高频易错题型专练
第三章 函数
题型一：一次函数图象的增减性
1.（2025·辽宁中考）关于 的一次函数 ＝（2 ＋1） ＋ －2，若 随 的增大而增大，
且图象与 轴的交点在原点下方，则实数 的取值范围是 .
题型二：一次函数图象的性质
2.（2025·南通中考）已知一次函数 ＝ － ，若对于 ＜3范围内任意自变量 的值，
其对应的函数值 都小于 2 ，则 的取值范围是 .
题型三：数形结合思想的应用
3.（2025·金华中考）如图，一次函数 ＝ ＋ 的图象与反比例函数 ＝ 的
图象交于点 （2，3）， （ ，－2），则不等式 ＋ ＞ 的
解集是（ ）
.－3＜ ＜0或 ＞2 ， . ＜－3或 0＜ ＜2 ，
.－2＜ ＜0或 ＞2 ， .－3＜ ＜0或 ＞3
题型四：抛物线与一元二次方程的关系
4.（2025·南充中考）已知某函数图象关于 轴对称，当 0 ≤ ≤ 2时， ＝ 2－2 ；
当 ＞2时， ＝2 －4。若直线 ＝ ＋ 与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数 b的
范围是（ ）
1 9 1
.－ ＜ ＜0 ， .－ ＜ ＜－4 4 4 ，
1 1
.－ ≤ ≤ 0 ， . ≤ － 或 ＞04 4
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题型五：二次函数图象与各项系数的关系
5.（2025·广安中考）如图，二次函数 ＝ 2＋ ＋ （ ， ， 为常数， ≠ 0）的图象
交 轴于 ， 两点，点 的坐标是（－1，0），点 的坐标是（ ，0），有下列结论：
① ＜0；②4 ＋ ＞2 ；③关于 的方程 2＋ ＋ ＝0的解是 1＝－1， 2＝ ；
1
④ 2 ＝ 。2 其中正确的有（ ）
A. 1个 ， B. 2个 ， C. 3个 ， D. 4个
5 题图 6 题图
题型六：一次函数图象与全等三角形的综合应用
6.（2025·广州增城二模）如图，直线 ＝－2 ＋2与 轴和 轴分别交于 ， 两点，
射线 ⊥ 于点 ，若点 是射线 上的一个动点，点 是 轴上的一个动点，
且以点 ， ， 为顶点的三角形与△ 全等，则 的长为 .
题型七：用待定系数法求函数的解析式
7.（2025·德阳中考）如图，已知菱形 ，点 在 轴上，反比例函数 ＝ （ ＞0）
的图象经过菱形的顶点 (3，4)，连接 ， 与反比例函数图象交于点 .
（1）求反比例函数解析式；
（2）求直线 OB的解析式和点 D的坐标.
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题型八：一次函数、二次函数的应用
8.（2024·济宁中考）某商场以每件 80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量 y（单
位：件）与销售单价 x（单位：元）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
（1）求这段时间内 y 与 x 之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于 100元，且商场还要完成不少于 220件的销售任务，
当销售单价为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？
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第三章 函数
题型一：一次函数图象的增减性
1.（2025·辽宁中考）关于 的一次函数 ＝（2 ＋1） ＋ －2，若 随 的增大而增大，
且图象与 轴的交点在原点下方，则实数 的取值范围是 .
1
答案： ＜ ＜22
1
解析：由 随 增大而增大得 2 + 1 > 0，解得 > ；2
1
图象与 轴交点在原点下方得 2 < 0，解得 < 2，故 < < 2。
2
题型二：一次函数图象的性质
2.（2025·南通中考）已知一次函数 ＝ － ，若对于 ＜3范围内任意自变量 的值，
其对应的函数值 都小于 2 ，则 的取值范围是 .
