2026版《决胜蓝图》特色专项训练小题限时练9-试卷（含答案）数学高考大二轮专题复习

小题限时练9
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．已知集合A＝{x∈N|2x2－x－15≤0}，B＝{y|y＝sin x}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－1≤x≤1} B．{0，1}
C．{－1，0，1} D．{2}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知复数z＝，表示z的共轭复数，则||＝(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．下列命题中是真命题的是(　　)
A．若a>b，则ac>bc
B．若a>b，则a2>b2
C．若ac2≥bc2，则a≥b
D．若a＋2b＝2，则2a＋4b≥4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．函数f(x)＝的图象大致为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．如图，在 OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若＝m＋n，其中m，n∈R，则m＋n的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为△AFB的垂心，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．已知tan (β－α)＝，tan α＝－，α，β∈(0，π)，则2β－α的值是(　　)
A．－ B．
C． D．－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．如图，⊙O的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O，此时直线y＝－x＋m与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为(　　)
A． B．
C． D．1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．下列说法正确的有(　　)
A．数据29，30，39，25，37，41，42，32的第75百分位数是40
B．若ξ～N(25，4)，则P(20<ξ≤25)＋P(ξ≥30)＝
C．4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法有C种
D．(1－x)8展开式中x3项的二项式系数为56
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．已知x1，x2是函数f(x)＝2sin (ωx－)(ω>0)的两个零点，且|x1－x2|的最小值是，则(　　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)的图象关于直线x＝－对称
C．f(x)的图象可由g(x)＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到
D．f(x)在上仅有1个零点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)＝＋，且f(1)＝1，则(　　)
A．f(0)＝0
B．f(－1)＝e2
C．y＝exf(x)为奇函数
D．f(x)在(0，＋∞)上具有单调性
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．设a，b是从集合{1，2，3，4，5}中随机选取的数，则直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝2有公共点的概率是________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．若x＝a＋ln b，y＝a＋ln b，z＝a＋2ln b(b≠1)成等比数列，则公比q＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为8，E，F分别为AD，B1C1上的点，AE＝C1F＝2，P，Q分别为BB1，C1D1上的动点．若点A，B，P，Q在同一球面上，当PQ⊥平面A1EF时，该球的表面积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案与解析
小题限时练9
1．解析：选B．A＝{x∈N|2x2－x－15≤0}＝＝{0，1，2，3}，B＝{y|y＝sin x}＝[－1，1]，
所以A∩B＝{0，1}．
2．解析：选C．z＝＝＝＝－＋i，因此＝－－i，所以||＝＝.
3．解析：选D．对于A，由a>b，c＝0可得ac＝bc，故A不是真命题；对于B，由a>0，b<0，|a|<|b|，可得a24．解析：选A．由函数f(x)＝，f(－x)＝＝f(x)，因为x2－1≠0，解得x≠±1，则其定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，所以函数在定义域内为偶函数，排除C，D选项，因为f(0)＝＝－2，观察选项可知，A选项满足题意．
5．解析：选C．在平行四边形中＝，＝，＝＋，
因为E是AC中点，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为BC＝3BF，所以＝＝，
所以＝＋＝＋，
因为＝m＋n，所以＝(m＋n)＋(m＋n)，
所以解得
所以m＋n＝.
6．解析：选A．因为△AFB的垂心为点A，所以△AFB是以A为直角顶点的直角三角形，又OA⊥FB，
所以△FAO∽△ABO(O为坐标原点)，|OA|＝b，|OB|＝a，|OF|＝c，
易得b2＝ac，所以a2－c2＝ac，1－e2＝e，解得e＝或e＝(舍去).
7．解析：选D．由题得tan β＝tan [(β－α)＋α]＝＝∈(0，1)，
可知α∈(，π)，β∈(0，)，
则2β－α∈(－π，0)，
又因为tan 2β＝＝＝>0，
可得tan(2β－α)＝＝＝1，
所以2β－α＝－.
