2026版《决胜蓝图》1 第一部分 自学篇-讲义（教师版）数学高考大二轮专题复习
文档属性
| 名称 | 2026版《决胜蓝图》1 第一部分 自学篇-讲义（教师版）数学高考大二轮专题复习 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 483.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-19 00:00:00 | ||
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文档简介
第一部分 自学篇
思想方法
一 函数与方程思想——巧妙转化，相辅相成
函数思想 方程思想
函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系
应用1 借助函数解决问题
在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.
［例1］ [2024·天津卷]在边长为1的正方形中，为线段的三等分点，,，则________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为__________．
【答案】；
【解析】方法一：因为，即，
则，
可得，，所以.
由题意可知,，，
因为 为线段 上的动点，
设，，
则
，
又因为 为 中点，则，
可得
，
又因为，所以当 时，取到最小值，最小值为.
方法二：以 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，，，
可得，，，
因为，
则 所以.
因为点 在线段，，上，
设，，
且 为 中点，则，
可得，，
则
，
且，所以当 时，取到最小值，最小值为.
解答此类问题需通过建系或引入变量建立目标函数，运用一次函数、二次函数、不等式、导数等求出最值.
［对点训练］．甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，，则甲以获胜概率的最大值为____________.
【答案】
【解析】甲以 获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，若所求概率用 表示，所以，，则.令，得；令，得.所以 在，上单调递增，在，上单调递减，所以当 时，取得最大值，.
应用2 转换函数解决问题
在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难解题时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.
［例2］ [2024·新课标Ⅱ卷]设函数，.当时，曲线与恰有一个交点.则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】方法一：令，即，可得，
令，，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到，均为偶函数，可知该交点只能在 轴上，可得，
即，解得.
若，令，可得，因为，则，，当且仅当 时，等号成立，可得，当且仅当 时，等号成立，则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，所以 符合题意.
综上所述,.
方法二：令，，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为，则 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，即,解得.
若，则，，
又因为，,当且仅当 时，等号成立，
可得，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意．
方法三：由曲线 与 恰有一个交点知，有且仅有一个根，即,令,,知 是偶函数，故.
挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.
［对点训练］．[2024·昆明模拟改编]已知函数，,当时，，则的取值范围为________________.
【答案】
【解析】因为当 时，,
等价于，令，，则 恒成立.
,
当 时，由，
得，，时，
，单调递减，所以当，时，，不符合题意；
当 时，，因为，
所以，则，在 上单调递增，所以，符合题意.
综上所述，的取值范围为.
应用3 构造函数解决问题
在数学各分支的形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是利用函数思想解题的更高层次的体现.
［例3］ 已知,分别满足,，则______.
【答案】2
【解析】由于,于是，从而,又由于,于是,从而,.则,构造函数,,根据其导函数 得到函数 在 上单调递增，从而 转化为,因此.
构造函数的策略
（1）直接构造：如果关系式的左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数.
（2）变形构造：如果关系式的左右形式稍有差异，可适当变形后得到已知中出现的“两个变量”，然后利用结构相同，构造出一个函数，最后利用函数的性质解题.
［对点训练］．
1．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
2．已知，则“”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】1．A
2．C
【解析】
1．选A.因为指数函数，为 上的减函数，所以，.因为幂函数 为 上的增函数，所以，所以.因为对数函数 为 上的减函数，所以，即，所以.
2．选C.构造函数，则 在定义域 上恒成立，所以函数 为增函数，又因为，所以 ，所以，即，即 ，所以 ，即“”能推出“ ”，充分性成立；由 ，可得 ，即，所以，所以 ，即，所以“ ”能推出“”，必要性成立.所以“”是“ ”的充要条件.
应用4 借助方程（组）形式解决问题
把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸显其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理（如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件）使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方法.
［例4］ [2024· 新课标Ⅰ卷]已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知条件及三角函数公式，
得
所以，，
故
利用条件建立待求量的方程（组），通过解方程（组）求出有关量，进而达到解题的目的.
［对点训练］．
1．[2024·全国甲卷]已知且，则__．
2．设非零向量，，满足，，， ，则的最大值为________.
【答案】1．64
2．
【解析】
1．由题意可知，，整理得，解得 或，又，所以，故.
2．因为，所以，两边平方，得，即，所以，解得，即 的最大值为.
二 数形结合思想——直观快捷,别有洞天
以形助数（数题形解） 以数辅形（形题数解）
借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的来解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的来解决数学问题的数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合
应用1 借用函数图象解决问题
［例1］ [2024·全国甲卷]曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】令，
即,
令，
则，
令 得，
当 时，，单调递减，
当 时，，单调递增，，.
因为曲线 与 在 上有两个不同的交点，
所以等价于直线 与曲线 在 上有两个交点，所以.
研究函数的零点及方程的根、不等式的求解及参数范围等问题，常转化为函数图象的交点问题，其思维流程为：
［对点训练］．
1．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，单调递增，,若，则实数的取值范围为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
2．已知正实数，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】1．A
2．B
【解析】
1．选A.因为函数 是定义域为 的奇函数，所以,,又函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，由此可作出函数 的大致图象，如图，则不等式 可转化为 或,解得 或.
2．选B.由题意，在同一平面直角坐标系内，分别作出函数，,的图象，结合图象可得，.
应用2 巧借几何性质解决问题
［例2］ [2024· 九省联考]已知平面向量,满足，,的夹角为,若,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，作出如图的示意图：
其中，，的长度均为1，
,,
且点C在以B为圆心，1为半径的圆上运动，
所以,
.
（1）对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.
（2）应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：
①比值——可考虑直线的斜率；
②二元一次式——可考虑直线的截距；
③分母为根式的分式——可考虑点到直线的距离；
④根式——可考虑两点间的距离.
