考前解密真题
【密码展示】 在平面直角坐标系中，若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△ABC＝|x1y2－x2y1|.
证明：S△ABC＝||·||·sin ∠BAC
＝
＝
＝
＝
＝|x1y2－x2y1|.
因此S△ABC＝|x1y2－x2y1|.
【真题展示】 (2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
[解] (1)由题知
解得
所以c＝＝，
所以C的离心率e＝＝.
(2)设B(x0，y0)，
则＝(x0，y0－3)，＝，
所以S△ABP＝＝9，
此处用到了解三角形面积的“密码”
解得|x0＋2y0－6|＝12，与椭圆方程联立，
得B1，B2(0，－3).
对应的直线l的方程为y＝x或y＝x－3.
【密码再现】 1.已知O为坐标原点，M，N是椭圆C：＋＝1上的两点，则△OMN面积的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
2．已知P是双曲线C：－y2＝1上任意一点，O为坐标原点，过P分别作C的两条渐近线l1和l2的平行线分别交l2和l1于M，N，则平行四边形OMPN的面积为________．
【密码展示】 我们知道下列几个基本事实．
(1)任何两个正方形(或圆)相似，类比认为任何两个正方体(或球)相似．若正方体(或球)的棱长(或半径)之比为λ，则其面积之比为λ2，体积之比为λ3.
(2)若用一条平行于三角形一边的直线截三角形，则截得的小三角形与原三角形相似，类比以一个平行于锥体的底面的平面截锥体，截得的小锥体与原锥体相似．定义两个锥体的高的比为μ，则对应面积(底面积或侧面积或表面积)之比为μ2，体积之比为μ3.
【真题展示】 (2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．
[解析] V小四棱锥＝×22×3＝4.
＝，得＝.
故V棱台＝28.即所得棱台的体积为28.
[答案] 28
【密码再现】 1.已知圆锥的底面半径为3，高为6，过高的两个三等分点与底面平行的平面将圆锥截成三部分，记截得的上、中、下三部分的体积分别为V1，V2，V3，则中间部分的体积V2＝________．
2．(多选)已知体积分别为V1，V2，V3的三个球的表面积之比为1∶2∶3，则( )
A．V1＋V3＝2V2 B．V1V3＝V
C．V1＋V3>2V2 D．V1V3
【密码展示】 众所周知三角形的中线、高、角平分线问题是高考命题的重要元素，高可以通过面积或点线距等方法求解，而中线与角平分线可通过复合三角形的关系建立相关式子求解．关于中线长与角平分线长有
密码1.中线长度公式：ma＝ .
密码2.角平分线长度公式：na＝.
【真题展示】 (2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝，则|OP|＝( )
A． B．
C． D．
[解析] 设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
由C：＋＝1，
知|F1F2|＝2，
所以
解得mn＝，m2＋n2＝21.
所以|OP|＝
＝× ＝.
[答案] B
【密码再现】 1.上面真题展示中，若点Q在线段F1F2上，满足|F1Q|·|PF2|＝|F2Q|·|PF1|，其他条件不变，则|PQ|＝________．
2．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝5，c＝3，角A的平分线AD交BC于D，且AD＝，则a＝________，△ABC内切圆的面积S＝________．
【密码展示】 我们知道AB>0的充要条件是A，B同号且都不为0，类比函数我们有若函数f(x)与g(x)的定义域分别为D，E，在x∈D∩E满足①f(x)与g(x)具有相同的单调性；②f(x)与g(x)的零点分别为x1，x2，则在D∩E上，f(x)g(x)≥0 x1＝x2.
【真题展示】 (2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln (x＋b).若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为( )
A． B．
C． D．1
[解析] 由于函数y＝x＋a(x∈R)与函数y＝ln (x＋b)(x>－b)在(－b，＋∞)上单调递增．
它们的零点分别为x1＝－a，x2＝1－b，
由f(x)≥0得－a＝1－b.
此时求a2＋b2的最小值有下列三种方法．
方法一：a2＋b2＝(b－1)2＋b2＝2b2－2b＋1
＝2＋≥.
方法二：a2＋b2＝a2＋(－b)2≥＝.
方法三：由－a＝1－b，得a－b＋1＝0，在平面直角坐标系Oab中，
直线l：a－b＋1＝0(图略).
点O到l的距离d＝＝.
所以(a2＋b2)min＝d2＝.
[答案] C
【密码再现】 1.若(x－a)(x－b－1)≥0在R上恒成立，则a3－3b的极大值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
2．设函数f(x)＝(x－a)ln (x－ln b)(b>0)，若f(x)≥0，则a－b的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
知识密码5 函数f(x)的图象关于点(a，b)对称的两个充要条件
【密码展示】 众所周知，函数y＝f(x)的图象关于原点对称的充要条件是f(x)是奇函数．(或f(－x)＋f(x)＝0恒成立)，推广则有
①函数f(x)的图象关于点(a，b)对称的充要条件是f(2a－x)＋f(x)＝2b(或f(a＋x)＋f(a－x)＝2b).
②函数f(x)的图象关于点(a，b)对称的充要条件是y＝f(x＋a)－b是奇函数．
【真题展示】 (2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3.证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形．
[证明] 方法一：因为f(x)
＝ln ＋ax＋b(x－1)3，
所以f(2－x)＋f(x)
＝ln ＋a(2－x)＋b(1－x)3＋ln ＋ax＋b(x－1)3＝2a，
因此曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称．
方法二：因为f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，
所以g(x)＝f(x＋1)－a＝ln ＋a(x＋1)＋bx3－a＝ln ＋ax＋bx3，x∈(－1，1).
g(－x)＝ln ＋a(－x)＋b(－x)3＝－＝－g(x).
故g(x)＝f(x＋1)－a是奇函数，故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称．
【密码再现】 1.若函数f(x)＝＋bx(a>0)的图象关于点(1，2)对称，则ab＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(多选)若函数f(x)＝ln ＋(x－b)3(a>0)的图象是关于点P的中心对称图形，则( )
A．点P在x轴正半轴上
B．点P在x轴负半轴上
C．a＝2b
D．2a＝b
【密码展示】 我们知道过圆锥曲线焦点的弦的相关问题是教材教学内容的重难点，也是高考的命题热点，若过椭圆＋＝1(a>b>0)或双曲线－＝1(a>0，b>0)或抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与之相交于A，B两点．当＝λ时，我们称为圆锥曲线的焦点弦分比问题．此时有e|cos θ|＝.(其中θ为直线l的倾斜角)
【真题展示】 (多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
[解析] 由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0).对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，故A选项正确；
对于B，通解：不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＜x2，联立方程得消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3.所以M，N(3，－2)，所以由两点间距离公式可得|MN|＝＝，故B选项错误；
优解一：不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＜x2，联立方程得消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3.所以由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝＋3＋2＝，故B选项错误；
优解二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，Δ＝64＞0，则x1＋x2＝，x1x2＝1，所以由弦长公式得|MN|＝×＝，故B选项错误；
对于C，通解：由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径r＝|MN|＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确；
光速解：由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C选项正确；
对于D，由两点间距离公式可得|MN|＝，|OM|＝，|ON|＝，故D选项错误．
另解：本题A，B，C，D虽然没有直接出现比值λ的问题，但试题直接利用(1，0)为焦点求出p＝2.可直接用弦长(或定义)求出|MN|＝＝.
抛物线的性质直接得出C选项的正确性，若将D选项改为|MF|＝|FN|(其中M在x轴上方).去求|MF|与|FN|，再验证|MF|与|FN|的关系就比较麻烦，若设＝λ，由题意知，直线y＝－(x－1)的倾斜角为钝角且|MF|<|FN|，即0<λ<1，用e|cosθ|＝直接作答，在抛物线中，e＝1，则有＝，解得λ＝.
就可以快速判断D选项．
[答案] AC
【密码再现】 1.过椭圆C：＋＝1(a>b>0)上顶点B与左焦点F的直线l与C交于A，若＝，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
2．(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0).若a，b，c成等差数列，过F的直线l交C于A，B两点，A在x轴上方，则( )
A．C的离心率为
B．C的两条渐近线的夹角的正切值为
C．直线ax＋by＋c＝0过第一、三、四象限
D．当l的斜率k＝时，|AF|＝5|BF|
考前必记公式
同角三角函数的基本关系式
sin2α＋cos2α＝1；tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z).
诱导公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
S(α＋β)：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
S(α－β)：sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
C(α＋β)：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
C(α－β)：cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
T(α＋β)：tan (α＋β)＝.
T(α－β)：tan (α－β)＝.
辅助角公式
a sin x＋b cos x＝·sin (x＋φ)(tan φ＝).
二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)倍角公式：S2α：sin 2α＝2sin αcos α，
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1，
T2α：tan2α＝.
(2)降次公式：sin2α＝；cos2α＝.
解三角形
(1)三角形面积公式：
S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A.
(2)正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
用角表示边：a＝2R sin A；b＝2R sin B；c＝2R sin C.
(3)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.
推论：cos A＝，cos B＝，
cos C＝.
平面向量运算的坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ(0≤θ≤π).
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝，|b|＝.
(3)平行：a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0.
(4)垂直：a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)夹角：cos θ＝＝.
指数
(1)分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，n>1).
a＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1).
(2)指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q).
对数
(1)对数运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，
那么
loga(MN)＝logaM＋logaN；
loga＝logaM－logaN；
logaMn＝nlogaM(n∈R).
(2)对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0).
(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
导数的运算
(1)几种常见的导数
①c′＝0(c为常数)；②(xα)′＝αxα－1(α∈R，且α≠0)；③(sin x)′＝cos x；④(cos x)′＝－sin x；
⑤(ax)′＝ax ln a(a>0，且a≠1)；⑥(ex)′＝ex；⑦(logax)′＝(a>0，且a≠1)；⑧(ln x)′＝.
(2)导数的四则运算法则
①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).
②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).
特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数).
③＝(g(x)≠0).
特别地，＝－(f(x)≠0).
等差数列
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d(其中首项是a1，公差是d).
(2)前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
(3)等差中项：若A是a与b的等差中项，则2A＝a＋b.
等比数列
(1)通项公式：an＝a1qn－1(其中首项是a1，公比是q，a1，q≠0).
(2)前n项和公式：
Sn＝
(3)等比中项：若G(G≠0)是a与b的等比中项，则＝，即G2＝ab(或G＝±，ab>0，等比中项有两个).
柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式
(1)设c′，c分别为上、下底面的周长，h为高，h′为斜高．
①直棱柱：S侧＝ch，V＝S底h.
②正棱锥：S侧＝ch′，V＝S底h.
③正棱台：S侧＝(c′＋c)h′，
V＝(S上底＋＋S下底)h.
(2)设l为母线长，r为圆柱、圆锥底面圆的半径，h为高，r′，r分别为圆台上、下底面圆的半径，R为球的半径．
①圆柱：S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)，V＝S底h＝πr2h.
②圆锥：S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)，V＝S底h＝πr2h.
③圆台：S侧＝πl(r′＋r)，S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，V＝(S上底＋＋S下底)h＝π(r′2＋r′r＋r2)h.
④球：S表＝4πR2，V＝πR3.
空间向量与立体几何
(1)点到直线的距离
PQ＝
＝.
(2)点到平面的距离
PQ＝
＝＝.
(3)异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝.
(4)直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝||＝.
(5)平面与平面的夹角
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则
cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝.
