28.1 锐角三角函数 3课时内容 同步练习（含答案） 2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.1 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数(一)正弦
易错点睛
在 Rt△ABC 中,AC=5,BC=12,则 sinB 的值为 .
【点睛】当直角边与斜边不明时，应分类讨论.
A 基础题夯实
知识点1 正弦的定义
1.把 Rt△ABC 的各边长都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值( )
A.不变 B.扩大为原来的3倍 C.缩小为原来的 D.不能确定
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
知识点2 知边长求正弦值
3.(2025深圳中考)如图是人行天桥的示意图，若高 BC 长为10米，斜道AC 长为30米，则sinA的值为 .
4.(2025浙江中考)如图,在菱形ABCD 中,AB=5,AC=8,则sin∠BAC 的值为 .
5.如图,∠1的顶点为A(1,0),另一边AP 经过点P(-2,4),则 sin∠1 的值为 .
知识点 3 知正弦值求边长
6.在 Rt△ABC 中, 则AB 的长为 .
7.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°.若 求AC 的长.
B中档题运用
8.如图，网格中的小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的值为 .
9.如图, 于点E，AB=10,AC=8,则 的值为 .
10.如图，O是等腰 的底边BC 的中点，腰 AC 与半圆O 相切于点D，BC 与半圆O 交于E,F 两点,连接OA.若CD=4,CF=2,则 sin∠OAC 的值为 .
11.如图,在△ABC 中,∠C=90°.
(1)实践操作：用尺规作图法作∠A 的平分线AD交BC 于点D；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)问题解决:在(1)的条件下,若BD=2CD,求 sin∠BAC 的值.
C综合题探究
12.(1)【问题背景】如图1，锐角三角形ABC 内接于半径为r的⊙O，求证：
(2)【问题解决】如图2，在 中，,经过点 B 的⊙O 交AB于点D，交 CB 的延长线于点 E.
①直接写出 的值为 ；
②连接 DE.若⊙O 的半径为5,求 DE 的长.
第2课时 锐角三角函数(二)余弦、正切
易错点睛
如图,点 A 的坐标是(-2,3),则 tanα= ,cosα= .
【点睛】应理解余弦，正切的定义.
A基础题夯实
知识点1 余弦的定义
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosA 的值为( )
A. B. C. D.
2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别是a,b,c,则下列表达式正确的是( )
A. B. C. c=a·cosA D. c=a·sinA
3.如图,点 A 为∠α边上的任意一点,过点A 作AC⊥BC 于点C,过点C 作CD⊥AB 于点 D.下列用线段的比表示 cosα的值，错误的是( )
A. B. C. D.
知识点2 正切的定义
4.在△ABC中,AB=10,AC=6,BC=8,则 tanA 的值为 .
5.在 Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3BC,则 tanB 的值为 .
6.如图，在每个小正方形的边长都为1的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，则∠A 的正切值为 .
7.如图,在△ABC 中,∠C=90°,若 求 tanA,tanB 的值.
知识点3 锐角三角函数
8.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=2AC,分别求 sinB,cosB,tanB 的值.
B中档题运用
9.如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是 .
10.(2025苏州中考)如图, 以点O 为圆心，2为半径画弧，分别交 OM，ON 于点A,B,再分别以点 A,B为圆心, 为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线OC，连接AC,BC,则 tan∠OCB 的值为 .
11.(2025 东营中考)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章记载了有关弧田的问题.弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，“弦”即圆弧所对的弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O 到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB 的值为 .
12.如图,在 Rt△ABC 中,
(1)实践操作：用尺规作AB 的垂直平分线，交直线 BC 于点D；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)问题解决:在(1)的条件下,连接AD.求 cos∠ADB 的值.
综合题探究
13.(2025上海中考改编)如图,在平面直角坐标系中,已知C(0,4),P(2,0),D(0,3m+1),Q(2,1-m).
(1)求 的值；
(2)当四边形CDPQ 是直角梯形时，求其最小内角的正切值.
第3课时 特殊角的三角函数值
易错点睛
判断:若0°<∠A<90°,则 sin2A=2sinA( ).
【点睛】可取特殊角进行验证，当∠A=30°时， 而2sinA=1.
A基础题夯实
知识点1 特殊角的三角函数值
2.在△ABC中, 则 cosC 的值为 .
3.如图,正方形ABCD 内接于⊙O,P 是 上的一点(不与点A，D重合)，则 sin∠APB 的值为 .
