2026年河南开封高级中学高三高考一模数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026年河南开封高级中学高三高考一模数学试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 303.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-19 00:00:00 | ||
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文档简介
秘密★启用前
学情调研(一) 数 学
注意事项:
1. 答卷前、考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动、用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门 “红色打卡地”. 其中连续 10 日的游客人数依次为 872,963,742,682,1322,1244,674,548,884,993,则这组数据的中位数为
A. 872 B. 878 C. 884 D. 1283
2. 已知复数 为虚数单位, 为 的共轭复数,则
A. 8-4i B. C. D.
3. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
4. 已知向量 均为实数，且 ，则
A. 25 B. 16 C. 5 D. 4
5. 已知函数 是定义在 上的偶函数,当 时, ,若点 在双曲线 的一条渐近线上,则
A. -3 或 -9 B. 3 或 9
C. -3 或 3 D. 9 或 -9
6. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，则
A. 4 B. -4
C. D.
7. 已知 ,动点 满足 ,若直线 上的两个点 满足 ,则 面积的最大值为
A. 18 B. 27 C. 36 D. 54
8. 已知函数 ，函数 ，若 与 的图象关于直线 对称, 与 的图象关于直线 对称,则下列关系不可能成立的是
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 对于函数 和函数 ,则下列正确的有
A. 与 有相同的最小正周期 B. 与 有相同的零点
C. 在区间 上单调递增 D. 与 的图象有相同的对称轴
10. 已知椭圆 与双曲线 的左、右两焦点 重合,则下列正确的有
A. 当 时, 的虚轴长为
B. 当 时, 与 的离心率之积为
C. 当 时,过 作与 轴垂直的直线与 交于 两点,则
D. 当 时,若点 为 与 的其中一个交点,则 的面积为
11. 已知正四棱台 的体积为 ,则下列正确的有
A. 此四棱台的侧面积为
B. 若 是 的中点,则平面 截此四棱台所得截面的面积为
C. 若点 为平面 截此四棱台所得截面上的动点,且 ，则 的轨迹长度为
D. 若点 为棱 上的动点,则 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 过点 作曲线 图象的切线 ,若直线 与直线 垂直,则实数 _____.
13. 已知数列 为正项等比数列,数列 满足 ,若 ,则 _____.
14. 甲箱中有 7 个除颜色外完全相同的球,其中有 2 个红球、 2 个蓝球、 3 个黄球; 乙箱中有 5 个除颜色外完全相同的球,其中有 3 个红球、 2 个黄球. 现从两个箱子中同时各随机摸出 1 个球进行交换，则交换后甲箱中恰有 3 个黄球的概率为_____；若交换后甲箱中黄球的个数为 ，蓝球的个数为 ，设随机变量 ，则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (13分)
某游泳馆运营商发现，当日最高气温 (单位:摄氏度)与当日收入 (单位:百元)之间有如下的对应数据,由散点图知,当日最高气温 (单位: 摄氏度) 与当日收入 (单位: 百元)呈线性相关.
(单位:摄氏度) 28 30 32 34 36
(单位:百元) 22 34 50 60 74
(1)从表中给出的当日收入的 5 个数值中任取 1 个，求其高于当日收入平均值的概率;
(2)由上面数据判断，当日最高气温每升高 1 摄氏度，当日收入大约增加多少元
(3)气象台预报后天的最高气温为 39 摄氏度，则后天的收入大约为多少元？
参考数据:对于一组具有线性相关关系的数据 ,其经验回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ,
16. (15 分)
已知函数 .
(1)若数列 ，求数列 的前 项和 ；
(2)已知函数 在 处的切线为直线 ，直线 在 轴上的截距为 ,求数列 的前 项和 .
17. (15分)
如图，在梯形 中， 于点 ， 于点 ,将 沿 翻折,将 沿 翻折,使得点 重合为点 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)求四棱锥 外接球的表面积；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.(17分)
过椭圆 的右焦点作倾斜角为 的直线,此直线与抛物线 0)交于 两点,且 .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)已知 ， ， 是抛物线 的焦点，点 在第一象限，且在 上，若 ，求直线 被 截得的弦长；
(3)已知 ，过抛物线 的焦点 作直线 交 于 ， 两点，记直线 ， 的斜率分别为 ,当 时,求 的面积.
