2026版《决胜蓝图》特色专项训练中档大题练3-试卷（含答案）数学高考大二轮专题复习

中档大题练3(数列＋解析几何＋导数＋概率统计)
1．(本小题满分13分)已知等差数列{an}的公差不为零，a1，a2，a5成等比数列，且a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.
(本小题满分15分)已知双曲线C：－y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上一点，且||PF1|－|PF2||＝4.
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知直线lMN：y＝kx＋1与双曲线C交于M，N两点，且S△MON＝2，其中O为坐标原点，求k的值．
3.(本小题满分15分)已知函数f(x)＝x－－a ln x.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有两个极值点b，c，记过两点B(b，f(b))，C(c，f(c))的直线的斜率为k，是否存在实数a，使k＋a＝2成立？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
4．(本小题满分17分)2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行第33届夏季奥运会．为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为X，求X的均值以及小王在已经答对1题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元．假定每次抽奖中奖的概率均为p(0①记一名进入决赛的参赛大学生恰好中奖1次的概率为f(p)，求f(p)的极大值；
②M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的均值不小于1 120元，试求此时p的取值范围．
参考答案与解析
中档大题练3
1．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由a2n＝2an＋1，当n＝1时，a2＝2a1＋1，得d＝a1＋1①， (2分)
由a＝a1·a5得d＝2a1.②(4分)
由①②可得a1＝1，d＝2，(5分)
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(7分)
(2)a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3，a2n－3＝4n－7，(9分)
a2n－1－a2n－3＝4，故{a2n－1}为等差数列，(点拨：等差数列的奇数项仍成等差数列)(11分)
故a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝＝n·an＝2n2－n.(注意：数列求和，弄清项数是关键)(13分)
2．解：(1)由||PF1|－|PF2||＝4及双曲线的定义知，2a＝4，即a＝2，(2分)
所以双曲线的标准方程为－y2＝1，其渐近线方程为y＝±x.(4分)
(2)由题意可知，作出大致图形如图所示．
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设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题可知k≠±，(否则直线与双曲线渐近线平行，与题意不符)
联立得(1－4k2)x2－8kx－8＝0，Δ＝(－8k)2－4×(－8)(1－4k2)
＝32(1－2k2)>0，(提醒：不能省略)
所以0点O到直线lMN：y＝kx＋1的距离d＝，(9分)
所以S△MON＝|MN|d＝·|x1－x2|·＝＝2＝2，(题眼)(11分)
令k2＝t，则0所以k＝±或k＝±.(15分)
3．解：(1)由题意得，f′(x)＝1＋－＝(x>0).(1分)
当a＝2时，f′(1)＝0，f(1)＝0，即切点为(1，0).(3分)
所以曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程为y－0＝0×(x－1)，即y＝0.(5分)
(2)不存在这样的实数a，使k＋a＝2成立．理由如下：假设存在实数a，使得k＋a＝2.
则b，c是方程f′(x)＝＝0(x>0)的两个不等实数根，(提醒：理解函数f(x)的极值点与导函数f′(x)＝0的根的关系)
则a2－4>0，即a>2或a<－2，所以b＋c＝a(a>0)且bc＝1，(关键一点：由根与系数的关系列出关于b，c的方程，注意a的符号)(7分)
不妨令b>c，则b>1，c＝，
则k＝＝2－，又因为k＋a＝2，所以b－－2ln b＝0.(9分)
构造函数h(x)＝x－－2ln x(x≥1)，(构造函数是关键)(10分)
而h′(x)＝≥0恒成立，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(1)＝0，当且仅当x＝1时，等号成立．(13分)
所以当b>1时，b－－2ln b>0恒成立，即b－－2ln b＝0无解．(14分)
所以不存在实数a，使得k＋a＝2.(15分)
4．解：(1)由题意知，X的可能取值为0，1，2，(1分)
则P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，(2分)
故X的分布列为
X 0 1 2
P
则E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(4分)
记事件A为“小王已经答对1题”，事件B为“小王未进入决赛”，则小王在已经答对1题的前提下，仍未进入决赛的概率为P(B|A)＝＝ eq \f(CC,CC＋C) ＝.(点拨：缩小样本空间法求条件概率)(6分)
(2)①由题意知，f(p)＝Cp(1－p)2＝3p3－6p2＋3p(0则f′(p)＝3(3p－1)(p－1)，(8分)则当p∈(0，)时，f′(p)>0，f(p)单调递增，
当p∈(，)时，f′(p)<0，f(p)单调递减，(9分)
所以当p＝时，f(p)有极大值，且f(p)的极大值为f()＝.(10分)
②由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量Y，则Y的可能取值为60，120，180，360，P(Y＝60)＝(1－p)3，P(Y＝120)＝Cp(1－p)2，P(Y＝180)＝Cp2(1－p)，P(Y＝360)＝p3，
所以E(Y)＝60(1－p)3＋120Cp(1－p)2＋180Cp2(1－p)＋360p3＝60(2p3＋3p＋1)，所以9E(Y)≥1 120，
即540(2p3＋3p＋1)≥1 120，
整理得2p3＋3p－≥0，(关键一步：根据题意列出关于p的不等式)(13分)
经观察可知p＝是方程2p3＋3p－＝0的根，
故2p3＋3p－＝2(p3－p2)＋(p2－p)＋(p－)＝ (p－)(2p2＋p＋)，(点拨：高阶不等式无法直接求解时，可先观察，用配凑法因式分解)(15分)
因为2p2＋p＋>0恒成立，
所以由2p3＋3p－≥0可得p－≥0，
解得p≥，(16分)又0所以≤p<，即p的取值范围为[，).(17分)