 的
距离 ，
所以，所以 .
（3）若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线， ，
切点为，，探究：直线 是否过定点.
解：由题意可知，，，，在以 为直径的圆上（对角互补的四边形
的四顶点共圆），设， ，
则,,,所在圆的圆心为， ，
半径为 ，
所以 ，
即 ，
又，在圆上，所以直线 ，即
，
由解得
所以直线过定点， .(共18张PPT)
提升点11
专题强化训练
1.（2024·上海春季卷节选）在平面直角坐标系中，已知点 为椭圆
上一点，， 分别为椭圆的左、右焦点.
（1）若点的横坐标为2，求 .
解：由题意可知, ,
故,所以, .
设点的坐标为 ,
由题意知,则 ,
所以 .
（2）设 的上、下顶点分别为，，记的面积为 ，
的面积为，若,求 的取值范围.
解：由已知，得, ,且
, .
由题意可得 ,
则,又 ,
所以 ，
所以,解得 ,
因此, .
故的取值范围为, .
2.已知直线与抛物线交于，两点，是线段 的中点.
（1）若直线的斜率为1，求点 的横坐标；
解：设，， ，
则 .
由直线的斜率为1，得 ，
所以，即点 的横坐标为2.
（2）若，求点 纵坐标的最小值.
解：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 ，
由得 ，
则 ，
即 ，①
则， ，
由 ，
得
，
所以 .②
由，得 ，
故点的坐标为 ，
由①②得 ，
当且仅当，即时取等号，故点 纵坐标的最小值为3.
3.（2024 ·济洛平许质量检测）已知 是椭圆
上的动点，过原点 向圆
引两条切线，分别与椭
圆交于，两点（如图所示），记直线， 的斜
率分别为,,且 .
（1）求圆的半径 ；
解：由题意，切线，的方程分别为, ,
则有, ,
故,是方程 ，
即方程 的两根.
当时,圆与轴相切，直线 的斜率不存在，矛盾，故
，此时 ，
于是,化简得 ,解得
（负值已舍去）.
（2）求证： 为定值；
证明：设,,依题意，,代入 可得
,
解得 ,
于是 ，
同理 .
所以
,
即 为定值7.
（3）求四边形 面积的最大值.
解：
，
当且仅当 时，等号成立，
所以四边形面积的最大值为 .
4.（2024·天津卷）已知椭圆，椭圆的离心率 ，
左顶点为，下顶点为，为坐标原点，是线段 的中点，其中
．
（1）求椭圆的方程.
解：因为,所以,则 ,
由题知，，, ,
所以 ,
得，所以, .
故椭圆的方程为 .
（2）过点,的动直线与椭圆有两个交点，，在轴上是否存在点
使得？若存在，求出点 纵坐标的取值范围；若不存在，请说
明理由．
解：假设在轴上存在点，使得 .
设，， ．
当直线的斜率不存在时，不妨设， ，则
，解得 ．
当直线的斜率存在时，则其方程为,由
可得 ,
所以 ,
,
.
则
,
所以对 恒成立，则
解得 .
综上，点的纵坐标的取值范围是， .(共16张PPT)
提升点10
专题强化训练
1.（2024·贵阳适应性考试）已知双曲线 的方程为
,虚轴长为2，点在双曲线 上.
（1）求双曲线 的方程；
解：因为虚轴长,所以 .
因为点在双曲线 上，
所以,解得 .
故双曲线的方程为 .
（2）过原点的直线与双曲线交于，两点，已知直线和直线 的
斜率存在，证明：直线和直线 的斜率之积为定值.
证明：设,则 ,
所以 .
因为点在双曲线 上，
所以 ,
得 ,
于是 ，
所以直线和直线的斜率之积为定值，定值是 .
2.已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点 ，动
点，（不与点重合）均在椭圆上，且直线与 的斜率之和为1.
（1）求椭圆的标准方程；
解：由题意知椭圆方程可设为，将 代入可得
，又,所以, ,
所以椭圆的标准方程为 .
（2）证明直线 经过定点，并求这个定点的坐标.
解：当轴时，设，则，因为 ,
则,即,解得 ，
所以此时直线的方程为 .
当直线不与 轴垂直时，
可设，, ,
联立得 ，
,
, ,
由,得 ,
即 ,
化简得 ,即
,化简得
,可得,因为,
不与点重合，即直线不经过点，则 ,
所以，即 .
所以此时直线,经过定点 ,
综上，直线经过定点 .
3.（2024·浙江金丽衢联考）已知椭圆 的左顶
点和下顶点，椭圆的焦距为，直线交椭圆于，
（不同于椭圆的顶点）两点，直线交轴于点，直线交轴于点 ，
且直线交于点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
解：由已知得，,,所以,所以椭圆 的标准方程为
.
（2）若直线，的斜率相等，证明：点 在一条定直线上运动.
证明：由题意知，直线， 的斜率一定存在且不为0，
设直线,的斜率为,,, .
则直线,直线 ,
得,, .
联立 得
,易知 .
则,得 ，
于是 .
同理可得, .
由于，所以 ，
即 ,
得，①同理 ,②
由①②得,故点在直线 上运动.
4.（2024·石家庄质量检测）已知椭圆 的左、
右焦点分别为，，离心率为，过点的动直线交椭圆 于，两
点，点在轴上方，且不与 轴垂直，
的周长为，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆
交于另一点，点为椭圆 的下顶点，如图1.
（1）当点为椭圆的上顶点时，将平面沿 轴折叠.如图2，使平面
平面.求异面直线与 所成角的余弦值；
解：由题意得，,,故 的周长
为,所以,又椭圆的离心率为,所以 ,又
,所以椭圆的标准方程为 .
则在平面直角坐标系中，当为椭圆上顶点时，， ，所以
直线的斜率为1，则直线的方程为 .
由解得或
所以,.由椭圆的对称性知，， .
以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原 轴正半轴，
原轴正半轴所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空
间直角坐标系，
则，，，，，， ，
，所以，，，，， .
设异面直线与所成的角为 ，
则,即异面直线与 所成角的余弦值
为 .
（2）若过作，垂足为.证明：直线 过定点.
证明：由（1）知，， .
设点,,,,则直线 的方程为
,
由
得,,又 ,
所以 ,
所以,所以 ,
同理得, .
由，，三点共线，得 ,
所以 .
因为不与轴垂直，所以直线 的斜率存在.
则直线的方程为 ,（*）
由对称性可知，如果直线过定点，则该定点必在轴上，在 中，令
得，
，
故直线过定点， .(共18张PPT)
提升点9
专题强化训练
1.（2024·太原模拟）已知椭圆经过点， 且
离心率,点是上一动点.点是的中点（为坐标原点），过点
的直线交于，两点，且 .
（1）求椭圆 的标准方程；
解：由题意得解得
所以椭圆的标准方程为 .
（2）当直线的斜率和直线的斜率 都存在且不为0时，证
明： .
证明：设,, ,
则,所以 .
由得 ,
所以 ,
即,即 .
2.已知双曲线的离心率为,经过坐标原点的直线
与双曲线交于,两点，点位于第一象限，是双曲线
右支上一点，,设点, .
（1）求双曲线 的标准方程；
解：由题意可知，解得 ,
所以双曲线的标准方程为 .
（2）求证：,, 三点共线.
证明：方法一：由题意可知，直线, 的斜率存在且不为0.因为
,
所以,即 .
又点,在双曲线 的右支上，
所以
两式作差得 ,
由对称性可知 ，
则 ,
又,所以.又，有公共点，所以 ,
, 三点共线.
方法二：由题意可知，直线, 的斜率存在且不为0，且由对称性可知
.
因为,所以 .①
又 ,
点，在双曲线 上，
所以
所以
由①②得,所以 ,
又，所以 .
又,有公共点，所以,, 三点共线.
3.（2024·阜阳模拟）已知双曲线 的左、右
顶点分别为，，动直线过点，当直线与双曲线
有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为 .
（1）求双曲线 的标准方程.
解：由题意知,所以 ,
当直线过且与双曲线有且仅有一个公共点时，与 的渐近线平行.
则直线的方程为,则点到直线的距离为 ,所
以 ,
所以双曲线的标准方程为 .
（2）当直线与双曲线交于异于，的两点，时，记直线 的斜率
为,直线的斜率为,是否存在实数 ,使得 成立？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由.
解：由题可知，直线 的斜率不为0，设直线
,, ,
由
得 .
，则, ,
所以 .
又,,假设存在实数 ，
使得 成立，则
.
故存在实数,使得 成立.
4.（2024·邯郸调研）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、 轴，
且过，， 两点.
（1）求 的方程.
解：由题设椭圆的方程为 ，
因为椭圆过，， 两点，
所以解得
所以椭圆的方程为 .
（2），是上两个动点，为的上顶点，是否存在以为顶点， 为
底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存
在，请说明理由.