19.(17 分)
已知 为实数，函数 ，函数 .
(1)若 在区间 上单调递减，求 的取值范围；
(2)求函数 极值点的个数；
(3)当 时,证明: ,使 .
学情调研(一)
数学 参考答案
1. B 将这 10 个数据从小到大排列,依次为 548,674,682,742,872,884,963,993,1244,1322, 故中位数为 .
故选 B.
2. A 因为 ,所以 .
故选 A.
3. D 因为 ,所以 .
故选 D.
4. C 因为 ,所以 -4,得 ,所以 ,故
故选 C.
5. B 双曲线 的渐近线方程为 . 因为函数 是定义在 上的偶函数, 当 时, ,故 ,当点 在直线 上时, ; 当点 在直线 上时, .
故选 B.
6. 由 ,得
,所以
故选 D.
7. B 设 ,由 ,得 ,整理得 ,故 在以 为圆心,半径为
4 的圆上,点 到 的距离 ,故点 到 的距离的最大值为 ,所以 面积的最大值为 .
故选 B.
8. B 在 上任意取点 关于直线 的对称点为 ,因为此点在 上,故 ,得 ,即 ,同理得 ,在同一坐标系内画出 与 的图象如下:
得 成立,而 不成立.
故选 B.
9. ABD 函数 的最小正周期为 , 正弦函数加绝对值后，最小正周期变为原来的 ， 所以 的最小正周期为 的最小正周期为 ，正切函数加绝对值后，最小正周期不变,所以 的最小正周期为 ,故 正确;
令 得 ,解得 ,令 得 , ,解得 ,故 正确; ,故 C 错误;
函数 的对称轴为 ,解得 ,函数 的对称轴为 ,解得 ,故 正确.
故选 ABD.
10.BC 由题意得 ,得
当 时, 的虚轴长为 ,故 错误;
的离心率为 的离心率为 ,故 与 的离心率之积为 ,故 正确;
当 时, ,由 ,得 , ,令 ,得 ,故 ,故 C 正确;
与 联立,消 整理得 ,所以 的面积 ,故 D 错误.
故选 BC.
11. ACD 对选项 A，如图，
记上、下底面的中心分别为 ，取 的中点为 ,取 的中点为 ,连接 , ,则 为梯形 的高,因为该正四棱台的体积 . ,得 ,所以
,所以梯形 的面积为 ，此四棱台的侧面积为 ，故 正确；
对选项 B，取 的中点 ，连接 ， 的中点设为 ,连接 ,
则 ,所以 ,所以平面 截此四棱台所得的截面为 ,因为 ,所以梯形 的面积为 ,故 错误;
对选项 ,因为 ,所以 平面 ,且 , 因为 ,所以 ,所以点 的轨迹是以 为圆心,半径为 的半圆,弧长 . 故 C 正确;
对选项 D,由题意得侧棱 ,所以 ,如图,将侧面 和 沿棱 展开,连接 交 于点 ,此时 的长度即为 的最小值,因为 ,故 正确.
故选 ACD.
12. -1 设切点为 ,对函数求导可得 ,则 ,解得 ,所以切点为 ,切线方程为 ,即 ,因为切线过点 , ,代入得 .
13.20 因为数列 为正项等比数列,数列 满足 ,所以数列 为等差数列, 设公差为 ,则 ,得 ,故
14. 甲、乙两个箱子中各有一个球交换后, 甲箱中恰有 3 个黄球有两种情况: 一种情况是甲、乙两个箱子中取出的均是黄球, 此时概率 ; 另一种情况是甲箱中取出的是红球或蓝球,乙箱中取出的是红球,此时概率 ,则甲箱中恰有 3 个黄球的概率为
由题知 的取值可能为4,5,6,当 时,甲箱中取出的是蓝球或黄球,乙箱中取出的是红球,此时概率 ; 当 时,甲箱中取出的是红球,乙箱中取出的是红球,或甲箱中取出的是黄球或蓝球,乙箱中取出的是黄球,此时概率 ; 当 时,甲箱中取出的是红球,乙箱中取出的是黄球,此时概率 ,所以
15. 解: (1) 由题可知 48, (2 分)
当日收入高于 48 的有 50,60,74,共 3 个,从当日收入的 5 个数值中任取 1 个，其高于当日收入平均值的概率为 . (4 分)
(2)由题可知 32, (6 分)
(8 分)
百元 元，即当日最高气温每升高 1 摄氏度，当日收入大约增加 650 元. (9 分)
(3) ，(10 所以经验回归方程为 ,当 时, 百元 元.
