2025-2026学年人教版数学九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 教材变式练习（含答案）

回归教材1 三角函数与圆(一)连切点构直角
方法技巧：连过切点的半径构造直角三角形，将三角函数值转化为线段的比.
教材母题(九上 改编)如图,AB 是⊙O的直径,AD 是⊙O 的弦,C 是 的中点，过点C 的切线分别与AB，AD 的延长线交于点 E，F.
(1)求证:
(2)若 求 的值.
【教材变式1】 如图,AB 为⊙O的直径,AE 是⊙O 的弦,C 是 的中点，过点 C 的切线分别与AE,AB 的延长线交于点 D,F.
(1)求证:
(2)连接OD.若 求 的值.
【教材变式2】如图,D 是⊙O的直径AB 延长线上一点,DC 与⊙O 相切于点C,连接BC,AC.
(1)求证:
(2)若 求 tan∠A 的值.
回归教材2 三角函数与圆(二)用直径构直角
图形1 见直径，构直角 图形2 作直径，构直角
教材母题(九上 改编)如图，⊙O的半径为r， 是⊙O的内接三角形.
(1)设 求证：
(2)作 于点D，若 求 的值.
【教材变式1】如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的弦,直线AD 与BC 相交于点P.
(1)求证:
(2)若AB=10,CD=6,求 的值.
【教材变式2】(九上 改编)如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,连接AO.
(1)求证:
(2)CO的延长线交AB 于点 D,若 求 的值.
回归教材3 三角函数与圆(三)作垂线构直角
方法技巧：作垂线构造直角三角形，在直角三角形中转化三角函数.
教材母题(九上 改编)如图，AB 是⊙O 直径，AD 是弦，过点 B 的切线与AD 的延长线交于点C，且.AD=CD.
(1)求 的度数；
(2)求 的值.
【教材变式1】(2025苏州中考)如图,在四边形 ABCD 中, .以 AB 为直径的⊙O经过点D,交边CD 于另一点E,连接AE,BE.
(1)求证:BC 为⊙O 的切线;
(2)若 求 BE 的长.
【教材变式2】如图，在 中， 经过B，C 两点的⊙O 交AB 于另一点E，直径CD 交AB 于点M.过点 E 作⊙O 的切线EF,交AC 于点F,且
(1)求 的度数；
(2)若 求 AM 的长.
回归教材4 三角函数与圆(四)用垂径构直角
图形 1 条件： 结论:AO⊥BC 于点E, ∠BOE=∠BAC=∠BDC,∠ADC=∠ABC. 图形2 条件:OD⊥BC 于点D. 结论:∠BOC=2∠BOD=2∠A,
教材母题(九上 改编)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB=AC,P 是 的中点，连接PA,PB,PC,连接AO 并延长交BC 于点M,连接BO,已知
(1)求证:∠BPC=∠BOM;
(2)求 的值；
(3)求 tan∠PAB 的值.
【教材变式1】如图，在⊙O中， D为 上任意一点.若 求 tan∠ADC 的值.
【教材变式2】如图，已知△ABC 内接于半径为5的⊙O,
(1)求 BC 的长;
(2)求△ABC 的面积的最大值.
回归教材5 三角函数与圆(五)倍半图
图形1 条件： 结论： 图形2 条件:AB 是直径,AC 是弦. 结论：
教材母题(九上 改编)如图，AB是⊙O的直径，D 是半圆. 的中点，过点 B 的切线BC与AD 的延长线交于点C，连接OC.
(1)求 的值；
(2)延长CO 交⊙O 于点E,连接DE.求 的值.
【教材变式1】如图， 内接于⊙O,CD 是⊙O 的直径,且
(1)求 的值；
(2)若 求 的值.
【教材变式2】 如图,AB 为⊙O 的直径,DB,DE 分别与⊙O 相切于点B,E,AD 交⊙O 于点M,连接EM.
(1)求证:
(2)若 求 sin∠AME 的值.
回归教材6 三角函数与圆(六)双切图
图形 条件:PA,PB是切线,AC 是直径. 结论：
教材母题(九上 改编)如图,PA,PB 分别与⊙O相切于点A,B,弦.
(1)求证:
(2)若 求 BC 的长.
【教材变式1】(九上 改编)如图,AB 为⊙O的直径,CA,CD 分别与⊙O 相切于A,D 两点,连接OC,BD,BC.
(1)求证:BD∥OC;
(2)若 求 tan∠CBD 的值.
【教材变式2】 如图,AB 为⊙O 的直径,AC⊥AB,D 为⊙O上一点,且 CD 为⊙O 的切线,BC与AD 交于点E.若AE=3DE,求 的值.