解：由（1）知，易知要使为以 为
顶点，为底边的等腰直角三角形，则直线 ，
的斜率均存在且不为0，不妨设 ，
则，直线的方程为,直线
的方程为 ,
由椭圆的对称性可知，当时，显然有， ，满
足题意；
当时，由消去 整理得到
,所以 ,
则 ,
即, ,
同理可得, ，
所以
,
设中点坐标为 ,
则 ,
.
所以线段 的中垂线方程为
,
要使是为底边的等腰直角三角形，则线段 的中垂线过点
，
所以 ,整理得到
,令,则,,所以 有两
根,,且,，即 有两个正根且
这两个正根均不为1，故有2个不同的值，满足 ,
所以由椭圆的对称性知，当 时，还存在2个符合题意的三角形.
综上所述，存在以为顶点， 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三
角形的个数为3.(共41张PPT)
专题五 解析几何
第1讲 直线与圆
考情分析 备考关键
考点 直线的方程及应用、圆的方 程及应用，直线与圆、圆与圆的位 置关系及其应用. 考法 主要以选择题、填空题的形 式考查直线的斜率、圆的切线方 程、弦长及最值与取值范围问题. 1.直线斜率存在与否应“分类讨论”，
直线与圆位置关系应“数形结合”，与
圆有关的最值问题应“转化化归”.
2.求方程常用“待定系数法”，求直线
斜率、切线方程时莫忘“导数法”.
PART
01
第一部分
做真题 明方向
1.（2024·北京卷）圆的圆心到直线
的距离为( )
D
A. B.2 C.3 D.
解析： 选D.将圆的方程化为标准方程，得 ，
所以该圆的圆心到直线 的距离为
.
2.（2024·全国甲卷）已知是，的等差中项，直线 与
圆交于，两点，则 的最小值为( )
C
A.1 B.2 C.4 D.
解析： 选C.由题意，，设直线 ，圆
，则，易知 过定点
，圆C的标准方程为，所以圆心为 ，半
径为，则在圆C内.因为当时，圆心C到直线 的距离最大，此
时取得最小值，易得 ，所以
.
3.（2023· 新课标Ⅰ卷）过点与圆 相切的两
条直线的夹角为 ，则 ( )
B
A.1 B. C. D.
解析： 选B.由，得 ，所以圆心
为，半径为.易知点与点的距离为 ，所以点
与切点的距离为，所以 ，
，所以 .
PART
02
第二部分
研考点 破重难
考点一 直线的方程
1.已知直线（， 不同时为0），直线
（， 不同时为0），则
，且 ；
.
2.点到直线（， 不同时为0）的距离
.
3.两条平行直线，
（,不同时为0）间的距离 .
［例1］ （1）设，则“”是“直线 与直线
平行”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 当时， ，
，
显然.当 时，
由且得或 ，
所以“”是“ ”的充分不必要条件.
（2）当点到直线 的距离取
得最大值时， ( )
C
A.2 B. C. D.
【解析】 将直线 转化为
，
联立解得
所以直线恒过定点 ，
当直线与该直线垂直时，点 到该直线的距离取得最大值，
此时 ，
解得 .
（1）两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线,的斜率,均存在，则 ,
.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率
是否存在.
（2）解决对称问题的方法
中垂线法：点关于直线的对称点，点与对称点的中点在已知直线上，点与
对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数（仅指斜率存在且不为0的情
况，斜率不存在或斜率为0时较简单）.
［对点训练］ 1.（2024·广东六校联考）已知直线 经过直线
与的交点，且直线 的一个方向向量
，则直线 的方程是( )
C
A. B.
C. D.
解析： 选C.解方程组得
即直线与的交点为.因为直线的一个方向向量 ，所以
直线的斜率，则直线的方程为 ，即
.
2.已知三条直线，，，若
关于对称的直线与垂直，则实数 的值是( )
D
A. B. C.8 D.
解析： 选D.易知直线关于直线 对称的直线
方程为，又直线 ，由题意得
，解得 .
考点二 圆的方程
1.圆的标准方程
当圆心为，半径为时，圆的标准方程为 .特
别地，当圆心在原点时，圆的方程为 .
2.圆的一般方程
圆的一般方程为，其中 ，它
表示以，为圆心， 为半径的圆.
［例2］ （1）已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆
与直线相切，则圆 的方程是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 根据题意知圆C的圆心坐标为 .因为圆C与直线
相切，所以半径为圆心到切线的距离 ，即
,则圆C的方程为 .
（2）（2024·郑州名校联盟）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三
角形任意一个顶点到其垂心的距离等于外心到该顶点对边距离的2倍.若点
，，都在圆上，直线的方程为，且 ，
的垂心在内，点在线段上，则圆 的标准方程为
________________________.
解析：由题得的垂心到直线的距离，设圆 的半径
为，由塞尔瓦定理可得 ，由圆的几何性质可得
，联立解得， ，
因为直线的方程为，所以直线的方程为 ，设
，则到直线距离，解得
（舍去）或，所以圆的标准方程为 .
求圆的方程的两种方法
（1）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而
求得圆的基本量和方程；
（2）代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从
而求得圆的方程.
［对点训练］ 1.已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线 上，
若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆 的
标准方程为( )
D
A. B.
C. D.
解析： 选D.因为圆C的圆心在直线 上，
所以可设 ，
又圆C与 轴的正半轴相切于点A，
所以，且圆C的半径， .
因为点A到直线的距离 ，
所以 ，
解得或 ，
所以或 .
又点A在直线 的左上方，
所以，所以， ，所以圆C的标准方程为
.
2.（2024· 新课标Ⅱ卷）已知曲线，从 上任意
一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点 的轨迹方程为
( )
A
A. B.
C. D.
解析： 选A.通解（代入法）设，则，因为点 在
曲线C上，所以，即 .
优解（数形结合法） 由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩小至原来
的一半，横坐标不变，即可得到点的轨迹.曲线C为半圆，则点 的轨迹
为焦点在轴上的椭圆（ 轴上方部分），其中长半轴长为4，短半轴长为2.
所以线段的中点的轨迹方程为 .
考点三 直线（圆）与圆的位置关系
1.圆的切线方程常用结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为 .
（2）过圆上一点， 的圆的切线方程为
.
（3）过圆外一点 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 .
2.两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆 ，圆
，若两圆相交，则有一条公共弦，
其公共弦所在直线的方程可由 得到，即
.
角度1 直线与圆的位置关系
［例3］ （1）（2024·安庆二模）已知点，， 是坐标原
点，点满足，则与 夹角的最大值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 设点，可得，因为 ，可得
，即点B的轨迹是以为圆心，半径 的圆，
如图所示，当点B在第二象限，且与圆C相切时与
的夹角最大，设过点与圆C相切的直线 的方程为
，即 ，
则圆心到直线 的距离等于圆的半径，
即，解得 ，
设切线的倾斜角为 ，
则，可得 ，
即与夹角的最大值为 .
（2）（2024·贵阳适应性考试）已知圆 ，直
线， ，则下列说法正确的是( )
B
A.直线过定点
B.直线与圆 一定相交
C.若直线平分圆，则
D.直线被圆截得的最短弦的长度为
【解析】 对于A，由对于任意的 成立，可得
所以，直线过定点， ，A错误；对于B，将定点
，代入圆C的方程得 ，可知点
，在圆的内部，所以直线 与圆C一定相交，
B正确；
对于C，直线平分圆C即直线过圆C的圆心，将圆心坐标代入直线
的方程得，得 ，C错误；
对于D，设直线被圆C截得的弦长为，圆心到直线的距离为 ，圆
C的半径为 ，根据弦长、半径与圆心到直线的距离之间的关系，得
.又，所以 ，D错误.
判定直线与圆的位置关系的解题思路
（1）数形结合：讨论直线与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利
用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.
（2）巧用垂直：直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到
切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式.
（3）弦长公式：弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，
（其中为弦长，为圆的半径，为圆心到直线的距离）.
角度2 圆与圆的位置关系
［例4］ （1）圆与圆 至少
有三条公切线，则实数 的取值范围是( )
D
A. B.
C.， D.
【解析】 将 化为标准方程得
，
即圆心坐标为 ，半径为1.
圆的圆心坐标为 ，半径为2.
因为圆与圆 至少有三条公
切线，所以两圆的位置关系为外切或外离，
所以，即 ，
解得 .
（2）已知圆与圆 的公共弦
所在的直线与圆相切，则实数 的值为__.
解析：由圆与圆 ，两个圆的
方程相减，可得，即公共弦的方程为 ，因为
直线与圆 相切，可得圆心到直线的距离等于
半径，即，解得 .
求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可，而在求
两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想的灵活运用.
［对点训练］ 1.已知点在圆上，过作圆 的切
线，则 的倾斜角为( )
D
A. B. C. D.
解析： 选D.圆C的圆心为，，过 作圆C的切
线，则，即，故的倾斜角为 .
