INCLUDEPICTURE "复习效果自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "复习效果自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2024·新疆第一次检测)图示的装置中，电场强度E和磁感应强度B垂直，这种装置叫速度选择器。若一电子恰能沿虚线从左向右运动。下列和电子速率相同的哪种粒子沿虚线射入，不能沿虚线运动( )
INCLUDEPICTURE "RJ99.tif" INCLUDEPICTURE "RJ99.tif" \* MERGEFORMAT
A．从左向右运动的质子
B．从右向左运动的质子
C．从左向右运动的中子
D．从右向左运动的中子
解析：选B。根据题意，电子从左向右进入速度选择器，所受电场力竖直向上，所受洛伦兹力竖直向下，电场力与洛伦兹力平衡，电子才能沿虚线做匀速直线运动，而当质子从左向右进入速度选择器，所受电场力竖直向下，所受洛伦兹力竖直向上，能够达到平衡状态，可以在速度选择器中做匀速直线运动，故A正确，不符合题意；而当质子从右向左进入速度选择器，所受电场力竖直向下，所受洛伦兹力也竖直向下，不能达到平衡状态，故B错误，符合题意；由于中子不带电，进入速度选择器中既不受电场力也不受洛伦兹力，因此可以沿虚线运动，故C、D正确，不符合题意。
2．(2024·黑龙江六校联盟联考)1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，现对氘核(H)加速，所需的高频电源的频率为f，磁感应强度为B，已知元电荷为e，下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ100.tif" INCLUDEPICTURE "RJ100.tif" \* MERGEFORMAT
A．被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而增大
B．高频电源的电压越大，氘核最终射出回旋加速器的速度越大
C．氘核的质量为
D．该回旋加速器接频率为f的高频电源时，也可以对氦核(He)加速
解析：选D。根据周期公式T＝，可知，被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期不随半径变化，故A错误；设D形盒的半径为R，则氘核最终射出回旋加速器的速度满足evB＝m，可得v＝，可知氘核最终射出回旋加速器的速度与高频电源的电压无关，故B错误；根据周期公式T＝可得氘核的质量m＝＝，故C错误；因为氘核(H)与氦核(He)的比荷相同，所以该回旋加速器接频率为f的高频电源时，也可以对氦核(He)加速，故D正确。
3．(多选)(2024·天津南开区质检)如图所示，一块宽为a、长为c、厚为h的长方体半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为－e的自由电子，通入如图所示方向的电流时，电子的定向移动速度为v。若元件处于磁感应强度为B、方向垂直于上表面向下的匀强磁场中，前后两表面会形成电势差U。下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ101.tif" INCLUDEPICTURE "RJ101.tif" \* MERGEFORMAT
A．自由电子受到的洛伦兹力方向为垂直于前表面向外
B．前表面的电势比后表面的高
C．自由电子受到的洛伦兹力大小为
D．前、后表面间电势差U＝Bhv
解析：选AC。电流方向向左，电子向右定向移动，由左手定则可知，自由电子受到的洛伦兹力方向为垂直于前表面向外，则前表面积累了电子，前表面的电势比后表面的低，故A正确，B错误；由电子受力平衡可得F洛＝evB＝，解得U＝Bav，故C正确，D错误。
4．(多选)(2024·天津市八校期末)图甲中笔记本电脑机身和显示屏分别装有霍尔元件和磁体，实现开屏变亮，合屏熄灭。图乙为一块利用自由电子导电，长、宽、高分别为a、b、c的霍尔元件，电流大小恒定且方向向右。当合上显示屏时，水平放置的元件处于竖直向下的匀强磁场中，元件前、后表面间产生电压，当电压超过某一临界值时，屏幕自动熄灭，则( )
INCLUDEPICTURE "RJ102.tif" INCLUDEPICTURE "RJ102.tif" \* MERGEFORMAT
A．合屏状态下，前表面的电势比后表面的高
B．若磁场变强，可能出现闭合屏幕时无法熄屏
C．增大霍尔元件的高度c，可能出现闭合屏幕时无法熄屏
D．前、后表面间的电压与流过霍尔元件的电流大小无关
解析：选AC。合屏状态下，根据左手定则可知，电子偏向后表面，则前表面的电势比后表面的高，A正确；根据e＝evB，解得U＝Bbv，则若磁场变强，前、后表面产生的电压增大，则不可能出现闭合屏幕时无法熄屏现象，B错误；根据I＝nebcv，解得U＝，则增大霍尔元件的高度c，前、后表面产生的电压减小，则可能出现闭合屏幕时无法熄屏，C正确；根据U＝可知，前、后表面间的电压与流过霍尔元件的电流大小有关，D错误。
5．(多选)(2024·东北三省四市联考)如图(a)所示，S为粒子源，不断沿水平方向发射速度相同的同种带负电粒子。MN为竖直放置的接收屏，能够记录粒子打在屏上的位置。当同时存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场时，粒子恰好沿直线打到MN上的O点；当只存在上述某一种场时，粒子打在MN上的P点或Q点，P、O、Q三点的位置关系如图(b)所示，OQ间距离为OP间距离的倍。已知电场强度大小为E，磁感应强度大小为B，粒子源S到接收屏MN的距离为d。不计粒子所受重力和粒子间相互作用力，则下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ103.tif" INCLUDEPICTURE "RJ103.tif" \* MERGEFORMAT
A．只加磁场时，粒子打到接收屏上的P点
B．粒子源发射粒子的速度大小为
C．粒子的比荷为
D．OP间距离为
解析：选BC。只加磁场时，根据左手定则可知粒子所受洛伦兹力向下，则粒子向下偏转打到接收屏上的Q点，故A错误；
INCLUDEPICTURE "RJ104.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ104.TIF" \* MERGEFORMAT
当同时存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场时，粒子恰好沿直线打到MN上的O点，则满足qvB＝qE，可得v＝，故B正确；根据粒子在只有电场时做类平抛运动，粒子打在接收屏上的P点，由牛顿第二定律可知qE＝ma，粒子的水平方向位移d＝vt，粒子的竖直方向位移OP＝at2，联立可知OP＝，根据粒子在只有磁场时，做圆周运动，粒子的运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力可知qvB＝，即r＝＝，由几何关系可知OQ＝r－，又OQ＝OP，联立解得＝，OP＝，C正确，D错误。
6．(2024·陕西宝鸡市二模)如图所示，在直角坐标系xOy平面第一、二象限内有两个电场强度大小均为E的匀强电场Ⅰ和Ⅱ，两个电场的边界分别是边长为L的正方形Oabc和Oced，匀强电场Ⅰ的场强方向沿x轴正方向，匀强电场Ⅱ的场强方向沿y轴正方向，第三象限内有垂直于平面向外的匀强磁场，磁场边界线为半径为L的半圆，d为圆心。在电场Ⅰ区域内适当位置由静止释放一个电子，电子经电场Ⅱ进入磁场区域，已知电子质量为m、电荷量为e，重力忽略不计。
INCLUDEPICTURE "RJ108.tif" INCLUDEPICTURE "RJ108.tif" \* MERGEFORMAT
(1)要使电子恰能从d点离开电场，求释放点坐标(x，y)满足的关系式。
(2)从第一象限内坐标为(0.5L，0.5L)的位置由静止释放电子，发现电子离开磁场时速度方向恰好沿x轴正方向。求磁感应强度B的大小及电子在电场和磁场中运动的总时间t。
解析：(1)电子在匀强电场Ⅰ内向左做匀加速运动，设电子射出匀强电场Ⅰ区域的末速度为v0，由动能定理可得Eex＝mv
电子在匀强电场Ⅱ内做类平抛运动，由牛顿第二定律和运动学公式可得
L＝v0t，Ee＝ma，y＝at2
解得y＝。
(2)电子释放的坐标(0.5L，0.5L)满足y＝，所以电子从d点离开电场Ⅱ区域，设电子在d点速度大小为v，方向与x轴负方向夹角为θ，水平分速度为vx，竖直分速度为vy，由题意可得
2a＝v，2a＝v，
v＝ eq \r(v＋v) ，tan θ＝
电子在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场时速度方向沿x轴正方向，在洛伦兹力作用下运动轨迹如图所示，
INCLUDEPICTURE "RJ109.tif" INCLUDEPICTURE "RJ109.tif" \* MERGEFORMAT
设圆周运动半径为r，由几何关系有
(r sin θ)2＋(r cos θ＋r)2＝L2
又有evB＝m
解得B＝
设电子在匀强电场Ⅰ和Ⅱ中运动时间为t1和t2，在磁场中运动的速度偏转角为α，运动时间为t3，则有t1＝，t2＝
又有α＝π－θ，t3＝，t＝t1＋t2＋t3
解得t＝(2＋) 。
答案：(1)y＝
(2) (2＋)
7．(2024·广西南宁市二模)如图所示，xOy平面内，x轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x轴上方充满竖直向下的匀强电场(图中未画出)，其他部分无电场。从P点水平向右向电场内发射一个比荷为的带电粒子，粒子的速度大小为v0，仅在电场中运动时间t，从x轴上的N点与x轴正方向成α角(未知)斜向下进入磁场，之后从原点O第一次回到电场。已知P、N两点间的电势差UPN＝ eq \f(3mv,2q) ，忽略边界效应，不计粒子受到的重力。求：
INCLUDEPICTURE "RJ110.tif" INCLUDEPICTURE "RJ110.tif" \* MERGEFORMAT
(1)粒子第一次通过N点的速度大小v及角度α；
(2)匀强电场的电场强度大小E及匀强磁场的磁感应强度大小B；
(3)粒子从P点发射到第2 024次从x轴上方进入磁场的时间t2024。
解析：(1)对粒子从P点到N点的运动过程，根据动能定理有
qUPN＝mv2－mv
解得v＝2v0
INCLUDEPICTURE "RJ111.tif" INCLUDEPICTURE "RJ111.tif" \* MERGEFORMAT
粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹如图所示，在电场中粒子沿水平方向做匀速直线运动，在N点有
cos α＝＝
解得α＝60°。
(2)粒子在电场中沿水平方向的分位移大小s1＝v0t
粒子在N点沿竖直方向的分速度大小
v1＝v sin α＝v0
在电场中，粒子在竖直方向上做匀加速直线运动，对应的分位移大小
s2＝v1t＝v0t
电场强度大小E＝
解得E＝
粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
由几何关系有r sin α＝
解得B＝。
(3)粒子在磁场中运动的周期
T＝＝
粒子每次在磁场中运动的时间
t′＝T
可得t2024＝t＋2 023(2t＋t′)
解得t2024＝t。
答案：(1)2v0 60° (2)
(3)t
8.(2024·江西鹰潭市一模)如图所示，在空间建立直角坐标系，坐标轴正方向如图所示。空间有磁感应强度B＝1 T、方向垂直于纸面向里的磁场，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限(含x、y轴)有电场强度E＝1 N/C、竖直向下的电场。光滑圆弧轨道圆心为O′，半径R＝4 m，圆弧轨道底端位于坐标轴原点O。质量m1＝1 kg、电荷量q1＝1 C的带负电小球A从O′处水平向右飞出，经过一段时间，正好运动到O点且未飞出第一象限。质量m2＝4 kg、电荷量q2＝2 C的带正电小球B从与圆心O′等高处由静止释放，与A同时运动到O点并发生完全非弹性碰撞，碰后二者粘合生成小球C。小球A、B、C均可视为质点，所在空间无重力场作用。
INCLUDEPICTURE "RJ115.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ115.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求小球A在O′处的初速度大小。
(2)求碰撞完成后瞬间，圆弧轨道对小球C的支持力。
(3)小球C从O点飞出后的瞬间，将磁场方向改为竖直向上。分析小球C在后续运动过程中，再次回到y轴时到O点的距离。
解析：(1)A从O′飞出后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，rA＝
洛伦兹力提供向心力q1v1B＝ eq \f(m1v,rA)
联立整理得v1＝
解得v1＝2 m/s。
(2)设B滑到O点的速度为v2，由动能定理Eq2R＝m2v
解得v2＝2 m/s
A、B在O点发生完全非弹性碰撞，设碰后生成的小球C速度为v，由动量守恒定律m2v2－m1v1＝(m1＋m2)v
在碰后瞬间，小球C做圆周运动，设轨道对C支持力为F，小球C带电量
q＝q2－q1
由F－Eq＋qvB＝
解得F＝1.6 N。
(3)小球C从轨道飞出后，受到竖直向下的电场力和垂直纸面向外的洛伦兹力，在电场力作用下，小球C在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，在水平方向做匀速圆周运动，每隔一个周期T，小球C回到y轴上。由qvB＝及T＝
解得小球C做圆周运动周期T＝
小球C竖直方向加速度a＝
小球C回到y轴时坐标y＝a(nT)2
代入数据解得y＝10n2π2(n＝1，2，3…)。
答案：(1)2 m/s (2)1.6 N (3)10n2π2(n＝1，2，3…)专题九 磁场和带电粒子在磁场中的运动
INCLUDEPICTURE "命题分析9F.TIF" INCLUDEPICTURE "命题分析9F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题点1 磁场和磁场力
INCLUDEPICTURE "线F.TIF" INCLUDEPICTURE "线F.TIF" \* MERGEFORMAT
近3年11卷11考
1．用准“两个定则”