(13 分)
16. 解:(1)因为 ，所以 (5 分)
(2) ， (6 分)
直线 的方程为 n), (7 分)
令 ,
得 , 所以 , (8 分)
令数列 的前 项和为 ,则
两式相减得 ,故 (13 分)
又数列 的前 项和为 ,所以数列 的前 项和 2] . (15 分)
17. 解:(1)证明:在梯形 中， 于点 ， 故翻折后 ， ，
又因为 平面 ， 平面 ， ,所以 平面 ,
因为 平面 ,
所以平面 平面 . (3 分)
(2)在梯形 中，因为 ， 于点 于点 ，所以四边形 为矩形，且 ,
因为 .
取 的中点 ,连接 ,则 ,且 .
因为 平面 平面 ,故 ,所以 两两垂直.
所以以 为原点,过点 与 平行的直线为
轴,以直线 为 轴,以直线 为 轴,建立空间直角坐标系如下图所示,
所以 , (7 分)
因为四边形 为矩形,所以 与 的交点 到 的距离相等,
所以四棱锥 外接球的球心 在过 且与平面 垂直的直线上,
设 ,外接球的半径为 ,由 ,得 ,解得 ,
所以 ,所以四棱锥 外接球的表面积 . (10 分)
(3)由(2)得 ，
设平面 的法向量为 ,
则 则
令 ,得一个法向量 ,
(12 分)
设平面 的法向量为 ,
则 则
令 ,得一个法向量 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
18. 解: (1) 椭圆 中, ,所以 ,得 . 故右焦点为 , (1 分) 在抛物线 中,令 ,得 ,
所以 ,得 , (2 分)
故抛物线 的标准方程为 . (3 分)
(2)设点 ，因为 ，所以 ,整理得 (5 分)
因为 ,所以 ,所以 或 (舍去).
因为 在第一象限,所以点 的坐标为 .
因为 ,所以直线 的斜率为 ,
故直线 的方程为 , (7 分)
同 联立整理得 ,解得两根分别为 4 和 ,所以直线 被 截得的弦长为 . (9 分)
(3)由题意知直线 的斜率不为 0，设其方程为 ,同 联立,整理得 ,则 ,
不妨设 ,则 -4 . (12 分)
由 ,得 ,同理
又 ,所以 , (14 分)
故 ,整理得 ,所以 或 4, (15 分)
因为 的面积
由 ,得 时, ,故 .
当 时, ,故 ,
故 的面积为 . (17 分)
19. 解: (1) 因为 ,所以 , (1 分)
若 在区间 上单调递减,则 时, 恒成立,即 恒成立,即 ,
因为 时, 单调递增, 所以 时, 取最小值 ,故 ,即 的取值范围为 . (4 分)
(2)求函数 极值点的个数，即求 在区间 上的异号零点的个数,
因为 , (5 分)
令 ,
则 ,因为 在区间 上单调递减,且 , ,故存在 ,使 ,即 ,所以 ,(7 分) 当 时, 即 单调递增; 当 时, 即 单调递减,所以 因为当 时, ,所以 ,即 ,故函数 的极值点的个数为 0 . (9 分)
(3)证明: ， ，使 ,即证 ,(10 分) 当 时, ,
令 ,
则 ,当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减,
所以 ,即 ①，当且仅当 时，等号成立. (12 分) 令 ,则 ,所以函数 在区间 上单调递增,所以当 时, ,即 ②, (14 分)
① + ② 得 ,即 (15 分)
由 (2) 得当 时, ,所以当 时,函数 单调递减,故 (16 分)
故 ,使 . (17 分)
学情调研(一) 数 学
注意事项:
1. 答卷前、考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动、用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门 “红色打卡地”. 其中连续 10 日的游客人数依次为 872,963,742,682,1322,1244,674,548,884,993,则这组数据的中位数为
