计算题定时规范练(二)
(光学＋力学综合＋复合场)
1．(2024·四川成都市二诊)如图所示，某种透明玻璃砖由一个圆柱体和半球体构成，O为半球体的球心，半球体及圆柱体的半径为R，圆柱体的高为R，底面圆心处有一点光源S，光源可向各个方向发出a、b两种频率不同的光。
INCLUDEPICTURE "25WLA5.tif" INCLUDEPICTURE "25WLA5.tif" \* MERGEFORMAT
(1)若从光源发出的a光直接射到圆柱体和半球体交界面的边界处时恰好发生全反射，求玻璃砖对a光的折射率na。
(2)若从光源发出的b光与OS之间的夹角α＝30°，光线从半球体表面以平行于OS的方向射出，求玻璃砖对b光的折射率nb。
2.(2024·广东省选择考模拟二)如图，某升降电梯的轿厢A、配重B和电动机由轻质缆绳连接，电动机拉动B，使A运动。某次运行时，A(含载重)的质量M＝1 000 kg，t＝0时，A从1楼由静止开始以0.5 m/s2的加速度加速运动，然后以v＝1 m/s的速度匀速运动，最后以大小为0.5 m/s2的加速度减速上升至3楼停止，A上升的高度h＝7 m。已知B的质量m＝800 kg，不计空气阻力和摩擦阻力，g取10 m/s2。求：
INCLUDEPICTURE "25WLA7.TIF" INCLUDEPICTURE "25WLA7.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)此次电梯匀速运行的时间；
(2)t＝1 s时，B下端缆绳的拉力大小；
(3)A(含载重)从静止开始上升到5 m的过程，A(含载重)的机械能增量。
3.(2024·广东韶关市综合测试二)如图所示，矩形区域Ⅰ和Ⅱ内分别存在方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场，aa′、bb′、cc′、dd′为磁场边界线，四条边界线相互平行，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B，区域Ⅱ的磁感应强度大小为B，矩形区域的长度足够长，磁场宽度及bb′与cc′之间的距离相同。某种带正电的粒子从aa′上的O1处以大小不同的速度，沿与O1a成α＝30°角进入磁场(不计粒子所受重力)，当粒子的速度小于某一值时，粒子在区域Ⅰ内的运动时间均为t0；当速度为v0时，粒子垂直于bb′进入无场区域，最终从dd′上的A点射出，求：
INCLUDEPICTURE "25WLA9.TIF" INCLUDEPICTURE "25WLA9.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)粒子的比荷；
(2)磁场区域Ⅰ的宽度L；
(3)出射点A偏离入射点O1竖直方向的距离y。
[特色专项训练]
计算题定时规范练(二)
1．解析：(1)设a光在玻璃砖中的临界角为θ，则sin θ＝＝
又sin θ＝得na＝。
(2)如图所示，过b光的出射点作出法线，从玻璃砖射向空气，设入射角为r，折射角为i，
INCLUDEPICTURE "25WLA6.tif" INCLUDEPICTURE "25WLA6.tif" \* MERGEFORMAT
由几何关系得＝，得
sin r＝
得r＝45°又i＝r＋30°＝75°
玻璃砖对b光的折射率
nb＝＝＝
＝
＝＝。
答案：(1) (2)
2．解析：(1)电梯加速运行的时间
t1＝＝2 s
位移h1＝t1＝1 m
减速运行的时间t2＝＝2 s
位移h2＝t2＝1 m
匀速运行的时间t3＝＝5 s。