［对点训练］．
1．[2024·北京三模]已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是的右支上异于顶点的任意一点，过点作的平分线的垂线，垂足是，，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】1．B
2．C
【解析】
1．选B.说明点 在以 为直径的圆 上，而 又在圆C上，因此两圆有公共点，所以，即，又，解得.
2．选C.设半焦距为，如图，延长 交 于点，因为 是 的平分线，，所以 是等腰三角形，所以，且 是 的中点.根据双曲线的定义可知，所以.由于 是 的中点，所以 是 的中位线，所以，又双曲线的离心率为，故，所以，所以.
三 分类讨论思想——深究细查,各个击破
分类讨论的原则 分类讨论的常见类型
1.不重不漏 2.标准要统一，层次要分明 3.能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论 1.由数学概念而引起的分类讨论 2.由数学运算要求而引起的分类讨论 3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 4.由图形的不确定性而引起的分类讨论 5.由参数的变化而引起的分类讨论
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别进行研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略
应用1 由概念、运算、性质引起的分类讨论
［例1］
（1） [2024·上海春季卷]已知函数，若满足，则的取值范围为____________.
（2） 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，则数列的前项和____________________________________________________________________.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1） 由已知得 当 时，，解得，因此；当 时，，不等式恒成立，因此.综上，的取值范围为.
（2） 由数列 是等和数列，且，公和为5，所以，解得.当 时，数列 的前 项和.当 时，数列 的前 项和,又,也满足上式.所以
解决由概念、运算、性质引起的分类讨论问题的步骤
第一步:确定需分类的目标与对象.一般把需要用到公式、定理来解决问题的对象作为分类的目标.
第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区分.
第三步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理.
第四步:汇总“分目标”.对“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理.
［对点训练］．
1．[2024·南宁适应性测试]已知集合，，，，且，则的取值集合为（ ）
A. B. ， C. ， D. ，0，
2．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值为______.
【答案】1．D
2．2
【解析】
1．选D.当 时， ，满足；当 时，，又，所以 或，所以 或.故满足题意的 所有取值组成的集合是，0，.
2．因为函数 是幂函数，则，解得 或，当 时，函数，其定义域为 关于原点对称，，则 是偶函数，满足题意；当 时，函数 是奇函数，不满足题意.综上，实数 的值为2.
应用2 由参数变化引起的分类讨论
［例2］ [2024·全国甲卷节选]已知函数，求的单调区间.
解：由题意得，的定义域为，,当 时，，故 在 上单调递减；当 时，令 得,故当 时，，单调递增，当 时，，单调递减.
综上所述，当 时，的单调递减区间为；
当 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
由参数取值引起的分类讨论问题的解题策略
（1）含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.
（2）若参数有明确的几何意义时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，有时需要适当地运用数形结合思想，做到分类标准明确、不重不漏.
［对点训练］．设函数若，则______.
【答案】6
【解析】当 时，，，
,
因为,所以，
解得 或（舍去）.
所以.
当 时，，所以,
，
所以，无解.
综上，.
应用3 由图形位置引起的分类讨论
［例3］ （多选）已知是圆上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】ABC
【解析】设 的中点为B，过B作 的垂线交直线 于，连接，当点A在圆外时，如图1，图2所示，则，则，又，则此时 的轨迹为以，A为焦点的双曲线；
图1 图2
当点A在圆内（非原点）时，如图3所示，此时，又，则此时 的轨迹为以，A为焦点的椭圆；
图3
当点A在坐标原点时，如图4所示，此时B，重合，，则此时 的轨迹为以 为圆心，半径为1的圆；
图4
当点A在圆上时，如图5所示，由垂径定理，可知 与 重合，则此时 的轨迹为点.
图5
（1）涉及图形位置不同、大小差异不确定时，要进行分类讨论；
（2）破解此类问题的关键：
①确定特征：一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定；
②分类：根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类；
③得结论：将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理.
［对点训练］．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为 和 ,则两平行截面间的距离是（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或7 D. 2或6
【答案】C
【解析】选C.画出球的轴截面图,是球的一个大圆,两平行直线是球的两个平行截面的直径,设两个平行截面的圆心分别为 和，由题意可得，两个平行截面的半径分别为3和4，则,.如图1，当两个平行截面在球心的两侧时,两平行截面间的距离是;
图1
如图2,当两个平行截面在球心的同侧时,两平行截面间的距离是.
图2
四 转化与化归思想——化繁为简，峰回路转
转化与化归的原则 常见的转化与化归的方法
1.熟悉化原则 2.简单化原则 3.直观化原则 4.正难则反原则 1.直接转化法2.换元法3.数形结合法4.构造法5.坐标法6.类比法7.特殊化法8.等价问题法9.加强命题法10.补集法
转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种措施将问题转化，进而使问题得到解决的一种数学思想
应用1 正与反的相互转化
［例1］ 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为____________________.
【答案】，
【解析】方法一：由题意得，.
①若函数 在区间 上单调递增，
则 在 上恒成立，
即当 时，恒成立，
则，所以；
②若函数 在区间 上单调递减，
则 在 上恒成立，
即当 时，恒成立，
则，所以.
综上，若函数 在区间 上单调，
则实数 的取值范围为 或.
所以若函数 在区间 上不单调，
则实数 的取值范围为，.
方法二：由 得.
由于函数 在区间 上不单调，
故,使,
即,，
故实数 的取值范围为,.
（1）本题是正与反的转化，可先求出其反面情况，遵循“正难则反”的原则.
（2）题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对较少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.
［对点训练］
1．若“，”为假命题，则实数的取值范围为____________________.