(1)电流磁场的判断用安培定则。
(2)对通电导线在磁场中所受的安培力和带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力用左手定则。
2．掌握一般思路
(1)确定磁场场源，如通电导线。
(2)定位空间中需求解磁感应强度的点，利用安培定则判定各个场源在这一点上产生的磁感应强度的大小和方向。如图所示，BM、BN为M、N处的通电直导线在c点产生的磁感应强度。
INCLUDEPICTURE "RJ13.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ13.TIF" \* MERGEFORMAT
(3)应用平行四边形定则进行合成，如图中的c点合磁场的磁感应强度为B。
3．磁场力的做功
磁场力包括洛伦兹力和安培力，由于洛伦兹力的方向始终和带电粒子的运动方向垂直，故洛伦兹力不做功，但是安培力可以做功。
INCLUDEPICTURE "例1F.TIF" INCLUDEPICTURE "例1F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·四川宜宾市二诊)水平架设的三根绝缘输电线缆彼此平行，线缆上电流大小相等，方向如图所示，位于三根线缆上的M点、P点、Q点在同一竖直平面内，△PQM为等腰三角形，MQ＝MP，O点是P、Q连线的中点，忽略地磁场的影响，下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ15.tif" INCLUDEPICTURE "RJ15.tif" \* MERGEFORMAT
A．P点和Q点所在的两条线缆相互排斥
B．M点所在的线缆在O点处产生的磁场方向竖直向下
C．O点处的磁场方向沿水平方向由Q点指向P点
D．M点所在的线缆受到的安培力方向竖直向下
[解析] 由题图可知P点和Q点所在的两条线缆电流方向相同，则二者相互吸引，故A错误；由右手螺旋定则可知M点所在的线缆在O点处产生的磁场方向由O点指向P点，P点和Q点所在的线缆在O点处产生的磁场方向等大反向，故O点处的合磁场方向由Q点指向P点，故B错误，C正确；由右手螺旋定则及磁场的叠加可知P点和Q点所在的两条线缆在M点所产生的合场强水平向右，根据左手定则知M点所在的线缆受到的安培力方向竖直向上，故D错误。
[答案] C
INCLUDEPICTURE "例2F.TIF" INCLUDEPICTURE "例2F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·山东淄博市期末)如图所示的是利用电流天平测量匀强磁场的磁感应强度的一种方法。它的右臂挂着等腰梯形线圈，且ab＝2cd＝2l，匝数为n。线圈底边水平，一半的高度处于虚线框内的磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与线圈平面垂直。当线圈中通入顺时针方向电流I时，调节砝码使两臂达到平衡。然后使电流反向，大小不变。在左盘中增加质量为m的砝码时，两臂再次达到新的平衡，重力加速度为g，则( )
INCLUDEPICTURE "RJ16.tif" INCLUDEPICTURE "RJ16.tif" \* MERGEFORMAT
A．虚线框内磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度
B．虚线框内磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度
C．虚线框内磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度
D．虚线框内磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度
[解析] 线圈一半的高度处于匀强磁场中，则有效长度为，安培力大小为F＝nBI·，电流反向时，需要在左盘中增加质量为m的砝码，说明原来的安培力方向向上，根据左手定则可知，虚线框内磁场方向垂直于纸面向外，当电流反向，安培力变为向下时，再次平衡，说明安培力等于mg的一半，即nBI＝，所以B＝。
[答案] B
INCLUDEPICTURE "例3F.TIF" INCLUDEPICTURE "例3F.TIF" \* MERGEFORMAT (多选)(2024·福建龙岩市二模)如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l(l a)。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为＋q，不计粒子所受的重力、粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ17.tif" INCLUDEPICTURE "RJ17.tif" \* MERGEFORMAT
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为2a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为nqπa2v
D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnql
[解析] 带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径R＝a，由qvB＝m，解得粒子质量m＝，A错误，B正确；管内等效电流I＝＝nq，C错误；粒子束对管道的平均作用力大小等于等效电流受的安培力F＝nqBl，D正确。
[答案] BD
命题点2 带电粒子在匀强磁场中的运动
INCLUDEPICTURE "线F.TIF" INCLUDEPICTURE "线F.TIF" \* MERGEFORMAT
近3年10卷11考
1．带电粒子在匀强磁场中的运动
基本思路 (1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径，并画出轨迹；(2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系；(3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式
基本公式 qvB＝m
重要结论 r＝，T＝，T＝
圆心的确定 (1)轨迹上的入射点和出射点的速度垂线的交点为圆心，如图(a)；(2)轨迹上入射点的速度垂线和两点连线中垂线的交点为圆心，如图(b)；(3)沿半径方向与入射点距离等于r的点，如图(c)(当r已知或可算) INCLUDEPICTURE "24CL14.TIF" INCLUDEPICTURE "24CL14.TIF" \* MERGEFORMAT
半径的确定 方法一：由物理公式求解，由于Bqv＝，所以半径r＝方法二：由几何关系求解，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定
时间的求解 方法一：由圆心角求解，t＝·T方法二：由弧长求解，t＝
2.带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
(1)“放缩圆”模型
适用条件及特点 速度方向一定，大小不同 粒子初速度方向一定，大小不同，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆的圆心共线 带正电粒子的速度v越大，运动半径也越大。运动轨迹的圆心在垂直于初速度方向的直线PP′上 INCLUDEPICTURE "RJ19.tif" INCLUDEPICTURE "RJ19.tif" \* MERGEFORMAT
应用方法 以入点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件
(2)“旋转圆”模型
适用条件及特点 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子，粒子的运动半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径R＝。如图所示 INCLUDEPICTURE "RJ20.tif" INCLUDEPICTURE "RJ20.tif" \* MERGEFORMAT
轨迹圆的圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
应用方法 将一半径R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件
INCLUDEPICTURE "三角F.TIF" INCLUDEPICTURE "三角F.TIF" \* MERGEFORMAT 考向1 “放缩圆”模型
INCLUDEPICTURE "例4F.TIF" INCLUDEPICTURE "例4F.TIF" \* MERGEFORMAT (多选)(2024·陕西汉中市联考)如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度从e点射入该磁场，不计电子受到的重力及其相互之间的作用力，对于从不同边界射出的电子，下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ26.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ26.TIF" \* MERGEFORMAT
A．从d点离开的电子在磁场中运动的半径最大
B．从ad边离开的电子在磁场中运动的时间都相等
C．从bc边离开的电子速度越大，偏转的角度越大
D．从cd边离开的电子速度越大，越靠近c点
[解析] 电子在磁场中不同边界射出的轨迹如图，可知，从d点离开的电子在磁场中运动的半径不是最大，故A错误。电子在磁场中运动的时间t＝·＝，由轨迹图可知，从ad边离开的电子速度偏转角相等，所以运动时间相等，故B正确。由evB＝可得r＝，可知速度越大半径越大，所以从cd边离开的电子速度越大，越靠近c点；同理可知从bc边离开的电子速度越大，半径越大，则速度偏转角越小，故C错误，D正确。
INCLUDEPICTURE "RJ27.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ27.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案] BD
INCLUDEPICTURE "三角F.TIF" INCLUDEPICTURE "三角F.TIF" \* MERGEFORMAT 考向2 “旋转圆”模型
INCLUDEPICTURE "例5F.TIF" INCLUDEPICTURE "例5F.TIF" \* MERGEFORMAT (多选)(2024·陕西汉中市质检)如图所示，M、N是真空中宽为d的匀强磁场的左右边界(边界上有磁场)，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里(图中未画出)。大量比荷为k的正离子从M边界上的P点以速率v＝kBd进入磁场，速度方向分布在180°的范围内，不计离子所受的重力，也不计离子间的相互作用，磁场区域足够长，则( )
INCLUDEPICTURE "RJ29.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ29.TIF" \* MERGEFORMAT
A．从边界N飞出磁场的离子，飞出点与P点距离小于或等于d
B．从边界N飞出磁场的离子中，在磁场中运动的最短时间为
C．磁场中有离子经过的区域的面积为d2
D．若将M、N边界间的距离变为3d，其他条件不变，则从P点沿不同方向射入磁场的离子有可能从M边界上同一点射出磁场
[解析] 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得正离子运动半径r＝d，根据几何关系可知水平向右入射的离子在N边界的切点与竖直向下入射的离子在N边界的飞出点离P点的距离均为d，故飞出点与P点距离小于或等于d，故A正确；轨迹弦长为d的离子是从N边界飞出的离子中弦长最短的，离子运动轨迹圆心角最小，为60°，在磁场中运动的最短时间t＝T＝×＝，故B错误；有离子经过的磁场区域为半径为d的两个四分之一圆和边长为d的正方形组合而成，磁场中有离子经过的区域的面积S＝2×πd2＋d2＝d2，故C正确；若将M、N边界间的距离变为3d，则所有离子都从M边界上射出磁场，且初速度方向从竖直向下到竖直向上变化的过程中，根据旋转圆知识知，离子从M边界上射出的位置从P点依次向上增大到距离为2d的位置再依次向下减小到P点，故从P点沿不同方向射入磁场的离子有可能从M边界上同一点射出磁场，故D正确。
[答案] ACD
INCLUDEPICTURE "三角F.TIF" INCLUDEPICTURE "三角F.TIF" \* MERGEFORMAT 考向3 带电粒子在匀强磁场中的运动
INCLUDEPICTURE "例6F.TIF" INCLUDEPICTURE "例6F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·广西卷，T5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m，电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为( )
INCLUDEPICTURE "25MSS3.TIF" INCLUDEPICTURE "25MSS3.TIF" \* MERGEFORMAT
A． B．
C．(1＋) D．
[解析] 粒子的运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO＝r＋＝(1＋)。
INCLUDEPICTURE "RJ22.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ22.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案] C
INCLUDEPICTURE "例7F.TIF" INCLUDEPICTURE "例7F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·湖北卷，T7)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "24HW5.TIF" INCLUDEPICTURE "24HW5.TIF" \* MERGEFORMAT