(2)由(1)可知t＝1 s时，A在匀加速上升，B在匀加速下降，设B下端缆绳的拉力大小为F，B上端缆绳的拉力大小为T，对A、B分别有T－Mg＝Ma
F＋mg－T＝ma
代入数据解得F＝2 900 N。
(3)由(1)可知A上升到5 m时，速度大小为1 m/s，机械能增量ΔE＝Mv2＋MgΔh－0
代入数据解得ΔE＝50 500 J。
答案：(1)5 s (2)2 900 N (3)50 500 J
3．解析：(1)当粒子的速度小于某一值时，粒子只在区域Ⅰ内运动，不进入区域Ⅱ，从aa′离开磁场，粒子在磁场Ⅰ中运动转过的圆心角φ＝300°
粒子的运动时间t0＝T
粒子在区域Ⅰ内有qvB＝m，T＝
得T＝
＝。
(2)当速度为v0时，粒子垂直于bb′进入无场区域，设粒子的轨迹半径为r1，
INCLUDEPICTURE "25WLA10.tif" INCLUDEPICTURE "25WLA10.tif" \* MERGEFORMAT
有qv0B＝m eq \f(v,r1)
转过的圆心角φ1＝60°
又因为L＝r1sin 60°
解得L＝。
(3)设粒子在磁场Ⅱ中运动时，转过的圆心角为φ2，轨迹半径为r2，根据牛顿第二定律得qv0·B＝m eq \f(v,r2)
又因sin φ2＝，得r2＝r1，φ2＝30°
y＝(r1－r1cos φ1)＋(r2－r2cos φ2)
得y＝(－1)。
答案：(1) (2)
(3)(－1)计算题定时规范练(五)
(光学＋复合场＋力学综合)
1.(2024·河北省部分高中一模)如图所示，边长为a的等边三角形ABC是一中空玻璃棱镜的横截面，中空部分是圆心在三角形垂心O处、半径为的圆。让一束激光从AB边的D点以45°的入射角射入棱镜，光线恰能沿平行于BC边的直线，经O点后从AC边射出。
INCLUDEPICTURE "25WLA20.TIF" INCLUDEPICTURE "25WLA20.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求玻璃的折射率n。
(2)若保持入射角45°不变，使入射点沿AB边向A点缓慢移动，当入射点移至E点(图中未画出)时，恰好没有光线进入中空部分，求A、E两点间的距离x。
2.(2024·四川省部分学校一模)如图所示，两块足够大的带电平行金属板a、b竖直放置，两金属板相距为d。现有一带正电的颗粒从a板下边缘以大小为v0的初速度竖直向上射入电场，当它飞到b板时，速度大小不变，而方向变为水平方向，且刚好从距b板底部的高度也为d处的狭缝穿过而进入bc区域，bc区域的宽度也为d，所加匀强电场的电场强度与金属板间的电场强度大小相等，方向竖直向上，匀强磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向里，大小B＝(E为金属板间的电场，未知)，重力加速度大小g未知。求：
INCLUDEPICTURE "25WLA22.TIF" INCLUDEPICTURE "25WLA22.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)颗粒在ab区域的运动时间；
(2)颗粒在bc区域中做匀速圆周运动的半径；
(3)颗粒在bc区域中做匀速圆周运动所用的时间。
3.(2024·江西新余市二模)如图所示，固定在竖直平面上的半径R＝1.0 m的光滑半圆轨道AB与光滑水平地面在A点相切，在半圆轨道的最低点A设置一压力传感器，压力传感器上放置一质量m2＝1.5 kg的小球乙。用外力将物块甲和物块丙间的轻弹簧压缩并保持静止，某一时刻突然同时撤去外力，轻弹簧将物块丙、甲分别向左、右两边水平弹出，物块丙、甲被弹开后，立即拿走轻弹簧。经过一段时间后，物块甲与小球乙发生弹性碰撞，碰撞后瞬间压力传感器的示数为111 N。已知物块甲与物块丙的质量均为m1＝1 kg，重力加速度g取10 m/s2，甲、乙、丙均可视为质点，B为半圆轨道的最高点，空气阻力不计，轻弹簧始终在弹性限度内。