2.（多选）（2024·新乡二模）已知 ，集合
， ，
， ，
则下列结论一定成立的是( )
AB
A. B. C. D.
解析： 选.表示过定点 ，且斜率为
的直线上的点构成的集合，
表示过定点，，且斜率为 的直线上
的点构成的集合，
表示圆心为，半径为
的圆上的点构成的集合，
表示圆心为，半径为 的圆上的
点构成的集合.
对于A，集合A，B中的直线平行，故 ，故A一定成立；
对于B，由于，故点 在圆
内，
故经过点的直线与集合C中的圆相交， ，故B一定成立；
对于C，由于 ，
故点，在圆 外，
故当经过点，的直线与集合C中的圆相离时， ，故C不一定
成立；
对于D，由于 ，故两圆相交，
，故D一定不成立.
3.（2024·沈阳教学质量监测）已知有100个半径互不相等的同心圆，其中
最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长
都为2，则这100个圆中最大圆的半径是( )
C
A.8 B.9 C.10 D.12
解析： 选C.
设这100个圆的半径从小到大依次是，，， ， ，
由题意知， ，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大
圆截得的弦长都为2，由垂径定理，得 ，
， ，依此类推，可得
，则 .(共27张PPT)
提升点8
专题强化训练
1.已知椭圆的两焦点分别为，， 为椭圆上一点，且
，则 的面积为( )
B
A.6 B. C. D.
解析：选B.设 ,根据焦点三角形面积公式可知，
.
2.已知抛物线的顶点是原点，焦点在轴的正半轴上，经过点 的直线
与抛物线交于，两点，若，则抛物线 的方程为( )
C
A. B. C. D.
解析：选C.设抛物线，, ,则由
, ,得
,解得 ,即抛物线C
的方程为 .
3.已知椭圆的右焦点为，过点 的直线交
椭圆于，两点，若的中点坐标为，则 的方程为( )
D
A. B. C. D.
解析：选D.记的中点为，由 ,得
,即,又由题意知,即 ,所以
,,所以的方程为 .
4.已知，分别是椭圆的左、右顶点， 是椭
圆上不同于，的任意一点，若直线，的斜率之积为 ，则椭圆
的离心率为( )
D
A. B. C. D.
解析：选D.由题意得，,所以 ,
所以椭圆C的离心率
.
5.（2024·北京三模）已知点为抛物线的焦点，，， 为抛物
线上三点，若，则 ( )
C
A.2 B. C.3 D.
解析：选C.设,,，由 ，
得 ，
所以,，准线方程为 ，
因为，所以为 的重心，
所以 ，
所以 ，
所以 .
6.已知椭圆,,为长轴端点，点，， ，是 的
六等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆 于
，， ，，则直线，， ， 这10条直线的斜率乘
积为( )
B
A. B. C. D.
解析：选B.如图所示，
由椭圆的性质可得 .
由椭圆的对称性可得
，则 .同理可得
.
所以直线，， ，这10条直线的斜率乘积为 .
7.（多选）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点 ，
与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点 ，
若 ，则以下结论正确的是( )
BCD
A. B.
C. D.为 中点
解析：选.设直线的倾斜角为 ，则 .由抛物线的焦点弦的
性质，得,解得,则 ,
,,过点B作准线的垂线，垂足为
（图略），在中， ，所以
，又，因此为 中点.
8.（多选）已知抛物线：,过其准线上的点 作该抛
物线的两条切线，切点分别为， ，则下列说法正确的是( )
BD
A. B.当时，
C.当时，直线的斜率为2 D.直线过定点
解析：选.因为 为准线上的点，
所以,解得 ,故A错误；
当时，点坐标为.根据抛物线方程得到,则 ,
设切点坐标分别为,,, ,
则,整理得 ,
同理得 ,
所以,为方程的解，则 ,所以
,所以 ，故B正确；
由B选项得当时，,所以 ,故C错误；
当点坐标为时，由B选项同理得,又 ,
联立得,同理得 ,
所以直线的方程为,恒过点 ，故D正确.
9.（多选）（2024·重庆七校期末）已知椭圆，斜率为 且不
经过原点的直线与椭圆相交于，两点，为线段 的中点，则下列
结论正确的是( )
BD
A.直线与 垂直
B.若点的坐标为，，则直线的方程为
C.若直线的方程为,则点的坐标为，
D.若直线过椭圆焦点，则
解析：选.由题意，,.对于A，设, ,
,则 两式作差可得
,所以 ,则
，故A错误；对于B，若点的坐标为, ，则
,则直线的方程为,即 ,故B正
确；对于C，若直线的方程为,则,显然点 的坐标不可
能为， ，故C错误；对于D，易知过椭圆焦点的弦中，通径最短，为
,长轴最长，为4，由直线的斜率存在且不过原点，得 ,
故D正确.
10.已知双曲线 的离心率为2,实轴的两个端点为
，，点为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线与 的斜率之积
为___.
3
解析：由题意知,即,所以,所以 ,所以
,
所以 .
11.已知是椭圆 和双曲线
的一个交点，， 是椭圆和双曲线的公共焦
点，,分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则 的最
小值为_ __.
解析：因为点为椭圆和双曲线的公共点，， 是两曲线的公共焦点，
则由焦点三角形的面积公式得 ,化简得
,即,等式两边同除以,得 ,所
以，解得,当且仅当 时，等号成立，
所以的最小值为 .
12.如图，椭圆 ,圆
,椭圆的左、右焦点分别为， ，
过椭圆上一点和原点作直线交圆于， 两点，若
，则 ___.
8
解析：设,因为在椭圆上，所以,则 .因
为，所以,又 ,所以
,,又,则
.
13.已知椭圆的离心率为，短轴长为2， 为右
焦点.
（1）求椭圆 的方程.
解：依题意，,离心率 ,
即,解得 ,
所以椭圆的方程为 .
（2）设坐标原点为，在轴上是否存在一点，使得过 的任意一条直
线与椭圆的两个交点，，恒有？若存在，求出 的坐
标；若不存在，请说明理由.
解：由（1）知，，假定存在点满足条件，当直线与 轴不重
合时，
设的方程为 ,
由消去并整理得 ,
设, ,
则, ,
因为，则直线， 的斜率互为相反数，即
,
整理得 ,
即 ,
则有 ,
即,而为任意实数，要使等式恒成立，则 ,
当直线与轴重合时，点，为椭圆长轴的两个端点，点 也满足
，综上，存在点满足条件，点的坐标为 .
14.过点作已知直线 的平行线，交双曲线
于点， .
（1）证明点是线段 的中点；
证明： 由题意知，直线的方程为 ,代入双曲线方程
,
得， .
设,,则 .
所以 .
故点是线段 的中点.
（2）分别过点，作双曲线的切线,,证明：三条直线,, 相交于同
一点；
证明： 双曲线过点，的切线方程分别为 ,
.
两式相加并将,代入，得 .这说明直线
,的交点在直线上，即三条直线,, 相交于同一点.
（3）设为直线上一动点，过作双曲线的切线， ，切点分别为
，，证明：点在直线 上.
证明： 设，则直线的方程为 .
又,代入整理得,显然无论 取什么值
（即无论为直线上哪一点），点都在直线 上.(共20张PPT)
提升点11 最值、范围问题
题型一 最值问题
若所求圆锥曲线的最值与已知条件具有比较明确的关系，则可以考虑
建立目标函数，再通过研究函数的单调性、图象或基本不等式等来解决.
求解步骤是：
（1）求椭圆 的方程；
【解】由题可知，,,又 ,
解得,, ,
所以椭圆的方程为 .
［例1］ 已知椭圆的短轴长为2，且离心率为 .
（2）设与圆相切的直线交椭圆于，两点( 为坐标原
点)，求线段 长度的最大值.
【解】 设, ,
①当轴或轴时，易得 ,
②当与轴或轴不垂直时，设直线的方程为 ,
由已知得,即 ,
联立消去 ,
整理得 ,
则 ,
故, ,
,
当且仅当，即 时,等号成立，
所以 ,
综上可知，线段 长度的最大值为2.
圆锥曲线中最值问题的2种基本解法
几何 法 根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加
以解决（如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反
射问题等在选择题、填空题中经常考查）
代数 法 建立求解目标关于某个（或两个）变量的函数,通过求解函数的最
值来解决（普通方法、基本不等式方法、导数方法等）
［对点训练］ 设过原点的直线 在第一、三象限内分别交双曲线
于，两点，过原点的直线 在第二、四象限内分别交
双曲线于，两点，若直线过双曲线的右焦点，求四边形 面
积的最小值.
解：由双曲线的对称性，知， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 .
由题意知直线的斜率不为0， ，
设直线的方程为，, ,联立
消去 ,
整理得 .
,
则, .
因为， 均在双曲线右支上，
所以
所以
解得 .