A. 872 B. 878 C. 884 D. 1283
2. 已知复数 为虚数单位, 为 的共轭复数,则
A. 8-4i B. C. D.
3. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
4. 已知向量 均为实数，且 ，则
A. 25 B. 16 C. 5 D. 4
5. 已知函数 是定义在 上的偶函数,当 时, ,若点 在双曲线 的一条渐近线上,则
A. -3 或 -9 B. 3 或 9
C. -3 或 3 D. 9 或 -9
6. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，则
A. 4 B. -4
C. D.
7. 已知 ,动点 满足 ,若直线 上的两个点 满足 ,则 面积的最大值为
A. 18 B. 27 C. 36 D. 54
8. 已知函数 ，函数 ，若 与 的图象关于直线 对称, 与 的图象关于直线 对称,则下列关系不可能成立的是
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 对于函数 和函数 ,则下列正确的有
A. 与 有相同的最小正周期 B. 与 有相同的零点
C. 在区间 上单调递增 D. 与 的图象有相同的对称轴
10. 已知椭圆 与双曲线 的左、右两焦点 重合,则下列正确的有
A. 当 时, 的虚轴长为
B. 当 时, 与 的离心率之积为
C. 当 时,过 作与 轴垂直的直线与 交于 两点,则
D. 当 时,若点 为 与 的其中一个交点,则 的面积为
11. 已知正四棱台 的体积为 ,则下列正确的有
A. 此四棱台的侧面积为
B. 若 是 的中点,则平面 截此四棱台所得截面的面积为
C. 若点 为平面 截此四棱台所得截面上的动点,且 ，则 的轨迹长度为
D. 若点 为棱 上的动点,则 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 过点 作曲线 图象的切线 ,若直线 与直线 垂直,则实数 _____.
13. 已知数列 为正项等比数列,数列 满足 ,若 ,则 _____.
14. 甲箱中有 7 个除颜色外完全相同的球,其中有 2 个红球、 2 个蓝球、 3 个黄球; 乙箱中有 5 个除颜色外完全相同的球,其中有 3 个红球、 2 个黄球. 现从两个箱子中同时各随机摸出 1 个球进行交换，则交换后甲箱中恰有 3 个黄球的概率为_____；若交换后甲箱中黄球的个数为 ，蓝球的个数为 ，设随机变量 ，则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (13分)
某游泳馆运营商发现，当日最高气温 (单位:摄氏度)与当日收入 (单位:百元)之间有如下的对应数据,由散点图知,当日最高气温 (单位: 摄氏度) 与当日收入 (单位: 百元)呈线性相关.
(单位:摄氏度) 28 30 32 34 36
(单位:百元) 22 34 50 60 74
(1)从表中给出的当日收入的 5 个数值中任取 1 个，求其高于当日收入平均值的概率;
(2)由上面数据判断，当日最高气温每升高 1 摄氏度，当日收入大约增加多少元
(3)气象台预报后天的最高气温为 39 摄氏度，则后天的收入大约为多少元？
参考数据:对于一组具有线性相关关系的数据 ,其经验回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ,
16. (15 分)
已知函数 .
(1)若数列 ，求数列 的前 项和 ；
(2)已知函数 在 处的切线为直线 ，直线 在 轴上的截距为 ,求数列 的前 项和 .
17. (15分)
如图，在梯形 中， 于点 ， 于点 ,将 沿 翻折,将 沿 翻折,使得点 重合为点 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)求四棱锥 外接球的表面积；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.(17分)
过椭圆 的右焦点作倾斜角为 的直线,此直线与抛物线 0)交于 两点,且 .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)已知 ， ， 是抛物线 的焦点，点 在第一象限，且在 上，若 ，求直线 被 截得的弦长；
(3)已知 ，过抛物线 的焦点 作直线 交 于 ， 两点，记直线 ， 的斜率分别为 ,当 时,求 的面积.