INCLUDEPICTURE "25WLA24.tif" INCLUDEPICTURE "25WLA24.tif" \* MERGEFORMAT
(1)求物体乙被碰撞后瞬间获得的速度大小。
(2)求轻弹簧的弹性势能。
(3)小球乙能否运动到B点，若能，求小球乙落地点到A点的距离。
[特色专项训练]
计算题定时规范练(五)
1．解析：(1)根据几何关系可得折射角
θ＝90°－60°＝30°
根据折射定律，玻璃的折射率
n＝＝。
(2)当入射点移至E点，在中空圆界面发生全反射，恰好没有光线进入中空部分，作出光路图如图所示，
INCLUDEPICTURE "25WLA21.tif" INCLUDEPICTURE "25WLA21.tif" \* MERGEFORMAT
sin C＝，解得C＝45°
O为等边三角形的垂心，则OA＝a
根据几何关系有∠GOH＝C＝45°
则OH＝r sin C＝a
AH＝OA－OH＝a
A、E两点间的距离x＝＝。
答案：(1) (2)
2．解析：(1)设颗粒在ab区域的运动时间为t1，则有d＝t1
解得t1＝。
(2)颗粒在ab区域有a＝＝g＝ eq \f(v,2d) ，
qE＝mg＝ eq \f(mv,2d)
进入bc区域，电场力与重力平衡，颗粒做匀速圆周运动，有qv0B＝ eq \f(mv,r)
解得r＝2d。
(3)在bc区域，颗粒运动轨迹所对应的圆心角为α，则由sin α＝
可得α＝30°
颗粒在bc区域中做匀速圆周运动所用的时间t2＝×＝。
答案：(1) (2)2d (3)
3．解析：(1)根据题意可知，甲与乙发生弹性碰撞后瞬间轨道对乙的支持力F＝111 N，对乙有F－m2g＝m2 eq \f(v,R)
解得vA＝8 m/s。
(2)甲、乙发生弹性碰撞，取向右为正方向，由动量守恒定律，有
m1v0＝m1v甲＋m2vA
碰撞过程中机械能守恒，有
m1v＝m1v＋m2v
联立解得v0＝10 m/s，v甲＝－2 m/s
释放弹簧，将甲、丙弹出的过程，根据动量守恒定律有0＝m1v0＋m1v丙
解得v丙＝－v0＝－10 m/s
负号表示弹开后丙的速度方向向左。弹簧将甲、丙弹开的过程中系统的机械能守恒，有
Ep＝m1v＋m1v＝m1v
解得Ep＝100 J。
(3)乙在半圆轨道上的运动过程，由机械能守恒定律有
m2v＝m2v＋2m2gR
解得vB＝2 m/s
能过B的最小速度为vmin，则
m2g＝ eq \f(m2v,R) ，vmin＝＝ m/s，则vB>vmin
故小球乙能到B点，小球乙离开B点做平抛运动，水平方向有x＝vBt
竖直方向有2R＝gt2
解得x＝ m。
答案：(1)8 m/s (2)100 J (3)能 m计算题定时规范练(四)
(机械波＋力学综合＋电磁场)
1．(2024·黑龙江省第二次联考)一列简谐横波沿x轴正方向传播，波源位于坐标原点处，t＝0时波源沿y轴负方向起振，t1＝2.5 s时的波形如图所示。求：
(1)该横波的周期及波速大小；
(2)平衡位置坐标为x＝30 cm处的质点第二次到达波峰时，波源运动的路程。
2.(2024·广东四校期末)如图，质量M1＝8 kg，半径R＝0.84 m的四分之一光滑圆弧轨道静止于光滑水平面上，底端端点切线水平。另一质量M2＝2 kg足够长的滑板锁定在圆弧轨道的右端，滑板上表面所在平面与圆弧轨道底端等高。质量m＝0.5 kg的物块(可视为质点)从轨道圆心等高处静止释放，滑上滑板瞬间圆弧轨道和滑板之间解除锁定。开始时与滑板右侧距离s处有一弹性挡板，滑板与挡板碰撞时间极短且无机械能损失，碰撞后马上撤去挡板。已知物块与滑板间的动摩擦因数μ＝0.725，g取10 m/s2。