所以
,
.
令，则 .
所以 .
令 ,
易得在区间， 上单调递减，
所以当时， .
所以四边形 面积的最小值为24.
题型二 范围问题
求解圆锥曲线中的范围问题，需通过不等式的变形或不等式的求解来
确定范围.求解步骤是：
［例2］ （2024·上海卷节选）已知双曲线 ，左、
右顶点分别为，，过点的直线交双曲线 于， 两点.
（1）若 的离心率为2，求 ；
【解】由双曲线的方程知 ,
所以,因为离心率为2，所以,得 .
（2）连接为坐标原点)并延长交 于点，若，求 的
取值范围.
【解】 由双曲线的方程知，，且由题意知， 关于原
点对称.
设,,则 .
由题意设直线的方程为 .
联立消去，得, ，
且,即 .
由根与系数的关系，得, .
因为， ,
由，得 ,
所以 ,
即 ,整理得
,
所以 ,
整理得 ,
所以, .
又，所以，又,故的取值范围是, .
圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法
（1）函数法：用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的
方法求解.
（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的
取值范围.
（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式 求参数
的取值范围.
（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.
［对点训练］ 已知椭圆 .
（1）若，求椭圆 的离心率；
解：当时，椭圆 的方程为 ,
则,,所以 ,
所以椭圆 的离心率 .
（2）若为椭圆 上一点，过点作一条斜率为 的直线与双曲线
仅有一个公共点，求 的取值范围.
解：设过点且斜率为的直线的方程为 ，
由得 ,
整理得 ,则
,
整理得 .①
由得 ,
整理得 ,
则 ,
整理得 .②
由①②可得 ，
解得 ,
由且，可得 ,
又,所以 .
故的取值范围为 .(共37张PPT)
第2讲
专题强化训练
1.（2024·合肥质量检测）已知双曲线 的焦距为4，
则 的渐近线方程为( )
B
A. B. C. D.
解析：选B.由题意可知，,，所以 ,
即,所以渐近线方程为 .
［A 基本技能］
2.（2024·福州质检）已知的顶点在抛物线 上，若抛物线
的焦点恰好是的重心，则 的值为( )
A
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：选A.设,,.由抛物线方程 易得
,.因为焦点恰好是的重心，所以,故 .
3. 金丽联考）已知抛物线的焦点为，以 为圆心的圆
交于，两点，交的准线于，两点，若四边形 是矩形，
则圆 的方程为( )
D
A. B.
C. D.
解析：选D.
由题可得，抛物线的焦点为,,所以圆 的圆心坐标为
，，因为四边形是矩形，且，为直径，,为圆 的
圆心，所以点为该矩形对角线的交点，所以点到直线的距离与点 到
的距离相等，
又点到直线的距离,所以直线的方程为,所以， ，
故圆的半径 ,
所以圆的方程为 .
4.（2024·成都段考）如图，已知椭圆 的中心为原点
，为的左焦点，为 上一点，满足
且，则椭圆 的标准方程为( )
C
A. B. C. D.
解析：选C.由题意可得,设右焦点为，连接 （图略），由
知， ，即.在 中，由
勾股定理，得 ，由椭圆的定义，
得,从而 ,于是
,所以椭圆C的标准方程为 .
5.（多选）（2024·长沙适应性考试）某彗星的运行轨道是以太阳为一个
焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为
,远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为 ,并且近日点、远
日点及太阳中心在同一条直线上，则( )
BC
A.轨道的焦距为 B.轨道的离心率为
C.轨道的短轴长为 D.当 越大时，轨道越扁
解析：选.设该椭圆的长半轴长为,短半轴长为,半焦距为 ,由题意
可知,,所以,, ,
即,椭圆的焦距为,离心率 ,短轴长为
,所以A错误，B，C正确；因为
，所以当 越大时，椭圆的
离心率 越小，即椭圆越圆，所以D错误.
6.已知是抛物线的焦点，，是抛物线 上的两点，
且，抛物线的准线与轴交于点，，则抛物线 的
方程为_________.
解析：由知是抛物线的通径.所以, ,因为
,所以,得 ,
所以抛物线的方程为 .
7.（2024·贵阳适应性考试）设， 分别为双曲线
的左、右焦点，过 且与该双曲线的一条渐近线
平行的直线交双曲线于点，若 ，则双曲线的离心率为
____.
解析：
不妨设点的位置如图所示，由题意知， ，且
,所以,.因为直线 与双曲线
的一条渐近线平行，所以易得，则 .在
中，由余弦定理得,即 ,得
双曲线的离心率 .
8.（2024·北京卷）已知椭圆，以椭圆 的焦点
和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 且斜率
存在的直线与椭圆交于不同的两点，，过点和的直线 与椭
圆的另一个交点为 ．
（1）求椭圆 的方程及离心率；
解：由题意可得,,,故椭圆的方程为 ,离心率
.
（2）若直线的斜率为0，求 的值．
解：设，，直线的方程为 ,
联立得 .
所以,即 ,
， .
由直线的斜率为0及椭圆的对称性可得 ，
因为，，三点共线，所以，所以 ,即
.
由, ,得
,整理得
，
所以,解得 .
［B 综合运用］
9.（多选）（2024·阜阳模拟）已知为坐标原点，椭圆 的
左、右焦点分别为，,两点都在上，，，三点共线，
（不与， 重合）为上顶点，则( )
BCD
A.的最小值为4 B. 为定值
C.存在点，使得 D.
解析：选 .
对于A，由椭圆的方程可知,, ,所以焦点
， ，
设,则,,因为 在椭圆上，所以
,
,即
,A错误；
对于B，由椭圆的对称性可知， ，B
正确；
对于C，因为,所以以 为直径的圆与椭圆有交点，则存在点A，
使得 ,C正确；
对于D， ,D正确.
10.（2024·宁波“十校”联考）已知双曲线 ，
斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，点 的坐标为
，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线 的斜率
为，则 的离心率为_ ___.
解析：设,,线段 的中点
,则
两式相减得 ,
所以 ，①
设,,线段的中点,同理得 ,②
因为,所以,则，，三点共线，所以 ,
将①②代入得，即 ,
所以,即,所以 .
11.（2024·开封质量检测）已知, ,对于平
面内一动点,轴于点，且 ，
， 成等比数列.
（1）求点的轨迹 的方程；
解：由题意可得,则,, ,
由于,,成等比数列，所以 ，即
,
故点的轨迹的方程为 .
（2）已知过点的直线与交于，两点，若，求直线 的方程.
解：由（1）知点的轨迹的方程为：当或时， ,
当时，,如图，由题意可知直线 的
斜率存在，设方程为 ,
联立 ,
易知，则 ,
因为,所以 ,
故 ,
所以, ,
联立 ,则
,
因为,所以,故,所以
,, ,解得
,故直线的方程为 .
12.已知抛物线与 都经过点
.
（1）若直线与，都相切，求直线 的方程；
解：将点代入中，得,解得 .将点
代入中，得,解得,所以 的方程为
,的方程为.由题意知，直线 的斜率存在且不为0，
设直线的方程为.联立消去 ,得
,因为直线与 相切，所以
,整理得①.联立消去 ,得
,因为直线与相切，所以 ②.由①
②解得.所以直线的方程为,即 .
（2）若点，分别在，上，且，求 的面积.
解：因为点，分别在，上，可设,,, ,由
，得, ,即
化简得由 ,可得
,整理得 .
若,由②知,所以, ,所以
， ；
若,由②知,方程无实数解.所以直线 的
方程为,即 ,
,点到直线 的距离为
,所以的面积 ,所以
的面积为27.
［C 素养提升］
13.（2024·南京、盐城调研）已知反比例函数 的图象是双曲
线，其两条渐近线分别为轴和轴，两条渐近线的夹角为 ，将双曲线绕
其中心旋转可使其渐近线变为直线,由此可求得其离心率为 .已知
函数的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线和 轴，
则该双曲线的离心率是( )
C
A. B. C. D.
解析：选C.
如图，在第一象限内，函数的图象位于直线 的上方.直
线的倾斜角为，轴的倾斜角为.设双曲线 两条渐近
线的夹角为 ,则.将双曲线 绕其对称中心顺时针
旋转,所得双曲线的焦点在 轴上，则旋转后的双曲线的渐近线较小的倾斜
角为.设旋转后双曲线的方程为,半焦距为 ,
离心率为,则,解得 .
14.两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线相同.
如图所示，一列圆
逐
个外切，且均与曲线相切，若,则 __,
___.
解析：由题意得,圆的圆心为，半径,设圆 与曲线
相切于点,则
解得.圆的圆心为,半径为，设圆与曲线 相切于
点,则解得 ,又
,所以 ,则
,因为,所以 ,
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 .(共63张PPT)
第2讲 圆锥曲线的定义、
方程与性质
考情分析 备考关键
考点 圆锥曲线的定义与标准方程、 圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲 线相交. 考法 主要以选择题、填空题的形式 考查圆锥曲线的定义、标准方程及其 性质，求圆锥曲线的标准方程或轨迹 方程仍是解答题的第一问. 1.“待定系数法”求圆锥曲线的标准
方程，“公式法、转化法”求椭圆、
双曲线的离心率.