A．粒子的运动轨迹可能经过O点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
[解析] 在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出，根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故A、B错误；粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图甲所示，则最小时间间隔t＝2T＝，故C错误；粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图乙所示，设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知r＝，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝，故D正确。
INCLUDEPICTURE "RJ24.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ24.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "RJ25.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ25.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案] D
INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题视角：以上两个高考题都是以“带电粒子在匀强磁场中的运动”为命题情境，主要考查了圆周运动圆心和半径的确定、运动的对称性、运动的临界和极值问题的分析等知识。
方法技巧：此类题目解题的关键是根据洛伦兹力和速度的方向关系画好轨迹圆，充分利用运动的对称性分析。
命题点3 磁聚焦和磁发散
INCLUDEPICTURE "线F.TIF" INCLUDEPICTURE "线F.TIF" \* MERGEFORMAT
近3年0卷0考
1．带电粒子的聚焦
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出(会聚)。
证明：四边形 OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。
INCLUDEPICTURE "RJ30.tif" INCLUDEPICTURE "RJ30.tif" \* MERGEFORMAT
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，从P点以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子所受的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行(发散)。
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。
INCLUDEPICTURE "例8F.TIF" INCLUDEPICTURE "例8F.TIF" \* MERGEFORMAT 磁聚焦和磁发散技术在许多真空系统中得到了广泛应用，如电子显微镜技术，它的出现为科学研究做出了重大贡献。现有一个磁发散装置，如图所示，在半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外，磁感应强度为B的匀强磁场，在圆形磁场区域右侧有一方向竖直向下，电场强度为E的匀强电场，电场左边界与圆形磁场右边界相切。在水平地面上放置一个足够长的荧光屏PQ，它与磁场相切于P点。粒子源可以持续地从P点向磁场内发射速率为v、方向不同的同种正电粒子。经观测：有一粒子a以竖直向上的初速度射入磁场，该粒子经磁场偏转后恰好以水平方向离开磁场，然后进入电场区域。粒子b进入磁场的速度方向与粒子a的速度方向夹角为 θ(未知)，进入磁场后，粒子b的运动轨迹恰好能通过圆形磁场的圆心O，最终也进入到电场区域。已知电场强度和磁感应强度的关系满足E＝Bv，不计粒子所受的重力及粒子间相互作用。求：
INCLUDEPICTURE "RJ33.tif" INCLUDEPICTURE "RJ33.tif" \* MERGEFORMAT
(1)粒子的比荷；
(2)粒子b与粒子a的夹角θ和b粒子打在荧光屏上的亮点到P点的距离x；
(3)入射方向与荧光屏所在平面成60°～120°区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的亮线长度。
[解析] (1)由a粒子的运动可知粒子在磁场中运动的半径r＝R
由牛顿第二定律有Bqv＝m
可得粒子的比荷＝。
(2)画出粒子b的运动轨迹，如图甲所示，根据几何关系可知POQO′构成一个边长为R的菱形，则θ＝30°
由于QO′∥OP，b粒子经过Q点的速度方向与QO′垂直，b粒子进入电场中做类平抛运动，有
xb＝vtb，yb＝1.5R＝·t
解得xb＝R
所以b粒子打在荧光屏上的亮点到P点的距离x＝xb＋R＝(＋1)R。
INCLUDEPICTURE "RJ34.tif" INCLUDEPICTURE "RJ34.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "RJ35.tif" INCLUDEPICTURE "RJ35.tif" \* MERGEFORMAT
(3)入射方向与P点右侧荧光屏成60°的粒子，在磁场与电场中的运动轨迹如图乙所示，由几何关系可知，该粒子进入电场时与荧光屏的距离h＝0.5R
进入电场后，粒子做类平抛运动，有
x′＝vt，h＝0.5R＝·t2
解得x′＝R
所以该粒子打到荧光屏的位置到P点的距离为2R；根据(2)可知，入射方向与P点右侧荧光屏成120°的粒子，打到荧光屏的位置到P点的距离为(＋1)R，所以入射方向与荧光屏所在平面成60°～120°区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的亮线长度d＝(＋1)R－2R＝(－1)R。
[答案] (1) (2)30° (＋1)R (3)(－1)RINCLUDEPICTURE "复习效果自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "复习效果自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1.(2024·江苏卷，T1)在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请问a、b两点的场强大小关系是( )
INCLUDEPICTURE "24WAX1.TIF" INCLUDEPICTURE "24WAX1.TIF" \* MERGEFORMAT
A．Ea＝Eb B．Ea＝2Eb
C．EaEb
解析：选D。根据E＝可知F－q图线斜率表示电场强度，由题图可知Ea＞Eb，根据题意无法得出Ea和Eb的数量关系。
2.(2024·江西卷，T1)极板间一蜡烛火焰带有正离子、电子以及其他的带电粒子，两极板电压保持不变，当电极板距离减小时，电场强度如何变？电子受力方向？( )
INCLUDEPICTURE "RJ37.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ37.TIF" \* MERGEFORMAT
A．电场强度增大，方向向左
B．电场强度增大，方向向右
C．电场强度减小，方向向左
D．电场强度减小，方向向右
解析：选B。由题知，两极板电压保持不变，则根据电势差和电场强度的关系有E＝，当电极板距离减小时，电场强度E增大，再结合题图可知极板间的电场线水平向左，则可知电子受到的电场力方向向右。
3．(2024·河北卷，T2)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是( )
INCLUDEPICTURE "A25HL1.TIF" INCLUDEPICTURE "A25HL1.TIF" \* MERGEFORMAT
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：选C。在静电场中，等差等势线的疏密程度反映电场强度的大小。题图中c点的等差等势线相对最密集，故该点的电场强度最大。
4.(2024·辽宁、吉林、黑龙江卷，T6)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中( )
INCLUDEPICTURE "RJ39.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ39.TIF" \* MERGEFORMAT
A．动能减小，电势能增大
B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小
D．动能增大，电势能减小
解析：选D。根据题意，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，可知电场力和重力的合力沿着虚线方向，又电场强度方向为水平方向，根据力的合成可知电场强度方向水平向右，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中重力对小球做功为零，电场力的方向与小球的位移方向相同，则电场力对小球做正功，小球的动能增大，电势能减小。
5．(2024·广西南宁市二模)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着总电荷量为q的正电荷，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝3R，已知M点的电场强度大小为E，静电力常量为k，则N点的电场强度大小为( )
INCLUDEPICTURE "RJ40.tif" INCLUDEPICTURE "RJ40.tif" \* MERGEFORMAT
A．－E B．＋E
C．＋E D．－E
解析：选A。右边补齐半球面，电荷量为2q的球形在N点产生的电场强度大小E＝＝，由对称性可得，N点实际的电场强度大小EN＝－E。
6．(2024·江西南昌市二模)如图所示，a、b两点处分别固定有等量异种点电荷＋Q和－Q，c是线段ab的中点，d是ac的中点，e是ab的垂直平分线上的一点，将一个正点电荷先后放在c、d、e点，它所受的电场力分别为Fc、Fd、Fe，则这三个力的大小关系为( )
INCLUDEPICTURE "RJ41.tif" INCLUDEPICTURE "RJ41.tif" \* MERGEFORMAT
A．Fd＞Fc＞Fe B．Fd＞Fc＝Fe
C．Fc＞Fd＞Fe D．Fe＞Fc＞Fd
解析：选A。等量异种点电荷的电场的分布特点如图所示，电场线的密集程度代表场强的强弱，从图中可以看到在两等量异种点电荷连线上电场强度先减小后增大，c处电场强度最小；在连线的垂直平分线上，自上而下电场强度先增大后减小，c处电场强度最大，故Ed＞Ec＞Ee，由电场力F＝Eq，可知Fd＞Fc＞Fe。
INCLUDEPICTURE "RJ42.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ42.TIF" \* MERGEFORMAT
7．(2024·辽宁辽阳市一模)如图甲所示，一点电荷P(图中未画出)所在的水平直线上有a、b两点。在a、b两点分别放置试探电荷，两试探电荷受到的静电力与其电荷量的关系分别如图乙中的直线Ⅰ、Ⅱ所示。规定向右为正方向，则下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ43.tif" INCLUDEPICTURE "RJ43.tif" \* MERGEFORMAT
A．P带正电
B．P在a点左侧
C．a点的电势比b点的高
D．a点的电场强度比b点的大
解析：选A。由图像中直线Ⅰ可知，在a点放置的试探电荷带负电，受到的电场力向右，则a点的场强方向向左；由图像中直线Ⅱ可知，在b点放置的试探电荷带正电，受到的电场力向右，则b点的场强方向向右；可知点电荷P应位于a、b两点之间，且P带正电，故A正确，B错误。根据E＝，由F－q图像可知，直线Ⅰ对应的场强小于直线Ⅱ对应的场强，即a点电场强度比b点的小；根据E＝k可知a点比b点离正点电荷P更远，则a点电势比b点的低，故C、D错误。
8.(多选)(2024·山西省校际名校一模)如图所示，竖直平面内有一组平行等距的水平实线，可能是电场线或等势线。在竖直平面内，一带电小球以v0的初速度沿图中虚线由a运动到b，下列判断正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ44.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ44.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小球一定带负电荷
B．a点的电势一定比b点的电势高
C．从a到b，小球的动能可能减小，也可能不变
D．从a到b，小球重力势能增大，电势能也可能增大
解析：选CD。带电小球在重力和静电力作用下做直线运动。若小球做匀速直线运动，则静电力方向向上，这组实线是等势线，小球所带电荷电性无法判定，a、b两点电势高低无法判定，小球由a运动到b，动能不变，重力势能增大，电势能减小；若小球做匀减速直线运动，则静电力水平向左，这组实线是电场线，小球所带电荷电性无法判定，a、b两点电势高低无法判定，小球由a运动到b，动能减小，重力势能增大，电势能增大；小球不可能做匀加速直线运动。
9.(2024·青海海东市二模)如图所示，A、B、C、D是正方形的四个顶点，O是正方形的中心。在A、C两点固定两等量异种点电荷，下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ45.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ45.TIF" \* MERGEFORMAT
A．O点的电场强度为0
B．B、D两点的电场强度相同
C．电子从B点沿直线移动到D点，电场力做正功