(1)求物块冲上滑板时的速度大小。
(2)若滑板碰撞挡板反弹后能追上圆弧轨道，求s的取值范围。
3．(2024·吉林省三模)如图所示，质量M为5.0 kg的小车以2.0 m/s的速度在光滑的水平面上向左运动，小车上AD部分是表面粗糙的水平轨道，DC部分是光滑圆弧轨道，整个轨道都是由绝缘材料制成的，小车所在空间内有竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度E大小为50 N/C，磁感应强度B大小为2.0 T。现有一质量m为2.0 kg、带负电且电荷量为0.1 C的滑块以10 m/s的水平速度向右冲上小车，当它运动到D点时速度为5 m/s。滑块可视为质点，g取10 m/s2。
(1)求滑块从A到D的过程中，小车与滑块组成的系统损失的机械能。
(2)如果滑块刚过D点时对轨道的压力为76 N，求圆弧轨道的半径r。
(3)当滑块通过D点时，立即撤去磁场，要使滑块不冲出圆弧轨道，求此圆弧轨道的最小半径。
[特色专项训练]
计算题定时规范练(四)
1．解析：(1)根据波形可知，2.5 s内，波向前传播了λ，即T＋＝t1
解得T＝2 s
根据图像可知波长为20 cm，根据v＝解得v＝0.1 m/s。
(2)波传播到平衡位置坐标为x＝30 cm处质点位置的时间t2＝＝ s＝3 s
由于质点起振方向沿y轴负方向，可知之后该质点第二次到达波峰时间
t3＝T＋T＝3.5 s
则波源振动的时间
t3＝t2＋t3＝3T＋
则波源运动的路程s＝3×4A＋A
解得s＝26 cm。
答案：(1)2 s 0.1 m/s (2)26 cm
2．解析：(1)设物块冲上滑板时速度大小为v1，圆弧轨道和滑板共同速度为v2，物块滑下过程中，系统水平动量守恒，有
mv1＝(M1＋M2)v2
系统机械能守恒， 有
mgR＝mv＋(M1＋M2)v
解得v1＝4 m/s，v2＝0.2 m/s。
(2)设滑板碰撞挡板前瞬间，物块速度大小为v物，滑板速度大小为v板，此时未共速，以向右为正方向，根据动量守恒定律有mv1－M2v2＝mv物＋M2v板
反弹后－M2v板＋mv物＝－(M2＋m)v
若恰好没追上圆弧轨道，则v＝v2
解得v板＝0.525 m/s，v物＝1.1 m/s
因v物>v板，故假设成立，设物块滑上滑板M2时，滑板向左对地运动了s1，物块m向右对地运动了水平位移s2，物块滑下过程中，系统水平动量守恒
ms2＝(M1＋M2)s1
s1＋s2＝R
解得s1＝0.04 m
对滑板μmg(s1＋s)＝M2v－M2v
解得s＝0.025 m
故滑板碰撞挡板反弹后能追上圆弧轨道s的取值范围为s>0.025 m。
答案：(1)4 m/s (2)s>0.025 m
3．解析：(1)设滑块运动到D点时的速度大小为v1，小车在此时的速度大小为v2，滑块从A运动到D的过程中系统动量守恒，以向右为正方向，有
mv0－Mv＝mv1＋Mv2
代入数据解得v2＝0
则小车跟滑块组成的系统的初机械能E1＝mv＋Mv2＝110 J
小车跟滑块组成的系统的末机械能E2＝mv＋0＝25 J
小车与滑块组成的系统损失的机械能ΔE＝E1－E2＝85 J。
(2)设滑块刚过D点时，受到轨道的支持力为N，则由牛顿第三定律可得N＝76 N
N－(mg＋qE＋Bqv1)＝m eq \f(v,r)
代入数据解得r＝1 m。
(3)设滑块沿圆弧轨道上升到最大高度时，滑块与小车具有共同的速度v3