2.灵活利用抛物线的定义转化抛物
线上的点到焦点的距离与其到准线
的距离，尤其是处理相关最值问
题.
PART
01
第一部分
做真题 明方向
1.（2024·天津卷）已知双曲线 的左、右焦点分
别为，，是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2， 是
面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
解析： 选C.由题意可知， ，又直线 的斜率为2，可
得，根据双曲线定义知 ,得
,, ,又
，所以 ,所以
.又
,所以,又,所以 ,所以双曲线的方程
为 .
2.（多选）（2024· 新课标Ⅱ卷）抛物线的准线为，为 上
动点.过作的一条切线，为切点.过作 的垂线，
垂足为 .则( )
A.与 相切
B.当，，三点共线时，
C.当时，
D.满足的点 有且仅有2个
解析： 选.对于A，易知，故与 相切，故A正确；
对于B，，的半径，当，A，B三点共线时， ，所
以， ，故B正确；
对于C，当时，，或， ，易知
与 不垂直，故C错误；
对于D，记抛物线C的焦点为，连接，（图略），易知 ，由
抛物线定义可知，因为，所以 ，所以
点在线段的中垂线上，易求得线段中垂线的方程为 ，
即，代入可得，解得 ，
易知满足条件的点 有且仅有两个，故D正确．
3.（2024·北京卷）若直线与双曲线 只有一个公
共点，则 的一个取值为_________．
或
解析： 由题意，知该双曲线的渐近线方程为,直线 过
定点 .
因为点 在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共
点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以 .
4.（2024· 新课标Ⅰ卷）设双曲线 的左、右焦
点分别为，.过作平行于轴的直线交于，两点.若 ,
，则 的离心率为__．
解析：方法一（直接法）：由 及双曲线的对称性得
，因为 ，所以
，
，所以， ，
则的离心率 .
方法二（二级结论）：因为，所以 ，所以
，又 ，所以
，得 ，
所以，得（负值已舍去），所以 的离心率
.
PART
02
第二部分
研考点 破重难
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
（1）椭圆： .
（2）双曲线： .
（3）抛物线：，为抛物线的准线，点不在定直线 上，
于点 .
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是
指利用待定系数法求出方程中的,, 的值.
［例1］ （1）（2024·山东多校联考）已知抛物线
的焦点为，是上一点，且到的距离比到 的对称轴的距离
多2，则 ( )
D
A. B.1 C.2或4 D.4或36
【解析】 因为是C上一点，所以,所以 ,由抛物
线的定义可得点到点的距离为,点到C的对称轴的距离为 ，则
,解得或 .
（2）（2024·甘肃高考诊断考试）如图，点， 是
双曲线 的左、右焦点，同
时也是双曲线的左、右顶点，过点
的直线交双曲线的左、右两支分别于， 两点，交
双曲线的右支于点（与点不重合），且与 的周长
之差为6，则双曲线 的方程为_ ____________.
解析：设双曲线的半焦距为.因为与 的周长之差为6，
所以 .
又点，分别为双曲线的左、右顶点，所以 ,
所以,,,所以双曲线的方程为 .
求圆锥曲线标准方程的步骤：
（1）设方程：确定圆锥曲线的焦点位置，设出标准方程.
（2）求方程：利用待定系数法求出方程中的系数.特别地，当焦点位置无
法确定时，抛物线方程常设为或 ，椭圆
方程常设为,,且 ，双曲线方程常设为
.
提醒（1）双曲线的定义中注意“绝对值”.
（2）椭圆与双曲线方程中，， 之间的关系不要弄混，椭圆方程中
，双曲线方程中 .
［对点训练］ 1.（2024·蚌埠质量检测）已知曲线
，则“”是“曲线的焦点在 轴上”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A
解析： 选A.若,则曲线表示焦点在 轴上的椭圆，
故充分性成立；若曲线C的焦点在轴上，也有可能是 ,此时曲线C表
示焦点在 轴上的双曲线，故必要性不成立.
2.（2024·河南九师联盟）已知抛物线的焦点为，
为上一点，为坐标原点，当时，，则 ( )
B
A.4 B.3 C.2 D.1
解析： 选B.如图，过作C的准线的垂线，垂足为 ，作
，垂足为，由，得 ，所以
，所以，即 .
3.（2024·临沂二模）已知椭圆 的左、右焦点分别
为，，为椭圆上第一象限内的一点，且，与 轴相交
于点，离心率,若，则 ( )
A. B. C. D.
B
解析： 选B.设，,
则有 , ,
则,
即 ,
则 ,
即,即, ,则
,由，
则有 ,整理得,即 .
考点二 圆锥曲线的几何性质
1.椭圆的离心率 ，双曲线的离心率
.
2.与双曲线 共渐近线的双曲线方程为
.
3.抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设是过抛物线的焦点的弦，若 ，
， 是直线 的倾斜角，则：
（1）, .
（2） .
（3） .
（4）以线段为直径的圆与准线 相切.
角度1 椭圆、双曲线的性质
［例2］ （1）（2024·东北三校联合模拟考试）已知在平面直角坐标系
中，椭圆的左顶点和上顶点分别为， ，
过椭圆的左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若 ，则
椭圆 的离心率为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 记椭圆C的半焦距为 ,由椭圆C的标准方程
可知，,, ,
因为，所以, ,如图.
方法一：所以，,,由题意知 ,所以
,可得,所以椭圆C的离心率 .
方法二：由题意知,所以,可得 ,化简得
,所以椭圆C的离心率 .
（2）（2024·聊城二模）已知双曲线 的右焦
点为，一条渐近线的方程为,若直线与 在第一象限内的交
点为，且轴，则 的值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 因为双曲线的渐近线方程为
,依题意有,即 ,
又右焦点为，且轴，所以, ,所以
.
（1）确定椭圆和双曲线的离心率的值或取值范围，其关键就是确立一个
关于,,之间的等量关系式或不等关系式，然后用,代换，进而求 的
值或取值范围.
（2）求双曲线渐近线方程的关键在于求或 的值，也可将双曲线方程中
等号右边的“1”变为“0”，然后通过因式分解得到.
角度2 抛物线的性质
［例3］ （多选）（2023·新课标Ⅱ卷）设 为坐标原点，直线
过抛物线的焦点，且与交于， 两
点，为 的准线，则( )
AC
A. B.
C.以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形
【解析】 由题意，易知直线过点 .
对于A，因为直线 经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐
标为,所以，即 ，故A正确；
对于B，方法一：不妨设,,且 ,
联立消去并整理得,解得 ,
.所以,, ,所以由两点间的距离公式可得
,故B错误.
方法二：不妨设,,且，联立 消
去并整理得,解得, .所以由抛物线的定义
得, ,故B错误.
方法三：设,,联立消去 并整理得
,,则, ,所以由弦长公式得
,
故B错误.
方法四：易知直线的倾斜角为 ,所以
,故B错误;
对于C，方法一：由以上分析易知，直线的方程为，以 为直径
的圆的圆心坐标为,，圆心到直线的距离为 ,半径
,所以以为直径的圆与 相切，故C正确.
方法二：由二级结论——以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相
切，易知C正确；对于D，由B选项方法一解析及两点间的距离公式可得
,，，显然 不是等腰三角形，故D
错误.
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的
几何图形（如三角形、直角梯形等）来确定已知量与 的关系,灵活运用抛
物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
［对点训练］ 1.（2024·兰州诊断考试）已知双曲线
与双曲线 的离心率相同，且
双曲线的顶点是双曲线的焦点，则双曲线 的虚轴长为( )
A. B. C. D.10
B
解析： 选B.由题知,所以,易知双曲线 的右
焦点为，所以,,则双曲线的虚轴长 .
2.已知抛物线的焦点为，准线为,是上一点，直线 与抛物线
交于，两点，若，则 ( )
A. B. C.2 D.
B
解析： 选B.分析知不可能在 轴上.根据对称性，
不妨设在 轴下方，如图，
抛物线的焦点为，，准线为,设 ,
，，到准线的距离分别为, ,
由抛物线的定义可知, ,于是
.过点作，垂足为 .
因为，所以.所以 ，所以
.
方法一：直线的斜率为，因为,,所以直线 的方程为
,将代入方程中，得 ,化
简得,所以 ,于是
.
方法二：直线的倾斜角为 ，由抛物线焦点弦的性质可知，
.
考点三 直线与圆锥曲线相交
1.已知,，直线的斜率为 ，
则
或
2.已知,为圆锥曲线上两点，的中点 ，直线
的斜率为 .
