江西省抚州市临川一中2025-2026学年高一（上）期末数学试卷（含答案）

江西省抚州市临川一中2025-2026学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，共46分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某工厂生产，两种不同型号的产品，产量之比为：，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有件，则( )
A. B. C. D.
3.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
4.牛顿冷却定律是牛顿在年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度单位：满足：已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
5.已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，，，则( )
A. B.
C. D.
8.已知函数若关于的方程在区间内有个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.设函数是定义在上的奇函数，满足当时，，则下列结论中正确的是( )
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数在区间单调递减
C. 当时，有个零点
D. 函数的图象关于点对称
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.从装有除颜色外完全相同的个红球编号为，和个白球编号为，的口袋内任取个球，甲表示事件“恰有个白球”，乙表示事件“恰有个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为的小球”，则( )
A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件
C. D. 甲和丁为独立事件
11.已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知：和：，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为 ．
13.已知定义域为的奇函数，则的值为 ．
14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上至中不重复的整数，小王通过推理已经得到了个小格子中的准确数字，，，，，这个数字未知，且，为奇数，则的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：若，，求的值．
计算：．
16.本小题分
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
求样本成绩的众数、平均数；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差．
17.本小题分
已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于．
求的表达式；
若函数在上的最小值为，求实数的值
18.本小题分
为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分单位：分与每天生产时长单位：小时的函数关系近似满足，而生产效率评分单位：分与每天生产时长单位：小时的部分数据如表所示：
已知生产时长达小时的产品质量评分为分．
求的值；
给出三个函数模型：；；根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长单位：小时的变化关系，并求出该函数解析式；
设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值．
19.本小题分
已知定义域为的函数，对于，定义．
设，求；
设，求；
对于非空集合，若对任意的都有，则称是对称集设：是奇函数；：是对称集判断与之间的推出关系，并加以证明．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：原式，
因为，，所以原式；
原式
．
16.解：根据题意可得，解得；
根据题意可得样本成绩的众数为，
样本成绩的平均数为；
由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
所以，
总方差为．
17.解：由的图象过点，，
的图象过点和点，
，
解得：或舍去，
．
，
，
令，当时，单调递增，
且，即
则可转化为，
当时，则时，
，解得，舍去；
当时，则时，
，解得；
综上，可知．
18.解：由题意知，，
即，
解得；
由表可知，函数先增后减，
则只有模型符合，
由表可知，，，，
则，解得，
所以，；
，
函数的对称轴为，
故函数在上单调递增，
又函数在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，
则当时，；
当时，，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
即当时，；
综上所述，当时取得最大值．
19.解：根据题意，，且，
则有，变形可得，
故；
根据题意，，其定义域为，
由于，
则为偶函数，
当时，，
因为和在单调递增，
所以在单调递增，
而为偶函数，则在单调递减；
又，则有，
所以的解集为，
所以；
根据题意，成立，不成立．
因为是奇函数，所以，
若，则，
所以，
所以，所以是对称集，故，
反之，举出反例：若，此时为偶函数，
因为对任意 ，有 ，
由于 ，则 ，
所以，则 是对称集．但偶函数不一定是奇函数，
所以不成立．
综上所述，成立，不成立．