弦长公式
(1)直线与圆相交的弦长：|AB|＝2(d为圆心到直线的距离).
(2)直线与圆锥曲线相交的弦长：
|AB|＝
＝·(kAB为直线AB斜率，kAB≠0).
排列、组合与二项式定理
(1)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，并且m≤n).
(2)组合数公式：C＝＝＝(n，m∈N*，并且m≤n).
(3)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*，k＝0，1，2，…，n).
概率
(1)互斥事件的概率加法公式：如事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(2)相互独立事件：如果A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B).
(3)条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，则P(B|A)＝.
(4)全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai).
考前必用结论
集合运算的性质
名称 性质
交集 A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B
并集 A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A
补集 A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)
充分、必要条件与对应集合的关系
设p包含的对象组成集合A，q包含的对象组成集合B.
p是q的充分不必要条件 p q且qp A?B
p是q的必要不充分条件 pq且q p B?A
p是q的充要条件 p q A＝B
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp A，B互不包含
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p B A
基本不等式的四种形式
根式形式 a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立． 临考谨记：利用基本不等式求最值，一定要注意“一正、二定、三相等”缺一不可．
整式形式 ab≤()2(a，b∈R)，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)，()2≤(a，b∈R)，以上不等式当且仅当a＝b时，等号成立．
分式形式 ＋≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．
倒数形式 a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．
三个“二次”间的关系
设关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的判别式Δ＝b2－4ac.
项目 >0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1 函数的性质
单调性 (1)函数f(x)与函数f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性． (2)当k>0(k<0)时，函数f(x)与函数kf(x)单调性相同(相反). (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性． (4)在公共定义域内，“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”． (5)“同增异减”，对于复合函数y＝f(g(x))，令u＝g(x)，若g(x)与f(u)在定义域上单调且单调性一致(单调性相反)，则y＝f(g(x))单调递增(单调递减).
奇偶性 (1)偶函数 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称． (2)奇函数 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称． (3)定义在R上的函数f(x)总可以表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，其中g(x)＝，h(x)＝.
周期性 (1)设函数f(x)的最小正周期为T(T>0)，则除±nT(n＝1，2，…)以外，函数f(x)无其他周期． (2)设周期函数f(x)的最小正周期为T(T>0)，则f(λx)(λ≠0)的最小正周期为. (3)若u＝g(x)是周期函数，f(u)是任意函数，则f(g(x))也是周期函数． (4)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)的周期T＝b－a，其中a≠0，b≠0，a≠b. (5)若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a，其中a≠0. (6)若f(x＋a)＝±(c为常数)，则f(x)的周期T＝2a，其中a≠0，c≠0. (7)若f(x＋a)＝，则f(x)的周期T＝2a，其中a≠0； 若f(x＋a)＝，则f(x)的周期T＝4a，其中a≠0.
对称性 (1)函数y＝f(x)的图象与其反函数y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称． (2)函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称． (3)函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f－1(－x)的图象关于直线y＝－x对称． (4)f(a－x)＝f(a＋x) f(－x)＝f(2a＋x) f(x)＝f(2a－x) f(x)的图象关于直线x＝a对称． (5)f(a＋x)＝f(b－x) f(x)的图象关于直线x＝对称． (6)f(a＋x)＝－f(b－x) f(x)的图象关于点(，0)对称．
函数图象的变换
平移 变换 y＝f(x)的图象y＝f(x±a)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)±b的图象
伸缩 变换 y＝f(x)的图象y＝f()的图象 y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象
翻折 变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象 y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象
对称 变换 y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(即y轴)对称 y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称
y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(即x轴)对称 y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称
y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称 y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称
y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称
常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型
抽象函数的性质 特殊函数模型
①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， ②f(x－y)＝f(x)－f(y) 正比例函数f(x)＝kx(k≠0)
①f(x)f(y)＝f(x＋y)(x，y∈R)， ②＝f(x－y)(x，y∈R，f(y)≠0) 指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)
①f(xy)＝f(x)＋f(y)(x>0，y>0)， ②f()＝f(x)－f(y)(x>0，y>0) 对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)
①f(xy)＝f(x)f(y)， ②f()＝(y≠0，f(y)≠0) 幂函数f(x)＝xn
f(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y) 三角函数f(x)＝sin x，g(x)＝cos x
f(x＋y)＝ 正切函数f(x)＝tan x
5类由含导数不等式构造原函数的模型
原函数是函数的和差组合 ①对于f′(x)＞g′(x)(＜g′(x))，构造函数h(x)＝f(x)－g(x). 特别地，若f′(x)＞a(＜a)(a≠0)，则可以构造函数h(x)＝f(x)－ax. ②对于f′(x)＋g′(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝f(x)＋g(x).
原函数是函数的乘除组合 ①对于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝f(x)g(x). ②对于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝(g(x)≠0). 特别地，对于xf′(x)＋f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝xf(x)； 对于xf′(x)－f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝(x≠0).
原函数是含ex的乘除组合 ①对于f′(x)＋f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝exf(x). ②对于f′(x)－f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝.
原函数是含sin x(cos x)的乘除组合 ①对于f(x)＋f′(x)tan x＞0(＜0)，构造函数h(x)＝f(x)sin x． ②对于f(x)－f′(x)tan x＞0(＜0)，构造函数h(x)＝(x≠kπ，k∈Z). ③对于f′(x)－f(x)tan x＞0(＜0)，构造函数h(x)＝f(x)cos x． ④对于f′(x)＋f(x)tan x＞0(＜0)，构造函数h(x)＝(x≠＋kπ，k∈Z).
原函数是关于ln x的复合函数 对于＞0(＜0)，分类讨论如下： ①若f(x)＞0，构造函数h(x)＝ln f(x)； ②若f(x)＜0，构造函数h(x)＝ln [－f(x)].
三角函数公式
半角公式 sin ＝±，cos ＝±， tan ＝±＝＝.
三倍角公式 sin (3θ)＝3sin θ－4sin3θ，cos(3θ)＝4cos3θ－3cosθ，tan (3θ)＝.
万能公式 sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝，其中θ≠2kπ＋π，且θ≠＋kπ，k∈Z.
三角函数的图象变换
由函数y＝sinx的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法如下．
三角形“四心”的向量表示
已知H，G，O，I是△ABC所在平面上的任意点，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边．
H为垂心 ·＝·＝·
G为重心 ＋＋＝0
O为外心 (＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0
I为内心 a·＋b·＋c·＝0
常见的裂项方法
数列(n为正整数) 裂项方法
{}(k为非零常数) ＝(－)
{} ＝(－)
{} ＝－
{} ＝－
{loga(1＋)}(a＞0且a≠1) loga(1＋)＝loga(n＋1)－logan
空间几何
面积射 影定理 如图，△ABC在平面α内的射影为△ABO(C在α外)，分别记△ABC的面积和△ABO的面积为S和S′，记△ABC所在平面和平面α所成锐二面角的平面角为θ，则cos θ＝S′∶S
正四面体 的内切球 位置关系：正四面体的四个面都与同一个球相切，如图． 数量关系：设正四面体的棱长为a，高为h，内切球的半径为r，这时有4r＝h＝a.
正四面体 的外接球 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，如图． 数量关系：设正四面体的棱长为a，外接球的半径为r，这时有r＝a.
解析几何
曲线系 方程 过定点(x0，y0)的直线系方程：λ1(y－y0)＋λ2(x－x0)＝0(λ1，λ2是参数). 共焦点的圆锥曲线系方程：＋＝1(c为焦半径，λ为参数).当λ＞0时，表示共焦点的椭圆；当－c2＜λ＜0时，表示共焦点的双曲线；当λ＜－c2时，轨迹不存在． 共交点的曲线系方程：若曲线C1：f1(x，y)＝0与曲线C2：f2(x，y)＝0有公共点Pi(i＝1，2，…)，则λ1f1(x，y)＋λ2f2(x，y)＝0(λ1，λ2是参数)表示过点Pi的曲线．
圆锥曲线的 焦点三角形 椭圆的焦点三角形： 如图1，以椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c，0)，F2(c，0)为顶点的△PF1F2(焦点三角形)中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a； (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ； (3)S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin θ＝b2tan . 双曲线的焦点三角形： 如图2，若点P是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上不同于顶点的任意一点，F1，F2为双曲线C的两焦点，则△PF1F2叫做双曲线的焦点三角形．记∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝. 抛物线的焦点三角形： 如图3，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F(，0)的直线l：y＝kx－(其中k为直线l的斜率)交抛物线于A，B两点，那么焦点三角形OAB的面积可以表示为S△OAB＝(若抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，直线l：y＝kx＋，则S△OAB＝).
椭圆、双曲线第三定义的应用 椭圆第三定义的应用：若M，N是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上异于M，N的一点，当直线PM，PN的斜率都存在(分别记为kPM，kPN)时，kPM·kPN＝e2－1＝－，e为椭圆C的离心率． 双曲线第三定义的应用：若M，N是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上异于M，N的一点，当直线PM，PN的斜率都存在(分别记为kPM，kPN)时，kPM·kPN＝e2－1＝，e为双曲线C的离心率．
抛物线的 焦点弦 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则有以下结论． ①焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝，＋＝. ②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.③S△OAB＝(O为抛物线的顶点).④以弦AB为直径的圆与准线相切．⑤过点A，B分别向抛物线的准线引垂线，设垂足分别为A1，B1，则∠A1FB1＝90 .
直线与椭 圆相切的 有关结论 ①椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x0，y0)处的切线方程是＋＝1，②过椭圆＋＝1(a＞b＞0)外一点P(x0，y0)引两条切线，切点弦方程是＋＝1，③椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线Ax＋By＋C＝0相切的条件是A2a2＋B2b2＝C2.
直线与 双曲线 相切的 有关结论 ①双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上任意一点P(x0，y0)处的切线方程是－＝1，②过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外一点P(x0，y0)引两条切线，切点弦方程是－＝1，③双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线Ax＋By＋C＝0相切的条件是A2a2－B2b2＝C2.
直线与抛 物线相切 的有关结论 ①抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点P(x0，y0)处的切线方程是y0y＝p(x＋x0)，②过抛物线y2＝2px(p＞0)外一点P(x0，y0)引两条切线，切点弦方程是y0y＝p(x＋x0)，③抛物线y2＝2px(p＞0)与直线Ax＋By＋C＝0相切的条件是pB2＝2AC.
概率与统计
概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).
全概率公式 一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，当P(A)＞0且P()＞0时，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|).
考前必会方法
(1)二元柯西不等式：若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
(2)n元柯西不等式：若ai，bi∈R(i＝1，2，…，n)，则≥(ibi)2，当且仅当bi＝0或存在一个实数λ，使得ai＝λbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
【例1】 设a，b，c为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c).
