2026版《决胜蓝图》特色专项训练小题限时练6-试卷（含答案）数学高考大二轮专题复习

小题限时练6
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x|y＝ln (x－1)}，则A∩( RB)＝(　　)
A．{－2，－1，0，1，2} B．{－1，0，1}
C．{－2，－1，0，1} D．{－2，－1，0}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，m)，B(m，4)，则cos α＝(　　)
A．± B．
C．± D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，β⊥γ，α∩γ＝l，则l⊥β
B．若m⊥n，n⊥l，则m∥l
C．若α∥β，m α，n β，则m∥n
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为(　　)
A．42 B．48
C．96 D．124
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．函数f(x)＝的大致图象是(　　)
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7．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0，x∈R)在区间(，)内没有零点，则f(x)周期的最小值是(　　)
A．12π B．2π
C． D．4π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．已知实数a，b满足a2＋b2－|a|－|b|＝0 ，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，λ)，若b在a上的投影向量为a，则(　　)
A．λ＝3
B．a∥b
C．a⊥(b－a)
D．a与b的夹角为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立
D．丙与丁不相互独立
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．已知函数f(x)＝3x－2x，则(　　)
A．f(x)是R上的增函数
B．函数h(x)＝f(x)＋x有且仅有一个零点
C．函数f(x)的最小值为－1
D．f(x)存在唯一一个极值点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，＝5，＝－4，其经验回归方程＝－3.2x＋，则在样本点(3，2.9)处的残差为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．已知一个表面积为4π的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14.如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，c－a＝3，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，AB边上的高为CF，BC边上的高为AE，BD∩CF＝P，AE∩CF＝R，BD∩AE＝Q，则∠PQR＝________，PQ＝________．
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参考答案与解析
小题限时练6
1．解析：选C．由题意得A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|x>1}，所以 RB＝{x|x≤1}，所以A∩( RB)＝{－2，－1，0，1}．
2．解析：选B．记O为坐标原点，由题意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三点共线，则m≠0，所以＝，解得m＝±2，又A，B两点位于同一象限，所以m＝2，则A(1，2)，所以cos α＝＝.
3．解析：选A．对于A，若α⊥β，β⊥γ，α∩γ＝l，则由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得l⊥β，故A正确；对于B，若m⊥n，n⊥l，则m与l相交、平行或异面，故B错误；对于C，若α∥β，m α，n β，则m与n平行或异面，故C错误；对于D，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l β，故D错误．
4．解析：选A． 因为原定节目顺序已确定，有6个空，插入第一个新节目有6种插法，这时6个节目产生7个空，插入第二个节目有7种插法，所以共6×7＝42(种).
5．解析：选C．方法一：根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则解得
所以离心率e＝＝2.
方法二：根据双曲线的定义，得
2a＝|－
|＝|6－10|＝4，即a＝2，根据焦点坐标可知c＝4，所以离心率e＝＝＝2.
6．解析：选A．函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－f(x)，函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，B，D不满足题意；当x∈(0，)时，cos 2x>0，ln (x2＋1)>0，则f(x)>0，C不满足题意，A满足题意．
7．解析：选C．f(x)＝sin ωx－cos ωx
＝sin (ωx－)，
令f(x)＝0得ωx－＝kπ，k∈Z，
所以x＝，k∈Z，
因为f(x)在区间(，)内没有零点，
只需≤且≥，k∈Z，
解得2k＋≤ω≤k＋，k≤0且k∈Z，
令k＝0得≤ω≤，k＝－1得－≤ω≤，因为ω>0，所以ω的取值范围∪，
所以f(x)周期的最小值是＝.
8．解析：选C．由题意知点(a，b)在曲线C：x2＋y2－|x|－|y|＝0上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称．当x≥0，y≥0时，曲线的方程为x2＋y2－x－y＝0，即(x－)2＋(y－)2＝，故结合曲线对称性，作出曲线C如图所示，
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而d＝表示曲线C上的点(a，b)到直线l：x＋y－3＝0的距离，
可知d＝取最小值和最大值时，(a，b)位于曲线在第一、三象限内的圆弧上，
当x>0，y>0时，曲线的方程为x2＋y2－x－y＝0，即(x－)2＋(y－)2＝，
此时d的最小值为－＝，
当x<0，y<0时，曲线的方程为x2＋y2＋x＋y＝0，
即(x＋)2＋(y＋)2＝，
此时d的最大值为＋＝，
故d＝的最小值与最大值之和为＋＝3，
所以|a＋b－3|的最小值与最大值之和为3×＝6.