【答案】,
【解析】由条件可知“,”为真命题，则，解得.
2．已知甲、乙两人三分球投篮的命中率分别为0.4和，则他们各投两个三分球，至少有一人两球都投中的概率为____.
【答案】0.37
【解析】设“甲两个三分球都投中”为事件，“乙两个三分球都投中”为事件，“至少有一人两球都投中”为事件，则，，，，，由题可知，事件 与事件 互相独立，所以,所以至少有一人两球都投中的概率为0.37.
应用2 常量与变量的相互转化
［例2］ 已知函数，，其中是的导函数.对任意，都有，则实数的取值范围为______________________.
【答案】,
【解析】由题意知,令，.
由题意得 即
解得.
故实数 的取值范围为,.
（1）本题是把关于的函数转化为区间内关于的一次函数的问题.
（2）在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（参数），将其看成“主元”，而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的.
［对点训练］．对于满足的所有实数，使不等式恒成立的实数的取值范围是________________________.
【答案】
【解析】由题意设,,则当 时，，所以.
在 上恒成立，等价于 即
解得 或.故实数 的取值范围为.
应用3 特殊与一般的相互转化
［例3］
（1） 过抛物线的焦点，作一直线交抛物线于,两点.若线段与的长度分别为,，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函数满足对，，有，且，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】（1） C
（2） D
【解析】
（1） 抛物线 的标准方程为，焦点为，.取特殊情况，过焦点 作直线垂直于 轴（图略），直线与抛物线交于，两点，则，所以.
（2） 方法一：令，得，令，得，令，，得，令，，得，解得.方法二：取，满足 及，所以.
（1）一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.
（2）对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.
［对点训练］
1．已知一个等差数列的前项和为48，前项和为60，则它的前项和为（ ）
A. B. 84 C. 72 D. 36
【答案】D
【解析】选D.方法一（直接法） 因为数列是等差数列，所以，，也是等差数列，所以，即，解得.
方法二（特值法） 选项中不含，故本题答案与 的取值无关，可对 取特殊值，如，此时，，,所以前 项和为36.
2．设四边形为平行四边形，，.若点，满足，，则（ ）
A. 20 B. 15 C. 9 D. 6
【答案】C
【解析】选C.方法一（特例法） 若四边形 为矩形，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图1.
由，，
知，，
所以，，
则.
方法二：如图2所示，由题设知，
，
，
所以
.
应用4 函数、方程、不等式之间的相互转化
［例4］ 若不等式（为参数）在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A. , B. ,
C. , D.
【答案】C
【解析】若 因为关于 的不等式 在 上有解，所以
（为参数）在 上有解.
设,,易得 在区间 上单调递减，
所以 有最小值，为,
所以实数 的取值范围是,.
借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值（值域）问题，从而求出含参变量的范围.
［对点训练］．已知,,,则的最小值为______.
【答案】6
【解析】方法一：由已知得，
即，
当且仅当，即，时取等号，
令，则 且，
解得，即.
故 的最小值为6.
方法二：因为，
当且仅当，即，时取等号.
所以，
所以，
又，,所以，
所以，所以，
即 的最小值为6.
基础知识
知识点一 集 合
1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知集合,,,0,2,，则（ ）
A. , B. C. ,, D. ,0,
【答案】A
【解析】选A.因为，，，0，2，，且注意到，从而，.
2．[2024·开封质量检测]已知集合，，，，则下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. ， D.
【答案】B
【解析】选B.因为 的最小正周期，且，当 时，，当 时，，当 时，，当 时，，所以，0，，又，，所以，，，，，故A，C，D不正确，B正确.
3．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. ,0,1, D. ,0,1,2,
【答案】A
【解析】选A.易知.则，题图中阴影部分为.
4．已知集合,,,,则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】选C.由题意，中的元素满足 且,,由,得,所以满足 的有，，，，故 中元素的个数为4.
5．[2024·合肥质量检测]已知集合，，若 ，则实数的取值范围为________________________.
【答案】
【解析】由题意得，，因为 ，所以 或，解得 或，则实数 的取值范围为.
集合的基本运算的解题技巧
（1）以“形”定“法”：看集合的表示方法，用列举法表示的集合，宜用图求解；用描述法表示的数集，常借助数轴分析得结果.
（2）先“简”后“算”：运算前先对集合进行化简，分清是数集还是点集，是函数定义域还是值域，是方程的解还是不等式的解集等.
警示 遇到 时，需注意到“极端”情况： 或 ；同样在应用条件时，不要忽略 的情况.
知识点二 常用逻辑用语
1．[2024·新课标Ⅱ卷]已知命题，；命题，.则（ ）
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
【答案】B
【解析】选B.对于 而言，取，则有，故 是假命题，是真命题，对于 而言，取，则有，故 是真命题，是假命题，综上，和 都是真命题.
2．[2024·青岛三模]已知命题,,，则（ ）
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
【答案】D
【解析】选D.命题,,为全称量词命题，则,,.
3．[2024·长沙模拟]若古典概型的样本空间，2，3，，事件，，甲：事件 ，乙：事件，相互独立，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选A.若 ，，，则，而，，所以，所以事件A，B相互独立，
反过来，若事件A，B相互独立，则满足，当，时，，此时，，所以不一定 ，所以甲是乙的充分不必要条件.
4．[2024·大连模拟]“函数是奇函数”的充要条件是实数______.
【答案】0
【解析】若 为奇函数，则，所以，即，所以，若,则 是奇函数，所以函数 是奇函数的充要条件是.
