河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二（下）开学数学试卷（含答案）

河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
2.下列求导结果正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知、分别为椭圆的左、右焦点，的焦距为，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，与所成的角为，则( )
A. B. C. D.
6.瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句某瓷枕如图所示，其横截面如图所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.若等比数列的前项和为，公比为，且，，则( )
A. B. C. D.
8.在四棱锥中，底面是平行四边形，，，平面与棱交于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若圆：与圆关于直线对称，则( )
A. 圆与圆相交
B. 圆与圆外切
C. 圆上一点与点的距离的最小值为
D. 圆上一点与圆上一点的距离的最大值为
10.已知是定义域为的函数的导函数，且，则( )
A. B.
C. 有两个零点 D.
11.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的，，，，称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列，则( )
A. B.
C. 是等比数列 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线：被圆：截得的弦的长为 ．
13.已知正四棱柱的表面积为，底面边长为，体积为，则当时，关于的瞬时变化率为 ．
14.若抛物线：上的动点到的准线的距离为，点，则的最大值为 ，此时点的坐标为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在等比数列中，，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为．
求；
若过点的直线与的图象相切，求的方程．
17.本小题分
在底面半径为，高为的圆柱中建立如图所示的空间直角坐标系在点处有一只蚂蚁视为质点沿轴正方向以每秒个单位长度的速度爬行，同时在点处有一只蚂蚁视为质点沿着圆柱的表面逆时针匀速螺旋爬行，经过秒，蚂蚁第一次爬到的正上方的位置，此时蚂蚁到平面的距离为．
当经过秒时，求平面与平面夹角的余弦值；
当经过秒时，，求的取值范围．
18.本小题分
已知正项数列的前项和为，数列的前项和为，，．
求，的值；
求的通项公式；
若数列的前项和为，证明：．
19.本小题分
已知，分别为椭圆的左、右顶点，且，的离心率为．
求的方程；
若倾斜角为的直线与交于，两点，求的中点的轨迹方程；
若过且斜率不为的直线与交于，两点，与直线交于点，设直线，的斜率分别为，，且，比较与的大小，并说明理由．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在等比数列中，设公比为，
由，，可得，，
解方程可得，，
则；
由，可得，
则
．
16.解：因为，所以，
所以根据题意可得，解得；
由知，，
设切点坐标为，则，切线的方程为，
又点在曲线上，所以，代入得，
即，
整理可得，故的方程为，即．
17.解：由题知，当经过秒时，，，则．，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，则，
易知平面的一个法向量为，
记平面与平面夹角为，
则．
因为经过秒，蚂蚁第一次爬到的正上方的位置，此时蚂蚁到平面的距离为，
所以蚂蚁沿轴正方向移动的速度为，绕着圆柱旋转的角速度为，
所以当经过秒时，，
又，，所以．，
所以，
即，
又，即，
所以，
解得，
所以的取值范围是．
18.
解：由正项数列的前项和为，数列的前项和为，
，，
当时，，，
又，解得；
当时，，，
又，解得，．
当时，，，
两式相减得：，又，所以．
所以，
因为，所以．
又，
两式相加得，
所以，
两式相减得：，
所以．
因为，所以．
所以是以为首项，为公差的等差数列，所以．
证明：因为，
当时，；
当时，．
所以，
因为，所以．
19.解：由题意可知：，即，
又因为椭圆的离心率为，则，，
所以椭圆的方程为．
设直线：，，，
联立方程，消去可得，
则，解得，
可得，，
则的中点坐标为，即，且，
消去可得的中点的轨迹方程为，．
，理由如下：
由题意可知：直线与椭圆必相交，，，
设直线：，，，，
联立方程，消去可得，
则，，可得，
因为，则，即，
整理可得，即，
可得，
因为，为常数，则不恒成立，则，即，
则直线，，
因为
，
所以．