9．解析：选ACD．对于A，因为b在a上的投影向量为a，即()＝a，所以＝1，即＝1，解得λ＝3，故A正确；对于B，a＝(－1，2)，b＝(1，3)，所以(－1)×3－2×1≠0，故B错误；对于C，a·(b－a)＝(－1，2)·(2，1)＝－2＋2＝0，所以a⊥(b－a)，故C正确；对于D，cos 〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为，故D正确．
10．解析：选BCD． 两次取出的球的数字之和为8，有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5种情况，所以P(丙)＝＝；两次取出的球的数字之和为7，有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)共6种情况，所以P(丁)＝＝；P(甲)＝P(乙)＝.
对于A，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，故甲与丙不相互独立，故A错误；
对于B，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁) ，故甲与丁相互独立，故B正确；
对于C，P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙) ，故乙与丙不相互独立，故C正确；
对于D，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故丙与丁不相互独立，故D正确．
11．解析：选BD．对于A，因为f(x)＝3x－2x，则f′(x)＝3x ln 3－2x ln 2＝2x，
当x＝log时，则()xln 3＝ln 3＝ln ， 可得()x ln 3－ln 2＝ln －ln 2<0，
即存在f′(x)＝3x ln 3－2x ln 2<0，所以f(x)＝3x－2x不是R上的增函数，故A错误；
对于B，因为h(x)＝f(x)＋x，
当x＝0时，h(0)＝f(0)＋0＝0，可知x＝0是h(x)的零点；
当x>0时，h(x)＝f(x)＋x＝3x－2x＋x>0，可知h(x)在(0，＋∞)内无零点；
当x<0时，0<()x<1，
则f(x)＝2x<0，
可得h(x)＝f(x)＋x<0，可知h(x)在(－∞，0)内无零点，
综上所述，函数h(x)＝f(x)＋x有且仅有一个零点，故B正确；
对于C，当x>0时，f(x)＝3x－2x>0；
当x＝0时，f(0)＝30－20＝0；
当x<0时，则0<3x<1，0<2x<1，可得f(x)＝3x－2x>－2x>－1，
综上所述，f(x)>－1，所以－1不是函数f(x)的最小值，故C错误；
对于D，因为f′(x)＝3x ln 3－2x ln 2
＝2x，2x>0，
所以f′(x)的符号由()x ln 3－ln 2决定，
显然y＝()x ln 3－ln 2是R上的增函数，
又因为当x＝0时，()x ln 3－ln 2＝ln 3－ln 2>0；
当x＝log时，()x ln 3－ln 2＝ln －ln 2<0，
所以 x0∈(log，0)，使f′(x)＝0，
所以f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．
所以f(x)有唯一极小值点，无极大值点，故D正确.
12．解析：将＝5，＝－4代入＝－3.2x＋，得－4＝－3.2×5＋，解得＝12，
所以＝－3.2x＋12，
故当x＝3时，＝－3.2×3＋12＝2.4，
所以残差为2.9－2.4＝0.5.
答案：0.5
13．解析：设正三棱柱的底面棱长为a，高为h，内切球的半径为R，
依题意4πR2＝4π，解得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2R＝2，
正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径为×a＝a，
由题意R＝a＝1，所以a＝2，
所以正三棱柱的体积V＝×a×a×h＝×2××2×2＝6.
答案：6
14．解析：在△ABC中，可知∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝75°，
因为∠ABC＝60°，且BD为∠ABC的平分线，可知∠ABD＝∠CBD＝30°，
则∠ADB＝∠ACB＋∠CBD＝105°，
在Rt△ACE中，可得∠CAE＝180°－∠ACB－∠AEC＝15°，
在△ADQ中，可得∠AQD＝180°－∠ADB－∠CAE＝60°，
所以∠PQR＝∠AQD＝60°.
因为sin 105°＝sin 75°＝sin (45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，
sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，
在△ABC中，由正弦定理＝可得c＝＝a，
则c－a＝a＝3，解得a＝3＋3，
由正弦定理＝可得
b＝＝a，
且BD为∠ABC的平分线，
则＝＝，
又AD＋DC＝a，可得AD＝a，
在△ADQ中，由正弦定理＝可得QD＝＝，
在△BCD中，可知∠BDC＝∠BCD＝75°，则BD＝BC＝3＋3，在Rt△BCF中，可知BF＝BC＝，
在Rt△PBF中，可知BP＝＝3＋，
所以PQ＝BD－BP－QD＝.
答案：60°