判断充分、必要条件的三种方法
（1）定义法：根据命题 命题，命题 命题进行判断，适用于定义、定理判断性问题
（2）集合法：根据命题，成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
（3）数形结合法：充要条件的判定问题中，若给出的条件与结论之间有明显的几何意义，且可以作出满足条件的几何图形，则可作出其几何图形后利用数形结合的思想求解.
警示 要弄清先后顺序：“的充分不必要条件是”是指能推出，且不能推出；而“是的充分不必要条件”则是指能推出，且不能推出.
知识点三 不等式的性质及解法
1．设,则关于的不等式的解集是（ ）
A. , B.
C. , D. ,
【答案】D
【解析】选D.因为,所以,,原不等式可化为,解集为 ,.
2．已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选C.根据题意，不妨取,，对于A，此时,,不满足,故A错误；对于B，易得,,此时,故B错误；对于D，无意义，故D错误；对于C，由指数函数的单调性可得，当 时，,故C正确.
3．已知不等式的解集为，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】由题设知，3是方程 的两根，所以 且，可得,.
所以 在 上恒成立，设 且 在 上单调递增，故只需 即可，所以.
明确解不等式的策略
（1）一元二次不等式：先化为一般形式（或）（）.再结合相应一元二次方程的根及二次函数的图象确定一元二次不等式的解集.
（2）含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解.
警示 解形如的一元二次不等式时，易忽视对系数的讨论导致漏解或错解，要注意分,进行讨论.
知识点四 基本不等式
1．若,则有（ ）
A. 最大值0 B. 最小值9 C. 最大值 D. 最小值
【答案】C
【解析】选C.因为,所以.
,当且仅当，即 时取等号.故 有最大值.
2．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选B.当 时，不等式 恒成立，；当 时，由题意可得 恒成立，又，当且仅当,即 时取等号，所以，解得.所以实数 的取值范围是.
3．[2024·贵阳适应性考试]（多选）已知,,且,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】选.对于A，,当且仅当 时，取等号,A正确；对于B，,当且仅当 时，取等号，B正确；对于C，,当且仅当 时，取等号，C正确；对于D，，当且仅当 时，取等号，D错误.
4．已知,,,则的最小值为______.
【答案】3
【解析】由于,,,则两边同除以 可得,两边再同乘,得，当且仅当,即,时等号成立.因此,当且仅当,时取等号，故 的最小值为3.
基本不等式求最值的3种解题技巧
（1）凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值.
（2）凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值.
（3）换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为，恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.
警示 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.
知识点五 复数
1．[2024· 新课标Ⅰ卷]若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选C.因为，所以.
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选A.由 得，故复数 的虚部为.
3．[2024·湖北联考]已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】选B.设，则，所以，即，解得，所以 的虚部为，所以 的虚部为1.
4．[2024· 湘豫名校联考]已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】选C.因为，
所以，
所以，
所以，
所以 在复平面内对应的点的坐标为，，位于第三象限.
5．[2024·郑州质量预测]（多选）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 向量对应的复数是1 D.
【答案】AD
【解析】选.因为，则其对应的点为，,,
则复数 对应的点为，.
对于A，，，所以选项A正确；
对于B，，所以选项B错误；
对于C，向量，则向量 对应的复数为，所以选项C错误；
对于D，，，所以，所以选项D正确.
复数的概念及运算问题的解题技巧
（1）与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为且，利用复数相等求解.
（2）与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设，利用待定系数法求解.
警示 在复平面内，复数对应的点为，不是，当且仅当为坐标原点时，向量与点对应的复数相同.
知识点六 平面向量的线性运算
1．在正六边形中，用和表示,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选B.如图，记正六边形的中心为，连接，交 于，则 在 上，为 的中点，且 为 的中点，
所以，
.
2．已知向量,.若与共线，则________；若,且，，三点共线，则实数的值为________.
【答案】；
【解析】因为向量,,所以,不共线.由题意知,.
若 与 共线，则,解得.
因为,,且，，三点共线，所以，即,解得.
3．在中，点为线段上任一点（不含端点），若,则的最小值为（ ）
A. 1 B. 4 C. 9 D. 16
【答案】D
【解析】选D.由题意知A，C，三点共线，则,且,,故,当且仅当,即时，等号成立，故的最小值为16.
运算遵法则，基底定分解
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出三个向量之间的关系．
（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
警示 同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一个基底下的分解都是唯一的．
知识点七 平面向量的数量积
1．[2024· 新课标Ⅰ卷]已知向量,，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】解析：选D.因为，所以，所以，即，故.
2．[2024·黄山质量检测]已知向量,,满足,,,则向量,的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选B.根据题意，由 可得.
又,,可得,
设向量,的夹角为 ,,
所以,
可得,即.
3．[2024·湖北七市联考]已知正方形的边长为2，若，则（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】选B.方法一（基向量法） 由题意可知点 为 的中点，所以.
方法二（坐标法） 如图，以B为原点建立平面直角坐标系，则，，，，所以，，所以.
4．[2024·广州综合测试]（多选）已知向量,不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A.
B.
C. 向量与在上的投影向量相等
D.
【答案】BC
【解析】选.在 中，令,,由题意可知，为菱形，所以，即,,.对于A,因为,,所以只有当,时，才有，故A错误；对于B，由菱形的性质知，即,故B正确；对于C,因为,所以,即，因为 在 上的投影向量为,在 上的投影向量为,所以向量 与 在 上的投影向量相等，故C正确；对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误.
5．[2024· 江南十校联考]如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为1的圆上运动，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选A.如图，以 为原点，建立平面直角坐标系.
由题意，梯形 的高为 ，则，，.
因为以 为圆心的半径为1的圆的方程为,可设点.
则,其中，,故当 时，.