8．解析：选B．由题易得B(－，－1)，C(，－1)，当直线过C(，－1)时，将C(，－1)代入y＝－x＋m中，
所以m＝－1＋，由对称性可知，圆弧BOC对应圆的圆心在y轴上，
设为T(0，t)，则|OT|＝|TC|，所以＝，
解得t＝－2，且圆弧BOC对应圆的半径为2，故圆弧BOC对应的圆方程为x2＋(y＋2)2＝4，当直线l与圆弧BOC相切时得＝2，所以m＝2－2或m＝－2－2(舍去)，
结合图形可知当－1＋9．解析：选ABD．数据从小到大排列为25，29，30，32，37，39，41，42，又8×75%＝6，所以第75百分位数是第6个数据与第7个数据的平均值，即＝40，A正确；
若ξ～N(25，4)，则正态曲线的对称轴为直线ξ＝25，
所以P(20<ξ≤25)＋P(ξ≥30)＝P(25≤ξ＜30)＋P(ξ≥30)＝P(ξ≥25)＝，B正确；
4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法有34种，C错误；
由二项式定理可知，(1－x)8展开式中x3项的二项式系数为C＝56，D正确．
10．解析：选ABD．由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x－).
对于A，当x∈ 时，2x－∈，
因为y＝sin x在上单调递增，所以f(x)在上单调递增，故A正确；
对于B，因为f(－)＝2sin [2×(－)－]＝2sin (－)＝－2，
所以f(x)的图象关于直线x＝－对称，故B正确；
对于C，将g(x)＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到
y＝2sin [2(x－)]＝2sin (2x－)的图象，故C错误；
对于D，当x∈时，2x－∈，仅当2x－＝π，即x＝时，f(x)＝0，即f(x)在上仅有1个零点，故D正确．
11．解析：选AC．对于A，令x＝y＝0，则有f(0)＝＋，即f(0)＝0，故A正确；
对于B，令x＝1，y＝－1，则有f(1－1)＝＋，即f(0)＝ef(1)＋，由f(0)＝0，f(1)＝1，得0＝e＋，即f(－1)＝－e2，故B错误；对于C，令y＝－x，则有f(x－x)＝＋，即f(0)＝exf(x)＋e－xf(－x)，即exf(x)＝－e－xf(－x)，又函数f(x)的定义域为R，则函数y＝exf(x)的定义域为R，故函数y＝exf(x)为奇函数，故C正确；对于D，令y＝x，则有f(x＋x)＝＋，即f(2x)＝，即有＝，则当x＝ln 2时，有＝＝1，即f(2ln 2)＝f(ln 2)，故f(x)在(0，＋∞)上不具有单调性，故D错误．
12．解析：直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝2有公共点，等价于≤ ，等价于b2≤2a2＋2，Ω＝{(a，b)|a，b∈{1，2，3，4，5}}，n(Ω)＝25，设A＝{(a，b)|b2≤2a2＋2，a，b∈{1，2，3，4，5}}，
当b＝1时，a＝1，2，3，4，5；
当b＝2时，a＝1，2，3，4，5；
当b＝3时，a＝2，3，4，5；
当b＝4时，a＝3，4，5；
当b＝5时，a＝4，5.
故n(A)＝19，所以P(A)＝＝.
即直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝2有公共点的概率是.
答案：
13．解析：因为x，y，z成等比数列，所以xz＝y2，即(a＋ln b)(a＋2ln b)＝，所以a2＋3a ln b＋2(ln b)2＝a2＋a ln b＋(ln b)2，因为b≠1，所以ln b≠0，所以－a＝ln b，所以公比q＝＝－3.
答案：－3
14．解析：建立如图1所示的空间直角坐标系，则A1(8，0，0)，E(6，0，8)，F(2，8，0)，
A1E＝(－2，0，8)，A1F＝(－6，8，0).
设Q(0，a，0)，P(8，8，b)，＝(－8，a－8，－b)，
又PQ⊥平面A1EF，
则
解得a＝b＝2.
如图2所示，连接AP，AQ，作AP的平行线DK，M，N，G分别为AP，DK，AQ的中点，连接MN，PK，
因为△ABP为直角三角形，故A，B，P，Q所在球面对应球的直径在过△ABP的外心M，且圆心O在MN上．
连接GO，根据球心到球面上任何一点的距离都相等，故OA＝OQ，故GO⊥AQ，
由题可设O(t，4，5)，G(4，1，4)，
所以＝(4－t，－3，－1)，
又＝(－8，2，－8)，所以·＝－8(4－t)－6＋8＝0，解得t＝，
所以O(，4，5)，所以R2＝||2＝()2＋(－4)2＋32＝，
所以球的表面积为4πR2＝π.
答案：π