2026版《决胜蓝图》特色专项训练小题限时练3-试卷（含答案）数学高考大二轮专题复习

小题限时练3
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．若复数z满足z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知a，b∈R，且a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“ln a·ln b＞0”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．现有除颜色外其余均相同的9个小球，其中有2个红球，3个白球，4个黑球，同色球不加区分，将这9个球排成一列， 要求2个红球相邻，3个白球两两互不相邻，不同的排列种数为(　　)
A．100 B．120
C．10 800 D．21 600
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．已知a＝ln ，b＝cos ，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．若圆x2＋y2＋ax＋y＋2a－3＝0与x轴没有交点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(2，6) B．(3，5)
C．(2，3)∪(5，6) D．(2，3)∪(6，＋∞)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx－·sin (2ωx－)(ω∈R，且ω＞0，x∈R)，若函数f(x)在区间(0，2π)上恰有3个极大值点，则ω的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球．记R1＝“第一次摸球时摸到红球”，G1＝“第一次摸球时摸到绿球”，R2＝“第二次摸球时摸到红球”，G2＝“第二次摸球时摸到绿球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是(　　)
A．P(R)＝P(R1)P(R2)
B．P(G)＝P(G1)＋P(G2)
C．P(R2|R1)＝
D．P(G2|G1)＋P(G1|G2)＝1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．设O为坐标原点，F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在C上且满足|OP|＝a，cos ∠F1PF2＝，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．x±y＝0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．已知平面向量a＝(2，3)，b＝(4，λ)，则(　　)
A．若a∥b，则λ＝6
B．若a⊥b，则λ＝
C．若b在a上的投影向量为(，)，则λ＝　
D．若a·(a＋b)＝24，则λ＝1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．若x，y满足(x＋y)2－xy＝2，则(　　)
A．－≤y－x≤ B．y－x<－
C．xy> D．－≤xy≤
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．记函数fn(x)的导函数为fn＋1(x)，已知f1(x)＝x2ex，若数列{an}，{bn}满足fn(x)＝(x2＋anx＋bn)ex，则(　　)
A．{an}为等差数列 B．{bn}为等比数列
C．＝ D．8bn≤2an
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．已知集合A＝{x|＝a，a，b∈R}，B＝{b，}，A B，则a的取值集合为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．在△ABC中，若BC＝2，tan A＝－，cos B＝，则AC＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．在三棱锥P ABC中，AB＝BC＝2，且AB⊥BC．记直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为α，β，已知β＝2α＝60°，则当三棱锥P ABC的体积最小时，三棱锥P ABC外接球的表面积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案与解析
小题限时练3
1．解析：选A．因为复数z满足z(1＋i)＝2i，所以z＝＝＝＝1＋i.
2．解析：选D．若a＝e，b＝1，符合ab＞1，但此时ln a·ln b＝0，不满足充分性；若a＝b＝e－1，符合ln a·ln b＞0，但此时ab<1，不满足必要性，故“ab>1”是“ln a·ln b>0”的既不充分也不必要条件．
3．解析：选A．将4个黑球排成一列有一种排法，形成5个空，从中选一个空将2个红球作为一个整体排上，有C种排法，如此就形成6个空，将3个白球插空到6个空中，有C种排法，由分步乘法计数原理得，共有CC＝100种不同排法．
4．解析：选B．由ln (1＋x)≤x，当且仅当x＝0时等号成立，知a＜c，因为0＜＜＜，所以cos ＞cos ＝＞，所以c＜b，所以b>c>a.
5．解析：选C．x2＋y2＋ax＋y＋2a－3＝0，即(x＋)2＋(y＋)2＝a2－2a＋，a2－2a＋＞0，解得a＜3或a＞5，且其圆心坐标为(－，－)，若该圆与x轴没有交点，则＞，解得a∈(2，3)∪(5，6).
6．解析：选D．f(x)＝sin ωx cos ωx－·sin (2ωx－)
＝sin 2ωx＋cos 2ωx
＝sin (2ωx＋)，x∈(0，2π)，
2ωx＋∈(，4ωπ＋)，
函数f(x)在区间(0，2π)上恰有3个极大值点，故＜4ωπ＋≤，
解得ω∈.
7．解析：选C．对于A，因为R＝R1∩R2，R1，R2不相互独立，所以P(R)≠P(R1)P(R2)(或P(R)＝P(R1R2)＝，
P(R2)＝P(R1R2)＋P(G1R2)＝，
P(R1)＝，
所以P(R)≠P(R1)P(R2))，故A错误；
对于B，因为P(G1)＝，
P(G2)＝P(R1G2)＋P(G1G2)＝，
P(G)＝P(G1G2)＝ eq \f(A,A) ＝，
所以P(G)≠P(G1)＋P(G2)，故B错误；
对于C，由条件概率的公式，可得P(R2|R1)＝＝ eq \f(\f(A,A),\f(4,7)) ＝(或P(R2|R1)＝＝)，故C正确；
对于D，由P(G2|G1)＝＝＝，
P(G1|G2)＝＝＝，则P(G2|G1)＋P(G1|G2)＝，故D错误．
8．解析：选B．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义知|m－n|＝2a，①
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在△F1PF2中，由余弦定理得，4c2＝m2＋n2－2mn·cos ∠F1PF2
＝m2＋n2－mn，②
由|OP|＝a，O为F1F2的中点，延长PO至Q，使|OQ|＝|OP|，
所以四边形PF1QF2为平行四边形，
且|PQ|＝2×a＝3a，
在△PF1Q中，由余弦定理得，9a2＝m2＋n2－2mn·cos ∠PF1Q，
因为∠F1PF2＋∠PF1Q＝π，
则cos ∠F1PF2＋cos ∠PF1Q＝0，
所以m2＋n2＝，③
由①③得mn＝a2＋c2，④
把③④代入②得4c2＝－·(a2＋c2)，
化简得2c2＝3a2，所以2a2＋2b2＝3a2，所以a＝b，
所以渐近线方程为x±y＝0.