回归教材7 三角函数与圆(七)内切圆
图形 条件:⊙O与△ABC的三边分别相切于点D,E,F. 结论：
教材母题(九上 改编)在△ABC 中,∠C=90°,⊙O为△ABC 的内切圆,切点分别为D,E,F.
(1)如图1,求 sin∠DFE 的值;
(2)如图2,若 求 sin∠DEF 的值.
【教材变式】 如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC边上的一点,⊙I是△ABD 的内切圆,切点分别为E,F,G.
(1)求证:BE=CF;
(2)连接EF,FG,EG.若 求 cos∠EFG的值.
回归教材8 三角函数与圆(八)切垂图
已知AB 是⊙O的直径,CD 与⊙O相切于点C,AD⊥CD 于点D,交⊙O于点E.
(1)(九上 改编)如图1,连接AC.若AE=3DE,求 tan∠BAC 的值;
(2)如图2,连接AC,BD.若 求 tan∠BDC 的值;
(3)(2025 内江中考改编)如图3,直线 CD 与AB 的延长线交于点F,连接AC.若 sin∠CAD= 求 cosF 的值.
(4)如图4,连接AC,OD 交于点G.若 求 的值.
回归教材9 三角函数与圆(九)切割图
图形 条件：P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点C. 结论:①∠PCB=∠A=∠HCB,△PCB∽△PAC; ∴
1.(2025新疆中考改编)如图,AB 为⊙O的直径,C 为⊙O上一点,CF⊥AB 于点F,E 是AB 延长线上一点,且∠FCE=2∠A.
(1)求证:CE 是⊙O 的切线;
(2)过点 B 作BD∥CE,交CF 于点G,交 AC 于点 D,连接BC.若 求 DG 的长.
2.如图，点C 在以AB 为直径的⊙O上，过点 C 的切线交BA 的延长线于点D，G 是OB 上的一点，过点G 作OB 的垂线，交 BC 于点F，交 DC 的延长线于点E.已知
(1)求 sinD 的值;
(2)若DA=FG=1,求CE 的长.
3.如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,过点A 作⊙O的切线AE,交直径BD 的延长线于点E.
(1)求证:AE∥BC;
(2)若BD=3DE,求 tan∠CAE 的值.
回归教材1 三角函数与圆(一)连切点构直角
教材母题解:(1)连接OC,AC.
∵EF与⊙O切于点C,
∴∠OCF=∠OCA+∠FCA=90°,
∵C是DB 的中点,
∴∠FAC=∠BAC,
∵OA=OC,
∴∠FAC=∠BAC=∠ACO,
∴∠FAC+∠FCA=90°,
∴∠F=90°,
∴AF⊥EF;
(2)设CE=3,则AE=4,
设OC=OA=r,则OE=4-r,
∴在 Rt△COE 中,
∵AF∥OC,
【教材变式1】解:(1)连接OC,AC.
∵DF 与⊙O 相切于点C,
∴OC⊥DF.
∵C是EB的中点,
∴∠CAE=∠CAB.
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠CAB=∠CAE,
∴OC∥AD,
∴AD⊥DF,
∴∠EAB+∠F=90°;
(2)∵OC∥AD,
∴∠COF=∠DAF,
∴可设OC=3a,则OF=5a,
4a.
∵OC∥AD,
【教材变式2】解:(1)连接OC.
∵DC与⊙O相切于点C,
∴OC⊥CD,
∴∠DCB+∠OCB=90°,
∵AB 是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°,
∵OB=OC,
∴∠ABC=∠OCB,
∴∠DCB=∠A;
(2)∵∠DCB=∠A,∠D=∠D,
∴△DCB∽△DAC,
∴设OC=a,则OD=3a,CD=2 a,AD=4a,
回归教材2 三角函数与
圆(二)用直径构直角
教材母题解：(1)作直径 AC ，连接BC ,则
∠AC B=∠ACB=α,
∴在 Rt△ABC 中
(2)作直径CB ,连接AB ,
则∠B = ∠B,∠CAB = 90°=∠CDB,
∴∠BCD=∠ACB ,
【教材变式1】解:(1) ∵ ∠PDC =∠PBA,∠P=∠P,
∴△DPC∽△BPA;
(2)连接DB.
∵△DPC∽△BPA,
设DP=3x,则BP=5x,
∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠ADB=90°,
【教材变式2】解:(1)略;
(2)延长CD 交⊙O 于点 E,连接BE,
则∠EBC=90°,∠E=∠BAC,
∴可设BC=6a,则BE=8a,
由(1)知AO∥EB,
∴易证△AOD∽△BED,
回归教材3 三角函数与圆(三)作垂线构直角
教材母题解：(1)连接BD.
