浙江省杭州市学军中学2025-2026学年高二（下）开学数学试卷（二）（含答案）

浙江省杭州市学军中学2025-2026学年高二（下）开学数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列为等比数列，，若的前项和为，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是( )
A. B. C. D.
5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知双曲线左、右顶点分别为，若直线：与两条渐近线分别交于，，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.过点可作函数，的三条切线，则下列结论可能成立的是( )
A. B. C. D.
8.定义若数列的前项和，数列满足，，令，且恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于曲线：，下列说法正确的是( )
A. 若，则曲线表示圆 B. 若，则曲线表示抛物线
C. 若，则曲线表示椭圆 D. 若，则曲线表示双曲线
10.已知圆：，圆：，则下列说法正确的是( )
A. 圆，恒有公共点
B. 圆，至多有三条公切线
C. 若圆平分圆的周长，则
D. 若圆平分圆的周长，则的最小值为
11.设函数，则( )
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 当，时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为______．
13.已知数列满足，，则的前项和为 ．
14.若函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足：，其前项和为．
证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
证明：．
16.本小题分
已知直线：与双曲线的右支交于不同的两点，．
求实数的取值范围；
直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，、分别在棱、上，为线段的中点．
若是的中点，求与平面所成角的正弦值；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知为实数，函数．
讨论的单调性；
当时，若恒成立，求的取值范围；
证明：．
19.本小题分
已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，．
求抛物线的方程；
设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点．
直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值；
求四边形面积的最小值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：由题意每一项都不为零，
由得，
即有，
可得，且，
因此是首项和公比均为的等比数列；
所以，故；
对于任意的正整数，因为，所以，
求和得到．
16.解：直线：与双曲线的右支交于不同的两点，．
由，得，
由，得，成立．
设，，则，
直线与双曲线的右支相交于，不同的两点，
，即，
，综上得，
解得
解：令得，依题意，
，，且，
，，
，，
，
，计算得，又，
．
17.解：因为底面是正方形，为线段的中点，侧棱底面，
以为原点，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系；
则，，，，
由题意，是的中点，则，
故，
设平面的法向量为，
则，则，
令，得；
记与平面所成角为，
则，
故EF与平面所成角的正弦值为．
，
故，
故DE；又，，平面，
平面，
故平面，
故平面的法向量，
平面的法向量，
记平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：函数，则，
令，则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在单调递增．
解：设，，
则，，令，
当即时，令，故在上单调递增，
故，在上单调递增，故，符合题意；
当即时，当时，，即单调递减，
故，单调递减，故，不符合题意；
综上，，即的取值范围时．
证明：由，当时，，当且仅当时，等号成立，
令，则，
整理得，
，
即．
19.解：根据题意可得，
因此：；
证明：设直线：，那么直线：，
联立直线和抛物线方程，化简得，解得或，
因此，
将用替换，可得，，
那么，，
因此，
因此为定值；
联立，化简得，
解得或，
因此，
因此，
将用替换，可得，
因此四边形的面积
，
设，
那么，
因此，
设函数，
那么函数，
因此在上单调递增，
因此当，即时，取得最小值为，
因此四边形面积的最小值为．

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