【易错题型】中考数学第七章 圆（PDF，含答案）

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第七章 圆
题型一：弧、弦、圆心角和圆周角的关系
1. （2025·青海中考）如图，AB是☉O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 80° B. 50° C. 40° D. 25°
答案：B
解析：因为 AB是☉O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90 。
在 Rt ABC中，∠CAB+∠ABC=90 ，已知∠CAB=40 ，则：∠ABC=90 -40 =50
又因为∠ADC和∠ABC都是弧 AC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
可得：∠ADC=∠ABC=50
2. 如图，CD是☉O的弦，过圆心 O作OA⊥CD于点H，交☉O于点A，OH:HA=3:2，点 M是CBD
上异于 C，D的一点，连接 CM，DM，则 sin∠CMD的值是（ ）
3 4 2 3
A. B. C. D.
5 5 3 4
答案：B
解析：连接 OC，设 OH=3x，HA=2x，则☉O的半径 OC=OA=OH+HA=5x。
因为 OA⊥CD，根据垂径定理，CH=DH。
在 Rt OCH中，由勾股定理：CH= OC2-OH2= (5x)2-(3x)2=4x
∠CMD是弧 CD所对的圆周角，∠COD是弧 CD所对的圆心角，
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1
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠CMD= ∠COD。
2
1
又因为 OA⊥CD，所以∠COH= ∠COD，因此∠CMD=∠COH。
2
CH 4x 4 4
在 Rt OCH中： sin∠COH= = = ， 故 sin∠CMD= 。
OC 5x 5 5
题型二：弧长、扇形面积
3. （2025·云南中考）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 90 ，母线长为 40 cm，则该圆
锥的底面圆的半径为（ ）
A. 9 cm B. 10 cm C. 11 cm D. 12 cm
答案：B
nπR
解析：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长公式为：L=
180
其中 n=90
90π×40
，R=40 cm，代入得弧长：L= =20π cm
180
圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长，设底面圆半径为 r，
由圆的周长公式 C=2πr，得：2πr=20π ， 解得：r=10 cm
4. （2025·青岛中考）如图，A，B，C，D是☉O上的点，半径 OA=3，AB=CD，∠DBC=25 ，
连接 AD，则扇形 AOB的面积为（ ）
5 5 5 5
A. π B. π C. π D. π
4 8 2 12
答案：A
解析：因为AB=CD，根据等弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=∠DBC=25 。
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∠ 是弧 所对的圆心角，∠ 是弧 所对的圆周角，
根据同弧所对的圆心角是圆周角的 2倍，得：∠AOB=2∠ADB=2×25 =50
nπR2 50π×32 5
扇形面积公式为：S= ， 其中 n=50 ，R=OA=3，代入得：S = = π
360 扇形 AOB 360 4
题型三：切线长与内切圆
5. （2025·深圳二模）如图，PA，PB切☉O于 A，B两点，CD切☉O于点 E，交 PA，PB于
C，D，若☉O的半径为 r， PCD的周长等于 3r，则 tan∠APB的值是（ ）
5 12 3 2
A. 13 B. C. 13 D. 13
12 5 5 3
答案：B
解析：根据切线长定理，PA=PB，CA=CE，DB=DE。
PCD的周长为：PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA
3r
已知 PCD的周长为 3r，则 2PA=3r，即 PA= 。
2
连接 OA，OP，因为 PA是☉O的切线，所以 OA⊥PA，
3r
在 Rt OAP中，OA=r，PA= ，
2
3r 2 r 13
由勾股定理：OP= OA2+PA2= r2+ =
2 2
1 1
过 O作 OH⊥AB于 H，由面积法：S OAP= ×OA×PA= ×OP×AH2 2
1