（1）若椭圆的方程为,则 ;
（2）若双曲线的方程为,则 ;
（3）若抛物线的方程为,则 .
角度1 弦长问题
［例4］ 已知双曲线，经过点的直线分别与 的左、
右支交于，两点，为坐标原点，的面积为，则直线 的方
程为______________.
【解析】 由题意知，直线的斜率存在，设为，则的方程为 ,联
立
消去得 ,
设,,因为直线分别与的左、右支交于， 两点，
则,,则 ,
,
由于直线经过点，则的面积 ,则
,
解得或（舍去），则,所以直线 的方程为
.
（1）设直线方程要注意斜率不存在的情况.若已知直线过 ，可设直线
方程为 ;
（2）联立直线、曲线的方程组消元后，一需要二次项系数不等于零，二
需要 ；
（3）利用弦长公式计算弦长.
角度2 中点弦问题
［例5］ 已知双曲线上存在两点，关于直线 对称，
且的中点在抛物线上，则实数 的值为_______.
0或
【解析】 设,,的中点,则
由得,显然 .
所以,即 ,
因为，关于直线 对称，
所以,所以 ,
又因为,所以, ，
代入抛物线方程得 ,
解得或 ,经检验都符合题意.
用“点差法”求解中点弦问题的步骤
注意 “点差法”中必须保证判别式 大于零.
［对点训练］ 1.已知椭圆的左焦点为，过点
的直线与椭圆交于不同的两点，，若为线段 的中
点，为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆 的方程为( )
B
A. B. C. D.
解析： 选B.因为直线过点，所以 ,设
,,则两式相减并化简得 ，
即，所以,所以,所以 ,
,所以椭圆C的方程为 .
2.已知定点，直线与抛物线 交于两点
，，若 ，则 ( )
C
A.4 B.6 C.8 D.10
解析： 选C.设,, 消去 得
,
由题知，,故, ,
则,由 ，得
,
即,即 ,解得
,则 ,
则
.
数学美 笛卡尔叶形线
［问题背景］ 在我们的数学中，圆锥曲线是当之无愧的美的代表，它们
不但有形的美，而且有数（方程）的美，除了我们在教材中所学的圆锥曲
线之外，很多轨迹曲线也是美不胜收，例如2024年新课标Ⅰ卷选择压轴题
就是典型的代表，试题背景是笛卡尔叶形线，其方程为
.数学家们还为其取了一个诗情画意的名字——茉莉花
瓣曲线.几何性质有：
①渐近线方程：；
②顶点坐标；
③图象关于直线对称；
④“圈套”围成的面积为.
［真题展示］ （多选）（2024·新课标Ⅰ卷）设计一条美丽的丝带，其
造型 可以看作图中的曲线的一部分.已知过坐标原点，且 上的点满
足：横坐标大于;到点的距离与到定直线 的距离之
积为4.则( )
ABD
A.
B.点在 上
C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点在上时，
解析： 选.因为坐标原点在曲线C上，所以，又 ，
所以 ，所以A正确；
因为点到点的距离与到定直线 的距离之积为
，所以点 在曲线C上，所以B正确；
设 是曲线C在第一象限的点，则有
，所以 ，令
，则，因为 ,
且，所以函数在 附近单调递减，即必定存在一小区间
使得单调递减，所以在区间上均有 ，
所以 的纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误；
因为点在C上，所以且 ，得
，所以 ，所
以D正确.
［跟踪训练］ （多选）卡西尼卵形线就是：曲线上点 到两个定点
,的距离之积为常数的点的轨迹，如图是 取不
同值的卵形线,则( )
BC
A.当卵形线过点时，
B.当时，卵形线是形如 的双纽线，此时曲
线上仅有一个整点（横纵坐标均为整数的点）
C.卵形线上两点的距离的最大值为
D.的面积
解析： 选.由题意知卡西尼卵形线 的方程为
.
对于A，当 过点时，则 ,
解得 ，A错误；
对于B，由题知 .当时， 或
,此时有一个整点.当时， 无实根.
当时， .故此时曲线上仅有一
个整点 ，B正确;
对于C，由 的方程易得 与轴的交点坐标为 ,
,与轴的交点, ,
,, ,显然知
，C正确；
对于D，由于 .
.
当且仅当 时，取等号，D错误.
［试题演变］ （多选）曲线上的点满足直线 的斜率大于直线
的斜率.到与轴的距离之积为 ,则( )
ABD
A.
B.曲线 关于原点对称
C.存在,曲线与直线 相交
D.曲线上任一点的切线与和轴围成的三角形面积为
解析： 选.由题意得 ,
由于的斜率大于直线的斜率，故与 同号，所以
,即 .
对于A,当时,,当且仅当 时取等号；
当时，,当且仅当 时取等号.故
,A正确；
对于B,函数 是奇函数，故曲线C关于原点对称，B正确；
对于C，由得，由于 ,故方程无解，
C错误；
对于D，设点是C上任意一点，由得 ，
所以曲线在点处的切线方程为，易得切线与
和轴的交点分别为, .
所以所求面积 ,D正确.(共31张PPT)
提升点9 证明与探索性问题
题型一 证明问题
圆锥曲线中的证明问题,常见的有位置关系证明和数量关系证明,位置
关系证明有相切、垂直、过定点等；数量关系证明有存在定值、恒成立、
值相等、角相等、三点共线等.解题策略为：
角度1 位置关系
［例1］ （2024·全国甲卷）设椭圆 的右焦点为
，点,在上，且 轴．
（1）求 的方程；
【解】方法一（直接法）：
由题意知解得
所以椭圆的方程为 .
方法二：由题意知解得
所以椭圆的方程为 .
方法三（巧用椭圆的定义）：
设为的左焦点，连接 （图略），
则， ，
在中， ,
由椭圆的定义知,,所以, ,
又,所以 ,
所以椭圆的方程为 .
（2）过点的直线交于,两点，为线段的中点，直线 交
直线于点，证明： 轴．
证明：由题意知直线 的斜率存在.
易知当直线的斜率为0时， 轴.
当直线的斜率不为0时，设直线， ，
， ，
联立方程得
消去整理得，，则 ，
.
因为为线段的中点，，所以, .
由，，三点共线，得 ,
即 ,
得,得 ,
所以
,
所以，所以轴.综上， 轴.
角度2 数量关系
［例2］ （2024·湖北七市州联考）如图， 为坐标原
点，为抛物线的焦点，过 的直线交抛物线于
，两点，直线交抛物线的准线于点 ，设抛物线在
点处的切线为 .
（1）若直线与轴的交点为，求证： ;
【证明】 易知直线的斜率不为0，， ，设直线
的方程为,， ，
由得 ,
所以
当时，由得 ,
则,由题图知 ,
所以的斜率为 ,
所以的方程为 ,
即 ,
令,得,即, .
因为,,所以直线的方程为 ,
令,得,得, .
又,,所以， ，
即 ，得证.
（2）过点作的垂线与直线交于点，求证： .
【证明】 由（1）知过点的切线的垂线的方程为 ,
即 ,
由
得点的纵坐标 .
因为，，，四点共线，所以要证明 ，只需证明
.
因为 ,
,
所以 式成立，
即 ，得证.
圆锥曲线中证明问题的求解策略
处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价
转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思
想解决.
［对点训练］ 已知椭圆 的四个顶点围成的四边
形面积为，周长为，一双曲线 的顶点是该椭圆的焦点，焦点是
该椭圆长轴上的顶点.
（1）求和 的标准方程；
解：根据题意得且 ,
解得
所以椭圆的标准方程为 ,
因为 ,
依题意，设双曲线的标准方程为 ,则
解得,所以双曲线的标准方程是 .
（2），，是双曲线上不同的三点，且，两点关于 轴对称，
的外接圆经过原点，求证：直线与圆 相切.
证明：易知直线的斜率一定不为0，设直线的方程为 ,
, ,
则,联立
整理得， ，
,
则, ,
由于的外接圆过原点且关于 轴对称，
所以设外接圆的方程为 ,
将,代入外接圆的方程得
消去得 ,
又, ,
所以 ,
化简得 ,
因为,所以 ,
由,得，存在，的值使得,所以原点
到直线的距离为,即直线与圆 相切.
题型二 探索问题
圆锥曲线中是否存在问题一般采用假设存在法破解,即先假设所探究
的元素存在,在这个假设下探究其是否符合题目中所给信息,从而得到结
论.解决问题的步骤为:
（1）求曲线 的方程.
【解】由题意知，圆的圆心为，半径为4，
设动圆的半径为 ，
因为 ，
所以点在圆 内，如图所示，
［例3］ 已知动圆经过点，并且与圆
相切，记圆心的轨迹为曲线 .
所以， ，
所以，所以圆心的轨迹为以， 为焦点，
长轴长为4的椭圆.
所以，，故， ，
则 .
所以曲线的方程为 .
