2025-2026学年人教版数学九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 重点强化练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教版数学九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 重点强化练习（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 399.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-19 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
重点强化1 三角函数(一)内构双直角三角形
图形 方法：解锐角三角形，常作高，构造两个直角三角形求解.
类型一 已知两边及夹角
1.如图,在△ABC 中, 则 sinB 的值为 .
类型二 已知两角一边
2.如图,在△ABC 中, 则 BC 的长为 .
类型三 已知三边
3.如图,在△ABC 中,AB=5,AC=6,BC=7,求cosB 的值.
类型四 已知两角
4.如图,在△ABC 中, 求 tan∠BAC 的值.
类型五 网格与面积法
5.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 的每个顶点都在网格的交点处，求sin∠BAC 的值.
重点强化2 三角函数(二)外构双直角三角形
图形 方法：解钝角三角形，常向形外作高，构造两个直角三角形求解.
1.如图,在△ABC 中, 求 的值.
2.如图,在△ABC 中,∠ABC=135°,AB=2,BC=3,求 tan∠ACB 和: 的值.
3.如图,在△ABC 中, 求 的值.
4.如图,在△ABC 中, 点 D 在 AB 的延长线上，若 求 的值.
重点强化3 三角函数(三)分类讨论
图形 方法：已知两边及其中一边的对角解三角形，常常需要分类讨论.
1.在△ABC 中,若 ,则∠ABC 的度数为 .
2.在△ABC中, 则 BC 边的长为 .
3.在△ABC中,AB=AC=6,△ABC 的面积为9,则∠BAC 的度数为 .
4.在△ABC中, 求△ABC 的面积.
5.在△ABC 中, 且2AC= AB,求∠BAC 的度数.
重点强化 4 三角函数(四)等角转换
类型一 同角(等角)的余角相等
1.如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,点E在CD上,把△ADE沿AE 折叠,点D 恰好落在BC 边上的点 F 处,则 cos∠CEF 的值为 .
类型二 同角(等角)的补角相等
2.如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是AB 的中点，将正方形纸片沿CE 折叠，点 B 落在点 P 处，延长CP 交AD 于点Q,则 sin∠AEP 的值为 .
类型三 同弧(等弧)所对圆周角(圆心角)相等
3.如图,在⊙O的内接△ABC 中,BD⊥AC 于点D.若 则⊙O 的半径为 .
类型四 等量代换
4.如图,在 Rt△ABC 中, 点 M,N 在边 AB 上.若 tan∠BCN= 且∠MCN=45°,则 AM 的长为 .
类型五 平移得等角
5.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB 与CD 相交于点 P,则 cos∠APC 的值为 .
重点强化5 三角函数(五)隐直角
类型一 对角线隐直角
1.如图,在菱形ABCD 中, 点 E 在边AD 上,且 连接 BE 交AC于点M,求 tan∠AME 的值.
类型二 角度关系隐直角
2.如图,在四边形 ABCD 中, 求 BC 的长.
类型三 线段关系隐直角
3.如图,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,连接 ED 交AC 于点 F.若 求tan∠CFD 的值.
类型四 “格点”图形隐直角
4.(2025 威海中考改编)如图, 的三个顶点都在正方形网格线的交点(格点)处，将 绕点A 逆时针旋转得到 若A,C,B'三点共线,则 的值为 .
重点强化1三角函数(一)
内构双直角三角形
2.8 +6
3.解:过点 A 作AD⊥BC 于点 D.
设BD=x,则CD=7-x,
4.解:过点 A 作AD⊥BC 于点 D,过点B 作BE⊥AC 于点E.
设AD=4t,则BD=3t,CD=4t,
∴BC=BD+CD=3t+4t=7t,
5.解:过点C作CE⊥AB 于点E.
由勾股定理，得 S△ABC=6,
由 得
重点强化2三角函数(二)外构双直角三角形
1.解:过点 B 作BD⊥AC 于点 D,
2.解:过点 A 作AD⊥BC 于点D,则
过点C作CE⊥AB 于点E,
则
3.解:过点C作CD⊥AB 于点 D.
∵∠ABC=150°,
∴∠CBD=30°,
设CD=a,则BC=2a,BD= a,
∴AD=5CD=5a,
4.解:过点 D 作DM⊥BC,交 CB 的延长线于点 M.