【尝试训练1】 (1)已知a，b>0，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是________．
(2)设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则p＝2x＋y的最大值为________．
已知复合函数f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式时可采用换元法．通常令g(x)＝t，由此解得x＝φ(t).再将g(x)＝t，x＝φ(t)一并代入原函数中，从而求得f(x)的解析式．其中令g(x)＝t实际上是一种变量替换(非等量替换)，所以换元后要注意变量的范围．
【例2】 已知f()＝，则f(x)＝( )
A．(x≠－1)
B．(x≠－1且x≠0)
C．(x≠－1)
D．(x≠－1且x≠0)
【尝试训练2】 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，则f(x)的解析式为______________________．
(2)已知f(ex)＝x lg 7，则f(2)＋f(5)＝________．
对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化．
【例3】 函数f(x)＝
的值域为________．
【尝试训练3】 (1)已知函数f(x)＝－1的定义域为[m，n](m，n为整数)，值域为，则满足条件的整数对(m，n)，共有( )
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
(2)对 x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，若函数M(x)＝max{－x＋3，(x－1)2}，则M(x)的最小值为________．
函数的对称性、周期性的常见结论
(1)若f(a＋x)＝f(a－x)，则函数图象关于直线x＝a对称；
(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数图象关于直线x＝a对称；
(3)f(a＋x)＝f(b－x)，则函数图象关于直线x＝对称；
(4)若f(2a－x)＝2b－f(x)，则函数图象关于点(a，b)对称；
(5)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝a－b；
(6)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(7)若f(x＋a)＝－f(x＋b)，则T＝2(a－b)；
(8)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(9)若函数f(x)关于直线x＝a与直线x＝b对称，则该函数的一个周期是2|b－a|；
(10)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则该函数的一个周期是2|b－a|；
(11)若函数f(x)关于直线x＝a，又关于点(b，0)对称，则该函数的一个周期是4|b－a|.
【例4】 (多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，函数f(2x＋2)为奇函数，f(x－1)为偶函数，g(x)为奇函数，g(x)＝g(4－x)，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的一个周期是6
B．函数g(x)的一个周期是8
C．若f(0)＝2，则f(18)＋g(68)＝－2
D．若当0≤x≤2时，g(x)＝ln (x＋1)，则当10≤x≤12时，g(x)＝ln (13－x)
【尝试训练4】 (1)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＋f(3－x)＝4，f(x)的导函数为g(x)，函数y＝g(x－1)的图象关于点(2，1)中心对称，则f()＋g(2 024)＝( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
(2)已知函数y＝f(3x＋1)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(x)(3)(2024·秦皇岛三模)已知奇函数f(x)的定义域为R，f(x＋3)＝－f(－x)，且f(2)＝0，则f(x)在[0，6]上的零点个数的最小值为________．
结合代数式特点，构造合适的函数，通过导函数研究函数的单调性，从而比较出代数式的大小．
【例5】 已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小顺序为( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．b>a>c D．c>a>b
【尝试训练5】 (1)已知a＝ln －，b＝ln π－π，c＝ln 3－3，则a，b，c的大小顺序为( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>c>a D．b>a>c
(2)(2024·东莞三模)若a＝，b＝e，c＝π，则a，b，c的大小关系为________．
参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量，另一个视为参数)，可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式．然后利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围．一般情况下，哪个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母(一般为所求)视为参数．恒(能)成立问题常常使用参变分离来处理．
【例6】 已知函数f(x)＝x2－x－ln x(m∈R).若 x>0，不等式f(x)>x2恒成立，求实数m的取值范围．
【尝试训练6】 (2024·孝感模拟)已知函数f(x)＝ex＋x3－x2－ax＋1，若f(x)在R上单调递增，则实数a的最大值为( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
方法7 “逆用导数的四则运算法则”构造函数法
(1)题中同时出现关于f(x)，f′(x)，应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数．
(2)常见的构造函数
①对于xf′(x)＋f(x)>0(<0)，构造h(x)＝xf(x)；一般地，对于xf′(x)＋nf(x)>0(<0)，构造h(x)＝xnf(x).
②对于xf′(x)－f(x)>0(<0)，构造h(x)＝；一般地，对于xf′(x)－nf(x)>0(<0)，构造h(x)＝.
③对于f′(x)－f(x)>0(<0)，构造h(x)＝；一般地，对于f′(x)－nf(x)>0(<0)，构造h(x)＝.
④对于f′(x)＋f(x)>0(<0)，构造h(x)＝exf(x)；一般地，对于f′(x)＋nf(x)>0(<0)，构造h(x)＝enxf(x).
⑤对于f′(x)>f(x)tan x(或f′(x)0(<0)，构造h(x)＝f(x)cos x．
⑥对于f′(x)cos x＋f(x)sin x>0(<0)，构造h(x)＝.
【例7】 已知f′(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f′(x)cos x>f(x)sin x，若a＝f()，b＝0，c＝－f()，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．c
【尝试训练7】 (1)已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)－xf′(x)>0，则a＝f(2)，b＝f(e)，c＝f(3)的大小关系为( )
A．bC．a(2)(2024·潍坊三模)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(1)＝e，当x>0时，f′(x)<＋ex，则不等式>1的解集为( )
A．(0，1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数、根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．一般解题步骤如下：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象；
第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数．
【例8】 已知f(x)＝
则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是( )
A．3 B．5
C．7 D．8
【尝试训练8】 (1)(2024·凉山二模)若f(x)＝x sin x＋cos x－1，x∈，则函数f(x)的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知函数f(x)＝
若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x)＋m(m∈R)有三个零点，则m的取值范围为________．
设b>a>0，则a<<<<【例9】 已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，设f′(x)是函数f(x)的导函数，x1，x2是f(x)的两个零点，且0
【尝试训练9】 已知函数f(x)＝ln x－ax.若y＝f(x)的图象在x＝1处的切线平行于x轴，且A(x1，y1)，B(x2，y2)(0
泰勒公式是将一个在x0处具有n阶导数的函数利用关于(x－x0)的n次多项式逼近函数的方法．
若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a，b]上具有n阶导数，且在开区间(a，b)上具有(n＋1)阶导数，则对闭区间[a，b]上任意一点x，成立下式：
f(x)＝f(x0)＋＋(x－x0)2＋…＋(x－x0)n＋Rn(x).
其中：f(n)(x0)表示f(x)在x＝x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的n阶泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x－x0)n的高阶无穷小量．
【例10】 (2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则( )
A．aC．c
【尝试训练10】 已知f(x)＝ln ，证明：当x∈(0，1)时，f(x)>2(x＋).
结论1 三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象关于点(－，f(－))中心对称．
结论2 已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)中心对称点的横坐标为x0，两个极值点分别为x1，x2，则＝f′(x0)＝－(x1－x2)2.
结论3 若y＝f(x)图象关于点(m，n)对称，则y＝f′(x)图象关于直线x＝m对称．
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数．
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
【例11】 已知f(x)＝x3－9x2＋29x－31，若f(m)＝－2，f(n)＝6，则m＋n＝________．
【尝试训练11】 (1)已知f(x)＝x3－9x2＋29x－31，则(i)＝________．
(2)已知直线l与曲线f(x)＝x3－6x2＋13x－9依次相交于A，B，C三点，且|AB|＝|BC|＝，则直线l的方程为____________．
向量三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
拓展：绝对值三角不等式
(1)如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
【例12】 已知向量，满足||2＋||2＝4，||2＝2，设＝2＋，则||的取值范围为________．
【尝试训练12】 已知A，B两点在圆x2＋y2＝12上，且|AB|＝4，点P在直线x＋y＝4上，若|＋3|≤28恒成立，则点P横坐标的取值范围是________．
在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的性质时，应采用整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的性质来探究求出原函数的性质．对于形如y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质与上述研究方法一致，这里只以函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例．
【例13】 (1)函数f(x)＝2sin (x－)的单调递减区间是( )
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
(2)(2024·郑州模拟)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω>0)，若关于x的方程f(x)－1＝0在区间(0，π)上恰有两个实数根，则ω的取值范围为 ________．
【尝试训练13】 函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象．则函数y＝g(x)的单调递增区间为________．
三角形中三线是指三角形的中线、角平分线及高线，其常用性质如下：
(1)三角形的中线和重心的性质：中线平分对边，且平分三角形的面积；三条中线交于重心，且重心分中线为2∶1.
(2)三角形的角平分线和内心性质：角平分线平分内角，角平分线上的点到角两边距离相等；三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等；角平分线分对边的比等于相应邻边的比．
(3)三角形的高和垂心性质：高垂直于底边；三条高交于垂心．
【例14】 如图所示，在△ABC中，AB＝3AC，AD平分∠BAC，且AD＝kAC.
(1)若DC＝2，求BC的长度；
(2)求k的取值范围．
【尝试训练14】 (1)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，c＝2，△ABC的面积为，D为边BC的中点，则AD的长度是( )
A． B．
C．1 D．2
(2)(2024·许昌模拟)在△ABC中(点A在BC上方)，若A＝，BC＝2，BC边上的高为h，△ABC的个数为n，则下列选项错误的是( )
A．当h>3时，n＝0 B．当h＝3时，n＝1
C．当0(1)累加法
使用情景：形如an＋1－an＝f(n)或an＋1＝an＋f(n)
解题模板：第一步 将递推公式写成an＋1－an＝f(n)；
第二步 依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们累加起来；
第三步 得到an－a1的值，解出an；
第四步 检验a1是否满足所求通项公式，若满足，则合并；若不满足，则写成分段形式．
(2)累乘法
使用情景：形如＝f(n)或an＋1＝an·f(n)
解题模板：第一步 将递推公式写成＝f(n)；
第二步 依次写出，…，，并将它们累乘起来；
第三步 得到的值，解出an；
第四步 检验a1是否满足所求通项公式，若满足，则合并；若不满足，则写成分段形式．
【例15】 已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2nanan＋1，则an＝________．
【尝试训练15】 (1)(2024·衡阳模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，且bn＝，则数列{bn}前n项的和Sn＝( )
A． B．
C． D．
(2)(2024·洛阳期中)在数列{an}中，an>0，a1＝1，＝2n，则a113＝( )
A．4 B．15
C． D．10
形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1＝a)
(1)若c＝1时，数列{an}为等差数列．
(2)若d＝0时，数列{an}为等比数列．
(3)若c≠1且d≠0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求．
待定系数法：设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ，与题设an＋1＝can＋d，比较系数得(c－1)λ＝d，所以λ＝(c≠0且c≠1)，所以an＋＝c(an－1＋)，因此数列为以a＋为首项，以c为公比的等比数列．
【例16】 已知数列{an}(n∈N*)的首项为2，又(2an－an＋1)＝－2(n∈N*)，其中点O在直线l外，点A，B，C均在l上，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝3·2n－1＋1 B．an＝2n－1＋1
C．an＝3·2n－1－1 D．an＝3·2n－1
【尝试训练16】 (1)已知数列{an}，a1＝1，当n≥2时，2an－an－1＋1＝0，则a5＝( )
A．31 B．15
C．－ D．－
(2)(2024·南京模拟)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
如果一个数列{an}中，与首、末两项“等距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
【例17】 已知函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝1，若数列{an}满足an＝f(0)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(1)，则数列{an}的前20项的和为( )
A．230 B．115
C．110 D．100
【尝试训练17】 (1)设数列{an}的通项公式为an＝sin2n°，该数列的前n项和为Sn，则S89＝( )
A．13.5 B．27
C．44.5 D．89
(2)已知数列{an}满足对 m，n∈N*，都有am＋an＝am＋n成立，a7＝，函数f(x)＝sin2x＋4cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前27项和为________．
(1)分割法
求一个不规则几何体的体积时，可将几何体分割成若干个规则的小几何体，求得小几何体的体积后，求和即得原几何体的体积，这就是分割法．
(2)补形法
把不规则形体补成规则形体，把不熟悉的形体补成熟悉的形体，便于计算其体积．
常用的补形法如下：
①将正四面体补为正方体，如图所示．
②将对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图所示．
③将三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一般长方体或正方体，如图所示．PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC.