D．电子从B点沿直线移动到D点，电势能先变小后变大
解析：选B。根据点电荷场强公式可知，A、C两点的点电荷在O点的电场强度大小相等，方向相同，故O点的电场强度不为0，故A错误；根据对称性可得，B、D两点的电场强度大小相等，等量异种电荷连线中垂线为等势线，电场线与等势线垂直，可知B、D两点的电场强度方向相同，故B、D两点的电场强度相同，故B正确；电子从B点沿直线移动到D点，电场力不做功，电势能不变，故C、D错误。
10.(2024·湖南九校联盟联考)静电透镜是由带电导体所产生的静电场来使电子束聚焦和成像的装置，它广泛应用于电子器件和电子显微镜。如图所示为其内部静电场中等差等势面的分布示意图。一电子由A点以某一速度射入该电场，仅在电场力作用下的运动轨迹如曲线AB所示，C、D为该轨迹曲线上的两点，O点为互相垂直的对称轴MN和M′N′的交点。下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ46.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ46.TIF" \* MERGEFORMAT
A．C点的电势低于D点的电势
B．电子在C点的电势能小于在D点的电势能
C．电子在C点的电势能和动能之和小于在D点的电势能和动能之和
D．电子由D点运动到B点过程中动量的变化率不变
解析：选B。根据轨迹可知D点电子所受电场力沿M′N′向右，即在M′N′线上电场方向向左，所以C点的电势高于D点的电势，故A错误；根据电子在电势高处电势能小，所以电子在C点的电势能小于在D点的电势能，故B正确；由于只有电场力做功，故运动中电势能与动能之和不变，故C错误；动量的变化率＝＝ma，即电子所受合力F合＝qE，由等差等势面可知由D点运动到B点过程中电场强度E变化，则动量的变化率变化，故D错误。
11．(多选)(2024·广西南宁市二模)图示为某同学用平行板电容器测量材料竖直方向的尺度随温度变化的装置示意图，电容器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化而上下移动，两极板间电压不变。若材料温度升高，极板上所带电荷量增加，则( )
INCLUDEPICTURE "RJ47.tif" INCLUDEPICTURE "RJ47.tif" \* MERGEFORMAT
A．材料竖直方向的尺度减小
B．材料竖直方向的尺度增大
C．极板间的电场强度减小
D．极板间的电场强度增大
解析：选BD。根据题意可知极板之间电压U不变，极板上所带电荷量Q变多，根据电容定义式C＝可知电容器的电容C增大，根据电容的决定式C＝，由于电容C增大，可知极板间距d减小，再根据E＝，可知极板间电场强度增大，故C错误，D正确；由于极板间距d减小，即下极板向上移动，则材料竖直方向尺度增大，故A错误，B正确。
12.(2024·江西盟校联考)如图所示，一垂直架设且固定于水平地面的圆环，内侧有一用绝缘材料制成的光滑轨道，轨道半径为R，圆心为O。设重力加速度为g，若将质量为m、电荷量为q的带正电小球(视为质点)，从P点(与O点等高)以某一初速度沿轨道向下射出，则：
INCLUDEPICTURE "RJ48.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ48.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)要使小球能做完整的圆周运动，小球的初速度vP至少多大？
(2)若于此圆形轨道区域内施加竖直向下的场强大小为E的均匀电场，要使小球能做完整的圆周运动，小球的初速度vP′至少多大？
解析：(1)设轨道最高点为D，在此处有
mg＝m eq \f(v,R)
由P至D点，有
－mgR＝mv－mv
得vP＝。
(2)施加电场后在最高点D，有
mg＋qE＝m
从P点到D点，有
－(mgR＋qER)＝mvD′2－mvP′2
得vP′＝。
答案：(1) (2)高考热点强化练4 带电粒子在复合场中的运动
1.(2024·北京市石景山区期末)如图所示，水平放置的两块带电金属极板a、b平行正对，极板长度和极板间距都为L，板间存在方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为＋q的粒子，以水平速度v0从两极板的左端正中央射入极板间，恰好做匀速直线运动。不计粒子所受的重力及空气阻力。
INCLUDEPICTURE "RJ116.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ116.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求匀强磁场磁感应强度B的大小。
(2)若撤去磁场，粒子能从极板间射出，求粒子刚穿出电场时的动能Ek。
(3)若撤去电场，调整磁感应强度B的大小使粒子刚好能从极板a的右端射出，求粒子穿过磁场过程中运动方向的偏转角度θ。
解析：(1)粒子恰好做匀速直线运动，受力平衡，则qv0B＝qE
解得B＝。
(2)粒子做类平抛运动，水平方向有L＝v0t
竖直方向有y＝at2
由牛顿第二定律qE＝ma
解得y＝ eq \f(qEL2,2mv)
由动能定理qEy＝Ek－mv
解得Ek＝ eq \f(q2E2L2＋m2v,2mv) 。
(3)粒子刚好从极板a的右端射出，轨迹如图所示，由几何关系
INCLUDEPICTURE "RJ117.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ117.TIF" \* MERGEFORMAT
r2＝L2＋
解得r＝L
粒子偏转角等于圆心角θ，有
sin θ＝＝
解得θ＝53°。
答案：(1) (2) eq \f(q2E2L2＋m2v,2mv) (3)53°
2.(2024·陕西汉中市检测)如图所示，真空中的矩形abcd区域内存在竖直向下的匀强电场，半径为R的圆形区域内同时存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形边界分别相切于ad、bc边的中点e、f。一带电粒子以初速度v0沿着ef方向射入该区域后能做直线运动，当撤去磁场并保留电场，粒子以相同的初速度沿着ef方向射入，恰能从c点飞离该区域。已知ad＝bc＝R(忽略粒子所受的重力)。
INCLUDEPICTURE "RJ118.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ118.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求带电粒子的比荷。
(2)若撤去电场仅保留磁场，粒子以相同的初速度沿着ef方向射入，求粒子离开磁场区域时的速度偏向角。
解析：(1)根据题意，设匀强电场的电场强度为E，当电场和磁场同时存在时，粒子沿ef方向做直线运动，有qv0B＝Eq
当撤去磁场，保留电场时，带电粒子做类平抛运动向下偏转，则粒子带正电，水平方向有2R＝v0t
竖直方向有R＝at2
由牛顿第二定律得qE＝ma
联立解得＝。
(2)若撤去电场保留磁场，粒子将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图所示，
INCLUDEPICTURE "RJ119.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ119.TIF" \* MERGEFORMAT
由牛顿第二定律有
Bqv0＝m eq \f(v,r)
解得r＝R
由图中几何关系得tan θ＝
解得θ＝60°
由此可得粒子出磁场时的速度偏向角为60°。
答案：(1) (2)60°
3.(2024·黑龙江省第二次联考)如图所示，平面直角坐标系xOy中存在一与x轴相切的圆形匀强磁场区域，圆心坐标为(0，0.2)，匀强磁场的磁感应强度大小为B＝ T、方向垂直于纸面向外。y＜0区域，存在电场强度大小为E＝4×103 N/C、方向沿y轴正方向的匀强电场。第四象限内的P点有一质量m＝2×10－9 kg、带电量q＝5×10－5 C的带正电粒子，以大小为v0＝5×103 m/s的初速度沿x轴负方向射入匀强电场，从坐标原点O以与x轴负方向成θ＝45°角进入匀强磁场。粒子所受重力不计，求：
INCLUDEPICTURE "RJ120.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ120.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)P点的坐标；
(2)粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间。
解析：(1)粒子在匀强电场中做类平抛运动，由几何关系有
vy＝v0tan θ＝5×103 m/s
根据牛顿第二定律有
a＝＝1×108 m/s2
则粒子在匀强电场中运动的时间
t＝＝5×10－5 s
水平方向有x＝v0t＝0.25 m
竖直方向有y＝at2＝0.125 m
故P点的坐标为(0.25，－0.125)。
INCLUDEPICTURE "RJ121.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ121.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)粒子进入匀强磁场的速度大小
v＝＝5×103 m/s
由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
解得R＝0.2 m
粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期
T＝＝×10－4 s
粒子的运动轨迹如图所示，
由几何关系可知，粒子在匀强磁场中转过的圆心角α＝135°，故粒子在匀强磁场中的运动时间
t′＝T＝×10－5 s。
答案：(1)(0.25，－0.125) (2)×10－5 s
4．(2024·安徽合肥市二模)平面直角坐标系xOy中，第Ⅱ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，如图所示。一个氘核H和一个氦核He先后由点P(－2L，L)，以相同的动量平行于x轴沿x轴正方向射出，H由坐标原点O射入磁场，He离开磁场时速度垂直于x轴。已知H的比荷为k，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。求：
INCLUDEPICTURE "RJ122.tif" INCLUDEPICTURE "RJ122.tif" \* MERGEFORMAT
(1)H和He由点P射出的初速度大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)H和He离开磁场的位置坐标。
解析：(1)设H的初速度大小为v1，He的初速度大小为v2。H核做类平抛运动，有2L＝v1t1，L＝at
其中a＝＝Ek
解得v1＝
由于动量相同，则mHv1＝mHev2
解得v2＝。
(2)He核做类平抛运动，有
x＝v2t2，L＝at
其中a＝＝Ek
可得x＝L
则He核从(－L，0)点进入第三象限，速度方向与x轴正方向夹角为θ，由几何关系可知tan θ＝2
He核从(0，－2L)点进入磁场，速度方向与y轴负方向夹角为90°－θ，进入磁场时的速度vHe＝
在磁场中的轨道半径rHe＝
洛伦兹力提供向心力
qHevHeB＝ eq \f(mHev,rHe)
解得B＝。
(3)H核做类平抛运动，从O点进入磁场时，速度方向与x轴的夹角为45°，大小为vH＝v1
H核在磁场中运动qHvHB＝ eq \f(mHv,rH)
离开磁场时到O点的距离
d1＝rH＝8L
所以，H核离开磁场时的坐标为(8L，0)，He核在磁场中运动
qHevHeB＝ eq \f(mHev,rHe)
离开磁场时到O点的距离为
d2＝rHe(1＋sin θ)＝2(＋2)L
所以，He核离开磁场时的坐标为
[2(＋2)L，0]。
INCLUDEPICTURE "RJ123.tif" INCLUDEPICTURE "RJ123.tif" \* MERGEFORMAT
答案：(1) (2) (3)(8L，0) [2(＋2)L，0]专题十 带电粒子在复合场中的运动
INCLUDEPICTURE "命题分析10F.TIF" INCLUDEPICTURE "命题分析10F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题点1 复合场中运动的实例分析
INCLUDEPICTURE "线F.TIF" INCLUDEPICTURE "线F.TIF" \* MERGEFORMAT
近3年5卷5考
INCLUDEPICTURE "例1F.TIF" INCLUDEPICTURE "例1F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·广西南宁市一模)质谱仪在物理研究中起着非常重要的作用。如图是质谱仪的工作原理示意图。粒子源(在加速电场上方，未画出)产生的带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场的磁感应强度和匀强电场的电场强度分别为B和E。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2。平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场。不计带电粒子所受的重力和粒子间的作用力，下列表述正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ83.tif" INCLUDEPICTURE "RJ83.tif" \* MERGEFORMAT
A．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向里
B．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
C．粒子打在胶片上的位置离狭缝P越远，粒子的比荷越大
D．某种元素同位素的原子核，打在胶片上的位置离狭缝P越远，表明其质量数越大