∵AB为直径,
∴BD⊥AC,
∵AD=CD,
∴△ABC 为等腰三角形,
∵BC 为切线,
∴AB⊥BC,即∠ABC=90°,
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠A=45°;
(2)过点 O作OE⊥AD 于点E.
∵∠A=45°,
∴OE=AE=DE,
设AE=DE=x,
则CD=AD=2x,CE=3x,
【教材变式1】解:(1)∵AB 是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD+∠ABD=90°.
∵BD=CD,∠C=∠BAD,
∴∠C=∠BAD=∠CBD,
∴∠OBC=∠CBD+∠ABD=90°,
∴BC⊥OB,
∴BC 为⊙O的切线;
(2)过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,则DF∥AB,
∴∠BDF=∠ABD=∠AED.
∵在 Rt△ABD 中,
∵∠BDF=∠AED,
∴在 Rt△BDF 中,
∵BD=CD,DF⊥BC,
∵∠BEC +∠BED =∠BED +∠BAD=180°,
∴∠BEC=∠BAD=∠C,
【教材变式2】解:(1)连接OE.
∵EF 是⊙O的切线,
∴∠OEF=90°.
∵EF∥CD,
∴∠OEF+∠COE=180°,
∴∠COE=90°,
(2)过点 M 作 MG⊥BC 于点G.
∵∠B=45°,
∵∠ACB=90°,
∴MG∥AC,
∴∠CMG=∠ACD.
∵EF∥CD,
∴∠AFE=∠ACD=∠CMG,
∴CG=2MG=8,
∴BC=CG+BG=12,
8
回归教材4 三角函数与圆(四)用垂径构直角
教材母题解：(1)连接OC，
证△AOB≌△AOC,
∴∠BAO=∠CAO,
∴AM⊥BC,
(2)由(1)知 sin∠BOM=sin∠BPC
∴可设 BM =24a,则 OB =25a,OM=7a,
∴AM=7a+25a=32a,
(3)连接PO交AB 于点N,
易证PO⊥AB,
∴AN=BN=20a,
∴PN=OP-ON=10a,
∴在 Rt△PAN 中,
【教材变式1】解:连接AB,AO,BO,延长AO交BC 于点E,则AE 垂直平分BC,
设OE=3a,则OB=OA=4a,BE=
∴AE=OA+OE=7a,
【教材变式2】解:(1)延长 BO 交⊙O于点E,连接CE,则∠E=∠BAC,
(2)当△ABC 的高AD 经过圆的圆心，即A与 的中点A'重合时，此时△ABC 的面积最大，
∵A'D⊥BC,
∴BC=2BD,∠BOD=∠BAC,
在 Rt△BOD 中,
∴OD=3,
=32.
即△ABC 的面积最大值为32.
回归教材5 三角函数与圆(五)倍半图
教材母题解：(1)连接BD.
∵AB 是直径,D是AB的中点,
∴△ABD 是等腰直角三角形.
∵BC 是切线,
∴∠ABC=90°,
∴∠A=∠ACB=45°,
∴AB=BC=2OB,
(2)过点 E 作EF⊥AB 于点F,连接BE,
则
∵tan∠EOF=tan∠COB=2,
∴可设EF=2a,则OF=a,
【教材变式1】解:(1) 连接 BD,则∠CDB=∠CAB.
∵CD是直径,
∴∠CBD=90°,
(2)过点 B 作BE⊥CD 于点 E,连接OB.
∴可证∠ABC=2∠CAB=∠COB.
∴可设BE=1,OB=OD=r,
则DE=3,OE=3-r,
∴在 Rt△EOB 中, r ,
即
【教材变式2】解:(1)连接OE.
∵DB,DE 分别与⊙O 相切于点 B,E,
∴∠OED=∠OBD=90°,
∴∠BOE +∠BDE = ∠BOE +∠AOE=180°,
∴∠AOE=∠BDE,
(2)过点 E 作 EH⊥AB 于点 H,连接BE.
∵∠AOE=∠BDE,
∴可设OH=3a,则OE=OB=5a,
BH=8a,
回归教材6 三角函数与圆(六)双切图
教材母题解：(1)连接AO并延长交BC 于点 D.
∵PA与⊙O 相切于点A,
∴AO⊥AP.
∵BC∥AP,
∴AO⊥BC,
(2)连接OP,OB,AB.