④将三棱锥补成三棱柱，如图所示．
⑤将三棱锥补成平行六面体，如图所示．
⑥将台体补成锥体，如图所示．
【例18】 (1)如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形．EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积V＝( )
A． B．
C． D．
(2)如图，AA′⊥底面ABC，AA′∥BB′∥CC′，且AB＝3，BC＝4，AC＝5，AA′＝6，BB′＝2，CC′＝4，则几何体ABC A′B′C′的体积为___________________________________．
【尝试训练18】 (1)如图所示，已知多面体ABC DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG, 平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)如图，在三棱台ABC A′B′C′中，A′A⊥底面ABC，B′B⊥BC，A′A＝A′B′＝B′C′＝a，且B′B和底面成45°角，则这个棱台的体积为________．
立体几何的空间角分三种：异面直线所成角(线线角)、直线与平面所成角(线面角)、二面角的平面角(二面角).其定义如下：
(1)异面直线所成角(线线角)
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
特别提示：异面直线所成角的范围是(0，].
(2)直线与平面所成角(线面角)
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
特别提示：直线与平面所成角的范围是[0，].
(3)二面角的平面角(二面角)
在二面角的棱上任找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线，所构成的角为二面角的平面角．如图，∠AOB即为二面角α l β的平面角．
特别提示：二面角的平面角的范围是[0，π].
【例19】 如图，ABCD为圆柱OO′的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.
(1)证明：BE⊥平面DEF；
(2)若AB＝BC＝2，当三棱锥B DEF的体积最大时，求二面角B DF E的余弦值．
【尝试训练19】 在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2.
(1)求直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值；
(2)求异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值．
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，求待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，此方法也称待定系数法．
【例20】 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝9，圆C2：(x－3)2＋y2＝1，若动圆E与C1，C2都外切，则圆心E的轨迹方程为________________．
【尝试训练20】 已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＋＝1(x≠0) B．＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1
圆锥曲线的第二定义，也称圆锥曲线的统一定义：在平面内到定点的距离与到定直线(定点不在直线上)的距离之比是常数的点的轨迹为圆锥曲线．当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＞1时，轨迹为双曲线；当e＝1时，轨迹为抛物线．其中定点是曲线的焦点，定直线是焦点对应的准线，e是离心率．
【例21】 已知双曲线－＝1，点M(6，2)，P为双曲线右支上的一动点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，求|PM|＋|PF2|的最小值．
【尝试训练21】 已知点P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的动点，F1，F2分别是其左、右焦点，O为坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是( )
A． B．
C． D．2
圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型，在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”．常见结论如下：
结论1：设l为不过原点O的直线，与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则kAB·kOM＝－＝e2－1(其中e为椭圆的离心率).
结论2：设l为不过原点O的直线，与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则kAB·kOM＝＝e2－1(其中e为双曲线的离心率).
结论3：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上两点，则直线AB的斜率kAB＝＝.
【例22】 若A，B是抛物线y2＝4x上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D(4，0)，则|AB|的最大值为________．
【尝试训练22】 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是2x－y＋9＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是( )
A． B．
C． D．
(1)点P(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，则过点P的切线方程为＋＝1.
(2)点P(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，则过点P的切线方程为－＝1.
(3)点P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，则过点P的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
【例23】 经过椭圆＋y2＝1上一点(，)的切线方程为____________________．
【尝试训练23】 设P(x0，y0)为双曲线－＝1上一动点，则P处的切线方程为________________________________________________________________________．
(1)若点P(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)外一点，过点P作椭圆的两条切线，切点为A，B，则切点弦AB的直线方程是＋＝1.
(2)若点P(x0，y0)是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外一点，过点P作双曲线的两条切线，切点为A，B，则切点弦AB的直线方程是－＝1.
【例24】 过点P(5，3)作曲线＋＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线方程为________．
【尝试训练24】 过点P(－1，－2)作双曲线－＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线方程为____________．
“n个相同元素分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用隔板法求解．
(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有C种，即给n个元素中间的(n－1)个空隙中插入(m－1)个隔板．
(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有C种，即将n个相同元素与(m－1)个相同隔板进行排序，在(n＋m－1)个位置中选(m－1)个安排隔板．
【例25】 某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆．现从这7个车队中抽出10辆车组成一个运输队，且每个车队至少抽1辆，则不同的抽法种数为( )
A．84 B．120
C．63 D．301
【尝试训练25】 (1)小明准备在阳台种植玫瑰、百合、牡丹和兰花4种盆栽，共种8盆，并且每种花至少种1盆，则小明买盆栽的方法共有( )
A．24种 B．120种
C．35种 D．48种
(2)方程x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝9的非负整数解的组数为________．
已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：l，，s；m，，s；n，，s.记总的样本平均数为，样本方差为s2，则
(1)＝＋＋；
(2)s2＝{l[s＋(－)2]＋m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}．
【例26】 某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，则该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数为________岁，方差为________(结果保留整数).
【尝试训练26】 某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生的平均成绩为________分，方差为________．
(1)均值的运算性质
线性运算：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，其中a，b为常数．
线性可加性：E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)
推广：E(i)＝(Xi)
(2)方差的运算性质
线性运算：D(aX＋b)＝a2D(X)，其中a，b为常数．
线性可加性：若X，Y相互独立，则D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)
推广：若Xi(i＝1，2，…，n)相互独立，则D(i)＝(Xi)
【例27】 已知η的分布列为
η 0 10 20 50 60
P
则D(η)＝________，设Y＝2η－E(η)，则D(Y)＝________．
【尝试训练27】 小青准备用9万元投资A，B两种股票，已知两种股票收益相互独立，且这两种股票的买入都是每股1万元，每股收益的分布列如表所示，若投资A种股票a万元，则小青两种股票收益均值的和为________万元．
股票A的每股收益分布列
收益X/万元 －1 0 3
P 0.3 0.2 0.5
股票B的每股收益分布列
收益Y/万元 －3 4
P 0.4 0.6
考前必纠误区
[概念误区]
1 ∈， 和 的区别 ①∈表示元素与集合间的关系，如a∈{a，b，c}，特别地，在立体几何中表示点与直线或点与平面间的关系，如点A∈直线l，点A∈平面α； ② 表示集合间的包含关系， 仅在立体几何中使用，表示直线与平面间的关系，如直线l 平面α
2 ≥，≤与>，<的区别 ≥的含义是>或＝，如a≥1是指a>1或a＝1；≤类同
3 混淆“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q” p是q的充分条件等价于“p q”； p的充分条件是q等价于“q p”
4 对复数的虚部理解错误 在复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部是指b，而不是bi
5 纯虚数的条件不明晰 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，纯虚数不仅要求a＝0，还要有b≠0
6 混淆函数本身对称与相互对称 ①函数本身对称是一个函数的性质，函数相互对称是两个不同函数的对称性； ②若f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称；y＝f(a－x)与y＝f(a＋x)的图象关于y轴对称
7 函数的单调性、函数的单调区间与函数在区间上单调的区别 ①函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数．如：如图所示，函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在整个定义域上不是减函数． ②“函数的单调递增(减)区间是M”与“函数在区间N上单调递增(减)”是两个不同的概念，显然N M.如函数y＝(x>0)的单调递减区间是(0，＋∞)，可以说其在(0，＋∞)的任意子区间上都是单调递减
8 函数的极值与最值的区别 极值反映了函数在某一点附近的值的大小情况，刻画的是函数的局部性质；而最值则反映了某区间上函数值中最小或最大的数．图中的d，f，h对应的函数值都是极大值，c，e，g对应的函数值都是极小值，最大(小)值则是极大(小)值与函数的区间端点值中最大(小)的一个． 注意：极值不能在区间的端点处取得，即若求如图所示的函数f(x)在区间[f，h]上的极值情况，此时函数f(x)只有极小值f(g)，无极大值，因为f，h为区间端点，此处不能取极值
9 轨迹与轨迹方程的区别 平面轨迹是个图形，比如直线、圆、椭圆等，而轨迹方程是这个图形对应的方程．一般先利用直接法或代入法求出轨迹方程，再说明轨迹，有时也可根据曲线的定义直接得出轨迹
10 截距与距离的区别 横截距是直线与x轴交点的横坐标，纵截距是直线与y轴交点的纵坐标，可以为正数，负数，甚至可以为0，而距离往往是非负数
11 空间角与向量夹角的区别 线线角、线面角、平面与平面的夹角的取值范围是[0，]，向量夹角的取值范围是[0，π]，二面角的取值范围是[0，π]
12 二项式系数与项的系数的区别 对于二项式(a＋b)n，其二项式系数只与n有关，为C(r＝0，1，2，…，n)，恒为正，二项式系数之和为2n；项的系数与a，b有关，可正可负，一般用赋值法求展开式中的项的系数和或部分系数和，常赋值为0，±1
13 条件概率P(B|A)与积事件的概率P(AB)的辨析 ①P(B|A)表示在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(B|A)＝. ②P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(AB)＝P(B|A)·P(A)或P(AB)＝P(A|B)·P(B). 区分条件概率与积事件概率的关键是寻找并理解题中的关键字词，如： 问题1 不透明的袋中有6个黄球、4个白球，这10个球除颜色外全部相同，现不放回抽取2次，每次取一球，求第二次才取到黄球的概率． 该题中的关键字是“才”，也就是“第一次取到白球，第二次取到黄球”，应该使用积事件的概率公式求解．据此，设“第二次才取到黄球”为事件C，“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则P(C)＝P(AB)，而不是P(C)＝P(B|A). 问题2 不透明的袋中有6个黄球、4个白球，这10个球除颜色外全部相同，现不放回抽取2次，每次取一球，当取出的两球其中之一是黄球时，求另一个也是黄球的概率． 该题中的关键词是“当……时”，也就是“在已知某事件发生的条件下，求另一事件发生的概率”，应该使用条件概率公式求解．据此，设“取出的两球其中之一是黄球”为事件D，“另一个也是黄球”为事件E，“当取出的两球其中之一是黄球时，另一个也是黄球”为事件F，则P(F)＝P(E|D)＝
14 事件互斥、对立与独立的区别 (1)A，B互斥：A，B不能同时发生． (2)A，B对立：A，B有且只有一个发生． (3)A，B独立：P(AB)＝P(A)P(B). (4)必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立． (5)对概率大于0的两事件，独立一定不互斥，互斥一定不独立，即独立和互斥不能同时成立． (6)两个事件可能既不独立也不互斥．这样的实例非常多．例如，掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝{掷出偶数点}，事件B＝{掷出2点}，则AB≠ 且＝P(AB)≠P(A)P(B)＝×，即A，B既不独立也不互斥
[思维误区]
误区1 求方程ax2＋bx＋c＝0的解集忽略对a＝0的讨论
[典题] 若集合{x|ax2－4x＋1＝0}的子集个数为2，则a＝________．
[错解] 集合{x|ax2－4x＋1＝0}的子集个数为2，则方程ax2－4x＋1＝0的解集中只有1个元素，所以Δ＝42－4a＝0，所以a＝4.
