2026版《决胜蓝图》特色专项训练中档大题练1-试卷（含答案）数学高考大二轮专题复习

中档大题——练规范
中档大题练1(数列＋导数＋立体几何＋解析几何)
1．(本小题满分13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.
(1)求{an}的通项公式；
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…，k∈N*)之间插入2k－1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前150项和T150.
2．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ex－x2－x.　
(1)求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)证明： x∈[0，＋∞)，f(x)>sin x．
3．(本小题满分15分)如图，在三棱锥A BCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，M，N分别是AD，BC的中点.
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(1)证明：MN⊥BC；
(2)设BC＝2，AD＝2，MN和平面BCD所成的角为，求点D到平面ABC的距离．
4．(本小题满分17分)已知M为圆x2＋y2＝9上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，△OMN的重心为G.
(1)求点G的轨迹方程；
(2)记(1)中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于A，B两点，点Q(0，1)，若点H(，0)恰好是△ABQ的垂心，求直线l的方程．
参考答案与解析
第二部分　大题规范练
中档大题——练规范
中档大题练1
1．解：(1)因为{an}为等差数列，则S5＝5a3＝25，即a3＝5，(2分)可得公差d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1，(3分)所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(5分)
(2)因为在ak与ak＋1(k＝1，2，…，k∈N*)之间插入2k－1个3，可知ak(k≥2，k∈N*)在数列{bn}中对应的项数为n＝k＋20＋21＋…＋2k－2＝k＋＝2k－1＋k－1.(注意：找到原数列与新数列关系)(8分)
当k＝8时，n＝27＋7＝135，即a8＝b135，
当k＝9时，n＝28＋8＝264，
即a9＝b264，(10分)
所以b136＝b137＝…＝b150＝3，(11分)
所以T150＝S8＋3×(150－8)＝＋426＝490.(点拨：分组转化求和)(13分)
2．解：(1)由f(x)＝ex－x2－x，可得f′(x)＝ex－x－1，(1分)
f′(1)＝e1－1－1＝e－2，又f(1)＝e1－×12－1＝e－，(3分)
所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－e＋＝(e－2)(x－1)，
即(e－2)x－y＋＝0.(5分)
(2)证明：由f(x)＝ex－x2－x，可得f′(x)＝ex－x－1，
令h(x)＝ex－x－1，x≥0，(再学一招：一旦导函数的符号难以确定时，可以把导函数或其一部分函数设成新函数，进行二次求导，这是导数研究函数性质的重要方法)
可得h′(x)＝ex－1，(7分)
当x∈[0，＋∞)时，h′(x)＝ex－1≥0，所以h(x)＝ex－x－1在[0，＋∞)上单调递增，(8分)
又h(x)≥h(0)＝e0－0－1＝0，即f′(x)＝ex－x－1≥0，(9分)
所以f(x)＝ex－x2－x在[0，＋∞)上单调递增，(10分)
所以f(x)≥f(0)＝e0－×02－0＝1，(12分)
当x＝0时，f(0)＝1>sin 0＝0，
当x>0时，f(x)>1≥sin x，(点拨：此处分开的原因是说明f(x)的最小值点与y＝sin x的最大值点是不重合的)
综上所述： x∈[0，＋∞)，f(x)>sin x．(15分)
3．解：(1)证明：方法一：如图1所示，取BD的中点P，连接MP，NP.
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因为M，N分别是AD，BC的中点，所以MP∥AB，NP∥CD，(1分)
又AB⊥BC，BC⊥CD，所以BC⊥MP，BC⊥NP，(2分)
又MP∩NP＝P，(关键条件)MP，NP 平面MNP，所以BC⊥平面MNP，(4分)
又MN 平面MNP，所以MN⊥BC.(5分)
方法二：因为AB⊥BC，AB⊥CD，BC∩CD＝C，BC，CD 平面BCD，所以AB⊥平面BCD.
如图2所示，过点B在平面BCD内作Bx∥CD，因为CD⊥BC，所以Bx⊥BC.故以B为原点，分别以直线Bx，BC，BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．(点拨：用向量法研究位置关系，需要建立坐标系时，须说明建系过程)(2分)
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设AB＝a，CD＝b，BC＝c，
则A(0，0，a)，C(0，c，0)，D(－b，c，0)，M(－，，)，N(0，，0).
从而＝(，0，－)，＝(0，c，0).
因为·＝0，(4分)
所以MN⊥BC. (注意：向量问题须转化为几何问题)(5分)
(2)方法一：因为AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以CD⊥平面ABC，即CD的长为点D到平面ABC的距离．(重要结论：为解决问题指明方向)(7分)
同理可得AB⊥平面BCD，进而有AB⊥BD.
如图3所示，取BD中点P，连接BM，MP，NP，易知BM＝AD＝.(9分)　
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在Rt△MNB中，MN＝＝＝2.(10分)
因为MP∥AB，所以MP⊥平面BCD，故∠MNP是MN和平面BCD所成的角，即∠MNP＝，(关键一步)(12分)
且NP＝MN cos ∠MNP＝，
于是CD＝2NP＝2.(14分)
故点D到平面ABC的距离为2.(15分)
方法二：由(1)方法二知，＝(，0，－)，(8分)
易知n＝(0，0，1)是平面BCD的一个法向量．(9分)
因为MN和平面BCD所成的角为，(题眼)
所以sin ＝＝＝，即b2＝3a2.(易错警示：直线与平面所成角的正弦值不能混淆为余弦值)(11分)
在Rt△BCD中，BD2＝BC2＋CD2＝4＋b2，(点拨：BC＝c＝2)
在Rt△ABD中，AD2＝AB2＋BD2＝a2＋4＋b2＝4＋b2＝20，解得b＝2.(13分)
因为AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以CD⊥平面ABC，即CD的长为点D到平面ABC的距离．(重要结论)
故点D到平面ABC的距离为2.(15分)
4．解：(1)设G(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0，0)，
因为G为△OMN的重心，(点拨：△ABC的重心G(x，y)的坐标为其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3))
故有(3分)
解得x0＝，y0＝3y，代入x＋y＝9，化简得＋y2＝1，(5分)
又x0y0≠0，故xy≠0，(点拨：原因是O，M，N构成三角形，三点不可共线)
所以点G的轨迹方程为＋y2＝1(xy≠0).(6分)
(2)因为H为△ABQ的垂心，(题眼)
故有AB⊥HQ，AH⊥BQ，
又kHQ＝＝－，
所以kl＝，(8分)
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故设直线l的方程为y＝x＋m(m≠±1，±2)，(提醒：点Q不在直线l上)(9分)
与＋y2＝1联立消去y得13x2＋8mx＋4m2－4＝0，由Δ＝208－16m2>0得m2<13，(易错警示：该条件保证直线与椭圆相交，是验证m取值的关键所在)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，(11分)
由AH⊥BQ，(题眼，垂心的具体应用，建立了关于m的关系式)
得·＝－1，(12分)
所以x2(x1－)＋(x1＋m)(x2＋m－1)＝0，所以4x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＋m2－m＝0，所以4(4m2－4)－24m(m－1)＋13(m2－m)＝0，化简得5m2＋11m－16＝0，(15分)
解得m＝1(舍去)或m＝－(满足Δ>0)，(重要条件：此处显示了判别式的作用)(16分)
故直线l的方程为y＝x－.(17分)