∵PA,PB 分别与⊙O 相切于点 A,B,
∴可证∠BOD=∠APB,
∠DAB=∠OPA.
由(1)知OD⊥BC,
∴可设BD=4a,
则OB=OA=5a,
AD=OA+OD=8a,
即5a=5,
∴a=1,
∴BC=2BD=8a=8.
【教材变式1】解:(1)连接AD.
∵CA=CD,∠ACO=∠DCO,
∴OC⊥AD,
∵AD⊥DB,
∴OC∥DB;
(2)由(1)知 OC∥BD,过点 O 作OE⊥BC 于点E.
设CA=3x,则CB=5x,AB=4x,OB=2x.
【教材变式2】解:连接 OC 交 AD 于点M.
易证DE=EM,△CME≌△BDE,∴CM=BD,
设OM=x,则 BD=CM=2x,
由△ACM ∽△OAM 得
又∠ACO=∠DCO=∠DAB,
回归教材7 三角函数与圆(七)内切圆
教材母题解:(1)连接OD,OE,证四边形DCEO为正方形，
(2)连接OD,OF,OA,设BF=BE=2x,AF=AD=3x,CD=CE=R,
则 ∴R=x(R=-6x已舍),
【教材变式】解:(1)∵⊙I 是△ABD的内切圆，
∴AG=AF,BE=BG.
∵AB=AC,
∴BG=CF,
∴BE=CF;
(2)连接BI,DI,EI,FI,GI,
则 ∠EID,
∵⊙I 是△ABD的内切圆,
∴可设DE=DF=x,
则CF=CD+DF=x+4,
BE=BD-DE=10-x.
∵BE=CF,
∴10-x=x+4,
∴x=3,即DE=3,BE=10-x=7.
在 Rt△BIE 中,
∵∠EFG=∠EIB,
回归教材8三角函数与圆(八)切垂图
解:(1)连接OC,过点 O 作 OF⊥AE于点F，则
可证∠BAC=∠CAD,
四边形OCDF 是矩形，
∴CD=OF,OC=OA=DF.
设DE=2a,则AE=6a,
∴AF=EF=3a,
DF=DE+EF=5a=OC=OA,
在 Rt△OAF 中, =4a=CD,
(2)连接OC,BE 交于点F.
可证四边形CDEF 是矩形，
∴CF=DE,CD=EF=BF,
∴可设CD=3,
则AC=5,BE=6,AD=4,
设OF=x,则AE=2x,
∴DE=CF=4-2x,
∴OC=OB=CF+OF=4-x,
在 Rt△BOF 中,
即
∵CD∥BE,
∴∠BDC=∠EBD,
(3)过点 C 作CG⊥AB 于点 G,连接OC.
可证∠CAG=∠CAD,
∴可设CG=a,则(
设OA=OC=r,则OG=2a-r,
∴在Rt△COG中,
即
∵∠OCF=∠OGC=90°,
∴∠F+∠COG=∠COG+∠OCG=90°,
∴∠F=∠OCG,
(4)过点 C 作CH⊥AB 于点 H,连接OC.可证OC∥AD,△ACD≌△ACH,∴∠COH=∠EAB,AH=AD,
∴可设( 则OA=OC=5,
∴AD=AH=OA+OH=5+
∵OC∥AD,
∴△ADG∽△COG,
回归教材9 三角函数与圆(九)切割图
1.解:(1)连接OC,证明略;
(2)∵AB 是直径,
∴∠A=∠OCA=∠BCE,
∴△EBC∽△ECA,
∴CE=2BE=2,AE=2CE=4,
∴AB=AE-BE=3.
∵BD∥CE,
∴∠CBD=∠BCE=∠A,
∴△CBD∽△CAB,
可证DG=CG=BG,
2.解:(1)连接AC.
∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°.
可证△DCA∽△DBC,
设DA=a,OA=OC=r,
则DC=3a,OD=r+a,
在Rt△COD 中,
∴r=4a,
即OC=4a,OD=5a,
(2)设CE=EF=x.
∵DA=FG=1,
∴CD=3DA=3,
由(1)知,
∴x=7,即CE=7.
3.解:(1)连接OA,OC.
∵AB=AC,OB=OC,
∴点 A，O 都在 BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC.∵AE 与⊙O 相切,
∴AO⊥AE,∴AE∥BC;
(2)连接AD.
可证∠EAD=∠EBA,
∴△EAD∽△EBA,
∵BD=3DE,
∴可设DE=a,则BD=3a,
∴BE=4a,
∵AE∥BC,
∴∠CAE=∠ACB=∠ADB.
∵BD 是直径,
∴∠BAD=90°,