2026版《决胜蓝图》特色专项训练小题限时练1-试卷（含答案）数学高考大二轮专题复习

小题限时练1
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|3x＜1}，则A∪B＝(　　)
A．[－1，0) B．(－∞，0)
C．[－1，1] D．(－∞，1]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(2＜X＜4)＝m，P(1＜X＜5)＝n，则P(2＜X＜5)的值为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则＝(　　)
A．－1 B．
C．－1 D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的特殊几何图形，即441个点．根据0和1的二进制编码规则，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么所有二维码大约可以用(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A．10117万年 B．10120万年
C．10123万年 D．10125万年
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2，1)为抛物线E：x2＝2py(p＞0)上一点，若抛物线E在点M处的切线恰好与圆C：x2＋(y－b)2＝2(b＜0)相切，则b＝(　　)
A．－ B．－2
C．－3 D．－4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝sin (ωx＋φ)的图象，若－是f(x)的一个零点，则φ的可能取值为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．设a∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(f(x))恰有5个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－2，2) B．(0，2)
C．[－1，0) D．(－∞，－2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)＞0，P(B)＞0 ，则下列等式正确的是(　　)
A．P(B|A)＋P(|A)＝P(A)
B．P(B|A)＋P(|A)＝1
C．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A)
D．若A，B互斥，则P(A|B)＝P(B|A)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列命题为真命题的是(　　)
A．若a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，则a1＋a2＝5
B．若a2＋a13＝4，则S14＝28
C．若S15＜0，则S7＞S8
D．若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an＞0　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱OO′中椭圆长轴长|AB|＝4，短轴长|CD|＝2，F1，F2分别为下底面椭圆的左、右焦点，F′2为上底面椭圆的右焦点，|AA′|＝4, P，E分别为线段BB′，A′B′上的动点，MN为下底面过点F2的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是(　　)
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A．当F1F′2∥平面PMN时，P为BB′的中点
B．三棱锥F′2 F2CD外接球的表面积为8π
C．若点Q是下底面椭圆边界上的动点，Q′是点Q在上底面的射影，且Q′F1，Q′F2与下底面所成的角分别为α，β，则tan (α＋β)的最大值为－
D．三棱锥E PMN体积的最大值为8
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2a sin B，bc＝4，则△ABC的面积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|＝2.又以双曲线的顶点为圆心，半径为2的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体(如图)的各面写上0～9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，这样就得到一个产生0～9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为________．
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参考答案与解析
第一部分　小题限时练
小题限时练1
1．解析：选D．因为3x＜1＝30，解得x＜0，所以B＝{x|x＜0}，故A∪B＝{x|x≤1}．
2．解析：选A．P(2＜X＜5)＝P(2＜X≤3)＋P(3＜X＜5)＝P(2＜X＜4)＋P(1＜X＜5)＝.
3．解析：选D．由|a－b|＝，可得a2－2a·b＋b2＝3，①由|a＋b|＝|2a－b|，可得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，代入①得b2＝3，解得|b|＝.
4．解析：选D．圆锥的表面积为πrl＋πr2，球的表面积为4π()2＝πl2，故πrl＋πr2＝πl2，即()2＋－1＝0，故＝(负值已舍去).
5．解析：选A．因为1万年用掉3×1015个二维码，所以大约能用万年，设x＝，则lg x＝lg ＝lg 2441－(lg 3＋lg 1015)＝441lg 2－lg 3－15≈441×0.301－0.477－15≈117，即x≈10117.
6．解析：选C．由题意可得4＝2p，解得p＝2，所以抛物线E的方程为x2＝4y，则y＝x2，可得y′＝x，则y′|x＝2＝×2＝1，所以抛物线在点M(2，1)处的切线斜率为1，则切线方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.圆C：x2＋(y－b)2＝2(b＜0)的圆心坐标为(0，b)，半径为，又抛物线E在点M处的切线恰好与圆C相切，可得＝，解得b＝－3或b＝1(舍去).
7．解析：选B．依题意，g(x)＝cos (ωx＋ω＋φ)＝sin (ωx＋φ)，ω>0，则ω＝2kπ－，k∈N*，解得ω＝4k－1，k∈N*，又cos (－ω＋φ)＝0，即cos (－kπ＋＋φ)＝0，k∈N*，则－kπ＋＋φ＝＋mπ，m∈Z，k∈N*，即φ＝(m＋k)π＋，m∈Z，k∈N*，当m＝－1，k＝1时，φ＝.
8．解析：选D．设t＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝2|x－1|－1，此时t≥0，由f(t)＝0得t＝1，即f(x)＝2|x－1|－1＝1，解得x＝0或x＝2，所以y＝f(f(x))在[0，＋∞)上有2个零点；
当x＜0时，若a≥0，f(x)＝－x2＋ax，对称轴为直线x＝，函数y＝f(x)的大致图象如图，
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此时f(x)＝－x2＋ax＜0，即t＜0，则f(t)＜0，所以f(t)＝0无解，则t＝f(x)无零点，y＝f(f(x))无零点．综上，此时y＝f(f(x))只有2个零点，不符合题意；
若a＜0，此时f(x)的大致图象如图，
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令－t2＋at＝0，解得t＝a＜0(t＝0舍去)，
显然f(x)＝a在(－∞，0)上存在唯一负解，
所以要使函数y＝f(f(x))恰有5个零点，
需f()＞1，即－＋＞1，
解得a＜－2或a>2(舍去)，
所以实数a的取值范围为(－∞，－2).