平面向量数量积问题的解题方法
（1）借“底”数字化：要先选取一个合适的基底（一般用已知的向量表示未知的向量），建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知向量的方程进行求解．
（2）借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得以解决．
警示 求两向量夹角的注意点
两向量夹角的范围是，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或 的情况．
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思想方法
一 函数与方程思想——巧妙转化，相辅相成
函数思想 方程思想
函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系
应用1 借助函数解决问题
在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.
［例1］ [2024·天津卷]在边长为1的正方形中，为线段的三等分点，,，则________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为__________．
【答案】；
【解析】方法一：因为，即，
则，
可得，，所以.
由题意可知,，，
因为 为线段 上的动点，
设，，
则
，
又因为 为 中点，则，
可得
，
又因为，所以当 时，取到最小值，最小值为.
方法二：以 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，，，
可得，，，
因为，
则 所以.
因为点 在线段，，上，
设，，
且 为 中点，则，
可得，，
则
，
且，所以当 时，取到最小值，最小值为.
解答此类问题需通过建系或引入变量建立目标函数，运用一次函数、二次函数、不等式、导数等求出最值.
［对点训练］．甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，，则甲以获胜概率的最大值为____________.
【答案】
【解析】甲以 获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，若所求概率用 表示，所以，，则.令，得；令，得.所以 在，上单调递增，在，上单调递减，所以当 时，取得最大值，.
应用2 转换函数解决问题
在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难解题时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.
［例2］ [2024·新课标Ⅱ卷]设函数，.当时，曲线与恰有一个交点.则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】方法一：令，即，可得，
令，，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到，均为偶函数，可知该交点只能在 轴上，可得，
即，解得.
若，令，可得，因为，则，，当且仅当 时，等号成立，可得，当且仅当 时，等号成立，则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，所以 符合题意.
综上所述,.
方法二：令，，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为，则 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，即,解得.
若，则，，
又因为，,当且仅当 时，等号成立，
可得，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意．
方法三：由曲线 与 恰有一个交点知，有且仅有一个根，即,令,,知 是偶函数，故.
挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.
［对点训练］．[2024·昆明模拟改编]已知函数，,当时，，则的取值范围为________________.
【答案】
【解析】因为当 时，,
等价于，令，，则 恒成立.
,
当 时，由，
得，，时，
，单调递减，所以当，时，，不符合题意；
当 时，，因为，
所以，则，在 上单调递增，所以，符合题意.
综上所述，的取值范围为.
应用3 构造函数解决问题
在数学各分支的形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是利用函数思想解题的更高层次的体现.
［例3］ 已知,分别满足,，则______.
【答案】2
【解析】由于,于是，从而,又由于,于是,从而,.则,构造函数,,根据其导函数 得到函数 在 上单调递增，从而 转化为,因此.
构造函数的策略
（1）直接构造：如果关系式的左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数.
（2）变形构造：如果关系式的左右形式稍有差异，可适当变形后得到已知中出现的“两个变量”，然后利用结构相同，构造出一个函数，最后利用函数的性质解题.
［对点训练］．
1．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
2．已知，则“”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】1．A
2．C
【解析】
1．选A.因为指数函数，为 上的减函数，所以，.因为幂函数 为 上的增函数，所以，所以.因为对数函数 为 上的减函数，所以，即，所以.
2．选C.构造函数，则 在定义域 上恒成立，所以函数 为增函数，又因为，所以 ，所以，即，即 ，所以 ，即“”能推出“ ”，充分性成立；由 ，可得 ，即，所以，所以 ，即，所以“ ”能推出“”，必要性成立.所以“”是“ ”的充要条件.
应用4 借助方程（组）形式解决问题
把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸显其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理（如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件）使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方法.
［例4］ [2024· 新课标Ⅰ卷]已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知条件及三角函数公式，
得
所以，，
故
利用条件建立待求量的方程（组），通过解方程（组）求出有关量，进而达到解题的目的.
［对点训练］．
1．[2024·全国甲卷]已知且，则__．
2．设非零向量，，满足，，， ，则的最大值为________.
【答案】1．64
2．
【解析】
1．由题意可知，，整理得，解得 或，又，所以，故.
2．因为，所以，两边平方，得，即，所以，解得，即 的最大值为.
二 数形结合思想——直观快捷,别有洞天
以形助数（数题形解） 以数辅形（形题数解）
借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的来解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的来解决数学问题的数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合
应用1 借用函数图象解决问题
［例1］ [2024·全国甲卷]曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】令，
即,
令，
则，
令 得，
当 时，，单调递减，
当 时，，单调递增，，.
因为曲线 与 在 上有两个不同的交点，
所以等价于直线 与曲线 在 上有两个交点，所以.
研究函数的零点及方程的根、不等式的求解及参数范围等问题，常转化为函数图象的交点问题，其思维流程为：
［对点训练］．
1．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，单调递增，,若，则实数的取值范围为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
2．已知正实数，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】1．A
2．B
【解析】
1．选A.因为函数 是定义域为 的奇函数，所以,,又函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，由此可作出函数 的大致图象，如图，则不等式 可转化为 或,解得 或.
2．选B.由题意，在同一平面直角坐标系内，分别作出函数，,的图象，结合图象可得，.
应用2 巧借几何性质解决问题
［例2］ [2024· 九省联考]已知平面向量,满足，,的夹角为,若,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，作出如图的示意图：
其中，，的长度均为1，
,,
且点C在以B为圆心，1为半径的圆上运动，
所以,
.
（1）对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.
（2）应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：
①比值——可考虑直线的斜率；
②二元一次式——可考虑直线的截距；
③分母为根式的分式——可考虑点到直线的距离；
④根式——可考虑两点间的距离.