[解析] 根据带电粒子在磁场中的偏转方向及左手定则知，该粒子带正电，则在速度选择器中电场力水平向右，洛伦兹力应水平向左，根据左手定则知，磁场方向垂直于纸面向外，A错误。在速度选择器中，电场力和洛伦兹力平衡，有qE＝qvB，求得v＝，能通过狭缝P的带电粒子的速率等于，B错误。粒子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB0＝，解得r＝＝，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的轨迹半径越小，粒子的比荷越大；粒子所带电荷量相同时，打在胶片上的位置越远离狭缝P，粒子的轨迹半径越大，表明其质量数越大，C错误，D正确。
[答案] D
INCLUDEPICTURE "例2F.TIF" INCLUDEPICTURE "例2F.TIF" \* MERGEFORMAT (多选)(2024·天津南开区质检)回旋加速器是用来加速带电粒子使它们获得很大动能的仪器。其核心部分是两个D形金属盒，两盒分别和一电压为U的高频交流电源两极相接，从而在盒内的狭缝中形成交变电场，使粒子每次穿过狭缝时都得到加速，两盒放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于D形盒。粒子源A能不断释放出电荷量为q、质量为m的带电粒子(初速度可以忽略，重力不计)。已知D形盒半径为R，忽略粒子在电场中运动的时间，不考虑加速过程中引起的粒子质量变化，下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ84.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ84.TIF" \* MERGEFORMAT
A．粒子从电场中获得能量
B．加速电源的交变周期为T＝
C．粒子经交变电压U加速第一次进入D1盒与第一次进入D2盒的运动半径之比为1∶
D．粒子在电场中加速的次数为
[解析] 粒子在电场中被加速，在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力不做功，所以粒子只从电场中获得能量，故A正确；加速电源的交变周期等于粒子在磁场中做圆周运动的周期，即T＝，故B错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝①，粒子离开D形金属盒时，速度最大，此时轨道半径为R，根据qvB＝ eq \f(mv,R) ，可得最大速度vm＝②，根据动能定理可知，第一次进入D1盒时Uq＝mv③，第一次进入D2盒时2Uq＝mv④，由①③④联立解得R1∶R2＝1∶，nUq＝mv⑤，由②⑤联立可得加速的次数n＝，故C、D正确。
[答案] ACD
INCLUDEPICTURE "例3F.TIF" INCLUDEPICTURE "例3F.TIF" \* MERGEFORMAT (多选)(2024·湖北卷，T9)磁流体发电机的原理如图所示，MN和PQ是两平行金属极板，匀强磁场垂直于纸面向里。等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)从左侧以某一速度平行于极板喷入磁场，极板间便产生电压。下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "24HW6.TIF" INCLUDEPICTURE "24HW6.TIF" \* MERGEFORMAT
A．极板MN是发电机的正极
B．仅增大两极板间的距离，极板间的电压减小
C．仅增大等离子体的喷入速率，极板间的电压增大
D．仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压增大
[解析] 带正电的离子受到的洛伦兹力向上偏转，极板MN带正电为发电机正极，A正确；离子受到的洛伦兹力和电场力相互平衡时，此时令极板间距为d，则qvB＝，可得U＝Bdv，因此增大极板间距，U增大，增大速率，U增大，U大小和粒子数密度无关，B、D错误，C正确。
[答案] AC
INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题视角：题目以“磁流体发电机的原理”为命题情境，主要考查了带电粒子在叠加场中的运动。是教材中内容和题目的拓展，是常规题目。
方法技巧：带电粒子在叠加场中运动的实例都具有共同特点：洛伦兹力和电场力相互平衡。
INCLUDEPICTURE "例4F.TIF" INCLUDEPICTURE "例4F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·江西卷，T7)石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料，具有丰富的电学性能。现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子(电子)浓度。如图(a)所示，在长为a，宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3间通以恒定电流I，电极2、4间将产生电压U。当I＝1.00×10－3 A时，测得U－B关系图线如图(b)所示，元电荷e＝1.60×10－19 C，则此样品每平方米载流子数最接近( )
INCLUDEPICTURE "RJ87.tif" INCLUDEPICTURE "RJ87.tif" \* MERGEFORMAT
A．1.7×1019 B．1.7×1015
C．2.3×1020 D．2.3×1016
[解析] 设样品每平方米载流子(电子)数为n，电子定向移动的速率为v，则时间t内通过样品的电荷量q＝nevtb，根据电流的定义式得I＝＝nevb，当电子稳定通过样品时，其所受电场力与洛伦兹力平衡，则有evB＝e，联立解得U＝B，结合图像可得k＝＝ V/T，解得n≈2.3×1016。
[答案] D
INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题视角：题目以“测量某二维石墨烯样品的载流子(电子)浓度”为命题情境，实际上仍然考查的是带电粒子在叠加场中的运动。
方法技巧：与以上几个实例的应用一样，带电粒子在叠加场中运动的实例都具有共同特点：洛伦兹力和电场力相互平衡。
命题点2 带电粒子在叠加场中的运动
INCLUDEPICTURE "线F.TIF" INCLUDEPICTURE "线F.TIF" \* MERGEFORMAT
近3年7卷7考
1．若只有两个场存在且带电粒子所受合力为零，则粒子做匀速直线运动或处于静止状态。例如电场与磁场的叠加场中满足qE＝qvB；重力场与磁场的叠加场中满足mg＝qvB；重力场与电场的叠加场中满足mg＝qE。
2．三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m。
3．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
INCLUDEPICTURE "例5F.TIF" INCLUDEPICTURE "例5F.TIF" \* MERGEFORMAT (多选)(2024·安徽卷，T10)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示，当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则( )
INCLUDEPICTURE "25vvd10.TIF" INCLUDEPICTURE "25vvd10.TIF" \* MERGEFORMAT
A．油滴a带负电，所带电荷量的大小为
B．油滴a做圆周运动的速度大小为
C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为
D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
[解析] 油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知油滴a带负电，有mg＝Eq，解得q＝，故A正确；根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m，得R＝，解得油滴a做圆周运动的速度大小v＝，故B正确；设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，得3R＝，解得v1＝，周期T＝＝，故C错误；带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得mv＝v1＋v2，解得v2＝－，由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。
[答案] ABD
INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题视角：题目以“带电油滴在叠加场中做圆周运动”为命题情境，主要考查了带电粒子在复合场中做圆周运动的条件(重力和电场力的合力为零)、动量守恒定律的应用、圆周运动等知识，属于常规题目。
方法技巧：审题时抓住“当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ”这句话，知道该过程满足动量守恒定律，是解题的关键。
INCLUDEPICTURE "例6F.TIF" INCLUDEPICTURE "例6F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·福建莆田市二模)如图，xOy平面内有区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在以原点O为圆心的圆形匀强磁场，区域Ⅱ存在范围足够大的匀强磁场和匀强电场。电场强度大小为E，方向沿y轴负方向；两区域磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直于纸面向里。某带电粒子以速度v0从M点沿y轴负方向射入区域Ⅰ，从N点离开区域Ⅰ并立即进入区域Ⅱ，之后沿x轴运动。已知B＝0.05 T，M点坐标为(0，0.1 m)，粒子的比荷＝4×106 C/kg，不计粒子所受的重力。
INCLUDEPICTURE "RJ89.tif" INCLUDEPICTURE "RJ89.tif" \* MERGEFORMAT
(1)求粒子的速度大小v0。
(2)求电场强度大小E。
(3)某时刻开始电场强度大小突然变为2E(不考虑电场变化产生的影响)，其他条件保持不变，一段时间后，粒子经过P点，P点的纵坐标y＝－0.2 m，求粒子经过P点的速度大小vP。
[解析] (1)带电粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有qBv0＝m eq \f(v,r)
又有r＝0.1 m
且＝4×106 C/kg
联立解得v0＝2×104 m/s。
(2)带电粒子在区域Ⅱ中做匀速直线运动，由平衡条件有qBv0＝qE
解得E＝1×103 N/C。
(3)电场强度突然变为2E，粒子运动到P点过程，由动能定理有
2qE|y|＝mv－mv
解得vP＝6×104 m/s。
[答案] (1)2×104 m/s (2)1×103 N/C (3)6×104 m/s
命题点3 带电粒子在组合场中的运动
INCLUDEPICTURE "线F.TIF" INCLUDEPICTURE "线F.TIF" \* MERGEFORMAT
近3年18卷18考
1．偏转模型
(1)电偏转：带电粒子垂直进入匀强电场中。
(2)磁偏转：带电粒子垂直进入匀强磁场中。
2．思维流程
(1)带电粒子在电场中的运动
①若带电粒子做匀变速直线运动，用牛顿运动定律、运动学公式或动能定理求解；
②若带电粒子做类平抛运动，用常规分解法或功能关系求解。
(2)带电粒子在磁场中的运动
①若带电粒子做匀速直线运动，用平衡条件、运动学公式求解；
②若带电粒子做匀速圆周运动，用圆周运动公式、牛顿运动定律以及几何知识求解。
INCLUDEPICTURE "例7F.TIF" INCLUDEPICTURE "例7F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·广东卷，T15)如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
INCLUDEPICTURE "25DGY17.TIF" INCLUDEPICTURE "25DGY17.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q。
(2)求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v。
(3)求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
[解析] (1)根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期T＝2t0
根据T＝知粒子所带的电荷量q＝。
(2)若金属板的板间距离为D，则板长为，粒子在板间运动时有＝vt0
出电场时竖直方向速度为零，则竖直方向
y＝2××(0.5t0)2
在磁场中时有qvB＝m
其中的y＝2r＝
联立解得v＝π
D＝。
(3)带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由(2)的计算可知金属板的板间距离D＝3r，则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始进入左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，则W＝mv2＋Eq×＝＋＝。
INCLUDEPICTURE "RJ92.tif" INCLUDEPICTURE "RJ92.tif" \* MERGEFORMAT
[答案] (1)正电 (2) π (3)
INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题视角：题目以“带电粒子在组合场中的运动”为命题情境，主要考查了带电粒子在交变电场中的运动特点、电场力做功等知识。
方法技巧：审题时要抓住“在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内”和“在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场”这两个关键条件，根据带电粒子在电场中偏转特点，充分利用运动的对称性分析问题。
命题点4 动量观点在电场或磁场中的应用