9．解析：选ACD．对于A，若a∥b，则有2λ－3×4＝0，解得λ＝6，故A正确；对于B，若a⊥b，则有2×4＋3λ＝0，解得λ＝－，故B错误；对于C，若b在a上的投影向量为(，)，则有·＝·＝(，)，化简得8＋3λ＝9，即λ＝，故C正确；对于D，若a·(a＋b)＝24，则有2×(2＋4)＋3×(3＋λ)＝24，解得λ＝1，故D正确．
10．解析：选AD．令y－x＝t，即y＝x＋t，代入(x＋y)2－xy＝2，可得x2＋tx＋(t2－2)＝0，所以Δ＝t2－3(t2－2)≥0，解得－≤t≤，所以A正确，B不正确；由(x＋y)2－xy＝2得x2＋y2＝xy＋2.因为－≤xy≤，将x2＋y2＝xy＋2代入上式可得－－1≤xy≤＋1，解得－≤xy≤，所以C不正确，D正确．
11．解析：选ACD．对于A，若f1(x)＝x2ex，则f2(x)＝(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，
fn(x)＝(x2＋anx＋bn)ex，fn＋1(x)＝(x2＋2x＋anx＋an＋bn)ex＝(x2＋an＋1x＋bn＋1)ex，
故an＋1－an＝2，易知a1＝0，b1＝0，a2＝2，b2＝0，经检验a2－a1＝2，
故{an}是以0为首项，2为公差的等差数列，故A正确；
对于B，b1＝0，又因为等比数列中不能有0，则{bn}不可能为等比数列，故B错误；
对于C，易得an＝2(n－1)＝2n－2，bn＋1＝an＋bn，故bn＋1－bn＝2n－2，
则bn－b1＝(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝0＋2＋…＋2n－4＝，
则bn＝(n－1)(n－2)，
故＝＋…＋＝1－＋…＋－＝，故C正确；
对于D，令Tn＝2an－8bn＝4n－1－8(n－1)(n－2)，且T1＞0，T2＞0，T3＝0，
当n≥4时，令Cn＝Tn＋1－Tn＝3×4n－1－16(n－1)，Cn＋1－Cn＝9×4n－1－16≥9×43－16＞0，
故Cn≥3×43－16×3＞0，
故Tn＋1－Tn＞0，
即{Tn}此时为递增数列，故Tn≥T4＞0.
综上，Tn≥0恒成立，故8bn≤2an成立，故D正确．
12．解析：由题意可知，x≠0，b≠0，b≠±1，
因为A B，所以当A＝ 时，a＝0；
当A≠ 时，则x＝∈B，
则＝b或＝，解得a＝1或a＝b2，
综上得，a的取值集合是{0，1，b2}．
答案：{0，1，b2}
13．解析：由已知tan A＝－，cos B＝，则?＝－，
sin2A＋cos2A＝1，
sin2B＋cos2B＝1，?
又A，B∈(0，π)，
所以sin A＝，sin B＝，
又根据正弦定理＝，
得AC＝·BC＝.
答案：
14．解析：设点P在平面ABC内的射影为P′，由题意得，β＝60°，α＝30°，P′P＝P′C，P′P＝P′A，于是3P′C＝P′A，
INCLUDEPICTURE "25SX3-3.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024年\\2024年二轮\\10.9优化方案二轮数学基础版（做课件）（张逸）\\优化方案二轮专题复习 数学 (基础版)（成盘）\\3、特色+考前抢分\\1 特色专项训练\\25SX3-3.TIF" \* MERGEFORMATINET
在底面ABC中，以AC为x轴，线段AC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
INCLUDEPICTURE "25SX3-4.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024年\\2024年二轮\\10.9优化方案二轮数学基础版（做课件）（张逸）\\优化方案二轮专题复习 数学 (基础版)（成盘）\\3、特色+考前抢分\\1 特色专项训练\\25SX3-4.TIF" \* MERGEFORMATINET
令P′(x，y)，由AB＝BC＝2，AB⊥BC，得A(－2，0)，B(0，2)，C(2，0)，
则3＝，
化简得(x－)2＋y2＝，
因此点P′在以(，0)为圆心，为半径的圆上，当P′C最小时，P′P最小，
即三棱锥P ABC的体积最小，
此时P′(1，0)，P′Cmin＝－(－2)＝1，P′Pmin＝，P′B＝，
因此点P在底面ABC上的射影P′在AC上，且∠APC＝90°，又∠ABC＝90°，
显然AC的中点到点B，P，A，C的距离相等，此时三棱锥P ABC外接球的球心为AC的中点，外接球的半径R＝AC＝2，表面积为4π×22＝16π.
答案：16π