19.(17 分)
已知 为实数，函数 ，函数 .
(1)若 在区间 上单调递减，求 的取值范围；
(2)求函数 极值点的个数；
(3)当 时,证明: ,使 .
学情调研(一)
数学 参考答案
1. B 将这 10 个数据从小到大排列,依次为 548,674,682,742,872,884,963,993,1244,1322, 故中位数为 .
故选 B.
2. A 因为 ,所以 .
故选 A.
3. D 因为 ,所以 .
故选 D.
4. C 因为 ,所以 -4,得 ,所以 ,故
故选 C.
5. B 双曲线 的渐近线方程为 . 因为函数 是定义在 上的偶函数, 当 时, ,故 ,当点 在直线 上时, ; 当点 在直线 上时, .
故选 B.
6. 由 ,得
,所以
故选 D.
7. B 设 ,由 ,得 ,整理得 ,故 在以 为圆心,半径为
4 的圆上,点 到 的距离 ,故点 到 的距离的最大值为 ,所以 面积的最大值为 .
故选 B.
8. B 在 上任意取点 关于直线 的对称点为 ,因为此点在 上,故 ,得 ,即 ,同理得 ,在同一坐标系内画出 与 的图象如下:
得 成立,而 不成立.
故选 B.
9. ABD 函数 的最小正周期为 , 正弦函数加绝对值后，最小正周期变为原来的 ， 所以 的最小正周期为 的最小正周期为 ，正切函数加绝对值后，最小正周期不变,所以 的最小正周期为 ,故 正确;
令 得 ,解得 ,令 得 , ,解得 ,故 正确; ,故 C 错误;
函数 的对称轴为 ,解得 ,函数 的对称轴为 ,解得 ,故 正确.
故选 ABD.
10.BC 由题意得 ,得
当 时, 的虚轴长为 ,故 错误;
的离心率为 的离心率为 ,故 与 的离心率之积为 ,故 正确;
当 时, ,由 ,得 , ,令 ,得 ,故 ,故 C 正确;
与 联立,消 整理得 ,所以 的面积 ,故 D 错误.
故选 BC.
11. ACD 对选项 A，如图，
记上、下底面的中心分别为 ，取 的中点为 ,取 的中点为 ,连接 , ,则 为梯形 的高,因为该正四棱台的体积 . ,得 ,所以
,所以梯形 的面积为 ，此四棱台的侧面积为 ，故 正确；
对选项 B，取 的中点 ，连接 ， 的中点设为 ,连接 ,
则 ,所以 ,所以平面 截此四棱台所得的截面为 ,因为 ,所以梯形 的面积为 ,故 错误;
对选项 ,因为 ,所以 平面 ,且 , 因为 ,所以 ,所以点 的轨迹是以 为圆心,半径为 的半圆,弧长 . 故 C 正确;
对选项 D,由题意得侧棱 ,所以 ,如图,将侧面 和 沿棱 展开,连接 交 于点 ,此时 的长度即为 的最小值,因为 ,故 正确.
故选 ACD.
12. -1 设切点为 ,对函数求导可得 ,则 ,解得 ,所以切点为 ,切线方程为 ,即 ,因为切线过点 , ,代入得 .
13.20 因为数列 为正项等比数列,数列 满足 ,所以数列 为等差数列, 设公差为 ,则 ,得 ,故
14. 甲、乙两个箱子中各有一个球交换后, 甲箱中恰有 3 个黄球有两种情况: 一种情况是甲、乙两个箱子中取出的均是黄球, 此时概率 ; 另一种情况是甲箱中取出的是红球或蓝球,乙箱中取出的是红球,此时概率 ,则甲箱中恰有 3 个黄球的概率为
由题知 的取值可能为4,5,6,当 时,甲箱中取出的是蓝球或黄球,乙箱中取出的是红球,此时概率 ; 当 时,甲箱中取出的是红球,乙箱中取出的是红球,或甲箱中取出的是黄球或蓝球,乙箱中取出的是黄球,此时概率 ; 当 时,甲箱中取出的是红球,乙箱中取出的是黄球,此时概率 ,所以
15. 解: (1) 由题可知 48, (2 分)
当日收入高于 48 的有 50,60,74,共 3 个,从当日收入的 5 个数值中任取 1 个，其高于当日收入平均值的概率为 . (4 分)
(2)由题可知 32, (6 分)
(8 分)
百元 元，即当日最高气温每升高 1 摄氏度，当日收入大约增加 650 元. (9 分)
(3) ，(10 所以经验回归方程为 ,当 时, 百元 元.