INCLUDEPICTURE "线F.TIF" INCLUDEPICTURE "线F.TIF" \* MERGEFORMAT
近3年8卷8考
INCLUDEPICTURE "例8F.TIF" INCLUDEPICTURE "例8F.TIF" \* MERGEFORMAT (2022·江苏卷，T13)利用云室可以知道带电粒子的性质，如图所示，云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个质量为m、速度为v的电中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，a、b在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比la∶lb＝3∶1，半径之比ra∶rb＝6∶1，不计重力及粒子间的相互作用力。求：
INCLUDEPICTURE "ADM14.TIF" INCLUDEPICTURE "ADM14.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)粒子a、b的质量之比ma∶mb；
(2)粒子a的动量大小pa。
[解析] (1)分裂后带电粒子在磁场中偏转做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m
解得r＝
由题干知半径之比ra∶rb＝6∶1，故mava∶mbvb＝6∶1
因为相同时间内的径迹长度之比la∶lb＝3∶1，则分裂后粒子在磁场中的速度之比为va∶vb＝3∶1
联立解得ma∶mb＝2∶1。
(2)中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，分裂过程中，没有外力作用，动量守恒，根据动量守恒定律有mv＝mava＋mbvb
因为分裂后动量关系为
mava∶mbvb＝6∶1
联立解得pa＝mava＝mv。
[答案] (1)2∶1 (2)mv
INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题视角：题目以“利用云室研究带电粒子的性质”为命题情境，主要考查了带电粒子在匀强磁场中的运动规律和动量守恒定律的应用。
方法技巧：带电粒子分裂过程中，没有外力作用，动量守恒。
INCLUDEPICTURE "例9F.TIF" INCLUDEPICTURE "例9F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·安徽卷，T8)在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为＋q，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为v1、v2、v3，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力，则( )
INCLUDEPICTURE "25VVD8.TIF" INCLUDEPICTURE "25VVD8.TIF" \* MERGEFORMAT
A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变
B．该过程中系统能量守恒，动量不守恒
C．在图乙位置，v1＝v2，v3≠2v1
D．在图乙位置，v3＝
[解析] 该过程中系统动能和电势能相互转化，能量守恒，对整个系统分析可知系统受到的合外力为0，故动量守恒；当三个小球运动到同一条直线上时，根据对称性可知细线中的拉力相等，此时球3受到1和2的电场力大小相等，方向相反，故可知此时球3受到的合力为0，球3从静止状态开始运动，瞬间受到的合力不为0，故该过程中小球3受到的合力在改变，故A、B错误；对系统根据动量守恒定律有mv1＋mv2＝mv3，根据球1和2运动的对称性可知v1＝v2，解得v3＝2v1，根据能量守恒定律mv＋mv＋mv＝，解得v3＝，故C错误，D正确。
[答案] D
审题与规范答题(三)——带电粒子运动型
【审题定位】
1．正确分析受力和运动特征是解决问题的前提
(1)应把带电粒子的运动和受力情况结合起来分析，带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动。
(2)带电粒子所受的重力和电场力等大、反向时，洛伦兹力提供向心力，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动。
(3)带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运
动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。
2．灵活选用力学规律是解题的关键
(1)当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解。
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解。
(3)当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应注意把运动分解，应用动能定理或能量守恒定律列方程求解。
【题目示例】
(17分)(2024·安徽池州市期末)如图所示，平面直角坐标系xOy的第二象限内存在着①与x轴成45°的匀强电场E1(场强大小未知)。第四象限内存在竖直向上、②场强大小为E2＝的匀强电场和垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B＝的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的小球从P(－l，l)点静止释放，③沿直线运动到Q(0，l)点，④进入第一象限，从x轴上的M(图中未画出)点进入第四象限。已知重力加速度为g，求：
INCLUDEPICTURE "RJ97.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ97.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)第二象限中电场强度E1的大小；
(2)带电小球在M点的速度大小及小球从P点运动到M点的时间；
(3)带电小球第5次经过x轴时到原点O的距离。
【审题模板】
序号 隐含条件分析 物理规律表达
① 与x轴成45°的匀强电场E1，电荷带正电 可得电场力方向斜向右上方
② 场强大小为E2＝ 可知带电粒子在第四象限做匀速圆周运动
③ 沿直线运动到Q点 说明合力的方向水平向右
④ 进入第一象限 第一象限只受重力，做平抛运动
【规范答题】
(1)(第1给分点：3分)带电小球在第二象限内从静止开始做直线运动，合力水平向右，受力示意图如图所示
INCLUDEPICTURE "RJ98.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ98.TIF" \* MERGEFORMAT
有qE1＝mg(2分)
解得E1＝。(1分)
(2)(第2给分点：8分)带电小球在第二象限做匀加速直线运动，合力大小为mg，小球在第一象限做平抛运动，由动能定理有2mgl＝mv(2分)
解得vM＝2(1分)
小球从P运动到Q的时间为t1，由动能定理有
mgl＝mv(1分)
则t1＝＝(1分)
小球从Q运动到M的时间为t2，有
gt＝l(1分)
解得t2＝(1分)
小球从P点运动到M点的时间
t＝t1＋t2＝。(1分)
(3)(第3给分点：6分)小球在第一象限
l＝gt(1分)
x1＝vQt2＝2l(1分)
设vM方向与x轴正方向夹角为α，则
sin α＝＝(1分)
小球在第四象限内做匀速圆周运动，有
qvMB＝m eq \f(v,r)
解得r＝l(1分)
带电小球第1次经过x轴上M点进入第四象限做匀速圆周运动后，第2次经过x轴进入第一象限做斜抛运动，再次进入第四象限，带电小球第5次经过x轴到原点O的距离x2＝2l＋4r sin α＋8l(1分)
解得x2＝(10＋2)l。(1分)INCLUDEPICTURE "物理模块三F.TIF" INCLUDEPICTURE "物理模块三F.TIF" \* MERGEFORMAT
专题八 电场和带电粒子(体)在电场中的运动
INCLUDEPICTURE "命题分析8F.TIF" INCLUDEPICTURE "命题分析8F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题点1 电场力的性质的理解
INCLUDEPICTURE "线F.TIF" INCLUDEPICTURE "线F.TIF" \* MERGEFORMAT
近3年11卷12考
1．三个公式
(1)E＝是电场强度的定义式，适用于任何电场。电场中某点的电场强度是确定值，其大小和方向与试探电荷q无关，试探电荷q充当“测量工具”的作用。
(2)E＝k是真空中点电荷所形成的电场的电场强度的决定式，E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定。
(3)E＝是电场强度与电势差的关系式，只适用于匀强电场。
注意：式中d为两点间沿电场方向的距离。
2．电场线、电势、电场强度
(1)电场线与电场强度的关系：电场线越密的地方电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点电场强度的方向。
(2)电场线与等势面的关系：电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面；电场线越密的地方，等差等势面也越密；沿等势面移动电荷，电场力不做功，沿电场线移动电荷，电场力一定做功。
(3)电场强度大小与电势无直接关系：零电势可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高。
3．带电粒子的轨迹
(1)轨迹的切线方向：速度的方向。
(2)某点电场力方向：沿着该点的电场线的切线方向，轨迹向着电场力的方向弯曲。
INCLUDEPICTURE "三角F.TIF" INCLUDEPICTURE "三角F.TIF" \* MERGEFORMAT 考向1 电场力和电场的叠加
INCLUDEPICTURE "例1F.TIF" INCLUDEPICTURE "例1F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·河北卷，T7)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为( )
INCLUDEPICTURE "A25HL6.TIF" INCLUDEPICTURE "A25HL6.TIF" \* MERGEFORMAT
A． B．(6＋)
C．(3＋1) D．(3＋)
[解析] B点和C点处的点电荷在M点的合电场强度E＝2cos 60°＝，因M点的电场强度为0，因此带电细杆在M点的电场强度EM＝E，由对称性可知带电细杆在A点的电场强度EA＝EM＝E，方向竖直向上，因此A点合电场强度E合＝EA＋2cos 30°＝(＋3)。
[答案] D
INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题视角：题目以“均匀带电细杆和点电荷形成的电场”为命题情境，主要考查了点电荷电场强度的求解、带电细杆形成的电场的对称性特点、电场强度的矢量合成等知识。
方法技巧：解题的关键是理解均匀带电细杆两侧形成的电场具有对称性，利用M点的电场强度为0这一重要条件，求出带电细杆在M点的电场强度。
【变式训练1】 (2024·黑龙江省第二次联考)如图所示，在正方形ABCD的三个顶点A、B、C处分别放置一个点电荷，a、O、c三点为对角线BD的四等分点。已知a点的电场强度等于零，O点的电场强度大小为E、方向指向D点，则c点的电场强度大小为( )
INCLUDEPICTURE "RJ2.tif" INCLUDEPICTURE "RJ2.tif" \* MERGEFORMAT
A．E B．4E
C．E D．2E
解析：选A。根据a点的电场强度等于零，可知A、C两处点电荷在a点产生的电场的合电场强度与B处点电荷在a点产生的电场的电场强度大小相等、方向相反，且A、C两点的点电荷为同种电荷，则A、C两处点电荷在O点产生的电场的电场强度大小相等、方向相反，故B处点电荷在O点产生的电场的电场强度的大小为E、方向由B指向D点。设BD长为4L，根据点电荷电场强度公式有E＝＝，则B处点电荷在a点产生的电场的电场强度方向由B指向D，大小为EBa＝＝4E，则A、C两处点电荷在a点产生的电场的合电场强度方向由D指向B，大小也为4E，根据对称性可知，A、C两点电荷在c点产生的电场的合电场强度方向由B指向D，大小为EACc＝4E，B处点电荷在c点产生的电场的电场强度方向由B指向D，大小为EBc＝＝E，根据电场的叠加原理可知，c点的合电场强度方向由B指向D，大小为Ec＝EACc＋EBc＝4E＋E＝E。
INCLUDEPICTURE "三角F.TIF" INCLUDEPICTURE "三角F.TIF" \* MERGEFORMAT 考向2 电场中的平衡问题
INCLUDEPICTURE "例2F.TIF" INCLUDEPICTURE "例2F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·新课标卷，T18)如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等，则( )
INCLUDEPICTURE "24WXK2.TIF" INCLUDEPICTURE "24WXK2.TIF" \* MERGEFORMAT
A．两绳中的张力大小一定相等
B．P的质量一定大于Q的质量
C．P的电荷量一定小于Q的电荷量
D．P的电荷量一定大于Q的电荷量
[解析] 设Q和P两球之间的库仑力为F，细绳的拉力分别为T1、T2，两球质量分别为m1、m2，与竖直方向夹角为θ，对于小球Q有q1E＋T1sin θ＝F，T1cos θ＝m1g，对于小球P有q2E＋F＝T2sin θ，T2cos θ＝m2g，联立有T1＝，T2＝，所以可得T2＞T1，又因为＝，可知m2＞m1，即P的质量一定大于Q的质量；两小球的电荷量则无法判断。
[答案] B
INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题视角：题目以“两个带电小球在匀强电场中处于平衡状态”为命题情境，主要考查了库仑力的特点、平衡条件的应用、力的分解等知识点。题目较为常规，平时的复习中应该都能涉及。