知识点2 特殊角的三角函数值的计算
4.计算:
知识点3 利用三角函数值求特殊角
5.已知 为锐角，若 则 的度数为 ；若 则 的度数为 .
6.已知α为锐角，若 则 tanα 的值为 .
7.已知 且 则α的度数是 .
B中档题运用
8.在△ABC 中,∠A,∠B 均为锐角,且满足 则∠C 的度数为 .
9.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O上的一点,过点 C 作⊙O 的切线,交 BA 的延长线于点P,连接AC,BC.若 求证:AC=AP.
10.定义一种运算: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ—cosαsinβ.例如:当α=45°,β=30°时, 利用此定义，求： 的值.
11.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(0,- )，点C在x轴上(位于点 A 右侧)，连接AB,BC.若 求点C 的坐标.
综合题探究
12.(2025内蒙中考改编)如图,AB 是⊙O 的直径,半径OC⊥AB,垂足为O,P 是BA 延长线上一点,连接CP,交⊙O 于点D,连接AD,且∠BAD=75°.
(1)求∠C 的度数;
(2)过点 P 作⊙O 的切线,切点为 E,交 CO 的延长线于点 F,求 cos∠OFP 的值.
28.1 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数(一)正弦易错点睛
或
基础题夯实
1. A 2. D 3. 4.
5. 6.15
7.解:在 Rt△ABC中,
中档题运用
8.5 9. 10.
11.解:(1)如图所示;
(2)过点 D 作DE⊥AB 于点 E,则DE=CD.
设DE=CD=a,则BD=2a,
90°,
∴∠BAC=∠BDE,
综合题探究
12.解:(1)作直径CA',连接A'B,则∠A'BC=90°,∠A=∠A'.在 Rt△A'BC中,
②作直径 DF,连接EF,则由(1)知
∴DE=10sinF.
∵∠ABC +∠DBE =∠DBE+∠F=180°,
∴∠F=∠ABC,
第2课时 锐角三角函数(二)余弦、正切
易错点睛
基础题夯实
1. A 2. B 3. C
4. 5.2 6.
7.解:
∴设AC=3a,AB=5a,
∴BC=4a,
8.解:设AC=m,则BC=2AC=2m,
中档题运用
10. 11.
12.解:(1)如图所示;
(2)由(1)知AD=BD.
∴可设AC= ,BC=3,CD=x,则AD=BD=x+3,
∴在 Rt△ACD 中,
∴x=1,
∴CD=1,AD=4,
综合题探究
13.解:(1)∵C(0,4),D(0,3m+1),
∴CD=|3m-3|=3|m-1|.
∵P(2,0),Q(2,1-m),
∴PQ=|1-m|,
(2)由题意,知CD∥PQ.
①当∠CDP=∠DPQ=90°时(如图),则D(0,0),
∴3m+1=0,
DP=2.
过点 Q 作QG⊥CD 于点G,则四边形 PDGQ是矩形,
∴在 Rt△CQG 中, tan∠DCQ =
②当∠DCQ=∠CQP=90°时,则CQ∥x轴,Q(2,4),
∴1-m=4,∴m=-3,
∴D(0,-8),∴OD=8,
∴在 Rt△OPD 中,tan∠CDP =
综上所述，该直角梯形最小内角的正切值为 或
第3课时 特殊角的三角函数值
易错点睛
基础题夯实
. .
4.解:(1)原式
(2)原式
=2;
(3)原式
×1
(4)原式
5.60°60°6. 7.80°
中档题运用
8.105°
9.解:连接OC.
∵PC与⊙O 相切于点C,
∴∠OCP=90°.
∴∠B=30°,
∴∠COP=2∠B=60°,
∴∠P=30°,△AOC 是等边三角形,
∴∠OCA=60°,
∴AC=AP.
10.解:
11.解:∵A(1,0),B(0,- ),∴OA=1,OB=
∴∠OBA=30°.
∴∠OBC=60°.
∴C(3,0).
综合题探究
12.解:(1)连接OD.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD=75°,
∠OAD)=30°.
∵OC⊥AB,
∵OC=OD,
∴△COD 是等边三角形,
∴∠C=60°;
(2)连接OE.
∵PE与⊙O相切,
∴PF⊥OE.
∵∠POF=90°,
∴∠POE+∠EOF=∠EOF+∠OFP=90°,
∴∠POE=∠OFP,