28.2.1 解直角三角形 同步练习（含答案） 2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.2.1 解直角三角形
易错点睛
在△ABC 中, ,则∠C 的度数是 .
【点睛】过点 A 作AD⊥ BC 于点D,分两种情况讨论:①点 D 在边 BC 上;②点 D 在边BC 的延长线上.
A基础题夯实
知识点1 已知两边解直角三角形
1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=1,BC= ,则AB 的长为 ,sinB 的值为 .
2.如图,在△ABC中,AB=AC=9,BC=12,则cosC 的值为 .
3.如图,在Rt△ABC中,CD 是斜边AB 上的中线,已知CD=3,AC=4,求 BC的长及tan∠ACD 的值.
知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,∠B=45°,则AC 的长为 .
5.(2025 黑龙江中考)在 Rt△ABC 中, ,则AB 的长为 .
6.如图,△ABC 内接于⊙O,BD 是直径.若 则弦CD 的长为 .
7.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D, 求sin∠ACD 的值及BC 的长.
B中档题运用
8.如图，在平面直角坐标系中，四边形 AOCB 是菱形， 且点 A 落在双曲线 上，点B 落在双曲线 上，则k 的值为
9.如图,AB 是⊙O的直径,P 是AB 延长线上的一点.
(1)实践操作：运用直尺和圆规作以OP 为直径的半圆，交⊙O 于点C(不写作法，保留作图痕迹),连接AC,BC,PC,并证明∠A=∠PCB;
(2)在(1)的条件下,若 求AB 的长.
综合题探究
10.(2025深圳中考改编)【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为该四边形的“伴随三角形”.
【问题解决】如图,在△ABC 中,
(1)求 AC 的长及 cos∠ACB 的值;
(2)若四边形ABCD 是以△ABC 为伴随三角形的双等四边形，求CD 的长.
28.2.1 解直角三角形
易错点睛
60°或 120°【解】 ①如图1,当点 D在边BC 上时,∠C=60°;②如图2,当点 D 在边 BC 的延长线上时,∠C=120°.
2.
3.解:∵CD 是斜边AB 上的中线,∴CD=AD,AB=2CD=6,
∵CD=AD,
∴∠ACD=∠A,
4.3 5.2 6.6
7.解:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠A=∠A+∠B=90°,
∴∠ACD=∠B,
中档题运用
8.8
9.解:(1)如图所示,连接OC.
∵AB,OP 分别为直径,
∴∠ACB=∠OCP=90°,
∴∠OCA + ∠OCB = ∠OCB +∠PCB=90°,
∴∠OCA=∠PCB.
∵OA=OC,
∴∠A=∠OCA=∠PCB;
(2)由(1)可证△PCB∽△PAC,
∴PC=2PB=6,PA=2PC=12,
∴AB=PA-PB=9.
综合题探究
10.解:(1)过点A 作AH⊥BC 于点 H,则
设CH=x,则AC=BC=x+3,∴在Rt△ACH 中,
∴在Rt△ACH 中,
(2)由定义知，△ACD 是等腰三角形,且∠D=∠ACB.
①当 时，符合题意；
②当 AD =CD 时,则∠DAC =∠DCA=∠CAB=∠CBA,
∴△ABC∽△ACD,
③当AD=AC 时,则∠D=∠ACD=∠ACB.
过点 A 作 AM⊥CD 于点 M,则
综上所述：CD 的长为 或 或