方法技巧：要抓住两个关键条件“等长绝缘细绳”和“平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等”两个条件进行受力分析。
命题点2 电场能的性质的理解
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近3年19卷19考
1．电场能的性质
(1)电势与电势能：φ＝。
(2)电势差与电场力做功：UAB＝＝φA－φB。
(3)电场力做功与电势能的变化：W＝－ΔEp。
2．静电力做功的求解
(1)由功的定义式W＝Fl cos α来求解。
(2)利用结论“电场力做功等于电荷电势能变化量的负值”来求，即W＝－ΔEp。
(3)利用WAB＝qUAB来求解。
INCLUDEPICTURE "例3F.TIF" INCLUDEPICTURE "例3F.TIF" \* MERGEFORMAT (多选)(2024·湖北卷，T8)关于电荷和静电场，下列说法正确的是( )
A．一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变
B．电场线与等势面垂直，且由电势低的等势面指向电势高的等势面
C．点电荷仅在电场力作用下从静止释放，该点电荷的电势能将减小
D．点电荷仅在电场力作用下从静止释放，将从高电势的地方向低电势的地方运动
[解析] 根据电荷守恒定律可知一个与外界没有电荷交换的系统，这个系统的电荷总量是不变的，故A正确；根据电场线和等势面的关系可知电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误；点电荷仅在电场力作用下从静止释放，电场力做正功，电势能减小，根据φ＝可知正电荷将从电势高的地方向电势低的地方运动，负电荷将从电势低的地方向电势高的地方运动，故C正确，D错误。
[答案] AC
INCLUDEPICTURE "例4F.TIF" INCLUDEPICTURE "例4F.TIF" \* MERGEFORMAT (多选)(2024·广东卷，T8)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于容器底部，金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有( )
INCLUDEPICTURE "25DGY8.TIF" INCLUDEPICTURE "25DGY8.TIF" \* MERGEFORMAT
A．M点的电势比N点的低
B．N点的电场强度比P点的大
C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功
D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
[解析] 根据沿着电场线方向电势降低可知M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据Ep＝qφ可知污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，电场力对其做正功，故A、C正确；根据电场线的疏密程度可知N点的电场强度比P点的小，故B错误；M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合A、C选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D错误。
[答案] AC
INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题视角：这两道题目以“电场基本性质的理解”和“带电粒子在电场中的运动”为命题情境，主要考查了电荷守恒定律、电势、电势能、电场线、等势线、电场力做功等电场的基本概念和规律。属于基本题型。
方法技巧：要熟记电场基本概念的含义以及电场线和等势面的关系。
【变式训练2】 (多选)(2024·四川宜宾市二诊)如图所示，实线为两个点电荷Q1和Q2产生的电场中的电场线(方向未标出)，c、d是关于两个点电荷连线对称的两点，一带正电的离子(不计重力)沿aOb运动，下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ7.tif" INCLUDEPICTURE "RJ7.tif" \* MERGEFORMAT
A．Q1所带的电荷量大于Q2所带的电荷量
B．Q1带正电，Q2带负电
C．c、d两点的电势相同，场强也相同
D．正离子在a点的电势能大于在O点的电势能
解析：选AD。Q1周围的电场线比Q2周围的电场线密，说明Q1所带的电荷量大于Q2所带的电荷量，A正确；带正电的离子在电场中做曲线运动，电场力指向轨迹凹侧，且正电荷所受电场力与所处位置场强方向(即电场线切线方向)相同，由题图可知，电场线由Q2指向Q1，所以Q1带负电，Q2带正电，B错误；由电场线分布可知，c、d两点的电势相同，场强大小相等，方向不同，C错误；正离子从a点运动到O点，电场力做正功，电势能降低，即正离子在a点的电势能大于在O点的电势能，D正确。
命题点3 电容和带电粒子在电场中的运动
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近3年8卷8考
1．抓住两个分析
分析受力特点和运动规律，抓住粒子运动的周期性和对称性特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。
2．把握两条思路
一是力与运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。
INCLUDEPICTURE "例5F.TIF" INCLUDEPICTURE "例5F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·辽宁、吉林、黑龙江卷，T5)某种不导电溶液的相对介电常数εr与浓度Cm的关系曲线如图(a)所示，将平行板电容器的两极板全部插入该溶液中，并与恒压电源、电流表等构成如图(b)所示的电路，闭合开关S后，若降低溶液浓度，则( )
INCLUDEPICTURE "25DX4.TIF" INCLUDEPICTURE "25DX4.TIF" \* MERGEFORMAT
A．电容器的电容减小
B．电容器所带的电荷量增大
C．电容器两极板之间的电势差增大
D．溶液浓度降低过程中电流方向为M→N
[解析] 降低溶液浓度，不导电溶液的相对介电常数εr增大，根据电容器的决定式C＝可知电容器的电容增大，故A错误；溶液不导电没有形成闭合回路，电容器两端的电压不变，根据Q＝CU结合A选项分析可知电容器所带的电荷量增大，故B正确，C错误；根据B选项分析可知电容器所带的电荷量增大，则给电容器充电，结合题图可知电路中电流方向为N→M，故D错误。
[答案] B
INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题视角：题目以“不导电溶液的相对介电常数εr与浓度Cm的关系”为命题情境，主要考查了平行板电容器电容的影响因素、电容器电容和带电荷量的变化、板间电压的变化等知识。
方法技巧：当电容器和电源连通时电压不变，当电容器与电源断开时带电荷量不变。
INCLUDEPICTURE "例6F.TIF" INCLUDEPICTURE "例6F.TIF" \* MERGEFORMAT (多选)(2024·河南五市第一次联考)如图甲所示，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，两板之间的电压随时间周期性变化规律如图乙所示。一不计重力的带电粒子以速度v0从O点沿板间中线射入极板之间，t＝0时刻进入电场的带电粒子在t＝T时刻刚好沿A板右边缘射出电场，则( )
INCLUDEPICTURE "RJ9.tif" INCLUDEPICTURE "RJ9.tif" \* MERGEFORMAT
A．t＝0时刻进入电场的粒子在t＝时刻速度大小为v0
B．t＝时刻进入电场的粒子在t＝时刻速度大小为v0
C．t＝时刻进入电场的粒子在两板间的最大偏移量为
D．t＝时刻进入电场的粒子最终平行于极板射出电场
[解析] 由题意知，粒子在水平方向上的分速度为v0，t＝0时刻进入电场的粒子，在时刻竖直方向分速度为vy，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，则有v0·T＝××2×2，解得vy＝v0，a＝v0，则a＝，根据平行四边形定则知，此时粒子的速度v＝ eq \r(v＋v) ＝v0，故A正确；t＝时刻进入电场的粒子在t＝时刻，竖直方向速度vy′＝a·＝，粒子的速度v′＝ eq \r(v＋vy′2) ＝v0，故B错误；当粒子在时刻进入电场，粒子竖直方向上在电场力的作用下，先做匀加速，再匀减速，接着再匀加速和匀减速后回到中线位置，由运动的对称性可知，竖直方向在第二个末时偏移量最大，为ym＝×××2＝＝，故C错误；由于水平方向做匀速直线运动，所以粒子无论什么时候进入电场，运动时间都是T，粒子在t＝时刻以速度v0进入电场，竖直方向先向上加速再向上减速，再向下加速，再向下减速，竖直方向速度为零，粒子最终平行于极板射出电场，故D正确。
[答案] AD
命题点4 带电体在电场中运动的力电综合问题
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近3年7卷8考
1．规律选择
(1)若带电粒子受到的是恒力，可选用牛顿运动定律，也可选用动量定理或动能定理求解。
(2)若带电粒子所受的合力是变力，一般应选用动量定理、动能定理和能量守恒定律求解。
(3)若带电粒子不止一个，涉及粒子间相互作用的问题，一般要选用动量守恒定律和能量守恒定律求解。
2．常考模型
(1)平衡模型，求解的依据是平衡条件，即合力等于0。常用的方法有合成法、正交分解法、整体法和隔离法等。
(2)带电粒子在电场中做直线运动模型，求解时常用牛顿运动定律、动能定理或动量定理等物理规律。
(3)带电粒子在电场中做类平抛运动、圆周运动模型
①类平抛运动(偏转问题)：带电粒子在电场中做类平抛运动时常用运动的分解来求解。
②圆周运动：带电粒子在静电力和其他力的作用下做圆周运动，求解此类问题需应用动能定理、能量守恒定律和相关的圆周运动知识。善于利用“等效重力法”思想解决此类问题。
INCLUDEPICTURE "例7F.TIF" INCLUDEPICTURE "例7F.TIF" \* MERGEFORMAT (多选)(2024·山东卷，T10)如图所示，带电量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "24SDD9.TIF" INCLUDEPICTURE "24SDD9.TIF" \* MERGEFORMAT
A．OB的距离l＝
B．OB的距离l＝
C．从A到C，静电力对小滑块做功W＝－mgs
D．AC之间的电势差UAC＝－
[解析] 由题意知小滑块在B点处的加速度为零，则根据受力分析有，沿斜面方向mg sin 30°＝cos 30°， 解得l＝，A正确，B错误；因为滑到C点时速度为零，小滑块从A到C的过程，设静电力对小滑块做的功为W，根据动能定理有W＋mgs sin 30°＝0，解得W＝－，故C错误；根据电势差与电场力做功的关系可知AC之间的电势差UAC＝＝－，故D正确。
[答案] AD
INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题视角：题目以“带电体在库仑力的作用下的运动”为命题情境，主要考查了受力分析、平衡条件的应用、动能定理的应用和电势差的求解等知识。
方法技巧：解题关键是要抓住“滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零”这两个重要条件。
INCLUDEPICTURE "例8F.TIF" INCLUDEPICTURE "例8F.TIF" \* MERGEFORMAT (2024·河北卷，T13)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)，质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
INCLUDEPICTURE "A25HL17.TIF" INCLUDEPICTURE "A25HL17.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)电场强度E的大小；
(2)小球在A、B两点的速度大小。
[解析] (1)在匀强电场中，根据公式可得电场强度E＝。
(2)在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得Eq－mg＝m eq \f(v,L)
A到B过程根据动能定理得
qU－mgL＝mv－mv
联立解得vA＝
vB＝。
[答案] (1) (2)
INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" INCLUDEPICTURE "真题解读上F.TIF" \* MERGEFORMAT
命题视角：题目以“带电小球在竖直电场中的竖直面内的运动”为命题情境，主要考查了受力分析、匀强电场中电势差和电场强度的关系、牛顿第二定律、动能定理的应用等知识。
方法技巧：解题时要注意“细线对小球的拉力恰好为0”这一条件，说明电场力与重力的合力恰好提供向心力；竖直面内的圆周运动一般用动能定理建立两个运动位置之间的关系。INCLUDEPICTURE "复习效果自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "复习效果自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1.(2024·黑龙江鸡西市期末)电磁轨道炮发射的基本原理图如图所示，两条平行的金属导轨充当传统火炮的炮管，弹丸放置在两导轨之间，并与导轨保持良好接触，当电磁炮中通过如图中虚线所示的强电流时，轨道电流在弹丸处形成垂直于轨道平面的磁场，弹丸获得很大的加速度，最终高速发射出去，下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ60.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ60.TIF" \* MERGEFORMAT