[错解原因] 忽略a＝0时方程ax2－4x＋1＝0的解集中只有1个元素．
[正解]
误区2 根据A B求参数取值范围，忽略A＝ 的情况
[典题] 已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3}，B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若A B，则实数a的取值范围是________．
[错解] 由A B，所以解得a<－4或2[错解原因] 造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A B，注意对A进行分类讨论，即分为A＝ 和A≠ 两种情况讨论．
[正解]
[典题] 函数f(x)＝在R上单调，则a的取值范围是________．
[错解] 若该函数在R上单调递减，则有 解得a<－1；若函数在R上单调递增，则有解得a>1，故a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
[错解原因] 忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小．
[正解]
[典题] 函数f(x)＝lg (x2－2x－3)的单调递增区间为________．
[错解] 由y＝x2－2x－3的单调递增区间为(1，＋∞)，得f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
[错解原因] 忽略了x2－2x－3>0.
[正解]
误区5 对函数奇偶性与单调性交汇问题，讨论不全面
[典题] 偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且满足f(2a)>f(1－a)，则a的取值范围是________．
[错解] 由偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2a)>f(1－a)得或解得0≤a<.
[错解原因] 该题应该分4种情况讨论，或利用f(x)＝f(|x|)求解．
[正解]
误区6 对函数单调性与导数值的符号关系理解不到位
[典题] 若函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋1在R上为减函数，求实数a的取值范围．
[错解] 函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋1在R上为减函数，则f′(x)＝－3x2＋2ax－1<0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－12<0，故－[错解原因] 一般地，由f′(x)<0能推出f(x)为减函数，反之，则不一定．如函数f(x)＝－x3在区间(－∞，＋∞)上单调递减，但是f′(x)≤0.
[正解]
[典题] 已知f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln (x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)>g(x2)，求实数a的取值范围．
[错解] 由f(x)>g(x)得－a0，所以h(x)在[0，2]上单调递增，所以－aln 3－4.
[错解原因] 混淆双变量与单变量．
[正解]
[典题] 已知sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，则α＋β＝________．
[错解] 因为α，β为锐角，所以cos α＝＝，cosβ＝＝.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.
又0<α＋β<π.所以α＋β＝或α＋β＝π.
[错解原因] 没有注意到sin α＝，sin β＝本身对角的范围的限制，造成错解．
[正解]
误区9 利用零点求f(x)＝A sin (ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)中的φ忽略零点是在增区间或减区间
[典题] 函数f(x)＝sin (ωx＋φ) (x∈R，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)＝________．
[错解] 观察题图可知，A＝1，T＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin (2x＋φ)，把代入得sin ＝0，所以＋φ＝0，φ＝－，f(x)＝sin .
[错解原因] 忽略了在单调递减区间内，应该是＋φ＝2kπ＋π(k∈Z).
[正解]
[典题] 已知a＝(2，1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________．
[错解] 因为cos θ＝＝.因为θ为锐角，所以cos θ>0，即>0 2λ＋1>0，得λ>－，λ的取值范围是.
[错解原因] 当向量a，b同向时，θ＝0，cos θ＝1满足cos θ>0，但不是锐角．
[正解]
[典题] 已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
[错解] 由题意，易得an＝n2－n＋33，所以＝n＋－1≥2－1.
[错解原因] 忽视了n为正整数，直接利用基本不等式求最值．
[正解]
误区12 忽视两个同号的数的等比中项有2个
[典题] “b＝”是“a，b，c成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[错解] 选A，B，C
[错解原因] 忽略两个同号的数的等比中项有2个，或忽略等比数列各项不为零．
[正解]
[典题] 如图所示，四棱锥P ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点．
(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值；
(2)求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值．
[错解] 如图所示，取DC的中点O，连接PO，因为△PDC为正三角形，所以PO⊥DC.
又因为平面PDC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则P(0，0，a)，A(a，－，0)，B(a，，0)，
C(0，，0)，D(0，－，0).
(1)E为PC的中点，所以E(0，，a)，
所以＝(0，a，a)，
＝(a，－，－a)，
所以·＝(－)×a＋(－a)×a＝－a2，||＝a，||＝a，
cos 〈，〉＝＝＝－.
所以异面直线PA与DE所成角的余弦值为－.
(2)因为平面ABCD的一个法向量n＝(0，0，a)，所以cos 〈，n〉＝＝＝－.
所以直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为－.
[错解原因] (1)异面直线PA与DE所成的角为锐角或直角，余弦值一定非负．(2)直线AP与平面ABCD所成的角θ不是与平面ABCD的法向量所成的角〈，n〉，而是sin θ＝|cos 〈，n〉|＝.
[正解]
[典题] 直线l过点P(1，3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________________．
[错解] 因为直线l过点P(1，3)，且在两坐标轴上的截距相等，设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，所以a＝4，故直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.
[错解原因] 忽略直线l过原点，截距为零的情况，而直线l的方程可以表示为＋＝1的条件是直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零．
[正解]
[典题] 已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，过点A(1，2)作圆的切线有两条，求a的取值范围．
[错解] 将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝.所以圆心C的坐标为(－，－1)，半径r＝.
当点A在圆外时，过点A可以作圆的两条切线，
所以|AC|>r，
即 ＋(2＋1)2>，
化简得a2＋a＋9>0，Δ＝1－4×9＝－35<0，所以a∈R.
[错解原因] 错解中只考虑了点A在圆C外部，而忽视了圆C的方程是圆的一般式方程，x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件没有考虑．
[正解]
[典题] 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
[错解] 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1.
[错解原因] 错误运用双曲线定义出错．本题中，|MC2|－|MC1|＝2，与双曲线定义相比，左边少了外层绝对值，因此只能是双曲线的一支．如果不注意，就会得出错误的结果，即点M的轨迹方程为x2－＝1.
[正解]
[典题] 已知双曲线x2－＝1，过点B(1，1)能否作直线m，使m与已知双曲线交于Q1，Q2两点，且B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，请说明理由．
[错解] 设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，代入双曲线方程得
①－②化简得k＝＝.因为中点B(1，1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以k＝2.
所以满足题设的直线存在，且方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
[错解原因] 错解中没有判断直线2x－y－1＝0和双曲线x2－＝1是否相交．
[正解]
[典题] 某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有( )
A．6种 B．24种
C．36种 D．72种
[错解] 先从4人中选3人去3个山村，最后1人可任选1个山村，由此得不同的分配方案共有AC＝72(种)，故选D．
[错解原因] 错解中的计数有重复，重复原因如下：“甲乙丙3人分别去A，B，C3个山村，然后丁去A山村”与“丁乙丙3人分别去A，B，C3个山村，然后甲去A山村”结果是相同的．求解不同元素的分配，每部分至少1个元素，一般是先分组，再排列．
[正解]
[典题] 身高互不相同的七名学生排成一排，从中间往两边越来越矮，不同的排法有( )
A．5 040种 B．720种
C．240种 D．20种
[错解] 最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有A＝120种排法，第二步：排右边，有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有120×6＝720(种)，故选B．
[错解原因] 混淆有序与定序，这里的“有序”是指元素的位置可以有不同的顺序，有序问题是排列问题；“定序”是指元素的相对顺序固定，定序问题可看作组合问题．
[正解]
[典题] 投掷一枚均匀的骰子，事件A＝“朝上一面的点数为奇数”，B＝“朝上一面的点数不超过3”，求P(A∪B).
[错解] P(A)＝，P(B)＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.
[错解原因] 概念模糊，未验证公式成立条件．概率加法公式是指当事件A，B为互斥事件时，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则只能使用一般的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－ P(AB).
[正解]
参考答案与解析
[考前抢分 夺冠必备]
考前解密真题
[知识密码1]
[密码再现]
1．解析：选B．由C的方程可设M(3cos α，2sin α)，N(3cos β，2sin β)，
则＝(3cos α，2sin α)，＝(3cos β，2sin β)，所以S△OMN＝|3cos α·2sin β－2sin α·3cos β|
＝3|cos αsin β－sin αcos β|
＝3|sin (α－β)|≤3×1＝3，
当且仅当α－β＝kπ＋(k∈Z)时，取等号，
故△OMN面积的最大值为3.
2．解析：设P点坐标为(x0，y0)，
则－y＝1，由C的方程可知，l1与l2的方程分别为y＝x与y＝－x，
则PM：y－y0＝(x－x0)，
PN：y－y0＝－(x－x0)，
由
解得M，
由
解得N，
所以＝(－x0－y0，－x0－y0)，
＝.
故S△PMN＝|(－x0－y0)(x0－y0)－(－x0＋y0)(－x0－y0)|
＝＝×1＝，
所以△PMN的面积为，
所以平行四边形OMPN的面积为1.
答案：1
[知识密码2]
[密码再现]
1．解析：原锥体体积V＝π×32×6＝18π，
则V1＝×V＝×18π＝，
＝，
V2＝7V1＝7×＝.
答案：
2．解析：选CD．因为S1∶S2∶S3＝1∶2∶3，
故r1∶r2∶r3＝1∶∶，
因此V1∶V2∶V3＝13∶()3∶()3＝1∶2∶3，
可设V1＝V，V2＝2V，V3＝3V.
V1＋V3－2V2＝(1＋3－4)V.
由于1＋3－4≈1＋5.2－5.7>0，
(或(1＋3)2－(4)2＝6－4>6－4＝2>0)
所以V1＋V3－2V2>0，即V1＋V3>2V2，A错误，C正确；
V1V3－V＝[1×3－(2)2]V2
＝(3－8)V2<0，
所以V1V3[知识密码3]
[密码再现]
1．解析：由|F1Q|·|PF2|＝|F2Q|·|PF1|知＝，
故PQ是∠F1PF2的角平分线．
由cos ∠F1PF2＝得cos2＝＝，
即cos＝，
所以|PQ|＝
＝＝.
因此|PQ|＝.
答案：
2．解析：由题意得
即
解得
S△ABC＝bc sin A＝×5×3×sin 120°＝.
设△ABC内切圆半径为r，
则由ar＋br＋cr＝S△ABC
得r＝＝＝.
所以△ABC内切圆的面积S＝πr2＝π＝.
因此a＝7.△ABC内切圆的面积S＝.
答案：7
[知识密码4]
[密码再现]
1．解析：选C．方法一(密码法)：由于函数f(x)＝x－a与g(x)＝x－b－1在R上单调递增，
且零点分别为x1＝a，x2＝b＋1.
由f(x)g(x)≥0得a＝b＋1，
所以a3－3b＝a3－3(a－1)＝a3－3a＋3.
令h(a)＝a3－3a＋3，h′(a)＝3a2－3，
当a＝－1或a＝1时，h′(a)＝0；
当a<－1或a>1时，h′(a)>0；
当－1故h(a)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，
所以h(a)极大值＝h(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5.
方法二(二次函数思想)：令f(x)＝(x－a)·(x－b－1)＝x2－(a＋b＋1)x＋a(b＋1).
由于f(x)≥0在R上恒成立，
故f(x)min＝≥0，
即4a(b＋1)－(a＋b＋1)2≥0，
展开得a2＋b2－2ab－2a＋2b＋1≤0，
即(a－b－1)2≤0.
又(a－b－1)2≥0，
所以a－b－1＝0，即b＝a－1.下同方法一．
2．解析：选B．函数y＝x－a与y＝ln (x－ln b)在(ln b，＋∞)上单调递增，
且零点分别为x1＝a与x2＝ln b＋1.
由f(x)≥0得a＝ln b＋1，
所以a－b＝ln b＋1－b.
令g(b)＝ln b－b＋1(b>0)，
g′(b)＝－1＝.
当b＝1时，g′(b)＝0；
当00；
当b>1时，g′(b)<0.