9．解析：选BCD．由P(B|A)＋P(|A)＝＝＝1，故A错误，B正确；若A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，P(A|B)＝＝P(A)，故C正确；若A，B互斥，则P(AB)＝0，P(A|B)＝＝0，P(B|A)＝＝0，故D正确．
10．解析：选BC．对于A，由a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，可得(a7＋a8)－(a3＋a4)＝8d＝9，所以d＝，又由a1＋a2＝(a3＋a4)－4d＝9－4×＝，所以A为假命题；对于B，由S14＝＝＝28，所以B为真命题；对于C，由S15＝＝15a8＜0，得a8＜0，又因为S8－S7＝a8＜0，则S7＞S8，所以C为真命题；对于D，因为{an}为递增数列，可得公差d＞0，因为{anan＋1}为递增数列，可得an＋1an＋2－anan＋1＝an＋1·2d＞0，所以对任意的n≥2，an＞0，但a1的正负不确定，所以D为假命题．
11．解析：选ACD．对于A，由题设，长轴长|AB|＝|A′B′|＝4，短轴长|CD|＝2，则|OF1|＝|OF2|＝|O′F′2|＝1，
得F2，F′2分别是OB，O′B′的中点，而柱体中ABB′A′为矩形，连接OB′，PF2，
INCLUDEPICTURE "25SX1-4.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024年\\2024年二轮\\10.9优化方案二轮数学基础版（做课件）（张逸）\\优化方案二轮专题复习 数学 (基础版)（成盘）\\3、特色+考前抢分\\1 特色专项训练\\25SX1-4.TIF" \* MERGEFORMATINET
由B′F′2∥OF1，|B′F′2|＝|OF1|＝1，得四边形F1OB′F′2为平行四边形，
所以OB′∥F1F′2，
当F1F′2∥平面PMN时，F1F′2 平面ABB′A′，平面ABB′A′∩平面PMN＝PF2，
则F1F′2∥PF2，故OB′∥PF2，
在△OBB′中，F2是OB的中点，则P为BB′的中点，A正确；
对于B，OF2⊥CD，|CD|＝2，|OF2|＝1，则在△F2CD中，|CF2|＝|DF2|＝2，∠CF2D＝120°，△F2CD的外接圆的半径为r＝×＝2，
又F2F′2∥AA′，所以F2F′2⊥平面F2CD，
则三棱锥F′2 F2CD外接球的半径为R＝＝2，
所以外接球的表面积为4πR2＝32π，B错误；
对于C，令|QF1|＝m，|QF2|＝n，
则m＋n＝4，又|QQ′|＝4，
则tan α＝，tan β＝，tan (α＋β)＝＝＝
＝，
由椭圆性质知1≤m≤3，
则当m＝1或m＝3时，tan (α＋β)取得最大值为－，C正确；
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对于D，连接EF2，由VE PMN＝VM PEF2＋VN PEF2，要使三棱锥E PMN的体积最大，
只需△PEF2的面积和M，N到平面PEF2的距离之和都最大，
S△PEF2＝S四边形BF2EB′－S△PBF2－S△PEB′，令EB′＝a，PB＝b，则PB′＝4－b，且a，b∈[0，4]，
S△PEF2＝×4×(1＋a)－×1×b－×a×(4－b)＝2＋，
当a＝b＝4时，有最大值S△PEF2＝8，
在下底面内以O为原点，OD为x轴，OB为y轴，构建如图所示的平面直角坐标系，且B(0，2)，F2(0，1)，则椭圆方程为＋＝1，
由题意设MN所在的直线方程为y＝tx＋1，联立椭圆得(3t2＋4)x2＋6tx－9＝0，Δ＝144(t2＋1)＞0，
xM＋xN＝－，xMxN＝－，
|xM－xN|＝
＝，
令l＝≥1，|xM－xN|＝＝，
由对勾函数性质可知y＝3l＋在[1，＋∞)上单调递增，所以|xM－xN|max＝＝3，
综上，三棱锥E PMN体积的最大值为×8×3＝8，D正确．
12．解析：因为b＝2a sin B，由正弦定理可得sin B＝2sin A sin B，且sin B≠0，所以sin A＝，则S△ABC＝bc sin A＝×4×＝1.
答案：1
13．解析：令|F1F2|＝2c，依题意，c2＝a2＋b2＝(2)2，解得c＝2，
显然|AF2|＝|AF1|＋2a＝2＋2a，
|BF2|＝|BF1|－2a＝2－2a，
|AB|＝|AF2|－|BF2|＝4a，
INCLUDEPICTURE "25SX1-6.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024年\\2024年二轮\\10.9优化方案二轮数学基础版（做课件）（张逸）\\优化方案二轮专题复习 数学 (基础版)（成盘）\\3、特色+考前抢分\\1 特色专项训练\\25SX1-6.TIF" \* MERGEFORMATINET
而∠F1AB＝∠F1BA，于是cos ∠F1AF2＝＝＝，
在△AF1F2中，由余弦定理|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|·cos ∠F1AF2，
得(4)2＝20＋(2＋2a)2－2×2×(2＋2a)×，解得a2＝2，即a＝，
所以双曲线的离心率为＝2.
答案：2
14．解析：甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能，丙投1次也有10种可能，
所以甲、乙、丙依次投掷1次，记下数字有10×10×10＝1 000种情况，
在0～9这10个数字中选3个，能构成等差数列的情况如下：
公差为0的等差数列有：0，0，0；1，1，1；2，2，2；…；9，9，9共10种情况；
公差为1的等差数列有：0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8；7，8，9共8种情况；
公差为2的等差数列有：0，2，4；1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共6种情况；
公差为3的等差数列有：0，3，6；1，4，7；2，5，8；3，6，9共4种情况；
公差为4的等差数列有：0，4，8；1，5，9共2种情况；
公差为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为－1，－2，－3，－4的等差数列，
所以构成等差数列的可能情况有10＋2×(8＋6＋4＋2)＝50(种)，
所以若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为＝.
答案：