（2）若动圆的圆心在曲线上，定直线与圆相切，切点记为 ，
探究：是否存在常数使得？若存在，求常数及定直线
的方程；若不存在，请说明理由.
【解】 存在常数使得 ，理由如下：
如图所示，由题意可知， ，
设，则 ，
， ，
所以
,
.
假设存在常数使得 ，
则对于任意的 恒成立，即
对于任意的 恒成立，所以
即存在常数，使得 ，
此时定直线的方程为 .
探索性问题的求解策略
（1）若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的
正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律.
（2）若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先
对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而
得出结论.
［对点训练］ （2024·安徽一模）已知双曲线
中，焦距为，且双曲线过点 ，斜率不为零的直线与双曲线交
于，两点，且以为直径的圆过点 .
（1）求双曲线的方程.
解：由题意得 ,
且,又,解得, ,故双曲线的方程为
.
（2）是否存在直线，使得点到直线 的距离最大？若存在，求出直
线 的方程；若不存在，请说明理由.
解：由题知直线斜率不为0，设直线,联立
得，, ，
设, ,
则, ,
由题意得 ，
即
,
将, 代入上式，得
,
即 ,
化简得 ,
变形为 ,
故或 ,
当时，直线,经过定点，与 重合，
不满足要求，
当时，直线,经过定点 ，
要想点到直线的距离最大，则 ，
其中 .
故直线的斜率 ,
故直线的方程为,即 .
经检验，满足要求.故存在直线，使得点到直线 的距离
最大，直线的方程为 .(共24张PPT)
提升点10 定值、定点与定线问题
题型一 定值问题
定值问题，其本质为求值，若求值过程中含有参数，则利用等量代换、
约分等，使得代数式计算结果不含参数，为一个常量.也可以赋予参数特
殊值，先得到定值，再进行计算验证.
解题步骤为：
（1）求双曲线 的标准方程；
【解】双曲线可化为 .
当与 轴垂直时，
,解得 ,
所以双曲线的标准方程为 .
［例1］ （2024·东北三省四市联考）在平面直角坐标系中，， 分别
为双曲线的左、右焦点，过的直线 与双曲线
的右支交于，两点.当与轴垂直时， 的面积为12.
（2）若与轴不垂直，作线段的垂直平分线，交轴于点.求证：
为定值.
证明：由（1）知，设直线的方程为, ,
，
M为线段的中点，联立
消去整理得,， ，
因此, .
则,, .
所以线段的垂直平分线的方程为,则, ,
,
.
所以，即 为定值1.
求解定值问题的途径
（1）途径一：首先由特例得出一个值（此值一般就是定值）,然后证明定
值，即将问题转化为证明待证式与参数（某些变量）无关.
（2）途径二：先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足
的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值.
［对点训练］ 已知椭圆的离心率为， ，
分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点， 的周长为
.
（1）求椭圆 的方程；
解：由已知可得
解得所以椭圆的方程为 .
（2）若为圆上任意一点，过点作椭圆 的两条切线，切点
分别为，，证明： 为定值.
证明：设，则 .
当时，，显然 ，
则 .
当时，过点的切线可设为 ，
联立
消去整理得 ，
所以 ，
整理成关于 的方程，
得， ，
此方程的两个根，即为切线， 的斜率，
所以 .
所以，所以 .
综上所述， ，为定值.
题型二 定点、定线问题
解决解析几何解答题，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础
上，应突出点与线“设”的重要性，以达到简化运算的目的.
角度1 定点问题
［例2］ （2024·江西红色十校联考）设抛物线 ,过
焦点的直线与抛物线 交于点，.当直线垂直于 轴
时， .
（1）求抛物线 的标准方程；
【解】由题意及抛物线性质知，当直线垂直于轴时， ,
即，所以抛物线 的标准方程为 .
（2）已知点，直线，分别与抛物线 交于， 两点.求证：
直线 过定点.
证明：易知直线不与轴重合，点 ，
设，,直线的方程为 .
联立得 ,
,
因此, .
设直线的方程为 ,
联立得 ,
则 ,
因此, ,
则,同理可得 .
当直线 斜率存在时可得
.
因此可设直线的方程为,由对称性知，定点在 轴上，
令 得，
,
所以直线过定点 .
曲线过定点问题的求解思路
一是“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为
有方向、有目标的一般性证明；
二是“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根
据参数的任意性得到定点坐标.
角度2 定线问题
［例3］ （2023·新课标Ⅱ卷改编）已知双曲线.记 的左、
右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，
在第二象限，直线与交于点.证明:点 在定直线上.
【证明】 由双曲线的方程可得， ，设
, ,
显然直线 的斜率不为0，
所以设直线的方程为 ,
且,与 ，
联立可得 ,
且 ,
则, ,
直线的方程为,直线的方程为 ,
联立直线与直线 的方程可得
.
则 ，
解得,即 ,
则点在定直线 上.
证明动点在定线上的方法
（1）参数法：由已知条件中影响动点的含参方程，确定动点坐标
与参数间的数量关系，再根据等量关系或几何关系消去参数，求得关于,
且不含参数的固定方程，故该动点就在此定线上.
（2）特殊探求法：从动点形成的动源入手，取动点运动中几个特殊位置，
初步探索动点所在的直（曲）线，然后再证明无论动源怎样变化，动点
始终在此直（曲）线上.
［对点训练］ 已知抛物线经过点 .
（1）求抛物线 的方程及其准线方程；
解：将点代入抛物线，可得,即 ,可得抛
物线的方程为,准线方程为 .
（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线 于两
点，，直线分别交直线，于点和点.求证：以 为直
径的圆经过 轴上的两个定点.
证明：抛物线的焦点为 ，
由题意知，直线 的斜率存在且不为0，
则设直线的方程为 ,
联立抛物线方程，可得 ,
设, ,
可得, ,
直线的方程为,即 ,
直线的方程为 ,
即,可得,,, ,
则的中点的横坐标为 ,
即以为直径的圆的圆心为 ,
半径为 ,
可得圆的方程为 ,
化为 ,
令，可得或 .
则以为直径的圆经过轴上的两个定点， .(共28张PPT)
提升点8
圆锥曲线中二级结论的应用
圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题
时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段.熟记各种定义、基本公式、
法则固然重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正
确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.
结论一 椭圆、双曲线的焦点三角形
［例1］ 如图，，是椭圆 与双曲线
的公共焦点，，分别是， 在第二、四象限的公
共点.若四边形为矩形，则 的离心率是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 设双曲线的方程为 ,则有
.又四边形为矩形，所以 的
面积为,即.所以 .
故双曲线的离心率 .
若为椭圆（双曲线）上异于长轴端点的一点，， 为两焦点，且
，则椭圆中（其中 为椭圆短半轴长）,
双曲线中（其中 为双曲线虚半轴长）.
［对点训练］ （2023·全国甲卷）设,为椭圆 的两个焦
点，点在上，若，则 ( )
B
A.1 B.2 C.4 D.5
解析：选B.方法一：因为，所以 ,则
，所以
.
方法二：因为，所以 ,所以
.
因为 ，
所以 ，所以
.
结论二 椭圆、双曲线的焦半径
［例2］ 已知双曲线的左、右焦点分别为 ，，过
的直线与的右支交于， 两点.若，，则双曲
线 的方程为_ ___________.
【解析】 如图，令，则,
所以 ,又
,
所以,所以,所以,
又 ,
所以,即 ,
即,又,所以,所以,,故双曲线 的
方程为 .
（1）若椭圆的左、右焦点分别为,, 为
椭圆上任意一点，则,,其中 为椭圆的离心
率.若双曲线的左、右焦点分别为,, 为双曲
线的离心率，为双曲线右支上任意一点，则 ,
;若 为双曲线左支上任意一点，则
, .
（2）直线过焦点与椭圆相交于，两点，则 ,同理，双
曲线中， .
［对点训练］ 已知椭圆的左、右焦点分别为， ，过右
焦点的直线交椭圆于，两点，且，则 __，
____.
解析：因为,, ,
所以 ,
所以 ，
所以，， ，
则
.
结论三 椭圆、双曲线的第三定义
［例3］ 已知双曲线的左、右顶点分别为，，
为右支上一点（不包含顶点）， ， , ,
则 ___.
0
【解析】 因为 ,
所以 ，
,
所以 .
已知点为椭圆 （双曲线
）上异于，的任一点，， 为长轴（实轴）
端点，则椭圆中,双曲线中 .
［对点训练］ 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点
在上且直线斜率的取值范围是，那么直线 斜率的取值范
围是( )
B
A.， B.， C.， D.，
解析： 选B.因为 ，
所以 .
又,所以, .
结论四 圆锥曲线的垂径定理
［例4］ 已知双曲线的中心为坐标原点，是的焦点，过 的直
线与相交于，两点，且的中点为，则 的方程为
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由题意可知, ,由双曲线的垂径
定理得，即,又,联立解得, ,故
的方程为 .