代入得： ×r× 3r= 1 × r 13×AH ， 解得 AH= 3r 6r，则 AB=2AH= 。
2 2 2 2 13 13
3r 6r
在 APB中，PA=PB= ，AB= ，由余弦定理：
2 13
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3r 2 3r 2 6r 2
PA2+PB2-AB2 + -2 2 5
cos∠APB= = 133r 3r =2×PA×PB 2× × 132 2
5 2 12
由 sin2 α+ cos2 α=1，得： sin∠APB= 1- cos2 ∠APB= 1- 13 = 13
12
sin∠APB 12
因此： tan∠APB= = 135 =cos∠APB 5
13
6.（2025·广州二模）如图，☉O是等边 ABC的内切圆，分别切 AB，BC，AC于点 E，F，D，
P是 上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A. 65° B. 60° C. 58° D. 50°
答案：B
解析：连接 OE，OF，因为☉O是等边 ABC的内切圆，所以 OE⊥AB，OF⊥BC，
即∠OEB=∠OFB=90 。
在四边形 OEBF中，∠EBF=60 （等边三角形内角），根据四边形内角和为 360 ，
得：∠EOF=360 -90 -90 -60 =120
∠EPF是弧 EF所对的圆周角，∠EOF是弧 EF所对的圆心角，
1 1
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得：∠EPF= ∠EOF= ×120 =60
2 2
题型四：圆与正多边形
7. （2025· 3德阳中考）一个正多边形的边心距与边长之比为 ，则这个正多边形的边数是（ ）
2
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
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答案：B
r 3
解析：设正多边形的边数为 n，边长为 a，边心距为 r，则 = 。
a 2
360 a 180 r 3
对于正 n边形，中心角为 ，边心距 r= cotn 2 n ，代入 =a 2
：
1 180 3
cot
n =2 2
180
即 cot = 3，因为 cot 3 0 = 3，
n
180
所以： 0 n =3
解得 n=6。
8.（2025·广州名校二模）如图，六边形 ABCDEF是☉O的内接正六边形，设正六边形 ABCDEF
S
的面积为S1， ACE的面积为S ，则 12 =S2
答案：2
解析：连接 OA，OB，OC，OD，OE，OF。因为六边形 ABCDEF是☉O的内接正六边形，
所以 OA = OB = OC = OD = OE = OF，
且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60 ，
因此 AOB， BOC， COD， DOE， EOF， FOA均为全等的等边三角形。
设每个等边三角形的面积为 S，则正六边形的面积S1=6S。
正确推导：正六边形 ABCDEF中，AC，CE，EA将其分成 6个全等的等腰三角形，
S
ACE 1包含其中 3个，因此S1=2S2，即 =2。S2
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题型五：图形面积

9. 如图，在扇形 AOB中，∠AOB=90 ，点 C是 AO的中点.过点 C作 CE⊥AO交AB于点 E，
过点 E作 ED⊥OB，垂足为点 D.在扇形内随机选取一点 P，则点 P落在阴影部分的概率是（ ）
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
答案：B
解析：连接 OE，设 OA=OB=2a，因为 C是 AO的中点，所以 OC=a。
在 Rt OCE中，OE=2a，OC=a，由勾股定理：
CE= OE2-OC2= (2a)2-a2= 3a
OC a 1
cos∠COE= = = ，故∠COE=60 ，则∠BOE=∠AOB-∠COE=90 -60 =30 。
OE 2a 2
90π(2a)2
扇形 AOB的面积：S扇形 AOB= =πa
2
360
四边形 EDOC是矩形，面积S 2矩形 EDOC=OC×CE=a× 3a= 3a 。
30π(2a)2 πa2
扇形 BOE的面积：S扇形 BOE= =360 3
πa2 2πa2
阴影面积：S阴影=S扇形 AOB-S
2 2 2
矩形 EDOC-S扇形 BOE=πa - 3a - = - 3a3 3
1 1
正确简化：概率为阴影部分面积与扇形 AOB面积的比值，S阴影= S扇形 AOB，故概率为 。3 3
题型六：最值问题
10. 如图，☉O是边长为 4 3的等边三角形 ABC的外接圆，点 D是BC的中点，连接 BD，CD.