所以g(b)在(0，1)上单调递增，
在(1，＋∞)上单调递减．
所以g(b)max＝g(1)＝0.
即a－b的最大值为0.
[知识密码5]
[密码再现]
1．解析：选C．由题意得f(1＋x)＋f(1－x)＝4，
对于R上的x恒成立，
所以＋b(1＋x)＋＋b(1－x)＝4，
即a(3－2b)(2x＋2－x)＋(a2＋4)(2－b)－4＝0.
由于a>0，故
解得
所以ab＝2×＝3.
2．解析：选AC．设P的坐标为(m，n)，则函数g(x)＝f(x＋m)－n为奇函数或f(2m－x)＋f(x)＝2n或f(m－x)＋f(m＋x)＝2n
(下面仅用f(2m－x)＋f(x)＝2n求解).
因为f(x)＝ln ＋(x－b)3，
ln ＋(2m－b－x)3＋ln ＋(x－b)3＝2n，
即ln ＋(6m－6b)x2＋(12bm－12m2)x＋(2m－b)3－b3＝2n，
所以
由于a>0，
化简得a＝2m，b＝m，n＝0.
所以点P的坐标为，故A正确，B错误；且a＝2b，C正确，D错误．
[知识密码6]
[密码再现]
1．解析：选D．设O为坐标原点，由e|cos θ|＝得e·＝，
即e2＝，所以e＝.
2．解析：选ABD．对于A，由b＝与b2＝c2－a2得，＝(c＋a)(c－a)，
即3c＝5a，所以e＝＝，A正确；
对于B，由a＝c得b＝＝＝c.
所以两条渐近线方程为y＝±x＝±x.
设其中一条渐近线y＝x的倾斜角为α，则<α<，
所以两条渐近线的夹角为π－2α.
所以tan (π－2α)＝－tan 2α
＝－＝＝，
B正确；
对于C，由上可知，a＝c，b＝c，c>0，
则直线ax＋by＋c＝0可化简为3x＋4y＋5＝0，易知过第二、三、四象限，C错误；对于D，由k＝知，直线l的倾斜角θ为锐角且|AF|>|BF|.
由tanθ＝，即＝.
sin2θ＋cos2θ＝1，解得cosθ＝.
设＝λ(λ>1)，
由e|cos θ|＝得×＝，
解得λ＝5，故|AF|＝5|BF|，D正确．
考前必会方法
[例1] [证明] 由柯西不等式得
·≥a＋b，
即·≥a＋b，当且仅当a＝b时，等号成立，同理·≥b＋c，当且仅当b＝c时，等号成立，·≥a＋c，当且仅当a＝c时，等号成立．
将上面三个同向不等式相加得
(＋＋)≥2(a＋b＋c)，
所以＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
[尝试训练1] (1)解析：(＋)2＝(1×＋1×)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，
当且仅当＝，
即a＝b＝时等号成立．
答案：12
(2)解析：由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·[()2＋()2]＝(3x2＋2y2)·(＋)
≤6×＝11，于是2x＋y≤.
答案：
[例2] [解析] 因为f()＝，
令t＝，则x＝，t≠－1且t≠0，
所以f(t)＝＝(t≠－1且t≠0)，
所以f(x)＝(x≠－1且x≠0).
[答案] D
[尝试训练2] (1)解析：设1－sin x＝t，
则t∈[0，2]，sin x＝1－t，
因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
答案：f(x)＝2x－x2(x∈[0，2])
(2)解析：令t＝ex，则x＝ln t(t>0)，
则f(t)＝ln t·lg 7(t>0)，
所以f(x)＝ln x·lg 7(x>0).
则f(2)＋f(5)＝ln 2·lg 7＋ln 5·lg 7＝lg 7·(ln 2＋ln 5)＝lg 7·ln 10＝lg 7·＝ln 7.
答案：ln 7
[例3] [解析] 作图象如图所示．
因为f(－1)＝f(1)＝－4，f(－2)＝－3，f(3)＝0，f(0)＝－3.
所以函数的最大值、最小值分别为0和－4，即函数的值域为[－4，0].
[答案] [－4，0]
[尝试训练3] (1)解析：选C．由题意，作出函数f(x)在(－∞，＋∞)上的图象如图所示，
令f(x)＝0，可得x＝－2或x＝2，
令f(x)＝，可得x＝0，
所以当m＝－2时，n＝0；m＝－2时，n＝1；m＝－2时，n＝2；
m＝－1时，n＝2；m＝0时，n＝2，
所以满足条件的整数对(m，n)可以是(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，2)，(0，2)，共5对．
(2)解析：当－x＋3≥(x－1)2，
即x2－x－2≤0，
即－1≤x≤2时，M(x)＝－x＋3；
当－x＋3<(x－1)2，即x2－x－2>0，
即x>2或x<－1时，M(x)＝(x－1)2，
所以M(x)＝
函数图象如图所示．
由图可得，函数M(x)在(－∞，－1)，(－1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以M(x)min＝M(2)＝－2＋3＝1.
答案：1
[例4] [解析] 对于选项A，因为f(2x＋2)为奇函数，所以f(－2x＋2)＝－f(2x＋2)，
令t＝2x，得到f(2－t)＝－f(t＋2)，
即有f(－t)＝－f(t＋4)，
故可得f(－x)＝－f(x＋4)，
又f(x－1)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x－1)，即有f(－x)＝f(x－2)，
所以f(x－2)＝－f(x＋4)，
得到f(x)＝－f(x＋6)，
所以f(x)＝－f(x＋6)＝f(x＋12)，
即函数f(x)的一个周期是12，所以选项A错误；
对于选项B，因为g(x)为奇函数，
所以g(－x)＝－g(x)，
又g(x)＝g(4－x)，
所以－g(－x)＝g(4－x)，
即g(x)＝－g(x＋4)＝g(x＋8)，
所以函数g(x)的一个周期是8，所以选项B正确；
对于选项C，由选项A和B知，f(18)＋g(68)＝f(6)＋g(4)，
又g(0)＝g(4)＝0，f(6)＝－f(0)＝－2，
所以f(18)＋g(68)＝－2，故选项C正确；
对于选项D，因为当0≤x≤2时，g(x)＝ln (x＋1)，
所以当10≤x≤12时，0≤12－x≤2，
所以g(x)＝g(x－8)＝g(4－(x－8))＝g(12－x)＝ln (12－x＋1)＝ln (13－x)，
所以选项D正确．
[答案] BCD
[尝试训练4] (1)解析：选A．因为f(x)＋f(3－x)＝4，则函数f(x)的图象关于点(，2)中心对称，且f()＝2.
由f′(x)－f′(3－x)＝0，f′(x)＝g(x)，得g(x)＝g(3－x)，
所以函数g(x)的图象关于直线x＝对称，g(1)＝g(2).
根据图象变换的规律，由y＝g(x－1)的图象关于点(2，1)中心对称，
得g(x)的图象关于点(1，1)中心对称，g(1)＝1，
则g(x)的一个周期T＝4×(－1)＝2，
g(2 024)＝g(2)＝g(1)＝1，
故f()＋g(2 024)＝2＋1＝3.
(2)解析：由函数y＝f(3x＋1)为偶函数，故f(3x＋1)＝f(－3x＋1)，即f(x＋1)＝f(－x＋1)，
则f(x)的图象关于直线x＝1对称．
由y＝f(3x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，
则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
则f(x)在(－∞，1)上单调递减，
则对f(x)则(x－1)2<(2x)2，化简得(3x－1)(x＋1)>0，即x<－1或x>.
答案：(－∞，－1)∪(，＋∞)
(3)解析：由f(x＋3)＝－f(－x)，
可得f(x)的图象关于点(，0)对称，
又f(x)是奇函数，
所以f(x＋3)＝－f(－x)＝f(x)，
则f(x)的一个周期为3，
所以f(0)＝f(3)＝f(6)＝0，
f(5)＝f(2)＝0，f(4)＝f(1)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
而f(1.5)＝f(－1.5)＝－f(1.5)，
则f(1.5)＝f(4.5)＝0.
故f(x)在[0，6]上的零点个数的最小值为9.
答案：9
[例5] [解析] 由a＝＝，b＝＝，且c＝＝，
构造函数f(x)＝(x>0)，
可得f′(x)＝，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
故f(e)>f(4)>f(2e2)，即b>a>c.
[答案] C
[尝试训练5] (1)解析：选A．构造函数f(x)＝ln x－x(x>0)，因为f′(x)＝－1<0对x∈(1，＋∞)恒成立，
所以函数f(x)＝ln x－x在(1，＋∞)上单调递减，从而有f()>f(3)>f(π)，
即a>c>b.
(2)解析：ln a＝ln ＝ln 2，ln b＝ln e＝，ln c＝ln π，
令f(x)＝(x>0)，
则f′(x)＝，
由f′(x)>0，得0由f′(x)<0，得x>e.
所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
所以ln b＝ln e最大，
而ln a－ln c＝ln 2－ln π＝ln 4－ln π<0，所以a则a答案：ac>a)
[例6] [解] 若 x>0，不等式f(x)>x2恒成立，
则>1＋＋对x>0恒成立，
所以>(1＋＋)max.
令g(x)＝1＋＋(x>0)，
则g′(x)＝－＋
＝，
令h(x)＝1－2ln x－x(x>0)，
显然h(x)＝1－2ln x－x在(0，＋∞)上单调递减，
又h(1)＝1－2ln 1－1＝0，
所以当x∈(0，1)时，h(x)>0，g′(x)>0，
则g(x)在(0，1)上单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，g′(x)<0，则g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝1＋＋＝2，
所以>2，所以m>4，
所以实数m的取值范围为(4，＋∞).
[尝试训练6] 解析：选C．因为f(x)在R上单调递增，所以f′(x)＝ex＋x2－x－a≥0在R上恒成立，
等价于a≤ex＋x2－x在R上恒成立．
令g(x)＝ex＋x2－x，则g′(x)＝ex＋x－1，易得g′(x)在R上单调递增，
又g′(0)＝0，所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(0)＝1，所以a≤1，
所以实数a的最大值为1.
[例7] [解析] 由于比较a＝f()，b＝0，c＝－f()大小，
即比较f()，0，－f()大小即可．
设函数g(x)＝f(x)cos x，
则g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x，
因为f′(x)cos x－f(x)sin x>0，
所以g′(x)>0，
所以g(x)在(0，π)上是增函数，
且f()＝f()cos ＝g()，
0＝f()cos ＝g()，
－f()＝f()cos ＝g()，
则f()<0<－f()，
所以a[答案] A
[尝试训练7] (1)解析：选B．令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，
因为f(x)－xf′(x)>0，
所以g′(x)＝<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为0<2所以g(2)>g(e)>g(3)，
所以>>，
所以c(2)解析：选A．不等式>1等价于f(x)>ex＋ln x，
即f(x)－ex－ln x>0，
构造函数g(x)＝f(x)－ex－ln x，x>0，所以g′(x)＝f′(x)－ex－，
因为当x>0时，f′(x)<＋ex，
所以g′(x)<0对 x∈(0，＋∞)恒成立，
所以g(x)在(0，＋∞)单调递减，
又因为g(1)＝f(1)－e－ln 1＝0，
所以不等式f(x)－ex－ln x>0等价于g(x)>g(1)，所以0即不等式>1的解集为(0，1).