则由动量守恒定律可得mv1＝(M＋m)v3
代入数据解得v3＝ m/s
设圆弧轨道的最小半径为R
则由能量守恒关系，有
mv＝(M＋m)v＋(qE＋mg)R
代入数据解得R＝ m。
答案：(1)85 J (2)1 m (3) m题型二 计算题定时规范练
计算题定时规范练(一)
(热学＋动力学＋电磁感应)
1.(2024·河北石家庄市教学质检一)负压病房是指病房内的气体压强略低于病房外的标准大气压的一种病房，这样可使新鲜空气流进病房，被污染的空气由抽气系统抽出进行消毒处理。
INCLUDEPICTURE "25WLA1.TIF" INCLUDEPICTURE "25WLA1.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)负压病房内初始压强为1.0×105 Pa，要使病房内压强减为9×104 Pa，求抽出的气体质量与原气体质量的比值。
(2)现将抽出的气体封闭在如图所示的绝热汽缸a内，汽缸底部接有电热丝，右壁接一右端开口的细U形管(管内气体体积可忽略)，管内装有水银，开始时U形管右侧液面比左侧高4 cm，气体温度为300 K。电热丝通电一段时间后，U形管右侧液面上升了4 cm，求此时缸内气体的温度，已知外界大气压强为76 cmHg。
2.(2024·天津南开区质检一) 2023年10月3日，杭州亚运会女子10米跳台决赛中，中国运动员的惊人一跳，赢得全场7个10分，并最终夺得冠军。在进行10米跳台跳水训练时，运动员必须在距离水面一定高度前完成规定动作并调整好入水姿势。某兴趣小组对10米跳台跳水进行模拟研究，将运动员视为质点，若运动员起跳时获得竖直向上的初速度v0＝1 m/s，并在距离水面h0＝1.6 m前完成规定动作并调整好入水姿势竖直入水，其入水深度h＝2.5 m，跳台距水面高度H＝10 m，运动员质量m＝40 kg，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计。求：
INCLUDEPICTURE "25WLA2.TIF" INCLUDEPICTURE "25WLA2.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)运动员距离跳台的最高距离hm；
(2)运动员完成规定动作允许的最长时间tm；
(3)运动员即将入水时速度v的大小和入水至水深h处的过程运动员受到水的平均作用力F的大小。
3.(2024·天津市八校期末质量调查)如图所示，在Oxy光滑绝缘水平面上的第一象限内存在方向垂直于纸面向外、大小B＝0.5 T的匀强磁场。一阻值R＝0.4 Ω、质量m＝0.1 kg和边长L＝0.8 m的正方形金属框，静止放在水平桌面上，其右边界bc恰好与y轴重合。现给其施以水平向右的恒力F，当bc边到达x＝0.4 m时恰好达到最大速度v＝2 m/s，此时撤去外力F。求：
INCLUDEPICTURE "25WLA3.tif" INCLUDEPICTURE "25WLA3.tif" \* MERGEFORMAT
(1)恒力F的大小；
(2)从开始运动到撤去外力的瞬间，线框运动的时间Δt；
(3)从开始运动到完全进入磁场的整个过程中，线框产生的焦耳热Q。
[特色专项训练]
题型二 计算题定时规范练
计算题定时规范练(一)
1．解析：(1)设减压后气体体积变为V，气体温度不变，由玻意耳定律得
p0V0＝pV
解得V＝＝＝V0
抽出的气体质量与原气体质量的比值
＝＝＝。
(2)初始状态，汽缸内气体压强
p1＝p0＋ph＝76 cmHg＋4 cmHg＝80 cmHg
加热后，汽缸内气体压强p2＝p0＋ph1＝76 cmHg＋12 cmHg＝88 cmHg