∵∠ACB=∠DMB=90°,即AC∥DM,
∵AB=2BD,
即
∵在 Rt△CDM中,
∴设DM=2k,即CM=3k,
∴AC=2DM=4k,
重点强化3 三角函数(三)分类讨论
1.60°或 120°
2.7或17
3.30°或150°
4.解:过点 A 作AD⊥BC 于点D,
∴∠B=30°,
①如图1,当点 D 在边BC 上时,
②如图2，当点 D 在边 BC 的延长线上时，
故 或
5.解:过点 A 作AH⊥BC 于点 H.
设.
则
∴∠C=45°,AH=AC·sinC= a,
∴在 Rt△ABH 中,sin∠ABH =
∴∠ABH=60°.
①当点 H 在边CB 上时(如图1),
∠BAC=180°-(∠ABH+∠C)=75°;
②当点 H 在边 CB 延长线上时(如图2),
∠BAC=∠ABH-∠C=15°.
综上,∠BAC 的度数为75°或15°.
重点强化4 三角函数(四)等角转换
1. / 解:由折叠知AF=AD=BC=8, 可证∠CEF=∠AFB,
2. 解：连接EQ.由折叠的性质可证△AEQ≌△PEQ(HL),
∴AQ=PQ.
设AD=CD=BC=CP=1,AQ=PQ=x,
则DQ=1-x,CQ=1+x,
∴在 Rt△DCQ 中,
即
可证∠AEP=∠CQD,
3. 解:作直径AC',连接BC',则可证∠C'AB=∠CBD,
∴⊙O 的半径为
解:过点 C 作CD⊥AB 于点 D.
可证∠MCD=∠BCN,
易求CD=AD=3,
解：把AB 向上平移一格得到DE,连接CE,则DE∥AB,
∴∠APC=∠EDC.
在△DCE中,
故△DCE 为直角三角形,∠DCE=90°.
重点强化5 三角函数(五)隐直角
1.解:连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴△AEM∽△CBM,
2.解:延长AB 与DC 相交于点 E,则∠EBC=60°,∠ECB=30°,
∴∠E=90°,
设BE=x,则
∵在 Rt△ADE中,
∴x=2,∴BC=2BE=2x=4.
3.解:连接AE.
∴可求
∵E 是BC 的中点,
∴AB=BE=CE=CD,
∴∠AEB=∠CED=45°,
△ABE≌△DCE,
∴∠AED=90°,AE=DE.
∵AD∥BC,
∴△CEF∽△ADF,
∴在 Rt△AEF 中,
4.2 解:由网格知,∠CAB=45°,∴AB'经过格点D(如图).
连接BD,则可证∠CDB=90°,
图形 方法：解锐角三角形，常作高，构造两个直角三角形求解.
类型一 已知两边及夹角
1.如图,在△ABC 中, 则 sinB 的值为 .
类型二 已知两角一边
2.如图,在△ABC 中, 则 BC 的长为 .
类型三 已知三边
3.如图,在△ABC 中,AB=5,AC=6,BC=7,求cosB 的值.
类型四 已知两角
4.如图,在△ABC 中, 求 tan∠BAC 的值.
类型五 网格与面积法
5.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 的每个顶点都在网格的交点处，求sin∠BAC 的值.
重点强化2 三角函数(二)外构双直角三角形
图形 方法：解钝角三角形，常向形外作高，构造两个直角三角形求解.
1.如图,在△ABC 中, 求 的值.
2.如图,在△ABC 中,∠ABC=135°,AB=2,BC=3,求 tan∠ACB 和: 的值.
3.如图,在△ABC 中, 求 的值.
4.如图,在△ABC 中, 点 D 在 AB 的延长线上，若 求 的值.
重点强化3 三角函数(三)分类讨论
图形 方法：已知两边及其中一边的对角解三角形，常常需要分类讨论.
1.在△ABC 中,若 ,则∠ABC 的度数为 .
2.在△ABC中, 则 BC 边的长为 .
3.在△ABC中,AB=AC=6,△ABC 的面积为9,则∠BAC 的度数为 .
4.在△ABC中, 求△ABC 的面积.
5.在△ABC 中, 且2AC= AB,求∠BAC 的度数.
重点强化 4 三角函数(四)等角转换
类型一 同角(等角)的余角相等
1.如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,点E在CD上,把△ADE沿AE 折叠,点D 恰好落在BC 边上的点 F 处,则 cos∠CEF 的值为 .
类型二 同角(等角)的补角相等
2.如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是AB 的中点，将正方形纸片沿CE 折叠，点 B 落在点 P 处，延长CP 交AD 于点Q,则 sin∠AEP 的值为 .
类型三 同弧(等弧)所对圆周角(圆心角)相等
3.如图,在⊙O的内接△ABC 中,BD⊥AC 于点D.若 则⊙O 的半径为 .
