2026版《决胜蓝图》特色专项训练压轴大题练3-试卷（含答案）数学高考大二轮专题复习

压轴大题练3(导数＋数列创新)
(本小题满分17分)记R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足xn＋1＝xn－(n∈N*)的数列{xn}称为函数f(x)的“牛顿数列”．已知数列{xn}为函数f(x)＝x2－x的“牛顿数列”，且数列{an}满足a1＝2，an＝ln ，xn＞1.
(1)求a2；
(2)证明数列{an}是等比数列并求an；
(3)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式(－1)n·tSn－14≤S对任意的n∈N*恒成立，求t的取值范围．
参考答案与解析
压轴大题练3
解：(1)因为f(x)＝x2－x，
则f′(x)＝2x－1，
从而有xn＋1＝xn－＝xn－ eq \f(x－xn,2xn－1) ＝ eq \f(x,2xn－1) ，(题眼：牛顿数列新概念的直接应用)(2分)
由a1＝2，an＝ln ，(点拨：令n＝1求x1)则2＝ln ，
则＝e2，解得x1＝，
则有x2＝ eq \f(x,2x1－1) ＝，
所以a2＝ln ＝2ln ＝4.(求a2的目的是探究an求法，体现了由特殊到一般的思维过程)(4分)
(2)由xn＋1＝ eq \f(x,2xn－1) ，
则＝ eq \f(\f(x,2xn－1),\f(x,2xn－1)－1) ＝ eq \f(x,x－2xn＋1) ＝()2，(关键一步：为寻求an与an＋1之间的关系)(6分)
所以an＋1＝ln ＝ln ()2＝2ln ＝2an(xn＞1)，且a1＝2≠0，(易错警示：漏掉此条件，就可能不是等比数列)
故＝2(非零常数)，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，(8分)
所以an＝2×2n－1＝2n.(9分)
(3)由等比数列的前n项和公式得Sn＝＝2n＋1－2，(10分)
因为不等式(－1)n·tSn－14≤S对任意的n∈N*恒成立，又Sn＞0且Sn单调递增，
所以(－1)n·t≤Sn＋对任意的n∈N*恒成立，(关键一步：分离参数，构造函数求最值，解决恒成立问题，体现了转化与化归的数学思想)(11分)
令g(x)＝x＋，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝1－＝，
当x∈(0，)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
当x∈(，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，(13分)
又2＝S1＜＜S2＝6，
且g(2)＝9，g(6)＝，g(6)＜g(2)，(易错警示：因为Sn为整数，所以Sn＋的最小值不是g())
则(Sn＋)min＝g(6)＝，(14分)
当n为偶数时，(易错警示：n的奇偶性决定参数的范围，其实质考查不等式的基本性质，本来是基础知识点，但同学们这时候往往疏忽大意，功亏一篑，实属遗憾)
原式化简为t≤Sn＋，所以当n＝2时，t≤；(15分)
当n为奇数时，原式化简为－t≤Sn＋，
因为2＝S1g(14)＝15>g(2)＝9，
所以当n＝1时，－t≤9，
所以t≥－9.(16分)
综上可知，－9≤t≤.(17分)