［对点训练］．
1．[2024·北京三模]已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是的右支上异于顶点的任意一点，过点作的平分线的垂线，垂足是，，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】1．B
2．C
【解析】
1．选B.说明点 在以 为直径的圆 上，而 又在圆C上，因此两圆有公共点，所以，即，又，解得.
2．选C.设半焦距为，如图，延长 交 于点，因为 是 的平分线，，所以 是等腰三角形，所以，且 是 的中点.根据双曲线的定义可知，所以.由于 是 的中点，所以 是 的中位线，所以，又双曲线的离心率为，故，所以，所以.
三 分类讨论思想——深究细查,各个击破
分类讨论的原则 分类讨论的常见类型
1.不重不漏 2.标准要统一，层次要分明 3.能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论 1.由数学概念而引起的分类讨论 2.由数学运算要求而引起的分类讨论 3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 4.由图形的不确定性而引起的分类讨论 5.由参数的变化而引起的分类讨论
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别进行研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略
应用1 由概念、运算、性质引起的分类讨论
［例1］
（1） [2024·上海春季卷]已知函数，若满足，则的取值范围为____________.
（2） 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，则数列的前项和____________________________________________________________________.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1） 由已知得 当 时，，解得，因此；当 时，，不等式恒成立，因此.综上，的取值范围为.
（2） 由数列 是等和数列，且，公和为5，所以，解得.当 时，数列 的前 项和.当 时，数列 的前 项和,又,也满足上式.所以
解决由概念、运算、性质引起的分类讨论问题的步骤
第一步:确定需分类的目标与对象.一般把需要用到公式、定理来解决问题的对象作为分类的目标.
第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区分.
第三步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理.
第四步:汇总“分目标”.对“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理.
［对点训练］．
1．[2024·南宁适应性测试]已知集合，，，，且，则的取值集合为（ ）
A. B. ， C. ， D. ，0，
2．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值为______.
【答案】1．D
2．2
【解析】
1．选D.当 时， ，满足；当 时，，又，所以 或，所以 或.故满足题意的 所有取值组成的集合是，0，.
2．因为函数 是幂函数，则，解得 或，当 时，函数，其定义域为 关于原点对称，，则 是偶函数，满足题意；当 时，函数 是奇函数，不满足题意.综上，实数 的值为2.
应用2 由参数变化引起的分类讨论
［例2］ [2024·全国甲卷节选]已知函数，求的单调区间.
解：由题意得，的定义域为，,当 时，，故 在 上单调递减；当 时，令 得,故当 时，，单调递增，当 时，，单调递减.
综上所述，当 时，的单调递减区间为；
当 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
由参数取值引起的分类讨论问题的解题策略
（1）含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.
（2）若参数有明确的几何意义时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，有时需要适当地运用数形结合思想，做到分类标准明确、不重不漏.
［对点训练］．设函数若，则______.
【答案】6
【解析】当 时，，，
,
因为,所以，
解得 或（舍去）.
所以.
当 时，，所以,
，
所以，无解.
综上，.
应用3 由图形位置引起的分类讨论
［例3］ （多选）已知是圆上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】ABC
【解析】设 的中点为B，过B作 的垂线交直线 于，连接，当点A在圆外时，如图1，图2所示，则，则，又，则此时 的轨迹为以，A为焦点的双曲线；
图1 图2
当点A在圆内（非原点）时，如图3所示，此时，又，则此时 的轨迹为以，A为焦点的椭圆；
图3
当点A在坐标原点时，如图4所示，此时B，重合，，则此时 的轨迹为以 为圆心，半径为1的圆；
图4
当点A在圆上时，如图5所示，由垂径定理，可知 与 重合，则此时 的轨迹为点.
图5
（1）涉及图形位置不同、大小差异不确定时，要进行分类讨论；
（2）破解此类问题的关键：
①确定特征：一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定；
②分类：根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类；
③得结论：将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理.
［对点训练］．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为 和 ,则两平行截面间的距离是（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或7 D. 2或6
【答案】C
【解析】选C.画出球的轴截面图,是球的一个大圆,两平行直线是球的两个平行截面的直径,设两个平行截面的圆心分别为 和，由题意可得，两个平行截面的半径分别为3和4，则,.如图1，当两个平行截面在球心的两侧时,两平行截面间的距离是;
图1
如图2,当两个平行截面在球心的同侧时,两平行截面间的距离是.
图2
四 转化与化归思想——化繁为简，峰回路转
转化与化归的原则 常见的转化与化归的方法
1.熟悉化原则 2.简单化原则 3.直观化原则 4.正难则反原则 1.直接转化法2.换元法3.数形结合法4.构造法5.坐标法6.类比法7.特殊化法8.等价问题法9.加强命题法10.补集法
转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种措施将问题转化，进而使问题得到解决的一种数学思想
应用1 正与反的相互转化
［例1］ 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为____________________.
【答案】，
【解析】方法一：由题意得，.
①若函数 在区间 上单调递增，
则 在 上恒成立，
即当 时，恒成立，
则，所以；
②若函数 在区间 上单调递减，
则 在 上恒成立，
即当 时，恒成立，
则，所以.
综上，若函数 在区间 上单调，
则实数 的取值范围为 或.
所以若函数 在区间 上不单调，
则实数 的取值范围为，.
方法二：由 得.
由于函数 在区间 上不单调，
故,使,
即,，
故实数 的取值范围为,.
（1）本题是正与反的转化，可先求出其反面情况，遵循“正难则反”的原则.
（2）题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对较少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.
［对点训练］
1．若“，”为假命题，则实数的取值范围为____________________.
【答案】,
【解析】由条件可知“,”为真命题，则，解得.
2．已知甲、乙两人三分球投篮的命中率分别为0.4和，则他们各投两个三分球，至少有一人两球都投中的概率为____.