类型四 等量代换
4.如图,在 Rt△ABC 中, 点 M,N 在边 AB 上.若 tan∠BCN= 且∠MCN=45°,则 AM 的长为 .
类型五 平移得等角
5.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB 与CD 相交于点 P,则 cos∠APC 的值为 .
重点强化5 三角函数(五)隐直角
类型一 对角线隐直角
1.如图,在菱形ABCD 中, 点 E 在边AD 上,且 连接 BE 交AC于点M,求 tan∠AME 的值.
类型二 角度关系隐直角
2.如图,在四边形 ABCD 中, 求 BC 的长.
类型三 线段关系隐直角
3.如图,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,连接 ED 交AC 于点 F.若 求tan∠CFD 的值.
类型四 “格点”图形隐直角
4.(2025 威海中考改编)如图, 的三个顶点都在正方形网格线的交点(格点)处，将 绕点A 逆时针旋转得到 若A,C,B'三点共线,则 的值为 .
重点强化1三角函数(一)
内构双直角三角形
2.8 +6
3.解:过点 A 作AD⊥BC 于点 D.
设BD=x,则CD=7-x,
4.解:过点 A 作AD⊥BC 于点 D,过点B 作BE⊥AC 于点E.
设AD=4t,则BD=3t,CD=4t,
∴BC=BD+CD=3t+4t=7t,
5.解:过点C作CE⊥AB 于点E.
由勾股定理，得 S△ABC=6,
由 得
重点强化2三角函数(二)外构双直角三角形
1.解:过点 B 作BD⊥AC 于点 D,
2.解:过点 A 作AD⊥BC 于点D,则
过点C作CE⊥AB 于点E,
则
3.解:过点C作CD⊥AB 于点 D.
∵∠ABC=150°,
∴∠CBD=30°,
设CD=a,则BC=2a,BD= a,
∴AD=5CD=5a,
4.解:过点 D 作DM⊥BC,交 CB 的延长线于点 M.
∵∠ACB=∠DMB=90°,即AC∥DM,
∵AB=2BD,
即
∵在 Rt△CDM中,
∴设DM=2k,即CM=3k,
∴AC=2DM=4k,
重点强化3 三角函数(三)分类讨论
1.60°或 120°
2.7或17
3.30°或150°
4.解:过点 A 作AD⊥BC 于点D,
∴∠B=30°,
①如图1,当点 D 在边BC 上时,
②如图2，当点 D 在边 BC 的延长线上时，
故 或
5.解:过点 A 作AH⊥BC 于点 H.
设.
则
∴∠C=45°,AH=AC·sinC= a,
∴在 Rt△ABH 中,sin∠ABH =
∴∠ABH=60°.
①当点 H 在边CB 上时(如图1),
∠BAC=180°-(∠ABH+∠C)=75°;
②当点 H 在边 CB 延长线上时(如图2),
∠BAC=∠ABH-∠C=15°.
综上,∠BAC 的度数为75°或15°.
重点强化4 三角函数(四)等角转换
1. / 解:由折叠知AF=AD=BC=8, 可证∠CEF=∠AFB,
2. 解：连接EQ.由折叠的性质可证△AEQ≌△PEQ(HL),
∴AQ=PQ.
设AD=CD=BC=CP=1,AQ=PQ=x,
则DQ=1-x,CQ=1+x,
∴在 Rt△DCQ 中,
即
可证∠AEP=∠CQD,
3. 解:作直径AC',连接BC',则可证∠C'AB=∠CBD,
∴⊙O 的半径为
解:过点 C 作CD⊥AB 于点 D.
可证∠MCD=∠BCN,
易求CD=AD=3,
解：把AB 向上平移一格得到DE,连接CE,则DE∥AB,
∴∠APC=∠EDC.
在△DCE中,
故△DCE 为直角三角形,∠DCE=90°.
重点强化5 三角函数(五)隐直角
1.解:连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴△AEM∽△CBM,
2.解:延长AB 与DC 相交于点 E,则∠EBC=60°,∠ECB=30°,
∴∠E=90°,
设BE=x,则
∵在 Rt△ADE中,
∴x=2,∴BC=2BE=2x=4.
3.解:连接AE.
∴可求
∵E 是BC 的中点,
∴AB=BE=CE=CD,
∴∠AEB=∠CED=45°,
△ABE≌△DCE,
∴∠AED=90°,AE=DE.
∵AD∥BC,
∴△CEF∽△ADF,
∴在 Rt△AEF 中,
4.2 解:由网格知,∠CAB=45°,∴AB'经过格点D(如图).
连接BD,则可证∠CDB=90°,