由查理定律得＝
解得加热后汽缸内的温度T2＝＝＝330 K
答案：(1) (2)330 K
2．解析：(1)运动员起跳后做竖直上抛运动，到最高点则有－2ghm＝0－v
解得hm＝ eq \f(v,2g) ＝ m＝0.05 m。
(2)运动员从起跳到最高点所用时间
t1＝＝ s＝0.1 s
运动员从最高点到距水面1.6 m处所用时间为t2
hm＋H－h0＝gt
代入数据解得t2＝1.3 s
运动员完成规定动作允许的最长时间tm＝t1＋t2＝0.1 s＋1.3 s＝1.4 s。
(3)运动员入水时，有v2＝2g(hm＋H)
代入数据解得入水时速度大小
v＝ m/s
运动员入水后至水深h处，有
－2ah＝0－v2
代入数据解得a＝40.2 m/s2
运动员入水后至水深h处的过程中，受到重力mg和水的平均作用力F，有
F－mg＝ma
解得F＝mg＋ma＝40×10 N＋40×40.2 N＝2 008 N。
答案：(1)0.05 m (2)1.4 s
(3) m/s 2 008 N
3．解析：(1)线框速度最大时水平向右的恒力与安培力大小相等，方向相反，则
F＝BIL，I＝，E＝BLv
解得F＝0.8 N。
(2)从开始运动到撤去外力的瞬间，对线框由动量定理得FΔt－BLΔt＝mv－0
又有＝，＝，ΔΦ＝BLx，解得Δt＝0.45 s。
(3)从开始运动到完全进入磁场的整个过程中，对线框由功能关系得
Fx＝Q＋mv
对全过程由动量定理得
FΔt－B1Lt1＝mv1－0
又1＝，1＝，ΔΦ1＝BL2，解得Q＝0.312 J。
答案：(1)0.8 N (2)0.45 s
(3)0.312 J计算题定时规范练(三)
(原子物理＋力学综合＋静电场)
1．(2024·江苏前黄高级中学一模)掌握并采用核聚变产生能源是核物理中最具有前景的研究方向之一。太阳上的一种核反应为两个氘核(H)聚变成一个He核。已知氘核的质量为2.013 6 u，中子质量为1.008 7 u，He核的质量为3.015 0 u。1 u对应931.5 MeV。
(1)写出该核反应方程。
(2)计算上述核反应中释放的核能ΔE(保留3位有效数字)。
(3)若两个氘核以相等的动能0.45 MeV做对心碰撞即可发生上述核反应，且释放的核能全部转化成动能，则反应中生成的He核和中子的动能各是多少？
2．(2024·广东湛江市一模)某同学为参加学校举行的遥控赛车比赛，利用如图所示装置练习遥控技术。水平直轨道AC与半径R＝0.32 m的光滑竖直圆轨道在B点相切，A、B间的距离L＝1.0 m且对赛车的阻力恒为f＝0.3 N，BC段光滑。水平地面距水平直轨道的竖直高度h＝0.45 m。该同学遥控质量m1＝0.1 kg的赛车以额定功率P＝2 W从A点出发，沿水平直轨道运动到B点时立刻关闭遥控器，赛车由B点进入圆轨道，离开圆轨道后沿水平直轨道运动到C点，并与质量m2＝1.0 kg的滑块发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后赛车恰好能通过圆轨道，而滑块落在水平地面上D点，C、D间的水平距离s＝0.30 m。赛车和滑块均可视为质点，不计空气阻力，g取10 m/s2。求：
(1)碰撞后滑块速度v2的大小；
(2)碰撞前瞬间赛车速度v0的大小；
(3)此过程中该同学遥控赛车的时间。
3.(2024·重庆市缙云教育联盟二模)如图所示，在光滑绝缘水平面上B点的正上方O处固定一个质点，在水平面上的A点放另一个质点，两个质点的质量均为m，带电荷量均为＋Q。C为AB直线上的另一点(O、A、B、C位于同一竖直平面上)，AO间的距离为L，AB和BC间的距离均为，在空间加一个水平方向的匀强电场后A处的质点处于静止状态。