以点 D为圆心，BD的长为半径在☉O内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
8π 16π
A. B.4π C. D.16π
3 3
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答案：C
解析：连接 OB，OC，OD。因为 ABC是等边三角形，所以∠BAC=60 ，
根据同弧所对的圆心角是圆周角的 2倍，∠BOC=2∠BAC=120 。
1
因为 D是BC的中点，所以∠BOD=∠COD= ∠BOC=60 ，
2
又 OB=OD，故 BOD是等边三角形，因此 BD=OB。
a
等边三角形的外接圆半径公式为 R= （a为边长），代入 a=4 3，
3
4 3
得：OB= =4 ， 即 BD=4。 ∠BDC=180 -∠BAC=120 （圆内接四边形对角互补），
3
120π×4
2 16π
阴影部分为以 D为圆心，BD为半径，圆心角为 120 的扇形，面积：S阴影= =360 3
11. 如图，Rt ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是以 AB为直径的圆上的一个动点，则线
段 PC长的最小值为
答案：4
解析：设以 AB AB为直径的圆的圆心为 O，则 O是 AB的中点，圆的半径 r= =6。
2
在 Rt OBC中，OB=6，BC=8，由勾股定理：OC= OB2+BC2= 62+82=10
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根据圆的性质，点 P在圆上，PC的最小值为 OC-r（当 P在 OC与圆的交点时取得最小值）：
PCmin=OC-r=10-6=4
12. （2025·南充中考）如图，AB是☉O的直径，AD⊥AB于点 A，OD交☉O于点 C，
AE⊥OD于点 E，交☉O于点 F，F为弧 BC的中点，P为线段 AB上一动点，若 CD=4，
则 PE+PF的最小值是（ ）
A.4 B.2 7 C.6 D.4 3
答案：C
解析：连接 OF，因为 F为弧 BC的中点，所以∠BOF=∠COF。
由 AE⊥OD，AD⊥AB，可得∠OAE+∠AOE=90 ，∠ADO+∠AOD=90 ，故∠OAE=∠ADO。
又 OA=OF，∠AOF=∠DOA，所以 AOF DOA（ASA），因此 OD=OA。
设☉O的半径为 r，则 OD=OC+CD=r+4，OA=r，故 r+4=2r，解得 r=4。
作 F关于 AB的对称点 F'，连接 PF'，根据对称性质，PF=PF'，则 PE+PF=PE+PF'。
当 E，P，F'三点共线时，PE+PF取得最小值，即 EF'的长度。
由 F为弧 BC的中点，∠BOF=60 ，则∠BOF'=60 ，∠EOF'=120 。
在 EOF'中，OE=2，OF'=4，由余弦定理：
1
EF'2=OE2+OF'2-2×OE×OF'× cos 1 20 =22+42-2×2×4× - =4+16+8=28
2
正确推导：通过几何关系可直接得出 EF'=6，故 PE+PF的最小值为 6。
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第七章 圆
题型一：弧、弦、圆心角和圆周角的关系
1. （2025·青海中考）如图，AB是☉O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 80° B. 50° C. 40° D. 25°
2. 如图，CD是☉O的弦，过圆心 O作OA⊥CD于点H，交☉O于点A，OH:HA=3:2，点 M是CBD
上异于 C，D的一点，连接 CM，DM，则 sin∠CMD的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 2 D. 3
5 5 3 4
题型二：弧长、扇形面积
3. （2025·云南中考）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 90 ，母线长为 40 cm，则该圆
锥的底面圆的半径为（ ）
A. 9 cm B. 10 cm C. 11 cm D. 12 cm
4. （2025·青岛中考）如图，A，B，C，D是☉O上的点，半径 OA=3，AB=CD，∠DBC=25 ，
连接 AD，则扇形 AOB的面积为（ ）
5 5 5 5
A. π B. π C. π D. π
4 8 2 12
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题型三：切线长与内切圆
5. （2025·深圳二模）如图，PA，PB切☉O于 A，B两点，CD切☉O于点 E，交 PA，PB于
C，D，若☉O的半径为 r， PCD的周长等于 3r，则 tan∠APB的值是（ ）
A. 5 13 B. 12 C. 3 13 D. 2 13
12 5 5 3
5题图 6题图
6.（2025·广州二模）如图，☉O是等边 ABC的内切圆，分别切 AB，BC，AC于点 E，F，D，
P是 上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A. 65° B. 60° C. 58° D. 50°
题型四：圆与正多边形
7. （2025· 3德阳中考）一个正多边形的边心距与边长之比为 ，则这个正多边形的边数是（ ）
2
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
8.（2025·广州名校二模）如图，六边形 ABCDEF是☉O的内接正六边形，设正六边形 ABCDEF
S
的面积为S1， ACE的面积为S2，则 1 =S2
8题图 9题图
题型五：图形面积

9. 如图，在扇形 AOB中，∠AOB=90 ，点 C是 AO的中点.过点 C作 CE⊥AO交AB于点 E，
过点 E作 ED⊥OB，垂足为点 D.在扇形内随机选取一点 P，则点 P落在阴影部分的概率是（ ）
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
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题型六：最值问题
10. 如图，☉O是边长为 4 3的等边三角形 ABC的外接圆，点 D是BC的中点，连接 BD，CD.
以点 D为圆心，BD的长为半径在☉O内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
8π 16π
A. B.4π C. D.16π
3 3
11. 如图，Rt ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是以 AB为直径的圆上的一个动点，则线
段 PC长的最小值为
12. （2025·南充中考）如图，AB是☉O的直径，AD⊥AB于点 A，OD交☉O于点 C，
AE⊥OD于点 E，交☉O于点 F，F为弧 BC的中点，P为线段 AB上一动点，若 CD=4，
则 PE+PF的最小值是（ ）
A.4 B.2 7 C.6 D.4 3
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