【答案】0.37
【解析】设“甲两个三分球都投中”为事件，“乙两个三分球都投中”为事件，“至少有一人两球都投中”为事件，则，，，，，由题可知，事件 与事件 互相独立，所以,所以至少有一人两球都投中的概率为0.37.
应用2 常量与变量的相互转化
［例2］ 已知函数，，其中是的导函数.对任意，都有，则实数的取值范围为______________________.
【答案】,
【解析】由题意知,令，.
由题意得 即
解得.
故实数 的取值范围为,.
（1）本题是把关于的函数转化为区间内关于的一次函数的问题.
（2）在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（参数），将其看成“主元”，而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的.
［对点训练］．对于满足的所有实数，使不等式恒成立的实数的取值范围是________________________.
【答案】
【解析】由题意设,,则当 时，，所以.
在 上恒成立，等价于 即
解得 或.故实数 的取值范围为.
应用3 特殊与一般的相互转化
［例3］
（1） 过抛物线的焦点，作一直线交抛物线于,两点.若线段与的长度分别为,，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函数满足对，，有，且，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】（1） C
（2） D
【解析】
（1） 抛物线 的标准方程为，焦点为，.取特殊情况，过焦点 作直线垂直于 轴（图略），直线与抛物线交于，两点，则，所以.
（2） 方法一：令，得，令，得，令，，得，令，，得，解得.方法二：取，满足 及，所以.
（1）一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.
（2）对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.
［对点训练］
1．已知一个等差数列的前项和为48，前项和为60，则它的前项和为（ ）
A. B. 84 C. 72 D. 36
【答案】D
【解析】选D.方法一（直接法） 因为数列是等差数列，所以，，也是等差数列，所以，即，解得.
方法二（特值法） 选项中不含，故本题答案与 的取值无关，可对 取特殊值，如，此时，，,所以前 项和为36.
2．设四边形为平行四边形，，.若点，满足，，则（ ）
A. 20 B. 15 C. 9 D. 6
【答案】C
【解析】选C.方法一（特例法） 若四边形 为矩形，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图1.
由，，
知，，
所以，，
则.
方法二：如图2所示，由题设知，
，
，
所以
.
应用4 函数、方程、不等式之间的相互转化
［例4］ 若不等式（为参数）在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A. , B. ,
C. , D.
【答案】C
【解析】若 因为关于 的不等式 在 上有解，所以
（为参数）在 上有解.
设,,易得 在区间 上单调递减，
所以 有最小值，为,
所以实数 的取值范围是,.
借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值（值域）问题，从而求出含参变量的范围.
［对点训练］．已知,,,则的最小值为______.
【答案】6
【解析】方法一：由已知得，
即，
当且仅当，即，时取等号，
令，则 且，
解得，即.
故 的最小值为6.
方法二：因为，
当且仅当，即，时取等号.
所以，
所以，
又，,所以，
所以，所以，
即 的最小值为6.
基础知识
知识点一 集 合
1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知集合,,,0,2,，则（ ）
A. , B. C. ,, D. ,0,
【答案】A
【解析】选A.因为，，，0，2，，且注意到，从而，.
2．[2024·开封质量检测]已知集合，，，，则下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. ， D.
【答案】B
【解析】选B.因为 的最小正周期，且，当 时，，当 时，，当 时，，当 时，，所以，0，，又，，所以，，，，，故A，C，D不正确，B正确.
3．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. ,0,1, D. ,0,1,2,
【答案】A
【解析】选A.易知.则，题图中阴影部分为.
4．已知集合,,,,则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】选C.由题意，中的元素满足 且,,由,得,所以满足 的有，，，，故 中元素的个数为4.
5．[2024·合肥质量检测]已知集合，，若 ，则实数的取值范围为________________________.
【答案】
【解析】由题意得，，因为 ，所以 或，解得 或，则实数 的取值范围为.
集合的基本运算的解题技巧
（1）以“形”定“法”：看集合的表示方法，用列举法表示的集合，宜用图求解；用描述法表示的数集，常借助数轴分析得结果.
（2）先“简”后“算”：运算前先对集合进行化简，分清是数集还是点集，是函数定义域还是值域，是方程的解还是不等式的解集等.
警示 遇到 时，需注意到“极端”情况： 或 ；同样在应用条件时，不要忽略 的情况.
知识点二 常用逻辑用语
1．[2024·新课标Ⅱ卷]已知命题，；命题，.则（ ）
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
【答案】B
【解析】选B.对于 而言，取，则有，故 是假命题，是真命题，对于 而言，取，则有，故 是真命题，是假命题，综上，和 都是真命题.
2．[2024·青岛三模]已知命题,,，则（ ）
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
【答案】D
【解析】选D.命题,,为全称量词命题，则,,.
3．[2024·长沙模拟]若古典概型的样本空间，2，3，，事件，，甲：事件 ，乙：事件，相互独立，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选A.若 ，，，则，而，，所以，所以事件A，B相互独立，
反过来，若事件A，B相互独立，则满足，当，时，，此时，，所以不一定 ，所以甲是乙的充分不必要条件.
4．[2024·大连模拟]“函数是奇函数”的充要条件是实数______.
【答案】0
【解析】若 为奇函数，则，所以，即，所以，若,则 是奇函数，所以函数 是奇函数的充要条件是.
判断充分、必要条件的三种方法
（1）定义法：根据命题 命题，命题 命题进行判断，适用于定义、定理判断性问题
（2）集合法：根据命题，成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
（3）数形结合法：充要条件的判定问题中，若给出的条件与结论之间有明显的几何意义，且可以作出满足条件的几何图形，则可作出其几何图形后利用数形结合的思想求解.