答案： ≥ 1
解析：当 < 3时， = < 3 ，由题意得 3 ≤ 2 ，解得 ≥ 1。
题型三：数形结合思想的应用
3.（2025·金华中考）如图，一次函数 ＝ ＋ 的图象与反比例函数 ＝ 的
图象交于点 （2，3）， （ ，－2），则不等式 ＋ ＞ 的
解集是（ ）
.－3＜ ＜0或 ＞2 ， . ＜－3或 0＜ ＜2 ，
.－2＜ ＜0或 ＞2 ， .－3＜ ＜0或 ＞3
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答案：A
6
解析：先求反比例函数解析式为 = = 3 ，代入 点得 ，
结合图象可知，不等式的解集为 3 < < 0或 > 2。
题型四：抛物线与一元二次方程的关系
4.（2025·南充中考）已知某函数图象关于 轴对称，当 0 ≤ ≤ 2时， ＝ 2－2 ；
当 ＞2时， ＝2 －4。若直线 ＝ ＋ 与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数 b的
范围是（ ）
1 9 1
.－ ＜ ＜0 ， .－ ＜ ＜－4 4 4 ，
1 1
.－ ≤ ≤ 0
4 ，
. ≤ － 或 ＞0
4
答案：A
1
解析：画出函数图象，当直线 = + 与 = 2 2 （ < 0）相切时，Δ = 0，解得 = ；4
1
当直线过原点时， = 0，故 < < 0时
4 有四个交点。
题型五：二次函数图象与各项系数的关系
5.（2025·广安中考）如图，二次函数 ＝ 2＋ ＋ （ ， ， 为常数， ≠ 0）的图象
交 轴于 ， 两点，点 的坐标是（－1，0），点 的坐标是（ ，0），有下列结论：
① ＜0；②4 ＋ ＞2 ；③关于 的方程 2＋ ＋ ＝0的解是 1＝－1， 2＝ ；
1
④ 2 ＝ 。2 其中正确的有（ ）
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A. 1个 ， B. 2个 ， C. 3个 ， D. 4个
答案：C
解析：①由开口向上得 > 0，对称轴在 轴右侧得 < 0，与 轴交于正半轴得 > 0，
故 < 0，正确；
②当 = 2时， = 4 2 + > 0，即 4 + > 2 ，正确；
1+
③方程的解为 = 1和 = ，正确；④对称轴为 = = 2 ，正确2 。
共 3个正确结论。
题型六：一次函数图象与全等三角形的综合应用
6.（2025·广州增城二模）如图，直线 ＝－2 ＋2与 轴和 轴分别交于 ， 两点，
射线 ⊥ 于点 ，若点 是射线 上的一个动点，点 是 轴上的一个动点，
且以点 ， ， 为顶点的三角形与△ 全等，则 的长为 .
答案：2或 5
解析：先求 (1,0)， (0,2)， = 1， = 2， = 5。
分两种情况：①△ ≌△ ， = = 2；②△ ≌△ ， = = 5。
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题型七：用待定系数法求函数的解析式
7.（2025·德阳中考）如图，已知菱形 ，点 在 轴上，反比例函数 ＝ （ ＞0）
的图象经过菱形的顶点 (3，4)，连接 ， 与反比例函数图象交于点 .
（1）求反比例函数解析式；
（2）求直线 OB的解析式和点 D的坐标.
答案：
12
（1）把 (3,4)代入 = ，得 = 3 × 4 = 12，故反比例函数解析式为 = 。
（2） ∵ = 32 + 42 = 5，菱形 中 = = 5， ∴ (8,4)。
1
设直线 解析式为 = ，代入 点得 4 = 8 ， = ，
2
1
故直线 解析式为 = 。
2
12
=
= 2 6联立 1 ，解得 （ > 0），故 点坐标为(2 6, 6)。
= = 6
2
题型八：一次函数、二次函数的应用
8.（2024·济宁中考）某商场以每件 80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量 y（单
位：件）与销售单价 x（单位：元）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
（1）求这段时间内 y 与 x 之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于 100元，且商场还要完成不少于 220件的销售任务，
当销售单价为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？
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答案：
（1）设函数解析式为 = + ，代入(100,300) (120,200) 100 + = 300和 得 120 + = 200，
= 5
解得 = 800，故 = 5 + 800。
2 ≥ 100（ ）由题意得 5 + 800 ≥ 220，解得 100 ≤ ≤ 116。
设利润为 元， = ( 80)( 5 + 800) = 5( 120)2 + 8000，
因 5 < 0，对称轴 = 120，在 100 ≤ ≤ 116内， 随 增大而增大，
故 = 116时， 最大 = 5 × (116 120)2 + 8000 = 7920元。
答：销售单价为 116元时，利润最大，最大利润 7920元。
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