（1）若是椭圆 的不平行于对称轴的弦，
为弦的中点，则 .
（2）若是双曲线 的不平行于对称轴的弦，
为弦的中点，则 .
［对点训练］ 椭圆中以点 为中点的弦所在直线的方程
为( )
A
A. B.
C. D.
解析： 选A.设以点为中点的弦的两端点为, ,
则两式相减得 ,
因为为线段 的中点，
所以, ,
所以直线 的斜率
或直接利用结论
，
所以所求直线方程为 ,
即 .
结论五 抛物线的焦点弦
［例5］ 已知抛物线,过焦点的直线与抛物线交于， 两点，则
的最小值为( )
D
A.2 B. C.4 D.
【解析】 因为,所以 ,所以
,当且仅当 时，等号成立，因此
的最小值为 .
若倾斜角为的直线经过抛物线 的焦点，且
与抛物线相交于, 两点，则
（1）, ;
（2）焦半径, ;
（3）焦点弦长，且 ；
（4）（ 为坐标原点）.
［对点训练］ 已知抛物线,倾斜角为的直线过焦点 交抛物
线于，两点，为坐标原点，则 的面积为____.
64
解析：依题意知，抛物线,.又直线的倾斜角 ,所以
.
结论六 切线、切点弦方程
［例6］ 已知椭圆过点，且离心率为 .
点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为 ，
.
求证：直线过定点，并求出定点 的坐标.
【解】
连接（图略），由题意可得,,又因为 ,所以
,,则椭圆的方程为 .
设,,,过点且切点在处的椭圆 的切线方程为
.
同理，过点且切点在处的椭圆的切线方程为 .
因为点在直线，上，所以
所以直线的方程为 ,
则直线过定点 .
（1）已知点为焦点在轴上的椭圆（或焦点在 轴上的双曲线）
上任一点，则过点与圆锥曲线相切的切线方程在椭圆中是 ,
在双曲线中是 .
（2）若点是焦点在 轴上的椭圆
（或焦点在 轴上的双曲线）外一点，过点
作椭圆（或双曲线）的两条切线，
切点分别为，，如图所示，则切点弦 的直线方程在椭圆中是
,在双曲线中是 .
［对点训练］ 已知椭圆,直线,则椭圆 上的点
到直线 距离的最大值为( )
C
A. B. C. D.
解析： 选C.方法一：设为椭圆C上一点，易知当过点的直线 与直
线平行且与椭圆C相切时，点到直线的距离取得最值.设直线 的方程为
,与椭圆C的方程联立，得消去 整理得
,令，得 ,数形
结合知，当时，点到直线的距离最大，最大值为 .
方法二：设为椭圆C上一点，则过点 的椭圆C的切线方程为
，易知当切线与直线平行时，点到直线 的距离取得最值，
所以,又在椭圆C上，所以,即 ,
解得,则点的坐标为，或，.易知当点 的坐标
为，时，点到直线的距离最大，最大值为 .(共27张PPT)
真题解构与重构 解析几何
解析几何问题是高中数学重中之重的教学内容，是高考试题的重头戏，
在选择题、填空题与解答题中都经常出现，而且很多高考试卷用之作为压
轴题，认真剖析高考解析几何试题，领会试题的内涵，分解重组试题的表
现形式，对复习解析几何的有关知识，感悟解析几何的特性，提升“解析”
能力，具有积极的指导作用.下面对2024年新课标Ⅰ卷第16题解析几何问题
进行解构与重构.
［真题呈现］ （2024·新课标Ⅰ卷）已知和 为椭圆
上两点.
（1）求 的离心率;
［规范解答］解：由题知解得
所以,所以的离心率 .
注解①
［关键步骤］①利用两点,在上列出关于,的方程组，求解,
（2）若过的直线交于另一点，且的面积为9，求 的方程．
［规范解答］解： ,
设点到直线的距离为 ，
则的面积为，解得
注解②
［关键步骤］ ②选择已知的 边为底，是关键
易知直线：，设，则解
得或
所以或 ，
故的方程为或
注解③
［关键步骤］ ③欲求的方程，求点的坐标是关键，列出关于 点坐标的
方程是载体
［真题分析］ 试题考查直线方程和圆锥曲线（椭圆）的标准方程及直线
与曲线的位置关系，以三角形面积为载体考查解析几何的相关知识,考查数
学运算、逻辑推理等核心素养，考查数形结合思想、化归与转化思想和函
数与方程思想,属于基础与小综合的中难度试题.本题虽不难，但将解析几
何中重要的知识点巧妙重构生成十分优秀的数学考题，对解析几何的教学
复习具有十分重要的指导意义.
［源头与活水］
类别 教材题（选择性必修第一册 例1 与 ） 考题 关联特征
条 件 ① 椭圆已知焦点和过一点 椭圆已知上顶 点与过一点 “特点” 过
点 椭圆
② 已知三角形面积，求直线上点的坐 标 已知三角形面 积，求椭圆上 点的坐标 一致的载体,
一样的思想
方法
类别 教材题（选择性必修第一册 例1 与 ） 考题 关联特征
问 题 ① 利用定义求椭圆方程，也可用待定 系数法求椭圆方程 待定系数法求 椭圆方程 目标一致
② 求点的坐标 求直线方程 点的坐标与
直线方程相
对应
续表
［真题解构］
解构1 已知椭圆过两点,，直线 过右焦点
（在轴上方），椭圆上顶点为，离心率为 .
;; .
（1）从①②③中选两个作为条件，一个作为结论得到的命题为,判断
的真假性;
解：方法一：若选①②为条件，则有解得
故的方程为, .
设直线的方程为,代入 的方程得
.
设, ,
则, .
,
所以 .
由于,故当时，注：若记住 可快
速求解.因此此时 为真命题.
方法二：若选①③为条件，
则有解得
故的方程为 ,
且 ,
故,此时 为真命题.
（注：这里用了结论，当, 轴时，
）
方法三：若选②③为条件，
则解得
此时的方程为,的坐标为.此时 为真
命题.
（2）当（1）中的为真命题时，求 的面积.
解： 方法一： 由（1）知为真命题，此时直线的方程为,
所以 轴.
所以
.
方法二：求的面积同方法一(2).
方法三：求的面积同方法一(2).
解构2 反映的基本事实是：在曲线 中，
只要给出两个独立条件，便可求出 的方程，从而也有相应的几何性质与
问题设置.
解构3从考题已知的的面积为9，求出的点或 .有
下列四个信息：
①命题专家是先将点视为下顶点 算出
（为点到轴的距离，即点 的横
坐标）
体现多想少算，若面积不是9，则计算困难.
②过作交于 （图略），
根据对称性，可知,这样四边形 为平行四边形，
即有，这样就是求的另一个点，且与 关于原点
对称，显然, ,则易求两条直线方程.
③若你先发现当时，正好满足 ，考题真正体现了多想
少算，光速求解.
④考题反映了一个基本事实，若平行四边形内接于椭圆，则 与
的交点即为椭圆 的中心,请你能证明该结论.
［真题重构］
重构1 （多选）已知双曲线的离心率 ,
过点 ,则( )
ABD
A.的一条渐近线方程为
B. 的一个焦点到一条渐近线的距离为3
C.当,分别位于的两支上时，恒有
D.上任意一点到的距离与到直线的距离 的比为
定值
解析： 选.由
解得所以的方程为 .对于A，渐近线方程为
，即 ,A正确;对于B,根据对称性，不妨
取焦点,渐近线为,则 到渐近线的距离
,B正确;对于C，由题意知 ,由于
,所以不恒成立，C错误;对于D，设 ，
则 .
,
为定值，D正确.
重构2 已知椭圆的左、右顶点分别为, ,右焦点
为，, .
（1）求椭圆的方程和离心率 ;
解：如图，由题意得
解得所以 ，
所以椭圆的方程为，离心率为 .
（2）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点 ，
若的面积是的面积的2倍，求直线 的方程.
解：由题意得，直线的斜率存在且不为0，由椭圆方程 可得
点，设直线的方程为 ,
联立消去整理得 ,
由根与系数的关系得 ,
所以 ,
所以点，, .
所以 ,
,
,
因为 ,所以
,
即 ，
解得,所以直线的方程为 .
重构3 已知椭圆的左、右焦点分别为， ，
，是上的点，若的周长为12, .
（1）求 的方程；
解：由题意得
解得,, .
所以的方程为 .
（2）过点的直线与交于，两点，求 面积的最大值，及
此时 的方程.
解：由题意知，直线 的斜率不为0，
设的方程为,代入 得
，
.
设, ,
则, .
由题知点即是点 .
所以
.
令 ,
则 .
令 ,
由于,故在上是增函数，所以 .
因此，当，即时， 的面积取得最大值，最大值为12，
此时直线的方程为 .