[例8] [解析] 函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1＝[2f(x)－1][f(x)－1]的零点，即方程f(x)＝和f(x)＝1的根，函数f(x)＝的图象如图所示，由图可得方程f(x)＝和f(x)＝1共有5个根，即函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1有5个零点．
[答案] B
[尝试训练8] (1)解析：选C．f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x，
当x∈(－，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(，π)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
又f(－)＝－1>0，f(0)＝0，
f()＝－1>0，f(π)＝－2<0，
则f(x)＝x sin x＋cos x－1，x∈[－，π]的草图如图所示：
由图象可得函数f(x)的零点个数为2.
(2)解析：画出f(x)的函数图象如图，
令t＝f(x)，则由图可知要使g(x)有三个零点，则关于t的方程t2＋2t＋m＝0有两个根，且一个根小于4，一个根大于等于4，所以解得m≤－24.
答案：(－∞，－24]
[例9] [证明] 由x1，x2是f(x)的两个零点，且0得
两式相减得
ln －(x－x)＋a(x2－x1)＝0，
所以a＝－＋(x1＋x2)，
因为f′(x)＝－2x＋a，
所以f′()＝－(x1＋x2)＋a
＝－
＝.
要证f′()<0，
只需证－ln <0即可．
由－ln <0变形得
<.
由对数均值不等式可知，上式显然成立，则f′()<0得证．
[尝试训练9] 证明：由题意知f′(x)＝－a，
f′(1)＝－a＝0，
即a＝1，所以f(x)＝ln x－x.
直线AB的斜率为
k＝＝
＝－1.
故要证－1即证只需证<<.
由对数均值不等式知
<<，
又0所以＝<，
而<，
故有<<，
故－1[例10] [解析] 根据题意，构造函数f(x)＝xex，
g(x)＝，h(x)＝－ln (1－x)，
则a＝f(0.1)，b＝g(0.1)，c＝h(0.1).
由于0.1较小，所以对上述三个函数在x＝0处进行三阶泰勒展开：
f(x)＝x[1＋x＋x2＋＋ο(x3)]
＝x＋x2＋x3＋＋ο(x3)，
g(x)＝－1＝1＋x＋x2＋x3＋ο(x3)－1＝x＋x2＋x3＋ο(x3)，
h(x)＝－[－x－x2－＋ο(x3)]
＝x＋x2＋＋ο(x3).
在x＝0.1处，显然b＝g(0.1)≈0.111 0>a＝f(0.1)≈0.110 5>c＝h(0.1)≈0.105 3.
故c[答案] C
[尝试训练10] 证明：ln (1＋x)＝x－＋－…＋(－1)n－1＋…，ln (1－x)＝－x－－－…＋(－1)2n－1＋…，n∈N*，
所以f(x)＝ln ＝ln (1＋x)－ln (1－x)＝2(x＋＋…＋).
故当x∈(0，1)时，f(x)>2(x＋).
[例11] [解析] f′(x)＝3x2－18x＋29，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝6x－18，令g′(x)＝0，得x＝3，f(3)＝2，得对称中心为(3，2)，又因为f′(x)>0，所以f(x)在R上单调递增．由f(m)＋f(n)＝4，得m＋n＝6.
[答案] 6
[尝试训练11] (1)解析：易知f(x)的中心对称点为(3，2)，所以f(x)＋f(6－x)＝4，故(i)＝5f(3)＝10.
答案：10
(2)解析：由题知B为中心对称点，求得B(2，1)，A，C在以B为圆心，半径为的圆上．
联立
解得或
故A(1，－1)，C(3，3)或A(3，3)，C(1，－1)，
所以直线l的方程为2x－y－3＝0.
答案：2x－y－3＝0
[例12] [解析] ||2＋||2＝4，||2＝2，＝－，
可得·＝1，
则|＋|2＝||2＋||2＋2·＝6，
即|＋|＝，|－|＝||＝，
因为＝2＋＝(＋)＋(－)，
所以||＋|－|－||≤||≤|＋|＋|－|，
即≤||≤.
所以||的取值范围为[，].
[答案]
[尝试训练12] 解析：设圆x2＋y2＝12的圆心为O，连接OA，OB，OP(图略)，则＋3＝－＋3(－)＝＋3＋4.
由|AB|＝4可得cos ∠AOB＝，
所以|＋3|
＝＝12，
所以|＋3|＝|＋3＋4|≤|＋3|＋4||＝12＋4||≤28，即||≤4，
设P(m，4－m)，
则m2＋(4－m)2≤16，
解得0≤m≤4，
所以点P横坐标的取值范围是[0，4].
答案：[0，4]
[例13] [解析] (1) 由＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，化简得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
函数f(x)＝2sin (x－)的单调递减区间为，k∈Z，
(0，)，(，π)，(，2π)都不是，k∈Z的子集，
当k＝0时，单调递减区间为，因为(π，)是的子集，所以(π，)是函数f(x)＝2sin (x－)的单调递减区间．
(2)由f(x)－1＝2sin (ωx＋)－1＝0，
得sin (ωx＋)＝，当x∈(0，π)时，
ωx＋∈(，ωπ＋)，
即有2π＋<ωπ＋≤2π＋，
解得2<ω≤.
[答案] (1)C (2)(2，]
[尝试训练13] 解析：由题设＝＝－(－)＝，可得ω＝2，
由题图知，＋φ＝＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，则φ＝，
所以f(x)＝sin (2x＋)，
所以g(x)＝f(x－)＝sin (2x－)，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即函数y＝g(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
答案：，k∈Z
[例14] [解] (1)在△ABD中，由正弦定理得＝，
在△ACD中，由正弦定理得＝，
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠CAD，
因为∠ADB＋∠ADC＝π，
所以sin ∠ADB＝sin ∠ADC，
所以＝，(巧用内角平分线性质)
因为AB＝3AC，DC＝2，
所以＝3，得BD＝6，
所以BC＝8.
(2)因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
所以AB·AC sin ∠BAC＝AB·AD sin ＋AC·AD sin ，
因为AB＝3AC，AD＝kAC，
所以3AC·AC·2sin cos ＝3AC·kAC sin ＋AC·kAC sin ，
因为sin ≠0，
所以6cos ＝4k，
所以k＝cos ，
因为∈(0，)，
所以cos ∈(0，1)，
所以k∈(0，).
[尝试训练14] (1)解析：选B．因为△ABC的面积为，所以bc sin A＝×2b×＝，所以b＝1，
由余弦定理可知
a＝
＝＝，
因为D为边BC的中点，
所以BD＝DC＝，
因为∠ADC＋∠ADB＝π，
所以cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝0，
即＋＝0，
解得AD＝.
(2)解析：选C．作出△ABC外接圆如图所示，其中O为外接圆圆心，AD⊥BC.
因为A＝，BC＝2，
所以△ABC的外接圆半径r＝＝＝2，
因为A＝，所以∠BOC＝，OD＝1，
所以当AB＝AC时，h最大为3，此时△ABC是唯一的，所以A正确，B正确，
当0[例15] [解析] 若an＋1＝0，则an－an＋1＝0，即an＝an＋1＝0，这与a1＝1矛盾，所以an＋1≠0，
由an－an＋1＝2nanan＋1两边同时除以anan＋1，得－＝2n，
则－＝2n－1，－＝2n－2，…，－＝22，－＝2，
当n≥2时，上面的式子相加可得－＝2＋22＋23＋…＋2n－1＝＝2n－2，所以an＝，又当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝.
[答案]
[尝试训练15] (1)解析：选B．由an＝an－1＋n(n≥2)得a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，…，an－1＝an－2＋n－1，an＝an－1＋n(n≥2)，整理得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－1－an－2＝n－1，an－an－1＝n(n≥2)，
累加得an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝(n≥2)，
当n＝1时，a1＝1也适合上式，故an＝，所以bn＝＝＝2(－)，
则数列{bn}前n项的和
Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝2(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝2(1－)＝.
(2)解析：选B．因为＝2n，
所以a＋a＝2n(a－a)，
即(1－2n)a＝(－2n－1)a，
得＝.
所以a＝×××…×××a＝×××…×××1＝225.
因为an>0，所以a113＝15.
[例16] [解析] (2an－an＋1)＝－2(n∈N*)，
即(2an－an＋1)＋2＝，
点A，B，C均在l上，
故2an－an＋1＋2＝1，
即an＋1＝2an＋1.
即an＋1＋1＝2(an＋1)，设bn＝an＋1，
则bn＋1＝2bn，又b1＝a1＋1＝3，
故数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，即bn＝3·2n－1，
即an＝3·2n－1－1.
[答案] C
[尝试训练16] (1)解析：选C．因为当n≥2时，2an－an－1＋1＝0，所以an＝an－1－，所以an＋1＝(an－1＋1)，且a1＋1＝2，所以{an＋1}是以2为首项，为公比的等比数列，所以an＋1＝2×()n－1，即an＝()n－2－1，所以a5＝()3－1＝－.
(2)解析：在数列{an}中，a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0，显然an≠0，
则有＝2·＋1，
即＋1＝2(＋1)，而＋1＝2，
因此数列{＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以＋1＝2n，即an＝.
答案：an＝
[例17] [解析] an＝f(0)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(1)，①
an＝f(1)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(0)，②
两式相加，又因为f(x)＋f(1－x)＝1，
故2an＝n＋1，所以an＝，
所以数列{an}的前20项的和S20＝a1＋a2＋…＋a20＝＋＋…＋
＝20×1＋×＝115.
[答案] B
[尝试训练17] (1)解析：选C．因为sin (90°－α)＝cos α，所以sin2α＋sin2(90°－α)＝sin2α＋cos2α＝1.
因为S89＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，又S89＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，
两式相加得2S89＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝1×89＝89，
因此，S89＝＝44.5.
(2)解析：令m＝1，可得an＋a1＝an＋1，
即an＋1－an＝a1，故数列{an}是首项和公差均为a1的等差数列，
所以an＝a1＋(n－1)a1＝na1，
因为a7＝7a1＝，
可得a1＝，则an＝，
f(x)＝sin2x＋4cos2
＝sin2x＋2cos x＋2，
f(π－x)＋f(x)＝sin [2(π－x)]＋2cos (π－x)＋2＋sin 2x＋2cos x＋2＝4，
故函数f(x)的图象关于点(，2)对称，
因为a1＋a27＝a2＋a26＝…＝2a14＝π，且a14＝，
故数列{yn}的前27项和S27满足2S27＝[f(a1)＋f(a27)]＋[f(a2)＋f(a26)]＋…＋[f(a27)＋f(a1)]＝27×4＝108.
因此，S27＝54.
答案：54
[例18] [解析] (1)方法一：如图所示，
分别过A，B作EF的垂线， 垂足分别为点G，H，连接DG，CH.
则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，三棱锥的高为，直三棱柱的高为1.AG＝＝，取AD中点M，连接MG，则MG＝.
S△AGD＝×1×＝，所以V＝×1＋2×××＝.
方法二：如图所示，
取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥P AED和三棱锥P BCF都是高为，棱长为1的正四面体，四棱锥P ABCD是高为，棱长为1的正四棱锥．
所以V＝×12×＋2×××＝.
(2)补上一个相同的几何体如图所示，则新几何体的体积等于两个原几何体的体积，即V新＝2V原．
因为AA′⊥底面ABC，AA′∥BB′∥CC′，所以新几何体ABC DEF为直三棱柱，且因为AA′＝6，BB′＝2，CC′＝4，所以新几何体底面ABC的高AD＝8.