A．电磁炮的本质是一种大功率的发电机
B．若通入与图示方向相反的电流，弹丸不能发射出去
C．其他条件不变的情况下，弹丸的质量越小，发射速度越大
D．两导轨中的强电流(如图所示)在导轨之间产生的磁场，方向竖直向下
解析：选C。电磁炮的本质是电磁发射技术，不是大功率的发电机，故A错误；若通入与图示方向相反的电流，弹丸也能发射出去，故B错误；电磁炮是将电磁能量转化为弹丸的动能，则其他条件不变的情况下，弹丸的质量越小，发射速度越大，故C正确；根据安培定则可知，两导轨中的强电流(如图所示)在导轨之间产生的磁场方向竖直向上，故D错误。
2.(2024·辽宁鞍山市联考)如图所示，将一轻质矩形弹性软线圈ABCD中A、B、C、D、E、F六点固定，E、F为AD、BC边的中点。一不易形变的长直导线在E、F两点处固定，现将矩形绝缘软线圈中通入电流I1，直导线中通入电流I2。已知I1 I2，长直导线和线圈彼此绝缘，则稳定后软线圈大致的形状可能是( )
INCLUDEPICTURE "RJ61.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ61.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "RJ62.tif" INCLUDEPICTURE "RJ62.tif" \* MERGEFORMAT
解析：选B。由安培定则可知，通电直导线左侧磁场垂直于纸面向外，右侧磁场垂直于纸面向里，软线圈的各段的形变方向为其受到的安培力方向，故而由左手定则可判断B图正确。
3．(2024·辽宁鞍山市质监)水平面内的两根平行长直导线上通以大小相等、方向相反的恒定电流，A、B、C三点均在两根导线所在平面内，位置如图所示。下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ63.tif" INCLUDEPICTURE "RJ63.tif" \* MERGEFORMAT
A．A点处的磁感应强度方向垂直于平面向下
B．B点处的磁感应强度方向垂直于平面向下
C．C点处的磁感应强度方向垂直于平面向下
D．A、B、C三点处的磁感应强度大小均为零
解析：选B。根据右手螺旋定则，后方电流在A点的磁场方向垂直于平面向上，前方电流在A点的磁场方向垂直于平面向下，A点距后方电流较近，则A点处的磁感应强度方向垂直于平面向上，同理，C点处的磁感应强度方向垂直于平面向上，A、C错误；后方电流在B点的磁场方向垂直于平面向下，前方电流在B点的磁场方向垂直于平面向下，则B点处的磁感应强度方向垂直于平面向下，B正确；综上所述，D错误。
4.(2024·贵州毕节市二诊)如图，现有四条完全相同的垂直于纸面放置的长直导线，横截面分别位于一正方形abcd的四个顶点上，长直导线分别通有方向垂直于纸面的恒定电流I，其中a、b处电流方向向里，c、d处电流方向向外。忽略电流间的相互作用，若a处电流在正方形的几何中心O点处产生的磁场的磁感应强度大小为B0，则O点处实际的磁感应强度的大小为( )
INCLUDEPICTURE "RJ64.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ64.TIF" \* MERGEFORMAT
A．B0 B．B0
C．2B0 D．2B0
解析：选D。根据安培定则，a、c处电流在O点的磁场方向均指向b，b、d处电流在O点的磁场方向均指向c。结合题意，a处电流在正方形的几何中心O点处产生的磁场的磁感应强度大小为B0，电流均为I，则O点处实际的磁感应强度的大小为B＝2×2B0cos 45°＝2B0。
5.(多选)(2024·辽宁辽阳市一模)如图所示，圆形区域内存在一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿平行于直径CD的方向射入磁场，射入时粒子运动的速率为，粒子经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ81.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ81.TIF" \* MERGEFORMAT
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．A点到CD的距离为
C．粒子在磁场中运动的位移大小为R
D．粒子在磁场中运动的时间为
解析：选BC。粒子在磁场中运动的半径r＝＝R，A错误；由几何关系可知，A点到CD的距离d＝R cos 60°＝，B正确；粒子在磁场中运动的位移大小x＝2R sin 60°＝R，C正确；粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，D错误。
6.(多选)(2024·河北石家庄市质检)利用磁场控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用。如图所示，以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，圆形区域外有垂直于纸面向外的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。有一质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点沿半径方向射入圆形区域，粒子n次穿越圆形区域边界(不包括经过P点)后又回到P点，此过程中粒子与圆心O的连线转过角度为2π，不计粒子所受的重力，下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ69.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ69.TIF" \* MERGEFORMAT
A．n的最小值为2
B．n＝3时，粒子速度大小为
C．n＝4时，粒子从P出发到回到P点的时间为
D．粒子连续两次穿越圆形区域边界过程中，粒子与圆心的连线转过的角度为
解析：选AC。因为粒子n次穿越圆形区域边界(不包括经过P点)后又回到P点，此过程中粒子与圆心O的连线转过角度为2π，画出粒子轨迹示意图如图所示，n的最小值为2，故A正确；
INCLUDEPICTURE "RJ70.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ70.TIF" \* MERGEFORMAT
n＝3时，粒子圆心间的连线构成圆边界的外切正方形，根据几何关系可知半径r＝R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得v＝，故B错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝＝，n＝4时，粒子从P出发到回到P点的时间t＝(3×＋2×)T，解得t＝，故C正确；由上述分析可知，粒子连续两次穿越圆形区域边界过程中，粒子与圆心的连线转过的角度为，故D错误。
7.(2024·河北省部分高中期末)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为－q(q＞0)的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ71.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ71.TIF" \* MERGEFORMAT
A．粒子可能从B点射出
B．若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为L
C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D．若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
解析：选C。带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能到达B点，故A错误；粒子垂直于BC边射出，如图甲所示，则粒子做匀速圆周运动的半径等于D点到BC边的距离，即R1＝L sin 60°＝L，故B错误；粒子从C点射出，如图乙所示，根据几何关系可得R＝＋，解得R2＝L，则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为sin ∠O＝＝，则∠O＝60°，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝×＝，故C正确；由qvB0＝m，可知r＝，若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示，粒子从AB边射出时的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，故D错误。
INCLUDEPICTURE "RJ72.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ72.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "RJ73.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ73.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "RJ74.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ74.TIF" \* MERGEFORMAT
8.(2024·河北省部分重点高中期末)如图所示，第三象限充满磁场，第一、四象限以x＝15 cm为右边界(右边界上没有磁场)，纵向范围足够大；第二象限没有磁场，磁感应强度大小都相同，方向垂直于纸面向里。现有一群带正电粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，不计重力的粒子，仅受洛伦兹力在磁场中做匀速圆周运动，轨道半径r＝10 cm，设运动周期为T。下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE "RJ75.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ75.TIF" \* MERGEFORMAT
A．右边界上有粒子射出的范围为－5 cm≤y≤5 cm
B．从右边界射出的粒子，在磁场中的最大运动时间为
C．从右边界射出的粒子，在磁场中的最小运动时间为
D．y轴正方向上(左边界)有粒子射出的范围为0＜y＜10 cm
解析：选B。如图所示，根据左手定则，带电粒子在磁场中沿逆时针方向旋转，粒子运动轨迹与右边界交点为P，OP为直径时对应右边界最下方出射点，轨迹与x轴上方右边界相切时对应右边界最上方出射点，由几何知识y1＝ cm＝5 cm，y2＝ cm＝5 cm，有粒子射出的范围为－5 cm＜y＜5 cm，A错误；从右边界射出的粒子，轨迹与x轴下方右边界相切时对应最大运动时间，由几何知识，偏转角θ＝，运动时间为，B正确；从(15 cm，0)处射出的粒子对应的弦长最短，对应最小运动时间，不等于，C错误；y轴正方向上(左边界)粒子能到达的最远点为(0，20 cm)，D错误。
INCLUDEPICTURE "RJ76.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ76.TIF" \* MERGEFORMAT
9.(2024·四川泸州市二诊)如图所示，在半径R＝4 m的圆形区域内分布着磁感应强度B＝2×10－3 T的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向四周发射速率大小v＝1×105 m/s的同种粒子，已知在粒子离开磁场的所有位置中，N距M最远且∠MON＝120°，不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用。求：
INCLUDEPICTURE "RJ77.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ77.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)粒子的比荷；
(2)从N处离开磁场的粒子，在磁场中运动的时间。
解析：(1)根据几何关系可知MN距离为
＝2R sin 60°＝12 m
在粒子离开磁场的所有位置中，N距M最远，说明MN为粒子做圆周运动的轨迹圆的直径，则轨迹圆半径
r＝ eq \f(,2) ＝6 m
洛伦兹力提供圆周运动的向心力，即
qvB＝m
解得粒子的比荷＝＝×107 C/kg≈8.3×106 C/kg。
(2)根据圆周运动规律可知T＝
从N处离开磁场的粒子在磁场中运动的时间t＝T
联立解得t≈1.9×10－4 s。
答案：(1)8.3×106 C/kg (2)1.9×10－4 s
10.(2024·山西临汾市质检)如图所示，M、N为纸面内一直线上的两点，某圆形区域中存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子，垂直于直线从M点以速度v进入圆形磁场区域，经过磁场的偏转，粒子再次通过该直线的位置为N，且方向与直线之间的夹角θ＝30°。已知M、N两点间的距离为L，不计粒子所受的重力。求：
INCLUDEPICTURE "RJ78.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ78.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)磁感应强度B的大小；
(2)圆形磁场区域的最小面积S。
解析：(1)根据题意可知，粒子的运动轨迹如图所示
INCLUDEPICTURE "RJ79.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ79.TIF" \* MERGEFORMAT
粒子偏转了120°角，由几何关系可得r＋＝L
可得r＝
根据qvB＝m得r＝
可得B＝。
(2)圆形磁场区域边界一定通过M、P两点，要使圆形磁场区域的面积最小，根据几何知识可知，该区域应为以MP为直径的圆。磁场区域的最小半径R＝r，磁场区域的最小面积S＝πR2＝πL2。
答案：(1) (2)πL2