(1)该匀强电场的电场强度是多大？其方向如何？
(2)给A处的质点一个指向C点的初速度，该质点到达B点时所受的电场力是多大？
(3)若初速度大小为v0，质点到达C点时的加速度和速度分别是多大？
[特色专项训练]
计算题定时规范练(三)
1．解析：(1)核反应方程为
H＋H→He＋n。
(2)设核反应的质量亏损为Δm，则有
Δm＝2.013 6 u×2－(3.015 0＋1.008 7) u＝0.003 5 u
解得ΔE＝3.26 MeV。
(3)设核反应后He核和中子的质量分别为3m、m，动量分别为p1、p2，动能分别为Ek1、Ek2，则有p1＋p2＝0
Ek1＝ eq \f(p,6m)
Ek2＝ eq \f(p,2m)
Ek1＋Ek2＝2Ek0＋ΔE
解得Ek1＝1.04 MeV
Ek2＝3.12 MeV。
答案：(1)H＋H→He＋n
(2)3.26 MeV (3)1.04 MeV 3.12 MeV
2．解析：(1)碰撞后滑块做平抛运动，则
h＝gt2
s＝v2t
解得v2＝1 m/s。
(2)设赛车恰好通过圆轨道最高点的速度大小为v3，与滑块碰撞后的速度大小为v1，则m1g＝m1 eq \f(v,R)
m1v＋m1g×(2R)＝m1v
赛车与滑块碰撞过程动量守恒，有
m1v0＝－m1v1＋m2v2
解得v0＝6 m/s。
(3)设电动机工作时间为t，根据动能定理有Pt－fL＝m1v
解得t＝1.05 s。
答案：(1)1 m/s (2)6 m/s (3)1.05 s
3．解析：(1)在空间加一个水平方向的匀强电场后A处的质点处于静止状态，对A进行受力分析，
AO间的库仑力F＝k
由几何关系得AO与BO的夹角θ＝30°
根据平衡条件得F sin θ＝EQ
E＝＝
方向由A指向C。
(2)该质点到达B点时受竖直向下的O点的库仑力和水平向右的电场力，
库仑力F′＝k
水平向右的电场力F″＝EQ
该质点在B点时所受的电场力
F＝
＝ 。
(3)质点到达C点时进行受力分析，根据牛顿第二定律得
a＝＝＝
从A点到C点根据动能定理得
EQL＝mv2－mv
解得v＝ eq \r(\f(kQ2,mL)＋v) 。
答案：(1) 方向由A指向C
(2) (3) eq \r(\f(kQ2,mL)＋v)计算题定时规范练(六)
(热学＋复合场＋力学综合)
1.(2024·湖南新高考教学教研联盟一模)如图所示，用两个质量均为m、横截面积均为S的密闭活塞P、Q，将开口向上的导热汽缸内的理想气体分成A、B两部分。上面活塞通过轻绳悬挂在天花板上，汽缸和汽缸下方通过轻质绳子悬挂的物块的质量均为2m，整个装置处于静止状态，此时两部分气柱的长度均为l0＝30 cm。环境温度、大气压强p0均保持不变，且满足6mg＝p0S，g为重力加速度，不计一切摩擦。
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(1)求此时A气体的压强。
(2)剪断连接物块的绳子，一段时间后两活塞重新恢复平衡，求汽缸上升的距离。
2.(2024·广东四校期末)如图所示，内径为r、外径为2r的圆环内有垂直于纸面向里、磁感应强度为B2的匀强磁场。圆环左侧的平行板电容器两板间距离为r，电压为U，板间匀强磁场磁感应强度大小为B1，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为q的正离子从左侧水平飞入，在两板间恰好做匀速直线运动，并沿圆环直径方向射入B2磁场，求：
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(1)离子射入两板间的速率；