因为AB＝3，BC＝4，AC＝5，所以AB2＋BC2＝AC2，所以∠ABC＝90°，
所以V新＝S△ABC·AD＝AB·BC·AD＝48，所以V原＝24，即几何体ABC A′B′C′的体积为24.
[答案] (1)A (2)24
[尝试训练18] (1)解析：选B．如图所示，
过点C作CH⊥DG于H, 连接EH，把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC和一个斜三棱柱BEF CHG.则所求几何体的体积V＝S△DEH·AD＋S△BEF·DE＝(×2×1)×2＋(×2×1)×2＝4.
(2)解析：将三棱台ABC A′B′C′补形还原为三棱锥O ABC，如图所示，
由条件知，OA⊥底面ABC，OB⊥BC，∠OBA＝45°，从而AB⊥BC，
因此所求棱台的体积
V＝VO ABC－VO A′B′C′＝××(2a)2×2a－××a2×a＝a3.
答案：a3
[例19] [解] (1)证明：如图，连接AE，由题意知AB为⊙O的直径，所以AE⊥BE.
因为AD，EF是圆柱的母线，所以AD∥EF且AD＝EF，
所以四边形AEFD是平行四边形．
所以AE∥DF，所以BE⊥DF.
因为EF是圆柱的母线，
所以EF⊥平面ABE，
又因为BE 平面ABE，所以EF⊥BE.
又因为DF∩EF＝F，DF，EF 平面DEF，
所以BE⊥平面DEF.
(2)由(1)知BE是三棱锥B DEF底面DEF上的高，由(1)知EF⊥AE，AE∥DF，所以EF⊥DF，
即底面三角形DEF是直角三角形．
设DF＝AE＝x，BE＝y，则x2＋y2＝4，
所以VB DEF＝S△DEF·BE
＝×(·x·2)·y
＝xy≤·＝，
当且仅当x＝y＝时等号成立，即当点E，F分别是，的中点时，
三棱锥B DEF的体积最大．
由(1)得BE⊥DF.
又因为EF⊥DF，EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，所以DF⊥平面BEF.
因为BF 平面BEF，
所以BF⊥DF，
所以∠BFE是二面角B DF E的平面角，由(1)知△BEF为直角三角形，
则BF＝＝.
故cos ∠BFE＝＝＝，
所以二面角B DF E的余弦值为.
[尝试训练19] 解：(1)因为AC⊥BC，所以B1C1⊥A1C1，
因为ABC A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面A1B1C1，
又B1C1 平面A1B1C1，
所以CC1⊥B1C1，又CC1∩A1C1＝C1，CC1，A1C1 平面ACC1A1，
所以B1C1⊥平面 ACC1A1，
连接AC1，所以∠B1AC1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角，
在Rt△B1AC1中，AC1＝2，B1C1＝2，
所以tan ∠B1AC1＝，
所以直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值为.
(2)因为AC∥A1C1，
所以异面直线AB1与A1C1所成的角就是∠B1AC(或其补角)，
连接B1C，在△B1AC中，AB1＝2，B1C＝2，AC＝2，
所以cos ∠B1AC＝＝，所以异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为.
[例20] [解析] 圆C1：(x＋3)2＋y2＝9的圆心为C1(－3，0)，半径r1＝3；
圆C2：(x－3)2＋y2＝1的圆心为C2(3，0)，半径r2＝1，
由于动圆E与圆C1，C2都外切，
设动圆E的半径为r，
则|EC1|＝r＋3，|EC2|＝r＋1，
所以|EC1|－|EC2|＝3－1＝2＜|C1C2|＝6，所以E点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，
设方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a＝1，c＝3，b＝＝2，
所以圆心E的轨迹方程为x2－＝1(x≥1).
[答案] x2－＝1(x≥1)
[尝试训练20] 解析：选B．因为△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0，4)，
所以|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，因为12>8，
所以点A到两个定点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是椭圆，
因为a＝6，c＝4，所以b2＝20，
所以顶点A的轨迹方程是＋＝1(x≠0).
[例21] [解] 由双曲线－＝1，可知a＝4，b＝3，c＝5，
则离心率e＝，右准线为x＝，过点P作右准线的垂线，垂足为D，
根据双曲线第二定义可知＝e，
即|PF2|＝|PD|，
则|PM|＋|PF2|＝|PM|＋|PD|，
当P，D，M三点共线时，|PM|＋|PD|最小，即M到右准线的距离|PM|＋|PD|＝6－＝，
所以|PM|＋|PF2|的最小值为.
[尝试训练21] 解析：选B．不妨设P为右支上的一点，P(x，y)，其中x≥a，
|PF1|＝ex＋a，|PF2|＝ex－a，
|OP|＝＝，
所以＝
＝(x≥a)，
所以当x＝a时，取得最大值，
所以＝，所以e＝.
[例22] [解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，
直线AB的斜率为k，则相减得k＝＝＝，
因为kMD＝＝－＝－，
即x0＝2，
设抛物线的焦点为F，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝2x0＋2＝6，
所以|AB|≤|AF|＋|BF|＝6，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，
此时M(2，±)满足在抛物线内部，
所以|AB|的最大值为6.
[答案] 6
[尝试训练22] 解析：选B．设直线2x－y＋9＝0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，又弦的中点坐标是M(－4，1)，则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝＝2.
由得＋＝0，
得＝－×＝2，
所以＝，
故椭圆的离心率e＝＝＝.
[例23] [解析] 所求切线方程为＋y＝1，即x＋2y－4＝0.
[答案] x＋2y－4＝0
[尝试训练23] 解析：所求切线方程为－＝1，即5x0x－9y0y－45＝0.
答案：5x0x－9y0y－45＝0
[例24] [解析] AB所在直线方程为＋＝1，即5x＋6y－8＝0.
[答案] 5x＋6y－8＝0
[尝试训练24] 解析：AB所在直线方程为－＝1，即x－4y＋8＝0.
答案：x－4y＋8＝0
[例25] [解析] 将10辆车排好，10辆车中间形成9个空，从这9个空中选6个，插入隔板，等价于将这10辆车分成7份，每一种插法对应一种抽法，故共有C＝84种不同的抽法．
[答案] A
[尝试训练25] (1)解析：选C．8个元素，中间有7个空位，将3个挡板放入即可，所以小明买盆栽的方法共有C＝35(种).
(2)解析：依题意，可知x1，x2，x3，x4，x5为非负整数，因为x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝9，所以(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x4＋1)＋(x5＋1)＝14，从而将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成5部分，一共有13个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有C＝715(组).
答案：715
[例26] [解析] 由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高＝＝45(岁)，高级职称教师年龄的方差为s＝×[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数为＝×38＋×45≈39(岁)，该校中级职称和高级职称教师年龄的方差为s2≈×[2＋(38－39)2]＋×[73＋(45－39)2]≈21.
[答案] 39 21
[尝试训练26] 解析：依题意A＝130，s＝115，B＝110，s＝215，所以＝×130＋×110＝115(分)，
所以全班学生的平均成绩为115分．全班学生成绩的方差为s2＝[s＋(A－)2]＋[s＋(B－)2]＝×(115＋225)＋×(215＋25)＝85＋180＝265.
答案：115 265
[例27] [解析] 因为E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
因为Y＝2η－E(η)，
所以D(Y)＝D(2η－E(η))＝D(2η－16)
＝22D(η)＝4×384＝1 536.
[答案] 384 1 536
[尝试训练27] 解析：E(X)＝－1×0.3＋0×0.2＋3×0.5＝1.2，E(Y)＝－3×0.4＋4×0.6＝1.2，
若投资A股票a万元，则投资B股票9－a万元，
E(aX)＋E((9－a)Y)＝aE(X)＋(9－a)E(Y)＝9×1.2＝10.8，
所以小青两种股票的收益均值的和为10.8万元．
答案：10.8
考前必纠误区
[误区1] [正解] 集合{x|ax2－4x＋1＝0}的子集个数为2，则方程ax2－4x＋1＝0的解集中只有1个元素，所以a＝0或Δ＝42－4a＝0，所以a＝0或a＝4.
[误区2] [正解] 因为A B.①当A≠ 时，有解得a<－4或2②当A＝ 时，由2a>a＋3，解得a>3.综上可知，实数a的取值范围是a<－4或a>2.
[误区3] [正解] 若该函数在R上单调递减，则有解得a≤－；若函数在R上单调递增，则有解得1[误区4] [正解] 由x2－2x－3>0得x<－1 或x>3，所以f(x)的单调递增区间为(3，＋∞).
[误区5] [正解] 偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(2a)>f(1－a) f(|2a|)>f(|1－a|) |2a|<|1－a| (2a)2<(1－a)2 3a2＋2a－1<0 －1[误区6] [正解] 函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋1在R上为减函数，则f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－12≤0，故－≤a≤.
[误区7] [正解] f(x)，g(x)在[0，2]上都单调递增，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)>g(x2)，则f(x)max>g(x)min，即4>－a，所以a>－4.
[误区8] [正解] 因为α，β为锐角，所以cos α＝＝，cosβ＝＝.
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，
又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝.
[误区9] [正解] 观察题图可知，A＝1，T＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin (2x＋φ)，将(－，0)代入上式得sin (－＋φ)＝0，所以－＋φ＝2kπ(k∈Z), 由|φ|<π，得φ＝，则f(x)＝sin (2x＋).
[误区10] [正解] 因为θ为锐角，所以00且≠1，
所以
解得
所以λ的取值范围是{λ|λ>－且λ≠2}．
[误区11] [正解] 由题意，易得an＝n2－n＋33，所以＝n＋－1.
又f(x)＝x＋－1(x>0)在[，＋∞)上单调递增，
在(0，]上单调递减．
又n∈N*，f(5)＝，f(6)＝，
所以＝f(6)＝.
[误区12] [正解] 取a＝b＝c＝0，则b＝，但a，b，c不成等比数列，当a，b，c成等比数列时，b＝±，故选D．
[误区13] [正解] (1)在求出cos 〈，〉＝－后，因为异面直线PA与DE所成的角是锐角或直角，所以异面直线PA与DE所成角的余弦值是.
(2)cos 〈，n〉＝－，所以直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为.
[误区14] [正解] 若直线l过原点，满足题意，此时直线l的方程为y＝3x；若直线l不过原点，设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，所以a＝4，故直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.所以直线l的方程为y＝3x或x＋y－4＝0.
[误区15] [正解] 将圆C的方程配方有＋(y＋1)2＝，
所以>0，①
所以圆心C的坐标为，半径r＝.
当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，所以|AC|>r，
即＋(2＋1)2>，化简得a2＋a＋9>0.②
由①②得－[误区16] [正解] 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
[误区17] [正解] 设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，
代入双曲线方程得
①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2).
因为B(1，1)为Q1Q2的中点，
所以k＝＝2.
所以直线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
联立
消去y得2x2－4x＋3＝0.
Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，所以所求直线不存在．
[误区18] [正解] 先选出两人作为一组，再进行全排，则由分步乘法计数原理有CA＝36(种)，故选C．
[误区19] [正解] 最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，因顺序固定有C＝20种排法，第二步：排右边，因顺序固定，有1种排法，根据分步乘法计数原理，共有20×1＝20(种)，故选D．
[误区20] [正解] P(A)＝，
P(B)＝，P(AB)＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
＝＋－＝.