警示 要弄清先后顺序：“的充分不必要条件是”是指能推出，且不能推出；而“是的充分不必要条件”则是指能推出，且不能推出.
知识点三 不等式的性质及解法
1．设,则关于的不等式的解集是（ ）
A. , B.
C. , D. ,
【答案】D
【解析】选D.因为,所以,,原不等式可化为,解集为 ,.
2．已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选C.根据题意，不妨取,，对于A，此时,,不满足,故A错误；对于B，易得,,此时,故B错误；对于D，无意义，故D错误；对于C，由指数函数的单调性可得，当 时，,故C正确.
3．已知不等式的解集为，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】由题设知，3是方程 的两根，所以 且，可得,.
所以 在 上恒成立，设 且 在 上单调递增，故只需 即可，所以.
明确解不等式的策略
（1）一元二次不等式：先化为一般形式（或）（）.再结合相应一元二次方程的根及二次函数的图象确定一元二次不等式的解集.
（2）含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解.
警示 解形如的一元二次不等式时，易忽视对系数的讨论导致漏解或错解，要注意分,进行讨论.
知识点四 基本不等式
1．若,则有（ ）
A. 最大值0 B. 最小值9 C. 最大值 D. 最小值
【答案】C
【解析】选C.因为,所以.
,当且仅当，即 时取等号.故 有最大值.
2．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选B.当 时，不等式 恒成立，；当 时，由题意可得 恒成立，又，当且仅当,即 时取等号，所以，解得.所以实数 的取值范围是.
3．[2024·贵阳适应性考试]（多选）已知,,且,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】选.对于A，,当且仅当 时，取等号,A正确；对于B，,当且仅当 时，取等号，B正确；对于C，,当且仅当 时，取等号，C正确；对于D，，当且仅当 时，取等号，D错误.
4．已知,,,则的最小值为______.
【答案】3
【解析】由于,,,则两边同除以 可得,两边再同乘,得，当且仅当,即,时等号成立.因此,当且仅当,时取等号，故 的最小值为3.
基本不等式求最值的3种解题技巧
（1）凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值.
（2）凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值.
（3）换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为，恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.
警示 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.
知识点五 复数
1．[2024· 新课标Ⅰ卷]若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选C.因为，所以.
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选A.由 得，故复数 的虚部为.
3．[2024·湖北联考]已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】选B.设，则，所以，即，解得，所以 的虚部为，所以 的虚部为1.
4．[2024· 湘豫名校联考]已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】选C.因为，
所以，
所以，
所以，
所以 在复平面内对应的点的坐标为，，位于第三象限.
5．[2024·郑州质量预测]（多选）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 向量对应的复数是1 D.
【答案】AD
【解析】选.因为，则其对应的点为，,,
则复数 对应的点为，.
对于A，，，所以选项A正确；
对于B，，所以选项B错误；
对于C，向量，则向量 对应的复数为，所以选项C错误；
对于D，，，所以，所以选项D正确.
复数的概念及运算问题的解题技巧
（1）与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为且，利用复数相等求解.
（2）与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设，利用待定系数法求解.
警示 在复平面内，复数对应的点为，不是，当且仅当为坐标原点时，向量与点对应的复数相同.
知识点六 平面向量的线性运算
1．在正六边形中，用和表示,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选B.如图，记正六边形的中心为，连接，交 于，则 在 上，为 的中点，且 为 的中点，
所以，
.
2．已知向量,.若与共线，则________；若,且，，三点共线，则实数的值为________.
【答案】；
【解析】因为向量,,所以,不共线.由题意知,.
若 与 共线，则,解得.
因为,,且，，三点共线，所以，即,解得.
3．在中，点为线段上任一点（不含端点），若,则的最小值为（ ）
A. 1 B. 4 C. 9 D. 16
【答案】D
【解析】选D.由题意知A，C，三点共线，则,且,,故,当且仅当,即时，等号成立，故的最小值为16.
运算遵法则，基底定分解
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出三个向量之间的关系．
（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
警示 同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一个基底下的分解都是唯一的．
知识点七 平面向量的数量积
1．[2024· 新课标Ⅰ卷]已知向量,，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】解析：选D.因为，所以，所以，即，故.
2．[2024·黄山质量检测]已知向量,,满足,,,则向量,的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选B.根据题意，由 可得.
又,,可得,
设向量,的夹角为 ,,
所以,
可得,即.
3．[2024·湖北七市联考]已知正方形的边长为2，若，则（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】选B.方法一（基向量法） 由题意可知点 为 的中点，所以.
方法二（坐标法） 如图，以B为原点建立平面直角坐标系，则，，，，所以，，所以.
4．[2024·广州综合测试]（多选）已知向量,不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A.
B.
C. 向量与在上的投影向量相等
D.
【答案】BC
【解析】选.在 中，令,,由题意可知，为菱形，所以，即,,.对于A,因为,,所以只有当,时，才有，故A错误；对于B，由菱形的性质知，即,故B正确；对于C,因为,所以,即，因为 在 上的投影向量为,在 上的投影向量为,所以向量 与 在 上的投影向量相等，故C正确；对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误.
5．[2024· 江南十校联考]如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为1的圆上运动，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选A.如图，以 为原点，建立平面直角坐标系.
由题意，梯形 的高为 ，则，，.
因为以 为圆心的半径为1的圆的方程为,可设点.
则,其中，,故当 时，.
平面向量数量积问题的解题方法
（1）借“底”数字化：要先选取一个合适的基底（一般用已知的向量表示未知的向量），建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知向量的方程进行求解．
（2）借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得以解决．
警示 求两向量夹角的注意点
两向量夹角的范围是，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或 的情况．
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