(2)离子在B2磁场中做圆周运动的半径；
(3)要使离子不进入小圆区域，磁感应强度B2的取值范围。
3．(2024·河北石家庄市教学质检二)如图所示，水平地面上有一轻质弹簧自然伸长，左端固定在墙面上，右端位于O点。地面上M点右侧有一传送带，其上表面与地面齐平，传送带以v0＝6 m/s的速度逆时针转动。现用力推动置于O点、质量mA＝4 kg的小物块A，使弹簧缓慢压缩到Q点后由静止释放，物块A运动到O点时的速度vA＝1 m/s。现将物块A换成质量mB＝1 kg的物块B，重复以上过程，发现物块B刚好运动到M点速度减为0，此时将质量mC＝1 kg的物块C在传送带上与M距离为l(未知)的位置由静止释放，物块B、C碰撞后粘在一起，形成结合体P，P第一次到达O点时的速度大小为v(未知)。已知地面O点左侧光滑，物块B、C与传送带、O点右侧水平地面间的动摩擦因数均为μ＝0.4，M、N之间的距离L＝9 m，重力加速度g取10 m/s2，物块A、B、C均可视为质点。
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(1)求O、M两点间的距离s。
(2)若v＝0，求l的大小。
(3)求v与l的关系表达式。
[特色专项训练]
计算题定时规范练(六)
1．解析：(1)对汽缸，根据平衡条件有
pA1S＋2mg＋2mg＝p0S
解得初态A气体压强pA1＝p0＝。
(2)对活塞P，根据平衡条件有
pB1S＋mg＝pA1S
解得pB1＝p0
重新恢复平衡后，对汽缸，根据平衡条件有pA2S＋2mg＝p0S
解得pA2＝p0
对活塞P有pB2S＋mg＝pA2S
解得pB2＝p0
由于环境温度保持不变，根据玻意耳定律可得
pA1l0S＝pA2lAS，pB1l0S＝pB2lBS
解得lA＝15 cm，lB＝10 cm
汽缸上升的距离
h＝2l0－lA－lB＝35 cm。
答案：(1) (2)35 cm
2．解析：(1)设离子射入匀强磁场时的速率为v，根据题意得＝qvB1
解得v＝。
(2)设离子在磁场中做圆周运动的半径为R，有qvB2＝，v＝
联立解得R＝。
(3)若离子恰好不进入小圆区域，设离子与小圆相切时轨道半径为R0，此时轨迹如图所示，
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在△OPO′中，由几何关系得
R＋(2r)2＝(R0＋r)2
解得R0＝r
要使离子不进入小圆，需满足的条件为R≤R0
解得磁感应强度B2≥。
答案：(1) (2)
(3)B2≥
3．解析：(1)根据功能关系可得
Ep＝mAv＝mBv
解得物块B运动到O点时的速度
vB＝2 m/s
物块B、C在传送带O点右侧水平地面上的加速度大小a＝μg＝4 m/s2
物块B刚好运动到M点速度减为0，则v＝2as
解得O、M两点间的距离s＝0.5 m。
(2)若v＝0，结合体P从M点第一次到达O点的过程中，有v2－v＝－2as
物块B、C碰撞动量守恒有
mCvC1＝(mB＋mC)vM1
在传送带上有v＝2al
解得l＝2 m。
(3)由上述分析可知，当0≤l＜2 m时，P不能到达O点，物块C离开传送带的速度恰好为6 m/s时，物块C在传送带上运动的距离l1＝ eq \f(v,2a) ＝4.5 m
则当4.5 m≤l≤9 m时，物块C离开传送带的速度为6 m/s，则
mCvC2＝(mB＋mC)vM2
v2－v＝－2as
解得v＝ m/s
当2 m≤l＜4.5 m时，物块C离开传送带的速度满足v＝2al
且mCvC3＝(mB＋mC)vM3
v2－v＝－2as
解得v＝ m/s。
答案：(1)0.5 m (2)2 m (3)见解析