(13 分)
16. 解:(1)因为 ，所以 (5 分)
(2) ， (6 分)
直线 的方程为 n), (7 分)
令 ,
得 , 所以 , (8 分)
令数列 的前 项和为 ,则
两式相减得 ,故 (13 分)
又数列 的前 项和为 ,所以数列 的前 项和 2] . (15 分)
17. 解:(1)证明:在梯形 中， 于点 ， 故翻折后 ， ，
又因为 平面 ， 平面 ， ,所以 平面 ,
因为 平面 ,
所以平面 平面 . (3 分)
(2)在梯形 中，因为 ， 于点 于点 ，所以四边形 为矩形，且 ,
因为 .
取 的中点 ,连接 ,则 ,且 .
因为 平面 平面 ,故 ,所以 两两垂直.
所以以 为原点,过点 与 平行的直线为
轴,以直线 为 轴,以直线 为 轴,建立空间直角坐标系如下图所示,
所以 , (7 分)
因为四边形 为矩形,所以 与 的交点 到 的距离相等,
所以四棱锥 外接球的球心 在过 且与平面 垂直的直线上,
设 ,外接球的半径为 ,由 ,得 ,解得 ,
所以 ,所以四棱锥 外接球的表面积 . (10 分)
(3)由(2)得 ，
设平面 的法向量为 ,
则 则
令 ,得一个法向量 ,
(12 分)
设平面 的法向量为 ,
则 则
令 ,得一个法向量 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
18. 解: (1) 椭圆 中, ,所以 ,得 . 故右焦点为 , (1 分) 在抛物线 中,令 ,得 ,
所以 ,得 , (2 分)
故抛物线 的标准方程为 . (3 分)
(2)设点 ，因为 ，所以 ,整理得 (5 分)
因为 ,所以 ,所以 或 (舍去).
因为 在第一象限,所以点 的坐标为 .
因为 ,所以直线 的斜率为 ,
故直线 的方程为 , (7 分)
同 联立整理得 ,解得两根分别为 4 和 ,所以直线 被 截得的弦长为 . (9 分)
(3)由题意知直线 的斜率不为 0，设其方程为 ,同 联立,整理得 ,则 ,
不妨设 ,则 -4 . (12 分)
由 ,得 ,同理
又 ,所以 , (14 分)
故 ,整理得 ,所以 或 4, (15 分)
因为 的面积
由 ,得 时, ,故 .
当 时, ,故 ,
故 的面积为 . (17 分)
19. 解: (1) 因为 ,所以 , (1 分)
若 在区间 上单调递减,则 时, 恒成立,即 恒成立,即 ,
因为 时, 单调递增, 所以 时, 取最小值 ,故 ,即 的取值范围为 . (4 分)
(2)求函数 极值点的个数，即求 在区间 上的异号零点的个数,
因为 , (5 分)
令 ,
则 ,因为 在区间 上单调递减,且 , ,故存在 ,使 ,即 ,所以 ,(7 分) 当 时, 即 单调递增; 当 时, 即 单调递减,所以 因为当 时, ,所以 ,即 ,故函数 的极值点的个数为 0 . (9 分)
(3)证明: ， ，使 ,即证 ,(10 分) 当 时, ,
令 ,
则 ,当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减,
所以 ,即 ①，当且仅当 时，等号成立. (12 分) 令 ,则 ,所以函数 在区间 上单调递增,所以当 时, ,即 ②, (14 分)
① + ② 得 ,即 (15 分)
由 (2) 得当 时, ,所以当 时,函数 单调递减,故 (16 分)
故 ,使 . (17 分)
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